JARAK ANTARA TITIK DAN BIDANG, GARIS DAN BIDANG SEJAJAR, DUA BIDANG SEJAJAR, DAN DUA GARIS BERSILANGAN

JARAK ANTARA TITIK DAN BIDANG, GARIS DAN BIDANG SEJAJAR, DUA BIDANG SEJAJAR, DAN DUA GARIS

BERSILANGAN

Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas kelompok Mata Kuliah: Geometri Ruang

Dosen Pengampu: Reflina, M. Pd

Disusun oleh:

PMM 2/Sem. V Kelompok III

1. Afifah Nabila Nasution (0305212067) 2. Ahmadsyah Fauzian Rambe (0305212083) 3. Mustika Nurbayeni (0305212117) 4. Sri Rahayu Ningsih (0305213032)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUMATERA UTARA

MEDAN

2023

ii

KATA PENGANTAR

Dengan menyebut nama Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang, segala puji bagi-Nya Tuhan semesta alam. Alhamdulillah berkat rahmad, hidayah, dan inayah-Nya kami dapat menyelesaikan makalah ini guna memenuhi salah satu tugas kelompok pada mata kuliah Geometri Ruang. Shalawat beriringkan salam tak lupa kita hadiahkan kepada Rasullulloh Nabiyallah Muhammad SAW. beserta keluarga, sahabat dan semua pengikutnya dengan harapan mendapatkan syafa’at beliau di yaumil qiyamah.

Makalah ini telah kami susun semaksimal mungkin dengan mendapat berbagai bantuan dari beberapa pihak, sehingga dapat memperlancar proses pembuatan makalah ini. Dan tak lupa pula kami mengucapkan terimakasih kepada Ibu Reflina, M. Pd selaku dosen mata kuliah Geometri Ruang yang telah memberikan tugas makalah ini kepada kami sehingga menambah pengetahuan dan wawasan sesuai dengan bidang studi yang telah kami pelajari.

Kritik dan saran dari pembaca sangat kami harapkan agar menjadi pelajaran dan acuan kami untuk bisa lebih baik lagi dimasa yang akan datang. Akhir kata kami berharap semoga makalah ini dapat memberikan manfaat dan menambah wawasan maupun inspirasi bagi para pembaca.

Medan, 09 Oktober 2023

Kelompok III

iii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... ii

DAFTAR ISI ... iii

Abstrak ... 1

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang ... 1

B. Rumusan Masalah ... 2

C. Tujuan ... 2

BAB II PEMBAHASAN ... 3

A. Jarak antara Titik dan Bidang ... 3

B. Jarak antara Garis dan Bidang yang Sejajar ... 5

C. Jarak antara Dua Bidang Sejajar... 8

D. Jarak Antara 2 Garis Bersilangan ... 11

BAB III PENUTUP ... 13

A. Kesimpulan ... 13

B. Saran ... 13

DAFTAR PUSTAKA ... 14

1

Abstrak

Tujuan dari pembuatan makalah ini adalah untuk mengetahui bagaimana menentukan jarak titik ke bidang, untuk mengetahui jarak antara garis dan bidang yang sejajar, untuk mengetahui langkah-langkah menentukan jarak garis dan bidang yang sejajar, untuk mengetahui jarak antara dua bidang yang sejajar , dan untuk mengetahui jarak antara dua garis bersilang. Pembuatan makalah ini menggunakan metode penelitian kajian literatur. Tahap-tahap dari kajian literatur ini dimulai dengan mengumpulkan data, mereduksi data, mendisplay data, pembahasan, dan diakhiri dengan kesimpulan.

Kata Kunci: jarak, titik, garis, bidang

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Geometri merupakan salah satu cabang dari matematika yang memuat konsep mengenai titik, garis, bidang, dan benda-benda ruang beserta sifat-sifatnya, ukuran- ukurannya, dan hubungannya antara satu dengan yang lain. Selain itu, pada konteks kehidupan sehari-hari, hal-hal yang terkait dengan geometri pun seringkali dijumpai oleh siswa, misalnya melalui bentuk papan tulis, atap rumah, jendela, pintu, dan benda lainnya yang mengandung unsur dari geometri.

