----- Garis dan Bidang di R 2 dan R

--- Garis dan Bidang di R² dan R³ ---

Sifat Operasi Hasil Kali Titik pada Vektor Sifat Operasi Hasil Kali Titik pada Vektor

Teorema: Hasil kali titik (dot product) u dan v dapat dinyatakan pula sebagai:

A. Pendekatan Geometri:

 

cos ; , 0

0; 0 atau 0

=

=

u v u v

R u v

u v

   

   

 

   

 

B. Pendekatan Matriks:

    ^{ }

T

u u u

u v u v u v

=

x

x y z y

z

x x y y z z

v

R u v u v v

v

   

 

      

   

 

       

 

R merupakan “nilai” dari hasil kali titik dari kedua vektor di atas.

Sifat Operasi Hasil Kali Titik pada Vektor Sifat Operasi Hasil Kali Titik pada Vektor

Contoh: Diberikan vektor ^{u  =}  ^{0, 0, 1}  ^{dan v  =}  ^{0, 2, 2}  ^{, yang}

membentuk sudut 45º (  /4), maka carilah hasil kali titik (dot product) dari keduanya!

A. Pendekatan Geometri:

 

cos

1 2 2 cos 2 2 2

4 2 2

=

R   u v u  v 

    

           

 

 perlu norma dan 

B. Pendekatan Matriks:

 

     

T

0 0 0 1 2 2

0 0 0 2 1 2

2

=

R u v u v

   

  

   

         



 

Sifat

Sifat - - sifat Operasi Hasil Kali Silang pada Vektor sifat Operasi Hasil Kali Silang pada Vektor

 ^Teorema:

1. ^{u u v     }   ^{ 0}

2. ^{v u v     }   ^{ 0}

3.  

   

   

   

 

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

(identi

cos co

tas L

1

agrange)

c

s os

sin

u v u v

u v

u v

u v u v u v

u v u v

   



  

 

 

 



 



  

   

   













4. ^{u v     u   v   sin}   ^

Sifat

Sifat - - sifat Operasi Hasil Kali Silang pada Vektor sifat Operasi Hasil Kali Silang pada Vektor

 Teorema: Jika u , v dan w adalah vektor-vektor di

R

³

, dan k sembarang skalar, maka : 1. ^{u v      }  ^{u v  } 

2. ^{u   }  ^{v w  }   ^{ u v   }   ^{ u w   } 

3.  ^{u v    }  ^{w  }  ^{u w   }   ^{ v w   } 

4. ^k  ^{u v   }    ^{ k u   v = u   }   ^{k v }

5. u 0     0 u 

6. u u     0

Sifat

Sifat - - sifat Operasi Hasil Kali Silang pada Vektor sifat Operasi Hasil Kali Silang pada Vektor

Teorema: Jika i = (1,0,0); j = (0,1,0); dan k = (0,0,1) menyatakan vektor-vektor satuan di R

³

, maka:

 

0 0 1 0 1 0

, , 0, 0, 1

1 0 0 0 0 1

i  j =        k

 

 

1 0 0 0 0 1

, , 1, 0, 0

0 1 0 1 0 0

j k =         i

 

 

0 1 0 1 0 0

, , 0, 1, 0

0 0 1 0 1 0

k  i =        j

 

j i =   k ; k  j =  i ; i k =   j 0

i  i = j j = k k =  

Sifat

Sifat - - sifat Operasi Hasil Kali Silang pada Vektor sifat Operasi Hasil Kali Silang pada Vektor

Teorema: Hasil kali silang u dan v dapat dinyatakan pula sebagai:

2 3 1 3 1 2

1 2 3

2 3 1 3 1 2

1 2 3

u u u u u u

u u u

v v v v v v

v v v

i j k

= i j k

u v        

 

 

Contoh: Diberikan vektor ^{u  =}  ^{0, 0, 1}  ^{dan v  =}  ^{0, 2, 2}  ^{, maka}

carilah hasil kali silang (cross product) dari keduanya!

Jawab:

 

 

0 0 1 0 2 2

2 0 0

2, 0, 0

i j k

i j k

r    u v

   

 

  

SOAL – Latihan (Ulangan)

Soal No. 1

Diberikan dua buah vektor gaya yang sama, masing-masing sebesar 10 N (Newton) dan keduanya saling membentuk sudut 60º seperti pada gambar berikut ini:

F₁

F₂

60º



F₁

F₂

R

atau

F₁ F2

R

Tentukanlah nilai “resultan” dari kedua vektor tersebut!

