9. Vektor
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar ini ini diharapkan siswa dapat :
1. menggambarkan vektor sebagai segmen garis berarah bila diberikan komponen-komponennya,
2. menghitung modulus vektor bila diberikan suatu vektor, 3. menentukan vektor posisi suatu vektor,
4. menyatakan bahwa dua vektor sama dengan gambar,
5. menyatakan bahwa dua vektor sama dengan memperhatikan komponen-komponennya, 6. menentukan negatif dari suatu vektor,
7. menggunakan pengertian vektor nol dalam operasi vektor,
8. menyatakan vektor satuan yang searah denagn suatu vektor yang diberikan, 9. menentukan hasil kali suatu vektor dengan skalar,
10. menentukan hasil penjumlahan vektor-vektor, 11. menentukan selisih dua vektor,
12. menentukan perkalian skalar dua vektor.
Kegiatan Belajar 1. Penegrtian vektor Tujuan Kegiatan Belajar 1
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan dapat : 1. mendefinisikan tentang vektor,
2. menyatakan komponen-komponen vektor,
3. menentukan besar/ panjang vektor pada bangun datar,
4. menentukan vektor satuan dari suatu vektor pada bangun datar.
Uraian M ateri Kegiatan Belajar 1
1.1 Pengertian V ektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Besar vektor ditunjukkan oleh panjang ruas garis, sedang arah ditunjukkan oleh arah anak panah.
Gambar di samping menunjukkan vektor AB atau ditulis sebagai vektor a.
Lingkup V ektor Pada Bangun Datar
Vektor pada bangun datar (dimensi dua) ditandai dengan sumbu x dan sumbu y, yang saling berpotongan.
M odulus atau Besar V ektor
Jika titik A (x1, y1) dan B (x2, y2) maka
komponen vektorAB =
− −
1 2
1 2
y y
x x
.
Adapun modulus vektor AB adalah besar atau panjang vektor AB dan dapat ditentukan dengan rumus :
A
B
a
A
B y
(x,y )
(x2,y2) w
w
.docu-track.com ww
AB = (x2 −x1)2 +(y2 −y1)2
Contoh :
Diketahui titik A (3 , -5) dan B (-2 , 7), tentukanlah : a. komponan vektorAB
b. Modulus / besar vektorAB
Penyelesaian :
a. komponen vektorAB =
− =
−
− −
−
125
) 5 (
7 2 3
b. besar vektorAB → AB = (−5)2 +122 = 25+144= 169
= 13
Vektor Posisi
Vektor yang ditarik dari titik pangkal O ke titik P disebut vektor posisi titik P dan dituliskan OP . Jika koordinat titik P (x , y) maka vektor posisinya
adalah : OP =
y x
Kesamaan Dua V ektor
Dua buah vektor dikatakan sama apabila mempunyai besar dan arah yang sama.
Vektor Negatif
Vektor negatif dari AB adalah vektor yang besarnya sama dengan vektor AB tetapi arahnya berlawanan dan ditulis - AB
V ektor Nol
Vektor nol adalah vektor yang besar / panjangnya nol dan arahnya tak tentu ( berupa
titik ). Di ruang dimensi dua vektor nol dilambangkan dengan O =
0
0 .
V ektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang / besar 1 satuan. Vektor satuan dapat ditentukan dengan caramembagi vektor tersebut dengan besar / panjang vektor semula.
Vektor satuan dari vektor a dirumuskan : e =
a a
Contoh :
Jika diketahui vektor a = (3 , 2 , 1). Hitunglah vektor satuan dari vektor a ! Penyelesaian :
Besar vektor a =a = 32 +22 +12 = 14
x x
y
y
O (0 , 0)
A B
P Q
PQ
AB=
A B
P Q
PQ
-AB=
w
w
.docu-track.com ww
Maka vektor satuan dari a adalah : e = ) 14 1 , 14 2 , 14 3 ( 14
) 1 , 2 , 3 (
= atau dapat dituliskan
dalam bentuk vektor kolom e =
14 1 14 2 14 3
.
Lembar Kerja Siswa KB 1
1. Tuliskan komponan vektor dari titik yang ujungnya P (2 , 4) dan pangkalnya Q (-2 , 3) !
2. Tentukan besar vektor a jika a =
4
3 !
