Proyeksi Dua buah Vektor
Konsep Vektor Satuan Proyeksi Skalar Dua Buah Vektor
Proyeksi Skalar Dua Buah Vektor UNIT KEGIATAN BELAJAR
UKB 3.2 - 4.2
1.
Identitas
a. Nama Mata Pelajaran : Matematika X (Peminatan)
b. Semester
: Genap
c. Kompetensi Dasar
:
d. Indikator Pencapaian Kompetensi :
e. MateriPokok
: Proyeksi dua buah vektor.
f. Alokasi Waktu
: 9JP ( 3 x pertemuan )
g. Tujuan Pembelajaran
:
h. Materi Pembelajaran
o
Lihat dan baca pada Buku Teks Pelajaran (BTP):
Kanginan, Nurdiansyah, dkk. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Bandung: Yrama Widya
.
2.
PetaKonsep
3.2 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga
4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga
3.2.9 Menjelaskan sendiri rumus proyeksi skalar dua buah vektor.
3.2.10 Menjelaskan sendiri rumus proyeksi orthogonal dua buah vektor.
3.2.11 Menentukan hasil proyeksi skalar dua buah vektor. 3.2.12 Menentukan hasil proyeksi orthogonal dua buah vektor. 4.3.1 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan
proyeksi vektor
Melalui diskusi, tanya jawab, penugasan, presentasi dan analisis, peserta didik dapat menemukan rumus proyeksi skalar, proyeksi orthogonal dan dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan proyeksi vektor, sehingga peserta didik dapat menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya, mengembangkan sikap jujur, peduli, dan bertanggungjawab, serta dapat mengembangankan kemampuan berpikir kritis,
3.
Kegiatan Pembelajaran
a.
Pendahuluan
Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian membaca
dan memahami cerita di bawah ini.
Untuk dapat menyelesaikan persoalan tersebut, silahkan
kalian lanjutkan ke kegiatan belajar berikut dan ikuti
petunjuk yang ada dalam UKB ini.
b.
Kegiatan Inti
1)
Petunjuk Umum UKB
a)
Baca dan pahami materi pada Buku Teks Pelajaran
(BTP):
Kanginan, Nurdiansyah, dkk. 2016.Matematika untuk SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Bandung: Yrama Widya, Hal. 239 s.d 251
b) Setelah memahami isi materi dalam bacaan
berlatihlah untuk berfikir tinggi melalui
tugas-tugas yang terdapat pada UKB ini baik bekerja sendiri
maupun bersama teman sebangku atau teman
lainnya.
c)
Kerjakan UKB ini dibuku kerja atau langsung
mengisikan pada bagian yang telah disediakan.
d) Kalian dapat belajar bertahap dan berlanjut
melalui kegiatan ayo berlatih, apabila kalian yakin
sudah paham dan mampu menyelesaikan
permasalahan-permasalahan dalam kegiatan belajar
1, 2, dan 3 kalian boleh sendiri atau mengajak teman
lain yang sudah siap untuk mengikuti tes formatif
agar kalian dapat belajar ke UKB berikutnya.
2)
Kegiatan Belajar
“Pak. Yunus, bersama anak didiknya mengadakan kegiatan karyawisata ke Jatim Park 2, Batu .Di dalam ruangan geografi, Pak. Yunus menunjukkan sebuah kristal kalium karbonat yang memiliki bentuk sebuah segidelapan (Oktagon) seperti ditunjukkan dalam gambar
Jika titik-titik sudutnya sumbu koordinat yang sesuai A(1,-5,2), B(6, -3,4), C(7,1,0), D(2,-1,-2), E(-4,9,10) dan F(12,-13,-8). Analisa dan temukan jawaban, hipotesa bahwa pernyataan diagonal ruang AC dan EF dari kristal ini
Definisi
Ayo…… ikuti kegiatan belajar berikut dengan penuh
kesabaran dan konsentrasi
!!!
