MINGGU KE-5 B A. Vektor-vektor dengan ukuran dan arah yang sama disebut ekuivalen. Jika v dan w ekuivalen, maka dapat ditulis v = w.

MINGGU KE-5

Materi: 1. Pengantar vektor

2. Vektor pada ruang berdimensi dua & tiga 3. Hasil kali titik

4. Hasil kali silang

___________________________________________________________________________

PENGANTAR VEKTOR

Secara geometri, vektor dapat dinyatakan sebagai ruas garis terarah atau anak panah pada ruang berdimensi n. Arah anak panah menunjukkan arah vektor, sementara panjang anak panah menggambarkan besarannya. Ekor anak panah disebut titik awal, dan ujung anak panah disebut titik akhir. Secara simbolis, vektor dinyatakan dengan huruf kecil tebal (misalnya 𝒂, 𝒃, 𝒗, 𝒘) atau dengan huruf kecil yang disertai setengah anak panah pada bagian atasnya (misalnya 𝑎 , 𝑏 , 𝑣 , 𝑤 ).

Jika titik awal suatu vektor 𝒗 adalah A dan titik akhirnya adalah B, maka vektor 𝒗 dapat ditulis sebagai berikut:

𝒗 = 𝐴𝐵

Sebagai contoh,

Vektor-vektor dengan ukuran dan arah yang sama disebut ekuivalen. Jika 𝒗 dan 𝒘 ekuivalen, maka dapat ditulis 𝒗 = 𝒘.

Jika 𝒗 adalah vektor taknol sebarang, maka − 𝒗 adalah bentuk negatif dari 𝒗 yang didefinisikan sebagai vektor yang besarnya sama dengan 𝒗, tetapi memiliki arah yang berlawanan. Sebagai contoh,

Vektor nol merupakan satu-satunya vektor yang panjangnya nol. Selain itu, vektor ini juga merupakan satu-satunya vektor yang tidak memiliki arah yang tertentu. Vektor nol dinyatakan sebagai 𝟎. Penjumlahan sebarang vektor dengan vektor nol akan menghasilkan vektor sebarang itu sendiri. Atau, dengan kata lain:

𝟎 + 𝒗 = 𝒗 + 𝟎 = 𝟎

Selanjutnya, kita akan membahas vektor dari segi aljabar.

B B A A v v

VEKTOR PADA RUANG BERDIMENSI DUA &TIGA

Definisi Vektor

Vektor dimensi-dua adalah pasangan terurut bilangan real yang dinyatakan sebagai

𝒗 =



v v1, 2



dengan bilangan v₁ dan v₂ merupakan komponen-komponen dari 𝒗.

Vektor dimensi-tiga adalah pasangan terurut bilangan real yang dinyatakan sebagai

𝒗 =



v v v₁, ,_{2 3}



dengan bilangan v1, v2, dan v3 merupakan komponen-komponen dari 𝒗.

Representasi Vektor

Pada dimensi-dua, diberikan titik P( ,x y_{1 1}) dan Q( ,x y_{2 2}). Maka, vektor 𝒗 dengan representasi PQ



adalah:

𝒗 =



x₂x y₁, ₂y₁



Pada dimensi-tiga, diberikan titik P( ,x y z_{1 1}, )₁ dan Q( ,x y z_{2 2}, ₂). Maka, vektor 𝒗 dengan representasi PQ



adalah:

𝒗 =



x₂x y₁, ₂y z₁, ₂z₁



Vektor Nol

Vektor nol dimensi-dua : 0 =

 

0, 0 Vektor nol dimensi-tiga : 0 =



0, 0, 0



Norma Vektor (Panjang Vektor)

Norma suatu vektor dimensi-dua𝒗 =



v v₁, ₂



adalah: || 𝒗|| = v₁2v₂2 Norma suatu vektor dimensi-tiga𝒗 =



v v v₁, ,_{2 3}



adalah:

Contoh 1:

Jika diketahui titik A(7, 5) dan B(3, 2) , tentukanlah vektor 𝒗 yang merepresentasikan BA



dan hitunglah normanya! Jawab:

𝒗 =



7 3, 5 ( 2)   

 

 4, 3



|| 𝒗|| = (4)2 ( 3)2  16 9  255 Contoh 2:

Jika diketahui titik A(2, 1, 4) dan B(7,5, 8) , tentukanlah vektor 𝒗 yang merepresentasikan AB



dan hitunglah normanya! Jawab:

𝒗 =



7 2,5 ( 1), ( 8) 4    

 

