KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN

KS091206 KS091206 KS091206 KS091206

KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

Ruang Vektor Ruang Vektor Ruang Vektor Ruang Vektor

TIM KALIN

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan :

– Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor

ruang vektor

– Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari subruang vektor

– Dapat menghitung kombinasi linier dan span – Dapat mengetahui contoh aplikasinya

Ruang Vektor

RUANG VEKTOR 3

(bentuk Umum)

Ruang Vektor

V adalah himpunan tidak kosong

Didefinisikan 2 operasi terhadap obyek- obyek di V:

penjumlahan, notasi u + v penjumlahan, notasi u + v perkalian skalar, notasi kv

Catatan: perlu diingat bahwa

•penjumlahan tidak selalu seperti (2, 1) + (1, 3) = (3, 4)

Ruang Vektor

V disebut ruang vektor jika dipenuhi 10 (sepuluh) aksioma berikut:

1. Jika u, v ∈∈∈∈ V maka (u + v) ∈∈∈∈ V 2. u + v = v + u

3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w

4. Ada vektor nol 0 ∈∈∈∈ V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u

5. Untuk tiap u ∈∈∈∈ V, ada vektor –u ∈∈∈∈ V yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u + (– u) = (– u) + u = 0

RUANG VEKTOR 5

sedemikian sehingga u + (– u) = (– u) + u = 0 6. Jika k adalah skalar dan u ∈∈∈∈ V, maka ku ∈∈∈∈ V 7. k (u + v) = ku + kv

8. (k+m)u = ku + mu 9. k(mu) = (km) u 10. 1u = u

Ruang Vektor

perhatikan aksioma 1, 4, 5, 6 berikut:

1. Jika u, v ∈∈∈∈ V maka (u + v) ∈∈∈∈ V

4. Ada vektor nol 0 ∈∈∈∈ V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u

5. Untuk tiap u ∈∈∈∈ V, ada vektor –u ∈∈∈∈ V yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u +(-u) = (-u) + u = 0

6. Jika k adalah skalar dan u ∈∈∈∈ V, maka k u ∈∈∈∈ V

ruang vektor bukan ruang vektor ruang vektor bukan ruang vektor

u v

0 u ku

u u

v

u+v

u+v ku

ruang vektor bukan ruang vektor ruang vektor bukan ruang vektor

0 -v

-u

0 0

Teorema 5.1.1:

V merupakan ruang vektor, u ∈ V dan k adalah skalar. Maka

1) 0u = 0 2) k0 = 0

3) (–1)u = -u

RUANG VEKTOR 7

3) (–1)u = -u

4) Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0

Subruang

(subspace)

(subspace)

Subruang :

W merupakan subset dari V.

W disebut subruang dari V jika dan hanya jika

W adalah ruang vektor, di bawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan di V, artinya

RUANG VEKTOR 9

perkalian skalar yang didefinisikan di V, artinya

1. Jika u, v ∈∈∈∈ W maka (u + v) ∈∈∈∈ W

6. Jika k adalah skalar dan u ∈∈∈∈ W, maka ku ∈∈∈∈ W

V

u

0 u

– u

0 v

W W

V

– u v

– v 0

(u+v) – (u+v)

u (u+v)

v

– v

– (u+v)

Catatan:

Setiap Ruang Vektor memiliki paling sedikit 2 subruang

yakni; V sendiri adalah sebuah subruang, dan himpunan {0}

yang merupakan vektor 0 yang dinamakan sebagai subruang nol.

RUANG VEKTOR 11

Contoh Subruang (1)

(Sumber: Howard Anton, Aljabar Linear 5e, “Subspace”, 1997)

Contoh Subruang (2)

RUANG VEKTOR 13

Contoh Subruang (3)

Contoh Subruang (4)

Tinjaulah vektor-vektor u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2) di R³. Perlihatkan bahwa w = (9, 2, 7) adalah kombinasi linear u dan v serta w^, = (4, -1, 8) bukanlah kombinasi linear u dan v.

Pemecahan:

RUANG VEKTOR 15

Pemecahan: ^Kombinasi

Linear?

Sub Ruang Hasil Jawaban SPL

Himpunan dari semua vektor yang merupakan jawaban dari sistem persamaan homogen merupakan subruang di Rⁿ, dengan orde A adalah m x n.

m x n.

Contoh :

Diberikan SPL homogin,

x₁ + 3x₂ – 5x₃ + 7x₄ = 0 x₁ + 4 x₂ – 19x₃ + 10x₄ = 0 2x + 5x – 26x + 11x = 0

Matriks Eselon-nya : ^{1 0 3 2} 0 1 4 3 0 0 0 0

− −

 

 

 − 

 

 

3 4

x x





1 3 2 3 2

x s+ t

       

variable bebas, misal : x3 = s dan x4 = t
x2 = 4s – 3t dan x1 = 3s + 2t

Page 17

Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

RUANG VEKTOR 17

1 2 3 4

3 2 3 2

4 3 4 3

1 0

0 1

x

u (3, 4,1, 0) dan v (2, 3, 0,1)

x s t

x s t

x s t

x s

x t

su tv +

       

       

− −

       

=   =   =  +  

       

     

 

= +

= = −

Subruang dari jawaban SPL Homogin disebut Ruang Jawab.