Kegiatan Belajar 1
Pada kegiatan 1 ini, kalian diharapkan dapat menemukan sendiri rumus vektor satuan. Kerjakan dan lengkapi titi-titik pada kolom penyelesaian dengan benar, sehingga kalian diharapkan menuliskan dikolom kesimpulan. Harus Semangat!
Bacalah uraian singkat materi dan contoh berikut dengan penuh konsentrasi!
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan.
Vektor satuan dalam arah a ditulis
e
a, Demikian juga vektor
satuan dalam arah b ditulis
ebNO
Permasalahan
Penyelesaian
1.
Berapa panjang vektor AB... ...
Berapa panjang vektor CD. ... ...
Nyatakan vektor CD dalam AB
... ...
2. Berapa panjang vektor AB
... ...
Berapa panjang vektor CD. ... ...
Nyatakan vektor CD dalam vektor AB
... ...
3. Berapa panjang vektor AB
... ...
Berapa panjang vektor CD. ... ...
Nyatakan vektor CD dalam vektor AB
... ...
Ayo .... Berfikir kritis!!
Vektor
⃗
CD
di atas adalah vektor satuan dari vektor⃗
AB
.... ...
Sebutkan perbedaan vektor
⃗
CD
pada permalahan no1, no. Dan no.3! ... ...Analisislah permasalahan no. 1, no 2 dan no.3 pada bagian “Nyatakan vektor CD dalam vektor AB” kemudian tulislah rumus untuk vektor satuan di bawah ini.
Contoh
. Tentukan vektor satuan dari vektor a.
Penyelesaian
Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan contoh di
atas, maka:
Soal terbuka ( No. 1 dan 2 )
1.
Buatlah dua buah vektor sebarang yang unsur vektornya
berbeda dengan unsur vektor temanmu.
2.
Dari dua buah vektor yang kalian buat di atas, tentukan
masing-masing vektor satuannya.
3.
Perhatikan gambar berikut!
Vektor-vektor satuan
i ,
^
^
j,
dank
^
termasuk vektor satuan karena besar vektor-vektor ini sama dengan satu.
Jadi,
|
i
^
|
=
|
^
j
|
=
|
k
^
|
=
1
Diberikan vektora = xi +yj+zk, panjang vektor a =
|
a
|
, jikae
a adalah vektor satuan dari vektor a tuliskan vektore
adalam vektor aGlosarium
Proyeksi vektor a pada b adalah panjang vektor hasil proyeksi vektor a pada vektor b
Definisi
Berapa panjang vektor
⃗
AE
?Vektor mana yang merupakan vektor satuan dari vektor
⃗
AE
? Lengkapi titik-titik di bawah ini!a.
⃗
AC
=
… … .
⃗
AE
b.
⃗
AD
=
… … .
⃗
AE
c.
⃗
AE
=
… … .
⃗
AD
Berpikirah lebih tinggi!!
4. Diberikan tiga buah vektor, a = 3i – 2j +5k, b = i – 7j + ak, c = 10i+6j-2k. Dari ketiga vektor di atas, vektor satuan mana yang paling besar(panjang), dan mengapa vektor satuan tersebut yang terpanjang?
Jelaskan jawabanmu dan tuliskan pada buku kerja kalian!
Apabila kalian telah mampu menyelesaikan soal di atas, maka
kalian bisa melanjutkan pada kegiatan belajar 2 berikut.
KegiatanBelajar 2
Pada kegiatan belajar 2 ini, kalian diharapkan dapat menemukan sendiri rumus proyeksi skalar dua buah vektor dan sekaligus dapat menentukan hasil proyeksi skalar dua buah vektor.
Bacalah uraian singkat materi dan contoh berikut dengan penuh
konsentrasi
!
Orthogonal = tegak lurus
Skalar = bilangan yang memiliki nilai tetapi tidak memiliki
arah.
