Kumpulan Soal Vektor (Matematika)
mathcyber1997.com
I. Bagian Pilihan Ganda
1. Diketahui vektor~a=bi+ 2bj−3bk,~b= 3bi+ 5bk,~c=−2bi−4bj+bk, dan~u= 2~a+~b−~c.
Vektor ~u adalah· · · · A. 5bi+ 6bj+bk B. 3bi−2bj−2bk
C. 2bi−2bj D. 7bi+ 8bj−2bk
E. 7bi−8bj−2bk
2. DiketahuiA(1,2,3), B(3,3,1), danC(7,5,−3), JikaA, B, danCsegaris (kolinear), maka AB~ :BC~ adalah · · · ·
A. 1 : 2 B. 2 : 1
C. 2 : 5 D. 5 : 7
E. 7 : 5
3. Diketahui bahwa ~a =
1 2
−3
,~b =
4 4 m
, dan ~c =
3
−4 5
. Jika ~a ⊥~b, maka hasil dari~a+ 2~b−~c=· · · ·
A.
6 14
0
B.
6 14
6
C.
6 14 10
D.
6 14 12
E.
6 14 14
4. Diketahui vektor~a=bi+ 2bj−xbk,~b= 3bi−2bj+bk, dan~c= 2bi+bj+ 2bk. Jika~a⊥~c, maka nilai dari (~a+~b)•(~a−~c) adalah · · · ·
A. −4 B. −2
C. 0 D. 2
E. 4
5. Diketahui vektor ~u = 3bi+ 2bj −bk dan ~v = 3bi+ 9bj −12bk. Jika vektor 2~u−a~v tegak lurus terhadap~v, maka nilai a=· · · ·
A. −1 B. −1 3
C. 1 D. 1 3
E. 3
6. Diketahui vektor ~u = (2,−1,3) dan ~v = (−3,2,6). Panjang proyeksi vektor skalar 3~u+ 2~v pada vektor ~v adalah · · · ·
A. 133 4 B. 155 7
C. 182 7 D. 215 7
E. 223 4
7. Diketahui vektor ~u=bi+ 2bj−bk dan~v =bi+bj+mbk. Panjang proyeksi~upada ~v adalah 2
3
√3. Bila m >0, maka nilai m+ 2 =· · · ·
A. 2 B. 3
C. 5 D. 9
E. 15
8. Misalkan A(t2+ 1, t) danB(1,2) sehingga panjang vektor proyeksiOA~ terhadap OB~ lebih dari 4
√5. Nilai t yang mungkin adalah· · · · A. −3< t <1
B. t <−1 ataut >3
C. t <−3 atau t >1 D. −1< t <3
E. 1< t <3
9. Vektor ~z adalah proyeksi vektor ~x = (−√
3,3,1) pada vektor ~y = (√
3,2,3).
Panjang vektor~z adalah · · · ·
A. 1 2 B. 1
C. 3 2 D. 2
E. 5 2
10. Diketahui ~p=bi−bj + 2bk dan ~q = 2bi−2bj+nbk. Jika panjang proyeksi vektor ~p pada ~q adalah 2, maka n=· · · ·
A. 1 B. 3
C. 4 D. 6
E. 8
11. Jika ~u dan ~v adalah dua vektor satuan yang membentuk sudut 45◦, maka (~u+
~v)•~v =· · · ·
A. 2 +√ 2 2 B. 2−√
2 2
C. 1 2
√2 D. √
2
E. 2√ 2
12. Diketahui~a,~b, dan~cadalah vektor satuan yang membentuk sudut 60◦ satu sama lain. Nilai (~a+~b)•(~b−~c) =· · · ·
A. 1 8 B. 1 4
C. 1 2 D. 1
E. 2
13. Diketahui titikA(1,0,−2), B(2,1,−1), danC(2,0,−3). Sudut antara vektorAB~ denganAC~ adalah · · · ·
A. 30◦ B. 45◦
C. 60◦ D. 90◦