Salah satu topik dalam geometri ruang yang dipelajari kali ini adalah mengenai jarak antara titik, garis, dan bidang. Materi kali ini akan membahas tentang bagaimana cara menentukan jarak antara titik dan bidang, bagaimana cara menentukan jarak antara garis dan bidang yang sejajar, bagaimana cara menentukan jarak dua bidang yang sejajar, dan bagaimana cara menentukan jaran dua garis yang bersilang.

2 B. Rumusan Masalah

1. Bagaimana jarak antara titik dan bidang?

2. Bagaimana jarak antara garis dan bidang yang sejajar?

3. Bagaimana jarak antara dua bidang sejajar?

4. Bagaimana jarak antara dua garis bersilang?

C. Tujuan

1. Untuk mengetahui jarak antara titik dan bidang

2. Untuk mengetahui jarak antara garis dan bidang yang sejajar 3. Untuk mengetahui jarak antara dua bidang sejajar

4. Untuk mengetahui jarak antara dua garis bersilang

3

BAB II PEMBAHASAN

A. Jarak antara Titik dan Bidang

Jarak antara titik 𝐴 ke bidang 𝛼 adalah panjang ruas garis tegak lurus dari titik 𝐴 ke bidang 𝛼

Gambar 1. Jarak antara titik dan bidang 𝐴′ merupakan proyeksi titik 𝐴 pada bidang 𝛼

Panjang ruas garis 𝐴𝐴′ adalah jarak titik 𝐴 terhadap bidang 𝛼

Contoh:

Perhatikan gambar balok ABCD.EFGH berikut.

Gambar 2. Balok Berdasarkan gambar balok diatas dapat kita ketahui:

a. Proyeksi titik A terhadap bidang BCGF adalah titik B

Gambar 3. Balok

4

b. Proyeksi titik 𝐴 terhadap bidang CDHG adalah titik D

Gambar 4. Balok

c. Proyeksi titik 𝐴 terhadap bidang EFGH adalah titik E

Gambar 5. Balok Contoh Soal:

1. Sebuah kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 8 cm. Hitunglah jarak titik C ke bidang BDG.

Penyelesaian :

Gambar 6. Kubus dan Segitiga

5

𝐺𝐺^′ = √(𝐶𝐺)²+ (𝐺𝐺^′)²

= √(8)²+ 4√2²

= √64 + 32

= √96

= 4√6

𝐺𝐺^′. 𝐶𝐶^′ = 𝐶𝐺^′. 𝐶𝐺 𝐶𝐶^′ = 𝐶𝐺^′. 𝐶𝐺

𝐺𝐺^′ 𝐶𝐶^′ =4√2. 8

4√6 𝐶𝐶^′ = 8

√3×√3

√3 𝐶𝐶^′ =8

3√3

B. Jarak antara Garis dan Bidang yang Sejajar

Jarak garis dan bidang yang sejajar sama dengan: “panjang segmen garis yang memotong tegak lurus pada garis dan pada bidang”.

Misalkan diketahui garis g dan bidang α sejajar, maka jarak antara garis dan bidang tersebut dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1) Ambil sembarang titik P pada garis g

2) Buatlah garis k yang melalui titik P dan tegak lurus bidang α 3) Garis k memotong atau menembus bidang α di titik Q

4) Panjang ruas garis PQ ditetapkan sebagai jarak antara garis g dan bidang α yang sejajar.

Dimana jarak antara garis dan bidang dapat di ilustrasikan seperti gambar dibawah ini:

6

Gambar 7. Ilustrasi Jarak Antara Garis dan Bidang Contoh Soal:

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 satuan. Tentukan jarak titik AE dengan bidang BDHF.

Penyelesaian :

Gambar 8. Kubus

Langkah pertama yang kita kerjakan adalah kita tarik bidang melalui AE tegak lurus dengan BDHF. Berarti disini kita tarik A ke C karena AC tegak lurus BD.

Demikian juga EG tegak lurus dengan HF. Sekarang berpotongan bidang ACGE dengan BDHF adalah garis yang merah ini. Selanjutnya kita buat bidang yang tegak lurus dari AE ke bidang BDHF. Misalkan perpotongan EG dengan HF disini kita sebutkan R dan S. Selanjutnya AS tegak lurus dengan RS, ER tegak lurus dengan RS atau dengan kata lain bidang ASRE tegak lurus ke bidang BDHF. Maka dengan demikian perhatikan di AS tegak lurus ke RS atau ke bidang BDHF, dengan demikian juga ER tegak lurus BDHF.