Proyeksi vektor = bayangan vektor
,
Pada Kegiatan ini, kalian diharapkan dapat menemukan sendiri rumus
proyeksi skalar vektor a pada byaitu
|
c
|
=
a .b
|
b
|
, serta dapat menerapkandalam kontekstual sehari-hari terkait proyeksi vektor.
Vektor
⃗
OB
=⃗
b
,⃗
OA
=⃗
a
dan⃗
OC
=⃗
c
.proyeksi vektor
⃗
OA
=⃗
a
pada⃗
OB
=⃗
b
adalah vektor⃗
OC
= ⃗
c
. Selanjutnya Perhatikan segitiga OAC ,Cos
x
o=
… … … …
… … … …
|
c
|
=… … … … …
..
… … … …
..
... ( 1 )Perhatikan vektor a dan b,
⃗
a
.
b
⃗
= ... ( 2 )
= ...
Substitusikan (1) ke (2)
|
c
|
= ...
Diskusikan dengan teman, mintalah penjelasan tambahan apabila engkau masih menemukan kesulitan dalam melengkapi titik-titik di bawah ini. Permasalahan di bawah ini adalah berbagai kasus pada proyeksi skalar dua buah vektor.
No .
Permasalahan Penyelesaian
1.
Tuliskan hasil proyeksi a pada b ? ... ...
... ...
Bagaimana panjang vektor hasil proyeksi dengan panjang vektor
b.
... ...
2.
Tuliskan hasil proyeksi a pada b ? ... ...
... ...
Bagaimana panjang vektor hasil proyeksi dengan panjang vektor
b.
... ...
... ...
3.
Tuliskan hasil proyeksi a pada b ? ... ...
... ...
Bagaimana panjang vektor hasil proyeksi dengan panjang vektor
b.
... ...
... ...
1. Tentukan proyeksi skalar vektor a= 3i+4j+6k pada b = i -3j +2k!
Penyelesaian:
|
c
|
==
|
a
.
b
|
b
|
|
|
c
|=
(
3
)(
1
)+(
4
)(−
3
)+(
6
)(
2
)
√
(
1
)
2+(−
3
)
2+(
2
)
2=
3
√
14
=
3
14
√
14
2. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A( -2,1,3), B(3, -1, 4) dan
B(-4, 2, -1).Conto
h
Apa yang bisa kalian simpulkan dari ketiga hasil jawaban permasalahan di atas.
Tentukan Proyeksi skalar vektor
⃗
AB
pada⃗
AC
!Setelah memahami contoh di atas, maka selesaikanlah soal-soal berikut di buku kerja kalian!
1. Diketahui a= -2i +3j + k, b = i - 2j +3k dan c = 3i+ 2j - 4k
Tentukan proyeksi skalar vektor ( a + b) pada ( b – c ).
2. Diberikan dua vektor a = 2i - 3j +6k, dan b = -2i + 2j – k
Misalkan
β
=
Proyeksi skalar a pada b
Proyeksi skalar b pada a
. Tentukan nilaiβ
!3. Ditentukan koordinat titik-titik A(-2,6,5); B(2,6,9) dan C(5,5,7); AP : PB = 3: 1. Tentukan :
a. Vektor PC
b. Panjang proyeksi vektor PC pada AB.
Apabila kalian sudah mampu menyelesaikan soal ini, maka kalian bisa melanjutkan pada kegiatan belajar 3 berikut.
KegiatanBelajar 3
Ayo… sekarang perhatikan lagi rumus proyeksi skalar vektor a dan
b ,dengan baik, selanjutnya kita akan berusaha menemukan rumus proyeksi orthogonal vektor a pada b, misalkan c = vektor hasil
proyeksi vektor a pada b. Kita akan membuktikan bahwa
c
=
(
a
.
b
|
b
|
2)
.
b
!Perhatikan gambar berikut:
Panjang vektor AB = 2, panjang vektor AC= 5. Jika panjang vektor AB dinyatakan dengan panjang vektor AC.
Vektor
⃗
OB
=… … …
… …… .