3. Jika P = 51 tentukanP !
4. Tentukan vektor satuan dari vektor c = 31 !
5. Tentukan vektor satuan dari vektor d = 22 !
6. Tentukan komponan vektor AB jika A (5 , -2) dan B (7 , 2) !
7. Tentukan vektor satuan dari vektor a =
−43 !
8. Jika diketahui d =
−125 tentukanlah :
a. modulus vektor d b. vektor negatif d c. vektor satuan d
9. Tentukanlah besar vektor-vektor berikut :
a. u =
3
5 b. v =
−
1
1 c. w =
−34
10. Diketahui vektor p =
−61 dan q = 2p. Tentukan vektor satuan dari vektor r jika r = p – q
Kegiatan Belajar 2. Jumlah dan selisih dua vektor
Tujuan Kegiatan Belajar 2
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan dapat : 1. menentukan hasil kali vektor dengan skalar
2. menentukan hasil penjumlahan dua vektor pada bangun datar 3. menentukan selisih dua vektor pada bangun datar
Uraian Materi Kegiatan Belajar 2
2.1 Perkalian Vektor dengan Skalar
Hasil kali vektor a dengan skalar k adalahvektor yang panjangnya k kali panjang vektor a dan arahnya sama.
Jika vektor a =
2 1
a a
maka : k . a =
2 1
a . k
a . k
Contoh :
Diketahui vektor a = −84. Tentukanlah :
w
w
.docu-track.com ww
a. 3 . a b. -2 . a c. ½ . a
Penyelesaian :
a. 3 . a = 3. −48 = 3.(−38.4) = −2412
b. -2 . a = -2. −48 = −2−.(2−8.4) =
−
168
c. ½ . a = ½ .−84 =
−8)
.( 4 .
2 1 2
1
= −42
2.2 Penjumlahan Dua Vektor
Secara geometris penjumlahan dua vektor ada 2 aturan, yaitu : a. aturan segitiga
b. aturan jajaran genjang
Secara analisis penjumlahan dua vektor adalah :
Jika vektor a =
2 1
a a
dan vektor b =
2 1
b b
maka : a + b =
+ +
2 2
1 1
b a
b a
Contoh :
Jika vektor c =
4
8 dan vektor d = 9
3 maka : c + d =
=
+ +
1311 9
4 3
8
2.3 Selisih Dua Vektor
Selisih dua vektor artinya menjumlahkan vektor pertama dengan negatif vektor kedua.
Jadi : a – b = a + ( - b )
Secara geometris dapat digambarkan sebagai berikut :
Secara analitis jika diketahui vektor a =
2 1
a a
dan vektor b =
2 1
b b
maka :
a - b =
− −
2 2
1 1
b a
b a
Contoh :
a
b
a
b
a + b
a
b
a
b a + b
a
b
a
b - b
a - b
w
w
.docu-track.com ww
Jika vektor c =
4
8 dan vektor d = 9
3 maka : c - d =
− =
− −
5 5 9
4 3
8
Lembar Kerja Siswa KB 2
1. Perhatikan gambar vektor di samping : Gambarlah vektor :
a. 3.u c. u + v b. -2.v d. 2.u – v
2. Jika diketahui u = 32 dan v = −14 tentukanlah :
a. 2.u c. 3.u + 2.v b. -3.v d. 2.v - u
3. Diketahui vektor a = −21 dan b = 2.a , tentukanlah vektor c = a + b
4. Diketahui vektor a = −24, b =
y
x dan c = 5
3 . Tentukan x dan y jika c = a + b
5. Jika vektor m =
−
4
8 dan n =
−106 tentukanlah secara aljabar vektor dari :
a. ½ . m – ½ .n b. ¼ . m + ½ . n
6. Gambarlah pada bidang koordinat kartesius vektor AB dengan A (1 , 2) dan B (4 , 5) serta vektor CD dengan C (3 , -2) dan D (-1 , 3), tentukanlah :
a. AB + CD b. CD + AB
c. Apa kesimpulan Anda ?
7. Jika p =
−26 dan q = −84.
Tentukanlah :
a. p + q c. 3.p + 2.q b. 2.p – q d. p – ½ .q
8. Jika a = 124 , b =
−
26 dan c = c21 c
Tentukanlah c1 dan c2 jika a + b – 2c =
8
10 !
