Soal 1. Diketahui vektor-vektor~a = 2ˆi−6ˆj−3ˆk dan~b=xˆi+ 2ˆj−4ˆk. Panjang proyeksi vektor
~a pada~b adalah 43. Tentukan nilai x.
Jawab. Diperhatikan, panjang proyeksi vektor~a pada~b dapat dicari dengan rumus
~a·~b
|~b| .
Lebih lanjut,
~a·~b= 2x−12 + 12 = 2x dan |~b|=p
x2+ 22+ (−4)2 =√
x2+ 20.
Diperoleh, panjang proyeksi vektor~a pada~b adalah
~a·~b
|~b| = 2x
√x2+ 20
Karena panjang proyeksi vektor~a pada~badalah 43, maka
√ 2x
x2+ 20 = 4
3. . . kuadratkan kedua ruas 4x2
x2+ 20 = 16
9 . . . kali silang 36x2 = 16x2+ 320
36x2−16x2 = 320 20x2 = 320 x2 = 320 20
x = ±
r320 20
x = ±√
16
x = ±4
Jadi, x= 4 atau x=−4.
Soal 2. Panjang vektor~a= 2ˆi−1ˆj+pkˆ dan~b=pˆi+ ˆj−1ˆk. Panjang proyeksi vektor~a pada
~b adalah 23√
3. Tentukan nilai p.
Jawab. Diperhatikan,
~a·~b= 2p−1−p=p−1 dan |~b|=p
p2+ 12+ (−1)2 =p
p2+ 2.
Diperoleh, panjang proyeksi vektor~a pada~b adalah
~a·~b
|~b| = p−1 pp2 + 2
1
Karena panjang proyeksi vektor~a pada~badalah 23√
3, maka p−1
pp2+ 2 = 2 3
√
3. . . kuadratkan kedua ruas (p−1)2
p2+ 2 = 12
9 . . . kali silang 9(p−1)2 = 12p2+ 24
9(p2−2p+ 1) = 12p2+ 24 9p2−18p+ 9 = 12p2+ 24 12p2−9p2+ 18p+ 15 = 0
3p2+ 18p+ 15 = 0 p2+ 6p+ 5 = 0 (p+ 1)(p+ 5) = 0 Jadi, p=−1 ataup=−5.
Soal 3. Diketahui vektor-vektor ~p = −3ˆi+ 2ˆj + ˆk dan ~q = 2ˆi+xˆk. Panjang proyeksi skalar orthogonal vektor~a pada arah ~p pada arah ~q adalah √
5. Tentukan nilai x.
Jawab. Diperhatikan,
~
p·~q=x−6 dan|~q|=p
22+ 02+ (x)2 =√
x2+ 4.
Diperoleh, panjang proyeksi vektorp~pada ~q adalah
~ p·~q
|~q| = x−6
√x2+ 4 Karena panjang proyeksi vektor ~p pada ~q adalah √
5, maka x−6
√x2+ 4 = √
5. . . kuadratkan kedua ruas (x−6)2
x2+ 4 = 5. . . kali silang x2−12x+ 36 = 5x2+ 20
4x2+ 12x−16 = 0 x2+ 3x−4 = 0 (x+ 4)(x−1) = 0 Jadi, x=−4 ataux= 1.
2
