VECTOR DI BIDANG R 2 DAN RUANG R 3. Nurdinintya Athari (NDT)

VECTOR DI BIDANG R

2

DAN RUANG R

3

1

Nurdinintya Athari (NDT)

VEKTOR DI BIDANG (R

2

_{) DAN DI RUANG (R}

3

₎

Pokok Bahasan :

1. Notasi dan Operasi Vektor

2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal 3. Perkalian silang dan Aplikasinya

Beberapa Aplikasi :

• Proses Grafika Komputer

• Kuantisasi pada proses kompresi • Least Square pada Optimasi

Notasi dan Operasi

Vektor  besaran yang mempunyai arah

Notasi vektor _{1 2 3}



_{1 2 3}



3 2 1 , , ˆ ˆ ˆ _{c j c k c c c} i c c c c c               

Panjang vektor adalah

           3 2 1 c c c c

c



c

₁2



c

₂2



c

₃2

Vektor satuan  Vektor dengan panjang atau norm sama dengan satu

Operasi Vektor meliputi :

1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama) 2. Perkalian vektor

(a) dengan skalar

(b) dengan vektor lain

• Hasil kali titik (Dot Product)

Penjumlahan Vektor

u

v

_u

_

_v

u

v

u v

Misalkan dan adalah vektor-vektor yang

berada di ruang yang sama, maka vektor didefinisikan :

u

u

2

u

2



Perkalian vektor dengan skalar

u

 

_k

_u

u

u

u

Perkalian vektor dengan skalar k, didefinisikan

sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang vektor dengan arah

Jika k > 0  searah dengan



a₁, a₂,a₃



a  b 



b₁, b₂ ,b₃





_{1 1}

,

_{2 2}

,

_{3 3}



.

1

a



b



a



b

a



b

a



b



_{1 1}, _{2 2}, _{3 3}



. 2 a b  a b a b a b



₁, ₂, ₃



. 3 k a  ka ka ka

Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas dapat dijelaskan sebagai berikut :

adalah vektor-vektor di ruang yang sama dan

maka : Misalkan

Perkalian antara dua vektor

• Hasil kali titik (dot product)

• Hasil kali silang (cross product)

 Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama yang

menghasilkan skalar

Hasil kali titik (dot product)

 Hasil kali silang merupakan operasi antara dua

buah vektor pada ruang R3 _{yang menghasilkan}

vektor

Dot Product

Misalkan adalah vektor pada ruang yang sama

maka hasil kali titik antara dua vektor :

dimana

: panjang : panjang

 : sudut antara keduanya

 cos b a b a   , a

b

a b a

b

Contoh :

Tentukan hasil kali titik dari dua vektor dan Jawab :

karena tan  = 1 atau  = 450

= 4 i a  2ˆ b  2iˆ 2ˆj  cos b a b a  2 1 8 2 

Ingat Aturan Cosinus a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{– 2 bc cos}



a c b



a b a b a  b 2 ₂ 2 2 2 cos a b  a  b  a b   b  a



b 

Selanjutnya dapat ditulis Ingat bahwa :   cos b a     _{2 } 2 _{ } 2 2 1 a b b a  cos 1. ab  a b 2 2 2 2 1 2 ... . 2 a  a  a  a _n 2 2 2 2 1 2 ... . 3 b  b  b   b_n



 



2





2 2 2 2 1 1 2 ... . 4 b a  b  a  b  a   b_n  a_n n n n n n n

a

b

a

b

a

b

a

a

a

b

b

b

2

...

2

2

...

...

1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1

























n nb a b a b a b a   _{1 1}  _{2 2}  ...

Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :

Contoh:

Tentukan hasil kali titik dari vektor dan

= 2 (2) + 0 (2)

= 4

Beberapa sifat hasil kali titik : 1. 2. 3. 2 2 1 1b a b a b a    n n

b

a

b

a

b

a

b

a





_{1 1}



_{2 2}



...



a b b a  

 

b c

   

a b a c a      

 

a b ka b a kb k R k      , dimana  i a  2ˆ b  2iˆ 2ˆj

DOT PRODUCT

v u v u. cos   cos .v u v u 

Persamaan dapat dinyatakan sebagai :

Persamaan hasil kali titik (dot product) dapat

digunakan untuk menghitung sudut () diantara dua buah vektor

 sudut lancip jika dan hanya jika u.v > 0  sudut tumpul jika dan hanya jika u.v < 0  = /2 jika dan hanya jika u.v = 0

OPERASI VEKTOR







 



2 2 2 2 1 1 , B AB b a b a A d      

 



 

 



2 3 3 2 2 2 2 1 1 .B AB b a b a b a A d         2 2 2 1 || ||u  u u Misal u = (u₁,u₂), maka Misal u = (u₁,u₂,u₃), maka 2 3 2 2 2 1 || ||u  u u u

Misal A(a₁, a_2, a₃) dan B(b₁, b_2, b₃) adalah dua titik di R3_.

Maka, jarak antara titik A dan B adalah

Jarak antara dua buah titik (Vektor)

Misal A(a₁, a₂) dan B(b₁, b₂) adalah dua titik di R2_.