Jawaban dalam bentuk vektor :

Kombinasi Linier (Linear Combination)

&

&

Rentang

(Span)

Definisi:

Vektor w disebut kombinasi linier dari v₁, v₂, …, v_n jika w = k₁ v₁ + k₂ v₂ + ….. + k_n v_n

k₁ , k₂ , ….. k_n adalah skalar

RUANG VEKTOR 19

Teorema 5.2.3.:

Jika v₁, v₂, …, v_n merupakan himpunan vektor di V, maka 1. Himpunan dari semua kombinasi linier dari v₁, v₂, …, v_n,

disebut himpunan W, adalah subspace V

2. W adalah subspace terkecil yang berisi v₁, v₂, …, v_n

Teorema 5.2.3.:

Jika v₁, v₂, …, v_r merupakan himpunan vektor di V, maka

1. Himpunan dari semua kombinasi linier dari v₁, v₂, …, v_r, disebut himpunan W, adalah subspace V

2. W adalah subspace terkecil yang berisi v₁, v₂, …, v_r

Bukti 1: W adalah subspace

jika u, v ∈ W, maka (u + v) ∈ W jika u, v ∈ W, maka (u + v) ∈ W

Vektor u, v ∈ W; k_i, c_i, a_i adalah skalar

u = c₁ v₁ + c₂ v₂ + ….. + c_r v_r kombinasi linier dari v₁, v₂, …, v_r v = k₁ v₁ + k₂ v₂ + ….. + k_r vr kombinasi linier dari v₁, v₂, …, v_r (u + v) = (c₁ + k₁)v₁ + (c₂ + k₂)v₂ + ….. + (c_r + k_r)v_r

= a₁ v₁ + a₂ v₂ + ….. + a_r v_r

Teorema 5.2.3.:

Jika v₁, v₂, …, v_r merupakan himpunan vektor di V, maka

1. Himpunan dari semua kombinasi linier dari v₁, v₂, …, v_r, disebut himpunan W, adalah subspace V

2. W adalah subspace terkecil yang berisi v₁, v₂, …, v_r

Bukti 1: W adalah subspace

jika u ∈ W, maka ku ∈ W

RUANG VEKTOR 21

jika u ∈ W, maka ku ∈ W

Vektor u ∈ W; k, c_i, d_i adalah skalar

u = c₁ v₁ + c₂ v₂ + ….. + c_r v_r kombinasi linier dari v₁, v₂, …, v_r ku = kc₁ v₁ + kc₂ v₂ + ….. + kc_r v_r

= d₁ v₁ + d₂ v₂ + ….. + d_r v_r kombinasi linier dari v₁, v₂, …, v_r

Contoh Subruang (4) Penyelesaian:

(9,2,7) = k₁ (1,2,-1) + k₂ (6,4,2) SPL nya :

k₁ + 6 k₂ = 9 2k + 4 k = 2 2k₁ + 4 k₂ = 2 -k₁ + 2 k₂ = 7

Jika diselesaikan, didapatkan k₁ = -3 dan k₂ = 2 Sehingga w = -3u + 2v

Bagaimana dengan w’?

Contoh :

Nyatakanlah a=(7,7,9,11) sebagai kombinasi linier dari u₁=(2,0,3,1), u₂ = (4,1,3,2) dan u₃ = (1,3,-1,3)

1 1 2 1 3 3

a = s u + s u + s u

Jawab :

Tentukanlah s₁,s₂, dan s₃ yang memenuhi :

Page 23

Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

RUANG VEKTOR 23

1 2 3

2 4 1 7

0 1 3 7

3 3 1 9

1 2 3 11

s s s

       

       

 +  +   =  

    −   

       

       

Dalam bentuk matriks dinyatakanlah sebagai :

2s₁ + 4s₂ + s₃ = 7 4s₂ + 3s₃ = 7 3s₁+ 3s₂ – s₃ = 9

s₁ + 2s₂ + 3s₃ = 11

ATAU

Matriks lengkapnya : ^{2 4 1 7}

0 1 3 7

3 3 1 9

1 2 3 11

 

 

 

 − 

 

 

2 4 1 7 0 1 3 7

 

 

 

Matriks Eselonnya :

13 39

0 0 2 2

0 0 0 0

 

 

 

 

 

= − +

s₃ = 3, s₂ = -2, dan s₁ = 6

Dengan demikian dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari :

Rentang:

Jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear v₁, v₂, …, v_r maka kita mengatakan bahwa vektor-vektor tersebut merentang V

Diketahui suatu Ruang Vektor V

RUANG VEKTOR 25

Diketahui suatu Ruang Vektor V S = {v₁, v₂, …, v_r } dan S ⊆ V

W = { x | x merupakan kombinasi linier vektor-vektor S artinya: x = k₁ v₁ + k₂ v₂ + ….. + k_n v_r } maka S adalah rentang (span) W

Contoh (1):

Tentukan apakah v₁=(1,1,2), v₂=(1,0,1), dan v₃=(2,1,3) merentang pada R³

Contoh (2):

Misalkan u=(2,0,-1,4) dan v=(2,-1,0,2). Tentukan apakah w=(-2,4,-3,4) merupakan span {u,v}

apakah w=(-2,4,-3,4) merupakan span {u,v}

Contoh (3):

Diketahui u₁=(2,0,-1,2,4), u₂=(1,0,0,-1,2), dan

u₃=(0,1,0,0,-1). Apakah vektor-vektor tersebut span (merentang) w=(1,12,3,-14,-1)?

Latihan:

1. Nyatakanlah persamaan berikut sebagai Kombinasi Linear:

p₁=2 + x + 4x², p₂=1 – x + 3x², p₃=3 + 2x + 5x² a. 5x² + 9x + 5 b. 3x² + 2x + 2

2. Nyatakanlah vektor berikut sebagai kombinasi linear dari:

RUANG VEKTOR 27

3. Tunjukkan apakah polinomial berikut merentang P₂ p₁=1 + 2x- x² p₂=3 + x²

p₃=5 + 4x -x² p₄=-2 + 2x - 2x²