Vektor
adalah Besaran yang mempunyai besar
dan arah.
Contoh :
Kecepatan, momentum, berat, percepatan,
gaya dan lain-lain
Skalar
adalah besaran yang mempunyai besar
tapi tanpa arah.
Contoh :
Ekor panah disebut ttk pangkal
Arah panah menentukan
arah vektor
Panjang panah menentukan
arah vektor
Ujung panah disebut
ttk ujung
1. Vektor-vektor yang panjang dan
arahnya sama
v = w = z
2. Vektor negatif Adalah vektor yang
besarnya sama tetapi arahnya
3. Vektor Nol
Vektor yang panjangnya nol Dinyatakan dengan O
4. Penjumlahan Vektor
5. Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k
adalah suatu bilangan real tak nol (skalar),
maka hasil kali kv didefinisikan sebagai
Jika a, b dan c adalah vektor-vektor serta m dan n adalah skalar, maka :
1. a + b = b + a ; Hukum Komutatif untuk penjumlahan 2. a + (b+c) = (a+b)+c ; Hukum Assosiatif
untuk
penjumlahan
3. ma = am ; Hukum Komutatif untuk perkalian
4. m(na) = (mn)a ; Hukum Asosiatif untuk perkalian
2. Vektor dalam ruang
Vektor OP dalam ruang atau dalam sistem koordinat OX, OY, OZ dapat dilihat pada gambar berikut:
HASIL KALI TITIK DAN SILANG
1. Hasil kali titik
Hasil kali titik (skalar) dua vektor A dan B
didefinisikan :
A
B =
A
B
cos
dengan :
A
dan
B
masing-masing panjang
vektor A dan B
Hukum-hukum yang berlaku pada
perkalian skalar
1. A
B = B
A
2. A
(B+C) = A
B + A
C
3. m (A
B) = (mA)
B = A
(mB) , m adalah
skalar
4. i
i = j
j = k
k = 1 , i
j = j
k = k
i = 0
5. Jika A = a1 i + a2 j + a3 k dan B = b1 i +
b2 j + b3 k
maka A
B = a1 b1 +a2 b2 + a3 b3
6. Jika A
B = 0 dan A , B bukan vektor nol,
maka A
Hasil kali silang (vektor) dari A dan B adalah
vektor C yang arahnya tegak lurus vektor A
dan B dengan mengikuti kaidah tangan
kanan yang didefinisikan sebagai berikut :
A x B =
A
B
sin
u
dengan :
-
adalah sudut antara A dan B ( 0
)
- u adalah vektor satuan yang menunjukkan
arah dari C
Hukum-hukum yang berlaku pada
Diketahui Vektor A = 2i – 3j + k
B = – i + 4j + 5k
Maka :
1. A + B = (2 – 1) i + (–3 + 4) j + (1 + 5) k
= i + j + 6k
2. A – B = (2 + 1) i + (–3 – 4) j + (1 – 5) k
= 3i – 7j – 4k
Jarak dua titik yang berada pada dua ujung
vektor
Maka jarak antara titik A ke titik B adalah d, dengan:
Terlihat pada gambar bahwa :
OX = OP + PX
...(1)
dimana
Merupakan persamaan vektoris bidang rata yang melalui satu titik P( x1 , y1, z1 ) dan
Persamaan (1) dapat ditulis menjadi 3
persamaan :
……….(2)
yang disebut persamaan parameter bidang rata. Dengan mengeliminasi λ dan μ pada persamaan
diatas diperoleh :
V = Ax + By + Cz + D = 0 ………. (3)
yang disebut persamaan linier bidang rata yang
mempunyai vektor normal bidang ( vektor yang tegak lurus bidang rata ) :
= a x b dimana :
Dari persamaan (3) di atas, suatu bidang rata yang di ketahui melalui satu titik ( x1 , y 1, z 1 )
1. Bila D = 0 maka bidang rata akan melalui titik asal O (0,0,0) dan
sebaliknya, setiap bidang rata yang melalui titik asal persamaannya akan mempunyai harga D = 0.
2. Apabila D ≠ 0 persamaan Ax + By + Cz + D = 0 dapat ditulis
menjadi Ax/ -D + By/ -D + Cz/ -D = 1 dan sebut berturut-turut A/ -D = 1/p, B/ -D=1/ q, C/-D =1/ r, didapat persamaan :
x/p + y/q + z/r = 1 yang mana memotong sumbu X di (p, 0, 0 ) sumbu Y di ( 0, q ,0 ) sumbu Z di ( 0, 0, r ).