.⃗
OC
Mengingatkan pada kegiatan Belajar 2,
Perlu kalian ketahui bahwa vektor
⃗
OC
=⃗
c
adalah vektor hasil proyeksi vektor a pada vektor b. Vektor c itu biasanya disebut sebagai proyeksi orthogonal vektor a pada b.Kita sudah menemukan rumus proyeksi skalar vektor a pada b ,
|
c
|=
a
.
b
|
b
|
...... ( 1 )
Pada gambar di atas terlihat
⃗OC=
|
c|
|
b|
.⃗OB atau c⃗=|
c|
|
b|
.⃗b ...( 2 )Ayo Kamu Pasti Bisa !
Substitusikan persamaan ( 1) ke persaman ( 2)
⃗
c
=
|
c
|
|
b
|
.
⃗
b
⃗
c
=
… …… … ……
..
… … … …
.
⃗
… …
⃗
c
=
… ………
..
………
.
⃗
….
⃗
c
=
… …… … ……
..
… …… … …… .
.
⃗
… …
Tuliskan hasil akhir sebagai rumus proyeksi orthogonal vektor a pada
b di dalam kotak di bawah ini.
Ayo berpikir kritis!!
Ayo berkolaborasi dengan teman!!
Tuliskan proyeksi orthogonal vektor a pada b ?
... ...
... ...
Bagaimana arah vektor hasil proyeksi atau vekor c dengan arah vektor b.
... ...
Tuliskan proyeksi orthogonal vektor a pada b ?
... ...
... ...
Bagaimana arah vektor hasil proyeksi atau vekor c dengan arah vektor b.
... ...
Tuliskan proyeksi orthogonal vektor a pada b ?
... ...
... ...
Bagaimana arah vektor hasil proyeksi atau vekor c dengan arah vektor b.
... ...
Alternatifpenyelesaiandaripermasalahan di atassebagaiberikut.
Ayo berpikir kritis!!
Apa yang bisa kalian simpulkan dari ketiga gambar di atas.
... ...
...
Apa perbedaan antara proyeksi skalar dengan proyeksi orthogonal vektor a pada vektor b.
... ...
CO
NT
OH
Mari bereskplorasi !
Kerjakan dengan soal berikut dengan semangat kebersamaan!
1. Tentukan proyeksi orthogonal vektor a = 2i+4j- 3k pada b = i +2j +5k!
2. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(3,-1,2), B(-2, -1, 3) dan B(-5,- 2, 1). Tentukan Proyeksi orthogonal vektor
⃗
AB
pada⃗
AC
! skalar vektor a pada b adalah 5. Hitunglah nilai x !⃗
a
⋅⃗
b
=(−
3
)(
3
)+(−
1
)(−
2
)+
x
(
6
)
=−
9
+
2
+
6
x
=−
7
+
6
x
|
b
|=
√
3
2+(−
2
)
2+
6
2=
√
49
=
7
Proyeksi skalar orthogonal vektor a pada b adalah 5, ini berarti;
a
.
b
|
b
|
=
5
⇔
−
7
+
6
x
7
=
5
⇔−
7
+
6
x
=
35
⇔
6
x
=
42
⇔
x
=
7
Jadi nilai x = 7
Dari contoh penyelesaian di atas, apakah ada hal yang belum kalian
pahami?J ika kalian sudah paham kerjakanlah soal pada bagian
Ayoo berlatih
berikut!
Ayoo berlatih!!
Ayo Berpikir lebih kritik lagi !Soal mulai HOTS
1. Diketahui A(1,1), B(5,4), C(11,-1), D(8,3) dan E(-1,5)
Tentukan;
a. Proyeksi orthogonal vektor AB pada vektor AC.
b. Proyeksi orthogonal vektor AD pada vektor AC.
c. Proyeksi orthogonal vektor AE pada vektor AC.