 5, 6, 12



|| 𝒗|| = (5)2(6)2 ( 12)2  25 36 144   205

Penjumlahan Vektor

Pada dimensi-dua, jika 𝒗 =



v v1, 2



dan 𝒘 =



w w1, 2



, maka:

𝒗 + 𝒘 =



v₁w v₁, ₂w₂



Pada dimensi-tiga, jika 𝒗 =



v v v₁, ,_{2 3}



dan 𝒘 =



w w w₁, ₂, ₃



, maka:

𝒗 + 𝒘 =



v1w v1, 2w v2, 3w3



Perkalian Vektor dengan Skalar

Pada dimensi-dua, jika k adalah skalar dan 𝒗 =



v v₁, ₂



, maka: k 𝒗 =



kv kv₁, ₂



Pada dimensi-tiga, jika k adalah skalar dan 𝒗 =



v v v1, ,2 3



, maka:

k 𝒗 =



kv kv kv₁, ₂, ₃



Contoh 3:

Tentukanlah 2𝒗 + 3𝒘, jika diketahui: a. 𝒗 = (3, 0) dan 𝒘 = (6, 4) b. 𝒗 = ( 5,1,3) dan 𝒘 = (1,1, 2) Jawab:

a. 2v2(3, 0)(6, 0) ; 3w3(6, 4)(18,12) 2v3w(6, 0) (18,12) (24,12)

b. 2v 2( 5,1,3) ( 10, 2, 6) ; 3w3(1,1, 2) (3,3, 6) 2v3w ( 10, 2, 6) (3,3, 6)   ( 7,5, 0)

Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1. Vektor satuan biasanya dilambangkan dengan 𝒖.

Jika 𝒘 adalah suatu vektor dimensi-dua𝒘 =



w w1, 2



, maka vektor satuan 𝒘 adalah:

𝒖 = 1 𝒘 ∙ 𝒘 = 1 𝑤₁2_{+ 𝑤} 22 ∙ (𝑤₁, 𝑤₂)

Jika 𝒘 adalah suatu vektor dimensi-tiga𝒘 =



w w w₁, ₂, ₃



, maka vektor satuan 𝒘 adalah:

𝒖 = 1 𝒘 ∙ 𝒘 = 1 𝑤₁2_{+ 𝑤} 22+ 𝑤32 ∙ (𝑤₁, 𝑤₂, 𝑤₃) Contoh 4:

Tentukanlah vektor satuan dari 𝒂 jika diketahui: a. 𝒂 =



3, 4



b. 𝒂 =



2, 4, 6



Jawab: a. 𝒂 = ( 3) 2(4)2  9 16  255 𝒖 = 1 𝒂 ∙ 𝒂 = 1 5 −3,4 𝒖 = 3 4, 5 5 _      b. 𝒂 = (2)2(4)2(6)2  4 16 36   56 2 14 𝒖 = 1 𝒂 ∙ 𝒂 = 1 2 14 2,4,6 𝒖 = 1 , 2 , 3 14 14 14      

Vektor Satuan Standar (Vektor Basis Baku) Vektor satuan standar dimensi-dua adalah:

i =

 

1, 0 dan j =

 

0,1 Vektor satuan standar dimensi-tiga adalah:

i =



1, 0, 0



Sama halnya dengan vektor satuan, vektor satuan standar juga memiliki panjang sama dengan 1.

 Sebarang vektor 𝒗 =



v v₁, ₂



dapat dinyatakan secara unik dalam bentuk i dan j, yaitu:

𝒗 =



v v₁, ₂



= v₁

 

1, 0 v₂

 

0,1 = v₁ i + v₂ j

Sebagai contoh, 𝒗 =



5, 2



= 5 i + ( 2) j = 5 i – 2 j.

 Sebarang vektor 𝒗 =



v v v₁, ₂, ₃



dapat dinyatakan secara unik dalam bentuk i, j, dan k

yaitu:

𝒗 =



v v v₁, ₂, ₃



= v₁



1, 0, 0



v₂



0,1, 0



v₃



0, 0,1



= v₁ i + v₂ j + v₃ k

Sebagai contoh, 𝒗 =



3, 2,1 = 3



i + 2 j + k. Contoh 5:

Jika 𝒂 = 2i – 3j dan 𝒃 = i + 5j, carilah || 𝒂||, 𝒂 – 𝒃, dan 3𝒂 + 4𝒃 ! Jawab:

|| 𝒂|| = 22 ( 3)2  4 9  13

𝒂 – 𝒃 = (2 – 1) i + (–3 – 5) j = i + (–8) j = i – 8j

3𝒂 + 4𝒃.= 3(2i – 3j) + 4(i + 5j) = (6i – 9j) + (4i + 20j) = (6 + 4) i + (–9 + 20) j = 10i + 11j