E. 120◦
14. Diketahui vektor~a= (2,−3,1) dan~b= (1,−2,3). Nilai sinus sudut antar vektor
~a dan~badalah · · · · A. 5
7 B. 11
14
C. 5 14
√3
D. 5 11
√3
E. 2 7
√6
15. Diketahui vektor~a=bi+bj dan~b=−bi+bk. Nilai sinus sudut antara kedua vektor tersebut adalah · · · ·
A. −1 2 B. 0
C. 1 2 D. 1 2
√2
E. 1 2
√3
16. Panjang vektor~a,~b, dan (~a−~b) berturut-turut adalah 3,4, dan√
37. Besar sudut antara vektor~a dan vektor~badalah· · · ·
A. 30◦ B. 45◦
C. 60◦ D. 120◦
E. 150◦
17. Diketahui titikA(5,1,3), B(2,−1,−1), danC(4,2,−4). Besar sudutABC =· · · · A. π
B. π 2
C. π 3 D. π 6
E. 0
18. Diketahui|~a|= 2√
3 dan|~b|= 4. Jika vektor~a tegak lurus dengan (~a+~b), maka sudut antara vektor~a dengan vektor~badalah · · · ·
A. 150◦ B. 120◦
C. 90◦ D. 60◦
E. 30◦
19. Diketahui limasT.ABCmempunyai koordinatT(1,0,3), A(0,0,0), B(5,0,0), dan C(1,4,0). Jika θ merupakan sudut antara T B~ dan T C~ , maka nilai cosθ adalah
· · · ·
A. − 9 25 B. −3
5
C. 3 25 D. 3
5
E. 9 25
20. Jika sudut antara vektor~a=bi+bj−rbk dan~b=rbi−rbj−2bk adalah 60◦. Nilai r positif yang memenuhi adalah · · · ·
A. √ 2 B. 1
C. 0 D. −1
E. −√ 2
21. Diketahui vektor ~u = (0,2,2) dan ~v = (−2,0,2). Proyeksi vektor ortogonal ~u pada~v adalah· · · ·
A. −bi+bk B. −bi+1 2bk
C. −bi−bk D. −2i+bk
E. 2bi−bk
22. Proyeksi ortogonal vektor~a= 4bi+bj+ 3bk pada~b= 2bi+bj+ 3bk adalah· · · ·
A. 13
14(2bi+bj+ 3bk) B. 15
14(2bi+bj+ 3bk)
C. 8
7(2bi+bj+ 3bk) D. 9
7(2bi+bj+ 3bk)
E. 4bi+ 2bj+ 6bk
23. Diketahui vektor~a =bi−5bj + 2bk dan~b = 8bi+mbk. Panjang proyeksi vektor~b pada~a adalah 1
5|~a|. Vektor proyeksi ortogonal~b pada~a adalah· · · · A. −8
5bi−5bj+6 5bk B. bi+ 2bj+ 5bk
C. bi+ 5bj + 2bk D. 1
5bi−bj +2 5bk
E. 1
5 bi+bj + 2bk
24. Diketahui bahwa|~a|=√
3,|~b|= 1, dan|~a−~b|= 1. Panjang vektor (~a+~b) adalah
· · · · A. √
3 B. √
5
C. √ 7 D. 2√ 2
E. 3
25. Misalkan panjang vektor~aadalah 1 dan panjang vektor~badalah 4 serta~a•~b= 3.
Panjang vektor 2~a−~b adalah· · · · A. √
2 B. 2√ 2
C. 3 D. √
3
E. 2√ 3
26. Diketahui vektor ~a = (2,−2√
2,4),~b = (−1, p, q), dan ~c = (3,√
2,−1). Jika vektor~a berlawanan arah dengan vektor~b, nilai (~a−~b)•(~b−~c) = · · · ·