Analisislah jawaban-jawaban dari 3a., 3b, dan 3c. Hasil proyeksi
orthogonal mana yang berlawanan arah dengan arah vektor AC.
...
...
...
...
PQRS adalah belah ketupat dengan panjang sisi 4 satuan. Titik K,
L, M dan N berturut-turut titik tengah PQ, QR, RS, dan SP. Jika
vektor SN mewakili u dan vektor SM mewakili v. Buktikan bahwa
⃗
SK
.
⃗
SL
=
5
v
+
16
u
Ayo...Browsing !! Ayo Bereksplorasi!!
Untuk lebih memahami aplikasi vektor satuan, kalian bisa melihat atau browsing di laman di bawah ini.
http://ipa3sanmar.blogspot.co.id/2013/09/aplikasi-vektor-satuan-dalam-kehidupan.html
Kerjakan bersama teman kalian di buku kerja masing-masing!
Periksakan seluruh pekerjaan kalian kepada Guru agar dapat
diketahui penguasaan materi sebelum kalian diperbolehkan belajar
ke UKB berikutnya.
a.
Penutup
Bagaimana kalian sekarang?
Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan
belajar 1, 2, dan 3, berikut diberikan Tabel untuk mengukur diri
kalian terhadap materi yang sudah kalian pelajari. Jawablah
sejujurnya terkait dengan penguasaan materi pada UKB ini di
Tabel berikut.
TabelRefleksiDiriPemahamanMateri
No
Pertanyaan
Ya
Tida
k
1.
Apakah kalian telah memahami
pengertian vektor satuan?
2.
Dapatkah kalian menjelaskan proyeksi
skalar dua buah vektor?
3.
Dapatkah kalian menjelaskan proyeksi
orthogonal dua buah vektor??
4.
Dapatkah kalian menyelesaikan masalah
kontekstual yang berkaitan dengan
proyeksi vektor.
lagi!. Dan apabila kalian menjawab “YA” pada semua
pertanyaan, makalanjutkan berikut.
Dimana posisi mu?
Ukurlah diri kalian dalam menguasai materi Proyeksi skalar
dan proyeksi vektor orthogonal dua buah vektor dalam
rentang 0 – 100, tuliskan ke dalam kotak yang tersedia.
Setelah kalian menuliskan penguasaanmu terhadap materi
Proyeksi skalar dan proyeksi vektor, lanjutkan kegaitan
berikut untuk mengevaluasi penguasaan kalian!.
Yuk Cek Penguasaanmu terhadap Materi
Proyeksi Vektor!
Agar dapat dipastikan bahwa kalian telah menguasi materi
Proyeksi Skalar dan Proyeksi vektor, maka kerjakan soal
berikut secara mandiri di buku kerja kalian masing-masing.
1) Buktikanlah bahwa
i
+
j
√
2
dan
(
cos
α
)
i
−(
sin
α
)
j
adalah
vektor vektor satuan.
2) Diberikan tiga titik O, P dan Q sedemikian sehingga
⃗
OP
=
(
2
3
)
dan
⃗
OQ
=
(
q
2
q
)
. Jika
⃗
PQ
adalah suatu vektor
satuan. Carilah nilai q yang memungkinkan.
3) Diketahui kubus ABCD. EFGH. Misalkan vektor-vektor
⃗AB=⃗i=
(
1,0,0)
,⃗AD= ⃗j=(
0,1,0)
,⃗AE=⃗k=(
1,0,0)
,Titik P adalah titik
pusat sisi BCGF. Tentukan proyeksi vektor FP pada vektor
AC.
Pada gambar di samping adalah kubus ABCDEFGH dengan panjang rusuk 2 satuan, M titik tengah HG dan N titik tengah CD, tentukan a. panjang proyeksi vektor
⃗
AM
pada⃗
AN
?b. panjang proyeksi vektor ⃗DM pada
⃗
DC
? c. proyeksi vektor⃗
AG
pada⃗
AC
?d.proyeksi vektor ⃗EM pada