Sifat-Sifat Aritmetika Vektor

Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi dua atau ruang berdimensi tiga, dan m serta n adalah skalar, maka:

1) u + v = v + u 5) m (u + v) = m u + m v

2) u + (v + w) = (u + v) + w 6) (m + n) u = m u + n u

3) u + 0 = u 7) (mn) u = m (n u) 4) u + (–u) = 0 8) 1 u = u

HASIL KALI TITIK

Hasil Kali Titik (Dot Product)

Jika 𝒗 =



v v₁, ₂



dan 𝒘 =



w w₁, ₂



, maka:

𝒗  𝒘 = v w1 1v w2 2

Jika 𝒗 =



v v v₁, ₂, ₃



dan 𝒘 =



w w w₁, ₂, ₃



, maka:

𝒗  𝒘 = v w1 1v w2 2v w3 3

Hasil dari hasil kali titik ini bukanlah vektor, melainkan berupa bilangan real, yakni skalar. Oleh karena itu, hasil kali titik ini juga disebut hasil kali skalar.

Teorema berikut menunjukkan bagaimana hasil kali titik dapat digunakan untuk memperoleh informasi mengenai sudut antara dua vektor. Teorema ini juga mengembangkan hubungan penting antara norma dan hasil kali titik.

TEOREMA 1

Jika 𝜃 adalah sudut antara vektor 𝒗 dan 𝒘, maka:

𝒗  𝒘 = || 𝒗|| || 𝒘|| cos 𝜃 Akibatnya, cos 𝜃 = 𝒗𝒘 𝒗 𝒘 → 𝜃 = cos−1 𝒗𝒘 𝒗 𝒘

dengan syarat v dan w bukanlah vektor nol.

TEOREMA 2

Misalkan 𝒗 dan 𝒘 adalah vektor-vektor taknol pada ruang berdimensi dua atau ruang berdimensi tiga.

0° < 𝜃 < 90° jika dan hanya jika 𝒗𝒘 > 0

90° < 𝜃 < 180° jika dan hanya jika 𝒗𝒘 < 0

𝜃 = 90° jika dan hanya jika 𝒗𝒘 = 0

Berdasarkan Teorema 2, dapat dilihat bahwa dua vektor taknol saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil kali titik dari kedua vektor tersebut bernilai 0. Vektor-vektor yang saling tegak lurus ini disebut juga vektor-vektor ortogonal.

Contoh 6:

Jika 𝒗 =



2, 1,1



dan 𝒘 =



1,1, 2 , tentukanlah



𝒗  𝒘 dan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut! Jawab: 𝒗  𝒘 = v w_{1 1}v w_{2 2} v w_{3 3} = 2 1 ( 1) 1 1 2      = 3 || 𝒗|| = u₁2u₂2u₃2  22 ( 1)2 12 6 || 𝒘|| = w₁2w₂2w₃2  12 12 22  6 cos 𝜃 = 𝒗𝒘 𝒗 𝒘 = 3 6 ∙ 6= 3 6= 1 2 → 𝜃 = 60°

Sifat-Sifat Hasil Kali Titik

Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi dua atau ruang berdimensi tiga, serta k adalah skalar, maka:

1) u  u = || u ||2 2) u  w = w  u

3) u  (w + v) = u  w + u  v

4) (k u)  w = k (u  w) = u  (k w) 5) 0  u = 0

HASIL KALI SILANG

Subbab sebelumnya menyebutkan bahwa hasil kali titik dari dua vektor pada ruang berdimensi dua atau ruang berdimensi tiga dapat menghasilkan suatu skalar. Pada subbab ini, suatu jenis perkalian vektor yang menghasilkan vektor juga akan didefinisikan, tetapi hanya dapat diterapkan pada ruang berdimensi tiga saja.

Hasil Kali Silang (Cross Product)

Jika 𝒗 =



v v v1, 2, 3



dan 𝒘 =



w w w1, 2, 3



, maka:

𝒗 × 𝒘 =



v w_{2 3}v w_{3 2}, v w_{3 1}v w_{1 3}, v w_{1 2}v w_{2 1}



Untuk memperoleh hasil dari hasil kali silang antar dua vektor, rumus di atas tidak perlu dihafalkan. Teorema 3 berikut akan mempermudah hasil pencarian hasil kali silang antar dua vektor.