A. −18 B. −12
C. −6 D. 6
E. 18
27. Jika~a+~b=bi−bj+ 4bk dan |~a−~b|=√
14, maka~a•~b=· · · · A. 0
B. 1 4
C. 1 2 D. 1
E. 2
28. Diketahui vektor~k = (9,0,−6),~l= (2,4,−1), m~ = (2,1,2), dan~n= (1,−3,−2).
Jika~k=a~l+b ~m+c~n, maka 2a+ 5b−7c=· · · · A. −12
B. −5
C. 0 D. 1
E. 12
29. Jika (~u+~v) tegak lurus dengan (~u−~v), maka pernyataan berikut ini yang paling tepat adalah· · · ·
A. |~u+~v|=|~u−~v|
B. |~u|=|~v|
C. ~u=~v
D. arah~u = arah~v
E. ~u tegak lurus dengan~v
30. Diketahui titik A(2,1,−4), B(2,−4,6), dan C(−2,5,4). Titik P membagi AB sehingga AP :P B = 3 : 2. Vektor yang diawali oleh P C~ adalah· · · ·
A. (−4,3,−6) B. (−4,−7,2)
C. (−4,3,6) D. (4,−7,−2)
E. (−4,7,2)
31. ABCD adalah segiempat sembarang. TitikS dan T masing-masing titik tengah AC dan BD. Jika ST~ =u, maka AB~ +AD~ +CB~ +CD~ =· · · ·
A. ~u B. 2~u
C. 3~u D. 4~u
E. 8~u
32. Diketahui tiga buah vektor, yakni ~u = 3bi−bj + 2bk, ~v =bi+nbj −2bk, dan w~ = bi+mbj−pbk saling tegak lurus. Nilai m+n+p=· · · ·
A. 1 2 B. 1
C. 11 2 D. 2
E. 21 2
33. Jika~a+~b+~c= 0, |a|= 3, |b|= 5, dan |c|= 7, maka besar sudut antara~a dan~b sama dengan· · · ·
A. π 6 B. π 4
C. π 3 D. π 2
E. 2π 3
34. Diberikan vektor~u= (a, b, c) dan~v = (b, a,3). Jika ~u·~v =|~u|2 dan |~u−~v|2 = 5, maka nilaic3+ 2c+ 2 yang mungkin adalah · · · ·
A. −2 B. −1
C. 2 D. 5
E. 14
35. Diketahui vektor-vektor ~u = bbi+abj + 9bk dan ~v = abi−bbj +abk. Sudut antara vektor ~u dan~v adalah θ dengan cosθ = 6
11. Proyeksi ortogonal ~u pada~v adalah
~
p= 4bi−2bj+ 4bk. Nilai dari b =· · · · A. √
2 B. 2
C. 2√ 2 D. 4
E. 4√ 2
II. Bagian Uraian
1. DiketahuiABC.DEF adalah segienam beraturan dengan pusat O. Jika vektor AB~ =~u dan AF~ =~v, tentukan vektor-vektor di bawah ini dalam ~u dan~v.
a. OA~ b. AE~ c. AD~
2. Pada persegi panjangOP QR, diketahuiM titik tengahQR dan N titik tengah P R. Jika~u=OP~ dan~v =OQ, nyatakan~ M N~ dalam ~u dan~v.
3. Diberikan vektor~a= 2bi−bj+ 2bk and~b= 4bi−xbj−8bk. Jika vektor (~a+~b) tegak lurus dengan~a, tentukan vektor satuan yang memiliki arah yang sama dengan
~b.
4. Jika |~a|= 10,|~b|= 6, dan ∠(~a,~b) = 60◦, maka tentukan:
a. |~a+~b|;
b. |~a−~b|;
c. |2~a−~b|.
5. Jika |~a|= 1,|~b|= 9, dan~a•~b= 5, tentukan:
a. besar (~a−~b);
b. besar (2~a−3~b).
6. Diberikan segitiga sama sisi dengan panjang sisi 4 satuan seperti gambar.
Tentukan hasil dari~a•(~a+~b+~c).
7. Diketahui koordinatA(0,4,6), B(−2,0,4), danC(2,2,2). Titik P terletak pada AB sedemikian sehingga AP :P B = 1 : 3. Tentukan:
a. Koordinat P;
b. Proyeksi vektor AP~ pada AC;~ c. Proyeksi skalarAP~ pada AC.~
8. Diketahui balok OABC.DEF G dengan |OA|~ = 4,|OC|~ = 3, dan |OD|~ = 6.
Tentukan proyeksi skalar OF~ pada OB.~
9. Diketahui segiempatABCDdengan titik P pada AC sehinggaAP~ = 1 3
AC~ dan titikQ pada BD sehingga BQ~ = 1
3
BD. Buktikan bahwa 3~ P Q~ = 2AB~ +AD~ − AC.~