3. Bila A = 0, bidang rata sejajar sumbu X bila B = 0, bidang rata sejajar sumbu Y, dan bila C = 0, bidang rata sejajar sumbu Z
4. Bila A = B = 0, bidang rata sejajar bidang XOY bila B = C = 0, bidang rata sejajar bidang YOZ bila A = C = 0, bidang rata sejajar bidang
XOZ
Contoh : 1.
Untuk mengubah kepersamaan linier dapat kita lakukan dgn mencari vektor normal sebagai hasil cross product
( 1, 2, 3 ) x ( 0, 2, 5) = ( 4, —5, 2 )
2. Bidang 2x + 3y + 4z = 12 dapat ditulis menjadi : x/6 + y/4 + z/3 = 1
Catatan :
1. Jika n = a x b . di mana a dan b adalah vektor-vektor pada bidang, maka persamaan bidang rata dapat ditulis dalam bentuk :
2. Jika vektor a bertitik awal di p (x1, y1, z1) dan
titik ujungnya q (x2, y2, z2), serta b titik awalnya
p (x1, y1, z1) dan titik ujungnya r (x3, y3, z3),
4. Jadi empat buah titik ( x1, y1, z1 ), ( x2, y2, z2 ), ( x3, y3,
z3 ), dan ( x4, y4, z4 ) akan sebidang jika dan hanya
jika :
Contoh :
1. Tentukan persamaan bidang yang melalui ketiga titik
( 2, -1, 1 ), ( 3, 2, 1 ), dan ( -1, 3, 2 )
2. Apakah empat titik berikut sebidang, jika sebidang , tentukan persamaan liniernya :
Sudut antara dua bidang rata merupakan sudut antara
vektor-vektor normalnya. Misanya, sudut antara bidang :
maka sudutnya adalah sudut antara normal-normal
Contoh :
1. Kedudukan sejajar :
Bila V1 dan V2 sejajar maka n1 dan n2 sama
(atau berkelipatan), berarti [A1, B1, C1] = λ [A2,
B2, C2] adalah syarat bidang V1 dan V2 sejajar (λ
sebarang ≠ 0 )
2. Kedudukan tegak lurus :
Bila V1 tegak lurus V2, maka vektor normalnya
1. Tentukan persamaan bidang rata V2 yang
sejajar dengan bidang rata V1 = x + y + 5z = 9
dan bidang rata V2 melalui titik (0,2,1)
!
2. Tentukan persamaan bidang rata V2 yang tegak
lurus pada bidang rata V1 = x + y + z = 1 serta
Jarak Antara Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Rata Dan Jarak Antara Dua Bidang Sejajar.
Jarak dari titik ( x1, y1, z1 ) ke bidang V : Ax + By + Cz
+ D = 0 adalah :
Untuk mencari jarak dua bidang sejajar V2, kita ambil
Contoh :
1. Tentukan jarak titik (4,7,3) ke bidang 2x + 6y – 3z = 13 . Jawab :
2. Diketahui V1 = x + y + z – 2 = 0 dan V2 = x + y + z – 5
= 0.
jika R pada V2, hitunglah jarak tersebut ke V1 .
jawab :
Contoh :
Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui titik( 0,0,0)
serta melalui garis potong bidang-bidang :
V1 = 2x + 3y +24 = 0 dan V2 = x – y + 2z = 12 Jawab :
V dapat dimisalkan berbentuk :
--- (*)
Karena V melalui ( 0,0,0 ) terpenuhi :
Pandang bidang rata V 1 = 0 , V 2 = 0 dan V 3 = 0 yang tidak
melalui satu garis lurus yg sama (bukan dalam satu berkas ).
Bentuk : menyatakan kumpulan bidang-bidang yang melalui titik potong ketiga bidang-bidang V 1 = 0 , V 2 = 0
dan V 3 = 0 itu ( dalam gambar melalui titik T ).
Contoh :
Tentukan persamaan bidang rata V yang sejajar bidang U : x + y + z =1 serta melalui titik potong bidang :
Jawab :
……(*)
Karena sejajar dengan U, maka ( 1, 1, 1 ) adalah normal dari V
atau ( 1, , μ ) kelipatan dari ( 1, 1, 1 )
Jadi subtitusikan ke (*) menghasilkan persamaan yang
Sebuah garis lurus akan tertentu bila diketahui dua titik pada garis tersebut.