TEOREMA 3

Jika 𝒗 = v₁ i + v₂ j + v₃ k dan 𝒘 = w₁ i + w₂ j + w₃ k, maka:

𝒗 × 𝒘 = 𝒊 𝒋 𝒌 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑣₃ 𝑤₁ 𝑤₂ 𝑤₃ = 𝑣₂ 𝑣₃ 𝑤2 𝑤3 𝒊 – 𝑣₁ 𝑣₃ 𝑤1 𝑤3 𝒋 + 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑤1 𝑤2 𝒌

Perbedaan mendasar yang perlu diingat adalah, hasil kali titik merupakan suatu skalar

dan hasil kali silang merupakan suatu vektor.

Contoh 7:

Carilah 𝒗 × 𝒘 saat 𝒗 =



1, 2, 2



dan 𝒘 =



3, 0,1 !



Jawab: 𝒗 = i + 2 j – 2 k ; 𝒘 = 3 i + k 𝒗 × 𝒘 = 𝒊 𝒋 𝒌 1 2 −2 3 0 1 = 2 −2 0 1 𝒊 – 1 −23 1 𝒋 + 1 23 0 𝒌 = 2 i – 7 j – 6 k Jadi, 𝒗 × 𝒘 =



2, 7, 6 



Hasil kali silang juga dapat digunakan untuk memperoleh informasi mengenai sudut antara dua vektor. Perhatikan teorema berikut.

TEOREMA 4

Jika 𝜃 adalah sudut antara vektor 𝒗 dan 𝒘, maka:

|| 𝒗 × 𝒘|| = || 𝒗|| || 𝒘|| sin 𝜃 Akibatnya, sin 𝜃 = 𝒗 × 𝒘 𝒗 𝒘 → 𝜃 = sin−1 𝒗 × 𝒘 𝒗 𝒘

Sifat-Sifat Hasil Kali Silang

Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi dua atau ruang berdimensi tiga, serta k adalah skalar, maka:

1) u×w = – (w×u) 2) u× (w + v) =(u×w) + (u×v) 3) (u + w) × v = (u×v) + (w×v) 4) k(u×w) = (k u) ×w = u× (k w) 5) u× 0 = 0 ×u = 0 6) u×u = 0

Teorema selanjutnya menjabarkan beberapa hubungan penting antara hasil kali titik dan hasil kali silang.

TEOREMA 5

Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi tiga, maka: a) v  (v×w) = 0 [v×w adalah ortogonal terhadap v]

b) w  (v×w) = 0 [v×w adalah ortogonal terhadap w] c) || v×w || 2 = || v || 2 || w || 2 – (v  w) 2 [Identitas Lagrange] d) u× (v ×w) = (u  w) v – (u  v) w

e) (u×v) ×w = (u  w) v – (v  w) u

Contoh 8:

Jika diketahui𝒗 =



1, 2, 2



dan 𝒘 =



3, 0,1 , tunjukkan bahwa



𝒗 × 𝒘 ortogonal terhadap 𝒗 dan juga 𝒘!

Jawab:

Pada Contoh 7, telah diketahui bahwa 𝒗 × 𝒘 =



2, 7, 6 



.

𝒗  (𝒗 × 𝒘) = 1 2 2 ( 7) ( 2) ( 6)        0 Berdasarkan Teorema 5 poin (a), maka 𝒗 × 𝒘 ortogonal terhadap 𝒗. Selanjutnya,

𝒘  (𝒗 × 𝒘) = 3 2 0 ( 7) 1 ( 6)       0 Berdasarkan Teorema 5 poin (b), maka 𝒗 × 𝒘 ortogonal terhadap 𝒘.

LATIHAN SOAL 1. Diketahui: a. v =

 

2,3 , w =



5, 7



b. v =



2, 2,3



, w =



1, 7, 4



Tentukanlah: (i) 3v – 4w (ii) v  w

(iii) panjang vektornya (iv) vektor satuannya

(v) cosinus dari sudut 𝜃 antara v dan w

2. Tentukan apakah v dan w membentuk sudut lancip, sudut tumpul, atau tegak lurus. a. v =

 

6, 2 , w =



3, 9



b. v =



 1, 2



, w =



2,3



c. v =



6, 0, 4



, w =



3,1, 6



3. Jika vektor a dan b mempunyai panjang 4 dan 6, serta sudut kedua vektor tersebut adalah / 6, carilah a  b !

4. Tentukanlah nilai x sehingga p 



7, 2x,3



dan q 



3,3,3



saling tegak lurus ! 5. Hitunglah v × w dan w × v jika diketahui:

a. v =



2, 1,5



, w =



1, 2, 3



b. v =



0, 3, 6



, w =



7, 0, 8



6. Diketahui vektor a= 2𝒊 − 𝒋 + 3𝒌 dan b= 3𝒊 − 2𝒋 + 𝒌. Tanpa mencari a×b, hitunglah || a×b || !