Jadi kesimpulannya AE ke bidang BFHD adalah panjang AS atau ER.

AS = ¹

2 𝐴𝐶 =¹

2𝑎√2 =¹₂(6√2) = 3√2

7

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 satuan, titik P pertengahan BF. Hitunganlah jarak PQGH dengan DC.

Penyelesaian :

Gambar 9. Kubus

Langkah pertama kita tarik melalui garis DC bidang yang tegak lurus ke bidang PDGH, berarti pertama C kita tarik tegak lurus ke sisi QG demikian juga D kita tarik tegak lurus ke sisi PH. Perhatikan dengan jelas bidng DCSR adalah bidang yang tegak lurus ke PQGH dengan RS adalah garis potong antar kedua bidang.

QC = √2²+ 4² QC = √20 QC = 2√5

Jadi panjang QC =QG

Jarak DC ke PQGH adalah panjang SC

Gambar 10. Segitiga

𝑆𝐶 .2√5 2 =^{𝑇𝑄 .4}

2

8

𝑆𝐶 .2√5 2 =^4.4

2

𝑆𝐶. √5 = 8 𝑆𝐶 = ⁸

√5.^√5

√5

𝑆𝐶 = ⁸

5√5

Jadi jarak DC ke PQGH adalah ⁸

5√5 satuan.

C. Jarak antara Dua Bidang Sejajar

Dua bidang yang saling berpotongan mempunyai jarak nol. Jadi, jarak antara dua bidang hanya dapat dicari jika keduanya sejajar.

Misalkan diketahui bidang U dan bidang V sejajar, maka jarak antara garis dan bidang tersebut dapat dicari dengan langkah sebagai berikut:

1) Ambil sembarang titik D pada bidang U

2) Buatlah garis m yang melalui titik D dan tegak lurus bidang V 3) Garis m memotong atau menembus bidang V di titik E

4) Panjang ruas garis DE ditetapkan sebagai jarak antara bidang U dan bidang V yang sejajar.

Jarak dua bidang tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 11. Jarak antara dua bidang yang sejajar

Jarak antara bidang U dan bidang V yang saling sejajar satu sama lain adalah panjang ruas garis DE, dimana D adalah sebuah titik sebarang

pada bidang U dan E merupakan proyeks inya pada bidang V.

9 Contoh Soal:

1. Diketahui balok ABCD.EFGH, degan AB =10 cm, BC = 8 cm, dan BF = 6 cm.

Hitunglah:

a. Jarak bidang ABCD dengan bidang EFGH b. Jarak bidang ADHE dengan bidang BCGF Penyelesaian:

a. Jarak bidang ABCD dengan bidang EFGH.

Bidang ABCD dan bidang EFGH adalah dua bidang yang saling sejajar.

Jarak bidang ABCD dengan bidang EFGH sama dengan panjang garis AE atau BF atau CG atau DH sebab garis-garis tersebut tegak lurus dengan bidang ABCD. Jadi, jarak ABCD dengan bidang EFGH sama dengan panjang AE yaitu 6 cm.

Gambar 12. Kubus

b. Jarak bidang ADHE dengan bidang BCGF.

Bidang ADHE dengan bidang BCGF adalah dua bidnag yang saling sejajar. Jarak bidang ADHE dengan bidang BCGF sama dengan panjang garis AB atau CD atau EF atau GH sebab garis-garis tersebut tegak lurus dengan ADHE dan juga dengan bidang BCGF. Jadi jarak bidang ADHE dengan bidang BCGFsama dengan AB yaitu 10 cm.

10

Gambar 13. Kubus

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 6 cm. hitunglah jarak bidang ACH dengan bidang BEG.

Penyelesaian:

1) Lukis bidang ACH dan bidang BEG pada kubus ABCD.EFGH 2) Ambil sembarang titik L pada bidang ACH

3) Lukislah garis melalui titik L menembus atau memotong tegak lurus bidang BEG di titik K, garis tersebut adalah garis DF. Ruas garis DF adalah

diagonal ruang kubus ABCD.EFGH, maka DF = 6√3 cm

4) Panjang ruas garis KL adalah jarak bidang ACH dengan bidang BEG

Gambar 14. Kubus

Selanjutnya fokuskan perhatian pada bidang DBFH, dimana BD = HF = 6√3 dan DH = BF = 6 cm. Titik O dan P adalah titik tengah BD dan FH sebagai akibatnya segitiga ODH dan BPF kongruen maka, DL = KF.