OPERASI VEKTOR

    2  2 2 . 2 1 3 1 4 1 14 d A B        Contoh 1 Misalkan u = (1,2,2), ||u||= ? 3 9 2 2 1 || || _ 2 _ 2 _ 2 _{ } u Jawab : Contoh 2

Hitunglah jarak antara titik A(1, 1, 1) dan B(2, 3, 4)

1 a w  proy u 1 2 1 1 2 , ( u pada ) a a u w w

karena w proj u w proyeksi a maka w u proj u      u

a

2 w   1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 ₂ ...( ) ...( ) ...( 0) , a a u w w u ka w w ka u a ka w a a u a k a w a u a k w a a Karena w proj u ka u a maka w proj u a a                        2 2 2 ...( ) ...( 0) cos ...( cos ) a a a a u a proj u a a u a proj u a ku k u a u a proj u a a proj u u  u a u a            

PROYEKSI ORTOGONAL

2 4 3 w       _{ }                 4 3 1 v Contoh

Carilah proyeksi ortogonal vektor

2 2 2 2 Proy 2 1 4 3 1 3 4 3 1 3 ( 4) 4 1 2 ( 12) ( 12) 3 26 4 1 1 26 3 3 26 4 4 v w v w v v         _  _     _{  }   _  _{ }      _{ }    _{ }           _{ }  _{ }  _          _{   }  _{  }  _  _        Jawab :

LATIHAN

1. Misalkan a = (k,k,1) dan b = (k,3,-4). Carilah nilai k a. Jika sudut antara a dan b runcing

b. Jika sudut antara a dan b tumpul c. Jika sudut antara a dan b ortogonal

2. Carilah proyeksi ortogonal vektor a relatif pada vektor b

. (6, 2 ), (3, 9 ) . (5, 6 ), (2, 1) . (1, 0, 0 ), (4, 3, 8) . (3, 2, 6 ), (1, 2, 7 ) a a b b a b c a b d a b            

CROSS PRODUCT

Definisi

Cross product (hasil kali silang) merupakan hasil kali antara dua vektor di ruang (R3_{) yang menghasilkan vektor yang tegak lurus}

terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.

Misalkan a =(a₁,a₂,a₃) dan b = (b₁,b₂,b₃) adalah vektor di R3_{, maka}

cross product a x b adalah vektor yang didefinisikan

1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , i j k a b a a a b b b a a a a a a i j k b b b b b b a a a a a a b b b b b b         _  _   

CROSS PRODUCT

 

(1) ( ) (2) ( ) ( ) ( ) (3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5) 0 0 0 (6) 0 (4) a b c a b a c a b c a c b c k a b k a b b a a a a a a b a kb                           

Sifat dari Cross Product

Jika a, b, and c adalah vektor di ruang R3 _{dan k skalar, maka}

Hubungan antara Cross Product dan Dot Product

( a x b ortogonal terhadap a) ( a x b ortogonal terhadap b) (Identitas Lagrange) 2 2 2 ₂ (1) ( ) 0 (2) ( ) 0 (3) ( ) a a b b a b a b a b a b          

CROSS PRODUCT

, sin Maka a x b  a  b







2 2 ₂ 2

a b





a

b



a b







2 2 2

cos

a

b

a

b

















2 2 2 2 ₂

cos

a

b

a

b

















2 2 ₂

1 cos

a

b









2 2 ₂

sin

a

b









Contoh : Carilah dimana Jawab :

v

u

w

















1 2 3 1 2 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 2 2 3 0 1 ˆ ˆ ˆ 2.1 0( 2) 3( 2) 1.1 1.0 3.2 ˆ ˆ ˆ 2 7 6 i j k i j k w u u u v v v i j k i j k              



1, 2, 2 ,



(3, 0, 1) u   v 

CROSS PRODUCT

Interpretasi Geometri Apakah ini? b a  ||a|| sin ||b|| Luas Jajargenjang/Parallelogram Luas Segitiga sin a b  a b  sin a b  a b    1 1 sin 2 a b  2 a b   

Contoh:

Misalkan koordinat titik A, B, dan C sbb : A = (1, –1, –2)

B = (4, 1, 0) C = (2, 3, 3)

Gunakan cross product untuk mencari luas segitiga ABC dan luas parallelogram ABCD!

Jawab : • A sebagai acuan

• Luas segitiga ABC

• Luas parallelogram           B – A 4 ,1, 0 – 1, – 1, – 2 (3, 2 , 2 ) – A 2, 3, 3 – 1, – 1, – 2 1, 4 , 5 A B A C C         A C B ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 2 2 2 13 10 1 4 5 i j k AB AC   i  j  k   1 1 4 169 100 273 2 2     4 169 100 273    

• B sebagai acuan



 

 





 

 



1, 1, 2 – 4,1,0 3, 2, 2 2,3,3 – 4,1,0 2, 2,3 BA a b BC c b                 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 2 2 2 13 10 2 2 3 i j k BA BC       i k  j    1 1 1 4 169 100 273 2 BA xBC 2 2       

Luas segitiga ABC

Luas parallelogram  4 169 100   273

B

C

LATIHAN

1. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh pasangan vektor berikut :

a. dan b. dan

2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor a terhadap vektor b dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:

a. dan b. dan 3. Diketahui Cari :        2 1 u _        8 6 v             7 3 1 u              2 2 8 v        1 2 a _       2 3 b             3 1 2 a            2 2 1 b

(3,4),

(5, 1),

(7,1)

u



v





w



. (7

)

. (

)

.

(

)

. (

)

a u

v

w

b

u v w

c u v w

d

u v w











4. Tentukan dua buah vektor satuan di bidang yang tegak lurus terhadap vektor

5. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor

dan

6. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut P (2,0,–3), Q (1,4,5), dan R (7,2,9) dan tentukan luas paralellogram!         2 3 u            1 3 7 u            4 0 2 v