9. Jika a = 45 , b = −−31 dan c = −47 Tentukanlah : 2.a – 3.b dan a + 2.b – c
10.Diketahui p = −248, q =
yx . Tentukanlah nilai x dan y jika p – 3.q = −73
Kegiatan Belajar 3. V ektor di R3
Tujuan Kegiatan Belajar 3
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan dapat : 1. menghitung modulus vektor (besar vektor) pada bangun ruang
2. menentukan vektor posisi suatu vektor pada bangun ruang 3. menyatakan kesamaan dua vektor pada bangun ruang 4. menentukan negatif suatu vektor pada bangun ruang 5. menyatakan pengrtian vektor nol pada bangun ruang 6. menentukan vektor satuan pada bangun ruang
u 2
1,5
1
1 v
w
w
.docu-track.com ww
Uraian Materi Kegiatan Belajar 3
Vektor Pada Ruang ( Dimensi 3)
Vektor di ruang 3 adalah vektor yang ditandai dengan 3 buah sumbu x , y , z yang saling tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbu sebagai pangkal perhitungan.
Vektor p pada bangun ruang dapat dituliskan dalam bentuk : 1. koordinat kartesius p = (x, y, z)
2. vektor kolom p =
z y x
atau
3. kombinasi linear vektor satuan i, j, k yaitu : p = xi + yj + zk
dengan i =
0
01 ,j =
01 0
, dan k =
1 0 0
Modulus Vektor
Modulus vektor adalah besar atau panjang suatu vektor.
Jika suatu vektorAB dengan koordinat titik A (x1 , y1 ,z1) dan B (x2 , y2 , z2) maka modulus
/ besar / panjang vektor AB dapat dinyatakan sebagai jarak antara titik A dan B yaitu :
AB = (x2 −x1)2 +(y2 −y1)2 +(z2 −z1)2
Dan jika suatu vektor a disajikan dalam bentuk linear a = a1i + a2j + a3k , maka modulus
vektor a adalah :a = a12 +a22 +a32 Contoh :
Tentukan modulus / besar vektor berikut :
a. AB = dengan titik A (2 , 4 , 6) dan Q (3 , 7 , 9) b. a = 2i + j + 3k
Penyelesaian : a.AB = (3−1)2 +(7−4)2 +(9−6)2 = 22 +32 +32 = 22 b.a = 22 +12 +32 = 14
Vektor Posisi
Vektor posisi titik P adalah vektor OP yaitu vektor yang berpangkal di titik O (0 , 0 , 0) dan berujung di titik P (x , y , z), bila ditulis
OP =
z y x
.
y
x
z
P (x , y , z)
x
y z
i j
k p
O
z
x
y O
P (x , y , z)
w
w
.docu-track.com ww
Modulus / besar vektor posisi OP adalah :
OP = x2 +y2 +z2
Kesamaan Vektor
Dua vektor di ruang dimensi 3 dikatakan sama jika mempunyai besar dan arah yang sama.
Vektor Negatif
Vektor di ruang 3 yang besarnya sama dengan vektor a tetapi arahnya berlawanan disebut vektor negatif a , yang dituliskan dengan : - a.
Jika vektor a =
3 2 1
a a a
maka : - a =
− − −
3 2 1
a a a
Vektor Nol
Vektor nol adalah vektor yang besar/ panjangnya nol dan arahnya tak tentu (berupa titik).
Vektor nol dilambangkan dengan O (0 , 0 , 0) atau O =
0 0 0
Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang 1 satuan.
Vektor satuan dari vektor a = vektor a tersebut dibagi dengan besar vektor a sendiri, yang
dituliskan dengan : e =
a a
Contoh :
Tentukan vektor satuan dari vektor a =
5 4 2
Penyelesaian :
a = 22 +42 +( 5)2 = 25=5 Jadi vektor satuan vektor a : e =
5 5 5 4 5 2
Lembar Kerja Siswa KB 3 1. Jika diketahui vektor a =
1 2 3
Hitunglah vektor satuan dari a !
2. Diketahui titik P (2 , 2 , 2) dan titik Q (5 , 4 , 2). Tentukan modulus (besar) vektor PQ ! 3. Diketahui vektor b = (1 , 3 , 5). Tentukan vektor satuan dari vektor b !