11

Gambar 15. Persegi

Terlebih dahulu kita tentukan panjang OH, sebagai berikut:

OH² = OD² + HD² OH² = (3√2)² + 6² OH² = 18 + 36 OH² = 54 OH = 3√6

Dengan konsep kesamaan luas pada segitiga ODH, diperoleh

1

2 × OH × DL = ¹

2 × OD × DH

1

2 × 3√6 × DL = ¹

2 × 3√2 × 6 3√6 × DL = 18√2

DL = ^18√2

3√6

DL = 2√3

Dengan demikian, DL = KF = 2√3. Selanjutkan akan kita tentukan panjang LK, sebagai berikut:

DL + LK + KF = DF 2√3 + LK + 2√3 = 6√3

LK + 4√3 = 6√3

LK = 2√3

Jadi, panjang LK = 2√3. Dengan demikian jarak bidang ACH dengan bidang BEG adalah 2√3 cm.

D. Jarak Antara 2 Garis Bersilangan

Jarak antara garis 𝑔 dan ℎ yang bersilangan adalah panjang garis potong tegak lurus persekutuan kedua garis itu, yaitu panjang ruas garis yang memotong kedua garis itu secara tegak lurus.

12

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut ini.

Gambar 16. Garis 𝑔 dan ℎ bersilangan Gambar 17. Garis 𝑔 dan ℎ bersilangan

sebarang tegak lurus

Gambar diatas adalah contoh dari jarak antara 2 garis yang bersilangan. Yang dimana garis AB adalah jarak antara garis 𝑔 dan ℎ tersebut. Untuk lebih memahami lebih lanjut tentang jarak antara 2 garis yang bersilangan, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh soal:

Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan Panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak antara garis RV dan TU!

Gambar 18. Kubus Penyelesaian:

Langkah pertama kita lihat bahwasannya garis RV tegak lurus dengan garis UV dan garis TU tegak lurus juga dengan garis UV. Jadi, dari sini dapat kita simpulkan bahwasannya RV dan TU adalah dua garis bersilangan yang saling tegak lurus, maka dari sini kita peroleh bahwasannya garis RV dan garis TU adalah Panjang garis UV yaitu 8 cm.

13

BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan

1. Jarak antara titik 𝐴 ke bidang 𝛼 adalah panjang ruas garis tegak lurus dari titik 𝐴 ke bidang 𝛼.

2. Jarak garis dan bidang yang sejajar sama dengan: “panjang segmen garis yang memotong tegak lurus pada garis dan pada bidang”.

3. Dua bidang yang saling berpotongan mempunyai jarak nol. Jadi, jarak antara dua bidang hanya dapat dicari jika keduanya sejajar.

4. Jarak antara garis 𝑔 dan ℎ yang bersilangan adalah panjang garis potong tegak lurus persekutuan kedua garis itu, yaitu panjang ruas garis yang memotong kedua garis itu secara tegak lurus.

B. Saran

Kami menyadari banyak kesalahan dan kekurangan dalam makalah yang sudah kami buat. Untuk itu kami sangat berharap kepada para pembaca untuk memberikan kritik, saran maupun masukkan yang bersifat membangun demi menuju kesempurnaan makalah kami ke depannya.

14

DAFTAR PUSTAKA

Krismanto, Al. 2004. Jarak dalam Ruang Dimensi Tiga. Paket Pembinaan Penataran.

Yogyakarta: PPPG Matematika.

Isrok'atun. 2021. Memahami Konsep Dasar untuk PGSD. Jakarta Timur: PT Bunyi Aksara

Krismanto, Al. 2008. Pembelajaran Sudut dan Jarak dalam Ruang Dimensi Tiga di SMA. Yogyakarta: Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik d an Tenaga Kependidikan Matematika.

Karso, M, dkk. 2010. Materi Kurikuler Matematika SMA. Jakarta: Universitas Terbuka