Pembahasan

Resultan untuk dua buah vektor yang diketahui sudutnya adalah:

2 2

1 2 1

2 2

2 2 cos

10 10 2 10 10 cos (60 ) 300

10 3 Newton

R  F  F  F F 

      





SOAL – Latihan (Ulangan)

Soal No. 2

Dua buah vektor kecepatan

u 

dan

v 

, masing-masing besarnya 20 m·s^-1 dan 40 m·s^-1 membentuk sudut 60º seperti gambar berikut:

60º

u

v



60º

u

v u v

Tentukanlah “selisih” dari kedua vektor di atas!

Pembahasan

Selisih dari dua buah vektor dengan sudut 60º seperti di atas adalah:

2 2

2

1

1

2 2 cos (60) 20 40 2 20 40 (0,5) 1200 m s

20 3 m s

u v u v u v





   

     

 







  

  

SOAL – Latihan (ulangan)

Soal No. 3

Dua buah vektor gaya, masing-masing besarnya 8 N dan 4 N, saling mengapit dengan sudut ²₃



^(120º).

Tentukanlah besar resultan kedua vektor tersebut!

Pembahasan

1 2

2 3

8 membentuk sudut (120 ) 4

F N

F ^ N ^









Resultan dari dua buah vektor tersebut dengan sudut ²₃



^{, adalah:}

2 2

2 2 2

2 2 2

2

3 2

1 1

1

1

2 1 cos ( ) 8 4 2 8 4 ( 0,5) 64 16 32 m s

4 3 m s

F F F F F F 





   

      

   

 



Catatan: ^cos



^{  }



^{ cos}

 

^

SOAL – Latihan (ulangan)

Soal No. 4

Perhatikan gambar di bawah ini:

1

F 

2

F 

Jika satu kotak mewakili 10 Newton, tentukanlah resultan dari kedua vektor

₁

F  ^dan 

₂

F tersebut!

SOAL – Latihan (ulangan)

Pembahasan

Dari gambar seperti di atas, untuk mencari resultan gaya-gaya yang bekerja pada sumbu-

x

dan sumbu-

y

, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

 yang pertama, perhatikanlah kotak dari masing-masing vektor

F

₁ (sumbu-

x

: 30 N ke kanan dan sumbu-

y

: 40 N ke atas) dan

F

₂ (sumbu-

x

: 50 N ke kanan dan sumbu-

y

: 20 N ke atas),

 kemudian, hitunglah jumlah gaya-gaya yang bekerja pada arah sumbu-

x

dan sumbu-

y

, sebagai berikut:

30 50 80 Newton 20 40 60 Newton

x y

  

  

F F

 terakhir, hitung resultan keduanya dengan menggunakan rumus di bawah ini, dengan memperhatikan sudut

   90

:

2 2

2 2

80 60 10 Newton

x y

R  

  

F F

Interpretasi Geometri Interpretasi Geometri

dari Hasil Kali Silang

dari Hasil Kali Silang

Iterpretasi Geometri untuk Luas Segitiga Iterpretasi Geometri untuk Luas Segitiga

 Perhatikan Teorema berikut:

 

sin u

u v       v   

, adalah LUAS (AREA) dari suatu Jajaran Genjang

 Perhatikan pula JAJARAN-GENJANG di bawah ini:



v

sin

v 

u

u v

Luas dari jajaran genjang = (alas) x (tinggi)

= ^{u   v   sin}   ^{ = u v   }

Contoh Iterpretasi Geometri untuk Luas Area Contoh Iterpretasi Geometri untuk Luas Area

Contoh

Carilah LUAS segitiga yang dibentuk oleh titik-titik

P

1

 2, 2, 0 

,

P

1

  1, 0, 2 

, dan

 

1

0, 4, 3

P

!

Penyelesaian

Dari gambar di bawah, dapat dilihat bahwa LUAS A adalah ½ luas jajaran genjang yang dibentuk oleh vektor P P

_{1 2}



dan

P P

_{1 3}



 

2 1, 0, 2

P  P30, 4, 3

 

1 2, 2, 0 x P

z

y

Dari pelajaran sebelumnya, dihitung:

 

1 2

3, 2, 2 P P   



 

1 3

2, 2, 3 P P  



dan

 

1 2 1 3

10, 5, 10 P P  P P   

 

 

1 2 1 3

1 1

2 2 225

15

A  P P   P P    2

Hasil Kali Skalar Lipat

Hasil Kali Skalar Lipat - - 3 3 - [#1] -

 ^Jika u 

, v 

dan w 

adalah vektor-vektor dalam R

³

, maka

 

u    v  w 

disebut hasil kali skalar lipat-3 atau hasil kali skalar ganda-3 (scalar triple product)

 Hasil kali skalar lipat-3 dari u =   u , u , u

1 2 3



, v =   v , v , v

1 2 3



dan w =   w , w , w

1 2 3



dapat dihitung sebagai berikut:

 

1^{1 2}2 ³3

1 2 3

u u u

v v v

w w w

u v w

 

 

    

 

 

  

 Perhatikan bahwa, hasil kali di atas adalah KOMBINASI

antara HASIL KALI SILANG (prioritas dalam kurung) dan

HASIL KALI TITIK...!