4. Tentukan modulus dari vektor-vektor berikut :
a. a =
− −
3 5 4
b. AB dengan titik A (-2 , 3 , -1) dan titik B (2 , 1 , -4)
5. Diketahui vektor
( )
PQ dengan titik P (2 , 5 , -4) dan Q (1 , 0 , -3). Tentukan :a. Koordinat titik R jika SR sama dengan vektor
( )
PQ jika titik S (2 , -2 , 4)A B
P Q
PQ
AB=
A B
P Q
PQ
-AB=
w
w
.docu-track.com ww
b. Koordinat titik N jika MN merupakan negatif vektor
( )
PQ jika titik M (-1 , 3 , 2)6. Tentukan vektor satuan dari vektor-vektor berikut :
a. u =
−01
0
b. v =
1 1 1
c. KL dengan K (3 , -2 , 1) dan L (2 , -2 , 1) d. MN dengan M (2 , 1 , 2) dan N (2 , 0 , 3)
7. Gambarlah vektor dengan titik P (2 , -3 , 1) dan Q (1 , 3 , -2) a. Hitung modulus vektorPQ
b. Buat vektor negatif dari PQ, kemudian hitung modulusnya/ besarnya ! c. Apa yang dapat A nda simpulkan dari pekerjaan di atas ?
8. Jika titik P (1 , 1 , 1) dan titik Q (-1 , 4 , -6), tentukanlah :
a. vektor posisi titik P dan titik Q c. negatif vektorPQ
b. komponen vektorPQ d. vektor satuan PQ
9. Tentukan besar vektor berikut beserta vektor satuannya !
a. u =
1 4 2
b. w = -i + 5j + k c. PQ =
−
5 0 3
10. Tentukan vektor satuan dari vektor-vektor berikut !
a. c =
−
5 3 2
b. d =
− −
24 1
Kegiatan Belajar 4. Operasi vektor di R3 Tujuan Kegiatan Belajar 4
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan dapat : 1. menentukan hasil kali vektor dengan skalar pada bangun ruang
2. menentukan hasil penjumlahan vektor-vektor pada bangun ruang 3. menentukan selisih dua vektor pada bangun ruang
4. menentukan perkalian skalar dua vektor pada bangun ruang 5. menentukan sudut yang dibentuk oleh dua buah vektor
6. menentukan perkalian vektor daru dua vektor pada bangun ruang
Uraian M ateri Kegiatan Belajar 4
4.1 Perkalian Vektor dengan Skalar
Hasil kali vektor a =
3 2 1
a a a
dengan suatu skalar m adalah : m . a =
3 2 1
a . m
a . m
a . m
Hasil kali vektor a = a1i + a2j + a3k dengan skalar m adalah : m . a = m.a1i + m.a2j + m.a3k
Contoh :
Jika vektor h =
4 2 5
, maka : 3 . h =
4 x
3x2
33x5 =
126 15
Jika vektor u = 2i + j – 3k , maka : 4 . u = 4.2i + 4.j – 4.3k = 8i + 4j – 12k
w
w
.docu-track.com ww
4.2 Penjumlahan Vektor dalam ruang
adalah vektor-vektor tidak nol, maka :
a + b =
Contoh :
Hitunglah jumlah dari dua buah vektor berikut !
a. a =
4.3 Selisih Dua Vektor pada Ruang
Jika dua vektor a =
Contoh :
Hitunglah selisih dari dua vektor berikut :
1 . a =
Penyelesaian :
1. a - b =
4.3 Perkalian Skalar Dua Vektor
Perkalian skalar dari dua vektor a = a1i + a2j + a3k dan vektor b = b1i + b2j + b3kditulis
dengan :a . b (dibaca “ a dot b” ).