Mis, titik P ( x1, y1, z1 ) dan R ( x2, y2, z2 ), maka
OP=[x1, y1, z1], OR =[x2, y2, z2 ] dan PR=[ x2-x1, y2-y1, z2-z1 ]
Untuk sembarang titik Q(x,y,z) pada garis g berlaku PQ= PR Jelas bahwa : OQ = OP + PQ
……(*)
Adalah persamaan vektoris garis lurus melalui titik P ( x1, y1, z1 )
Jadi bila garis lurus melalui titik P ( x1, y1, z1 ) dan
mempunyai
vektor arah a = [a,b,c], maka persamaannya adalah : ……….(**) Dari persamaan (**) diperoleh 3 persamaan, yaitu :
x = x1 + a
y = y1 + b ………(***) z = z1 + c
yang disebut persamaan parameter garis lurus.
Kemudian bila a 0, b 0, c 0, kita eliminasikan
dari
persamaan (***), diperoleh :
= = =
yang disebut persamaan linier garis lurus
Contoh :
Tentukan persamaan garis lurus melalui (3, 2 ,-2) dan (4, -2,-1)
Jawab :
1.
2. Bila a = 0 vektor [0, b, c] terletak pada bidang rata yang sejajar bidang yoz
Bila b = 0 , garis lurus sejajar bidang xoz Bila c = 0 , garis lurus sejajar bidang xoy
Dalam hal ini, bila salah satu bilangan arah (mis a = 0) maka, persamaan garis lurusnya menjadi :
[x, y, z]= [ x1, y1, z1 ] + [0, b, c]
3. Bila a = 0, b = 0, vektor [ 0,0, c] sejajar dengan arah sumbu Z
Bila a = c = 0, garis lurus sejajar sumbu Y Bila b = c = 0, garis lurus sejajar sumbu X
Contoh : 1.
2. Garis lurus [x,y,z] = [2,3,-2] + λ[0,4,2] bersifat sejajar sumbu Y ( a=c=0) dan dapat dtulis sebagai :
Garis lurus dapat dinyatakan sebagai perpotongan sembarang dua bidang rata yang melalui garis
lurus tersebut.
Misalnya, garis lurus g adalah perpotongan bidang rata.
V 1 = A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 dan
V 2 = A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0 , maka
persamaan
Untuk mencari persamaan linier garis lurus tsb sbb : 1. Menentukan vektor arah dari garis lurus : [ a, b, c ]
Jelas [a, b, c] = n1 x n2
2. Menentukan sembarang titik (x1, y1, z1) pada garis
lurus,
biasanya diambil titik potong dengan bidang koordinat,
mis. bidang xoy z = 0 sehingga diperoleh : A1x + By1 + D1 = 0
A2x + By2 + D2 = 0
Contoh :
Tentukan persamaan garis lurus akibat perpotongan dua buah bidang : V1 : x - 2y + z = 1
V2 : 3x - y + 5z = 8
Jawab :
n1 = [ 1, -2, 1 ] dan n2 = [ 3, -1, 5 ]
vektor arah garis : [ 1, -2, 1 ] x [ 3, -1, 5 ] = [ -9, -2, 5 ] titik potong bidang dengan bidang xoy :
z = 0
x – 2y = 1 x = 3 3x – y = 8 y = 1 Jadi persamaan liniernya :
[x, y, z]= [ 3, 1, 0 ] + [ -9, -2, 5 ]
Didalam ruang berdimensi tiga, 2 garis lurus mungkin sejajar,
berimpit, berpotongan, atau bersilangan. Diketahui garis lurus
1. g1 sejajar g2 bila arah mereka berkelipatan. Jadi
bila
, μ ≠ 0 atau bila
Jika berlaku , maka :
g1 dan g2 berimpit.
2. Kalau arah g1 yaitu [ a1, b1 ,c1 ] dan arah g2 yaitu [a2,
Contoh :
Tunjukan bahwa berpotongan
Dan tentukan titik potongnya serta bidang rata yang memuat garis g1 dan g2 tsb.
Jawab :
Arah mereka tidak berkelipatan, jadi tidak sejajar ataupun berimpit. Sedangkan determinan :
, jadi g1 dan g2
berpotongan.
Titik potongnya dicari dari persamaan g1= g2 , diperoleh :
1 = 1 kemudian di subt. ke g 1 ( 5, -7, 6 )
Pandang garis lurus g dengan vektor arah a =[ a , b , c] dan bidang rata V dengan vektor normal n = [ A , B , C], maka :
g 1 sejajar denga bidang V g3 tegak lurus bidang V
g 2 terletak pada bidang V
1. Garis lurus g sejajar bidang rata V jikka vektor arah garis tegak lurus normal bidang.
a . n = 0 atau aA + bB + cC = 0
2. Garis g tegak lurus bidang rata V jikka vektor arah garis lurus = vektor normal bidang rata (atau kelipatanya) atau
3. Bila garis g terletak seluruhnya pada bidang rata,
terpenuhi vektor a tegak lurus n atau a.n = 0 sehingga aA + bB+cC = 0