Hasil Kali Skalar Lipat

Hasil Kali Skalar Lipat - - 3 3 - [#2] -

 Rumus hasil kali skalar lipat-3 ^{u v    }  ^{w }  ^{seperti di}

atas dapat diturunkan dari kombinasi berikut ini:

 

^{2 3 1 3 1 2}

2 3 1 3 1 2

2 3 1

1 2 3

1 2 3

1 2

3 1 2

1 2 3

2 3 1 3 1

3

2

ingat : ?

v v v v v v

w w w w w w

v v v v v v

u u

u u u

v v v

w

w w w u

w

w w

w

w

minor / kofakator

u v w u i j k



 

           

  



   

Contoh Hasil Kali Skalar Lipat Contoh Hasil Kali Skalar Lipat - - 3 3

Contoh:

Rumus hasil kali skalar lipat-3 ^{u v    }  ^{w }  dengan vektor-vektor berikut ini:

3 2 5 ; 4 4 ; 3 2

u   i  j  k v    i j  k w   j  k Penyelesaian:

 

   

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 2 5

1 4 4

4 4 1 4 1 4

3 2 5

3

u u u

v v v

w w

2 0 2 0 3

60

3 2

4 5

w 0

1 u v

49 w

 



   

 

    

   

  

Iterpretasi GeometriK untuk DETERMINAN Iterpretasi GeometriK untuk DETERMINAN

 Nilai mutlak determinan matriks ordo-2:

1 2 1 2

1 2 1 2

u u u u

det v v v v

 

  

 

sama dengan LUAS Jajaran Genjang dalam R

²

yang dibentuk oleh vektor-vektor u =   u , u

1 2



dan v =   v , v

1 2



 Nilai mutlak determinan matriks ordo-3:

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

u u u u u u

det v v v v v v

w w w w w w

 

  

 

 

 

sama dengan VOLUME Paralelepidum dalam R

³

yang dibentuk oleh vektor- vektor u =   u , u , u

1 2 3



, v =   v , v , v

1 2 3



dan w =   w , w , w

1 2 3

 .

Garis dan Bidang Garis dan Bidang

Di dalam R

Di dalam R ^{3 3}

Garis dan Bidang dalam Ruang Dimensi 3

In analytic geometry a line in 2-space can be specified by giving its slope and one of its points. Similarly, one can specify a plane in 3-space by giving its inclination and specifying one of its points. A convenient method for describing the inclination of a plane is to specify a nonzero vector, called a normal, that is perpendicular to the plane.

Dalam geometri analitis bidang, sebuah garis dalam R

²

dapat diperoleh dengan menentukan kelandaian dan

salah satu titik (posisinya). Demikian pula, sebuah bidang

dalam R

³

dapat diperoleh dengan menentukan inklinasi

dan salah satu titik posisinya. Sebuah metode yang dapat

digunakan untuk menguraikan inklinasi adalah dengan

menentukan suatu vektor tak nol (disebut suatu normal)

yang tegak lurus dengan bidang tersebut.

Garis dan Bidang dalam Ruang Dimensi 3

(2)

 Jika diinginkan suatu persamaan bidang yang melalui titik P x y z1



0, 0, 0



dan memiliki sebuah vektor tak nol

^{n  }  ^{a b c , ,} 

sebagai normal. Maka dari gambar berikut ini

dapat ditunjukkan dengan jelas, bahwa pada bidang tersebut terdapat titik-titik



^{, ,}



P x y z di mana vektor P P₀

 ortogonal terhadap n

, yaitu

0

0

n P P    

Garis dan Bidang dalam Ruang Dimensi 3

(3)

Seperti diketahui dengan jelas, bahwa pada bidang di atas terdapat titik- titik ^{P x y z}



^{, ,}



di mana vektor P P₀



ortogonal terhadap

n

, yaitu

0 0

n P P 

Maka, dengan menggunakan P P0 



x  x0 , y  y0 , z  z0



, persamaan di atas dapat ditulis sebagai:

 x x

0

  y y

0

  z z

0

 0

a   b   c  

Disebut juga sebagai bentuk normal titik dari persamaan sebuah bidang.

Contoh Garis/Bidang dalam R ³