Jika sudut antara vektor a dan vektor b diketahui sama denganα ( 0° ≤ α ≤ 180° ), maka : a . b = a.b. cosα
Jika sudut antara vektor a dan vektor b tidak diketahui, maka : a . b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3
Contoh :
w
w
.docu-track.com ww
Diketahui vektor a = 2i + 3j + 6k dan b = i + 2j + 2k , maka perkalian skalar vektor a dan vektor b adalah :
a . b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3
a . b = 2.1 + 3.2 + 6.2 a . b = 2 + 6 + 12 = 20
Jika diketahuia = 6 danb = 5 dan sudut antara vektor a dan vektor b adalah 60° maka perkaliannya adalah :
a . b = a.b. cosα a . b = 6 . 5 . cos 60° a . b = 30 . ½ = 15
4.4 Sudut Antara Dua Vektor
Dari rumus perkalian skalar dua vektor a . b = a.b. cosα maka besar sudut antara vektor a dan vektor b dapat ditentukan, yaitu :
cosα =
Contoh :
Jika vektor a =
, maka sudut antara vektor a dan vektor b adalah …
Penyelesaian :
cosα =
4.5 Perkalian Vektor dari Dua Vektor
Perkalian vektor dari dua vektor a dan b ditulis dengan a x b (dibaca a cross b) dirumuskan dengan :
a x b = (a.b.sinα ) . s
Untuk vektor satuan i , j , k berlaku : i x j = -j x i = k i x k = -k x i = -j j x k = -k x j = i i x i = j x j = k x k = 0 Contoh :
Diketahui vektor a = 2i – j + 3k dan vektor b = 3i – 2j + k.
Tentukanlah : a. a x b b. b x a c. a x b Penyelesaian :
a. a x b =
1 2
3 1 3
2 k j i
−−
= −−12 31.i− 23 31.j+ 32 −−12.k
= (-1 – (-6)).i – (2 – 9).j + (-4 – (-3)).k = 5i + 7j - k
b. b x a =
3 1
2 2 1
3 k j i
− −
= −−21 13.i− 32 13.j+ 32 −−12.k
= (-6 – (-1)).i – (9 – 2).j + (-3 – (-4)).k = -5i – 7j + k
c. a x b = 52 +72 +(−1)2
= 25+49+1= 75=5 3
Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa : a x b ≠ b x a
Lembar Kerja Siswa KB 4 1. Diketahui vektor a =
−
1 2 3
, b =
−
5 4 3
dan c =
−
2 3 5
Tentukanlah : a. a + b b. 2a + 2c c. 5a – 3c
2. Diketahui a = 3i – 2j + k dan b = i + 3j – 2k
Tentukanlah : a. a + b b. a – b c. -3a + 2b
3. Diketahui vektor a = i – 2j + 3k dan b = 3i + j – 2k
Tentukanlah : a. a . b b. besar sudut antara a dan b
4. Diketahui vektor a = 2i + 3j + 2k dan b = -i + 5j + k Tentukanlah : a. a x b b. a x b 5. Diketahui vektor a = 2i – 3j +pk dan b = 6i + 2j – 4k Bila a . b = 10 , maka nilai untuk p adalah ….
6. Hitunglah perkalian skalar dua vektor a = 2i + 3j + 5k dan b = 2i + j +3k !
7. Hitunglah a . b jika diketahui a = 3,b = 4 dan sudut antara a dan b adalah 60° ! 8. Diketahui a = i + 2j + 3k dan b = k . Tentukanlah sudut antara a dan b !
9. Tentukan jumlah dan selisih dua vektor u = 5i + 2j + k dan v = i – j + 2k ! Jika p = 2i + 4j + 3k dan q = i + 5j – 2k maka tentukan p x q !
10. Jika a = i – 5j + 6k dan b = 5i – 3j + k , tentukan a x b !
w
w
.docu-track.com ww
Uj i Kompet ensi
maka bentuk kombinasi linear dari vektor a adalah …
a. 5i – 2j +3k b. 2i - 5j + 2k c. 3i – 2j + 5k d. -2i + 5j + 3k e. 2i + 3j + 5k
w
w
.docu-track.com ww
13. Diketahui vektor a =
−
5 4 3
, b =
−
23 5
dan c =
3
21 . Maka nilai dari 2a + b – c adalah
a.
9 3 0
b.
3
51 c.
−
93 0
d.
− −
93 0
e.
−
3 5 1
14. Diketahui vektor a = 3i – 2j + k dan b = i + 3j + 2k , maka a x b adalah …
a. i+ 7j + 11k b. i – 7j – 11k c. i + 7j + 12k d. 2i – 3j + 4k e. i + 3j + 5k
15. Diketahui a =
−
23 5
dan b =
−
3
21 , maka a + b = …
a.
−
5 3 4
b.
−
5 5 6
c.
−
23 4
d.
23 1
e.
−
2 3 4 w
w
.docu-track.com ww
