3. RUANG VEKTOR. dan jika k adalah sembarang skalar, maka perkalian skalar ku didefinisikan oleh

3. RUANG VEKTOR

3.1 VEKTOR (GEOMETRIK) – PENGANTAR

• Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka tupel-terorde (ordered-n-tuple) adalah sebuah urutan n bilangan riil (a₁, a₂, ..., a_n). Himpunan semua tupel-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan R . ⁿ

• Dua vektor u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) pada R dinamakan sama jika ⁿ

n

n v

u v

u v

u₁ = ₁, ₂ = ₂,…, = jumlah u + v didefinisikan oleh

(

u +v u +v un +vn

)

=

+v _{1 1}, _{2 2},…, u

dan jika k adalah sembarang skalar, maka perkalian skalar ku didefinisikan oleh

(

ku1,,ku2, ,ku_n,

)

ku= …

• Vektor-vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen-segmen garis terarah atau panah-panah di ruang-2 atau ruang-3; arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah dinamakan titik awal (initial point) dari vektor, dan ujung panah dinamakan titik terminal (terminal point). Selanjutnya vektor akan dinyatakan dengan huruf kecil tebal misalnya, a, v, w, dan x. Bila membahas vektor, maka bilangan akan dinyatakan sebagai skalar.

Semua skalar merupakan bilangan riil dan akan dinyatakan oleh huruf kecil biasa misalnya, k, dan l.

• Jika, seperti pada gambar 3.1 a titik awal vektor v adalah A dan titik terminalnya adalah B, maka kita tuliskan

v = AB

Gambar 3.1 (a). Vektor AB (b). Vektor-vektor ekivalen

• Vektor-vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama walaupun mungkin diletakkan pada kedudukan yang berbeda-beda, seperti vektor-vektor pada gambar 3.1b dinamakan ekivalen. Jika v dan w ekivalen maka kita tuliskan

v = w

• Definisi. Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, maka penjumlahan didefinisikan oleh

v + w = w + v (gambar 3.2)

Gambar 3.2

• Jika v adalah sebarang vektor yang tak nol, maka vektor w yang memenuhi v + w = 0 adalah negatif dari v (gambar 3.2)

w = - v

• Definisi. Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, maka pengurangan didefinisikan

oleh v - w = v + (-w) (gambar 3.3)

Gambar 3.3

• Soal-soal yang melibatkan vektor seringkali dapat disederhanakan dengan memperkenalkan sebuah sistem koordinat siku-siku. Misalkan v adalah vektor dalam bidang (ruang-2), dan anggaplah seperti dalam gambar 3.4, bahwa v telah didudukkan sehingga titik permulaannya berada di titik asal sebuah sistem koordinasi siku-siku.

Koordinat-koordinat (v1, v2) dari titik terminal v dinamakan komponen-komponen dari v, dan kita menuliskannya sebagai

v = (v1, v2)

Gambar 3.4

• Operasi penambahan vektor dan operasi perkalian oleh skalar sangat mudah untuk dilaksanakan di dalam komponen-komponen, seperti yang dilukiskan dalam gambar 3.5, jika v = (v1, v2) dan w = (w1, w2), maka

v + w = (v1 + w1, v2 + w2)

Gambar 3.5

• Jika v = (v1, v₂) dan k adalah sebarang skalar, maka dengan menggunakan argumental geometrik yang melibatkan segitiga-segitiga yang serupa, dapat diperlihatkan bahwa

kv = (kv₁, kv₂) (gambar 3.6)

Gambar 3.6

3.2 NORMA VEKTOR; ILMU HITUNG VEKTOR

• Teorema 1.

Jika u =(u1, u2, ..., un), v = (v1, v2, ..., vn) dan w = (w1, w2, ..., wn) adalah vektor – vektor pada R dan k serta l adalah skalar , maka : ⁿ

(a) u + v = v +u

(b) u + (v + w ) =(u + v) + w (c) u + 0= 0 +u = u

(d) u + (-u) =0, yakni, u – u = 0 (e) k(lu) = (kl)u

(f) k(u + v) = ku + kv (g) (k + l)u = ku + lu

(h) lu = u (Ingat: 1 adalah skalar bernilai 1)

• Panjang sebuah vektor v seringkali dinamakan norma dari v dan dinyatakan dengan

||v||. Jelaslah dari teorema Phythagoras bahwa norma sebuah vektor v = (v1, v2) di dalam ruang-2 adalah v = v₁² +v₂²

Jika v adalah vektor dalam ruang-3, maka v = v₁² +v₂² +v₃² (gambar 3.7)

Gambar 3.7

• Jika P1 = (x1, y1, z1) dan P2 = (x2, y2, z2) adalah dua titik didalam ruang-3, maka jarak diantara kedua titik tersebut adalah norma vektor P₁P₂ (gambar 3.8)

−

−

−

=

Maka jelaslah bahwa

( ) ( ) (

2 1

)

²

2 1 2 2 1

2 x y y z z

x

d = − + − + −

Gambar 3.8

• Jika u = (u1, u₂, ..., u_n) dan v = (v₁, v₂, ..., v_n) adalah sembarang vektor pada R , ⁿ maka hasil kali dalam Euclidis (Euclidis inner product) u . v kita definisikan dengan

u . v =

(

u₁⋅v₁ +u₂⋅v₂ +…+u_n⋅v_n

)

3.3 RUANG -n EUCLIDIS

• Definisi. Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka norma (atau panjang) vektor u dinyatakan oleh ||u|| dan didefinisikan oleh

12

u, u u =

• Definisi. Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka jarak antara dua titik (vektor) u dan v dinyatakan oleh d(u,v) dan didefinisikan oleh

d(u,v) = ||u – v||

• Teorema 2.

Jika u,v, dan w adalah vektor pada R dan k adalah sembarang skalar, maka : ⁿ a) u . v = v . u

b) (u + v) . w = u . w + v . w c) (ku) . v = k(u . v)

d) v . v ≥ 0, Selanjutnya, v . v = 0 jika dan hanya jika v = 0

3.4 RUANG VEKTOR UMUM

• Misalkan V sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan, yakni penambahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penambahan tersebut kita pahami untuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalam V, yang mengandung elemen u + v, yang kita namakan jumlah u dan v ; dengan perkalian skalar kita artikan aturan untuk mengasosiasikannya baik untuk setiap skalar k maupun setiap benda u pada V yang mengandung elemen ku, yang dinamakan perkalian scalar (scalar multiple) u oleh k.

• Jika aksioma aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w pada V dan oleh semua skalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang vector (vector space) dan benda – benda pada V kita namakan vector:

a) Jika u dan v adalah benda – benda pada V, maka u + v berada di V.

b) u + v = v + u

c) u + (v + w) = (u + v) + w

d) ada sebuah benda 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di V.

e) Untuk setiap u di V, ada sebuah benda – u di V yang kita namakan negatif u sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0.

f) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang benda di V, maka ku berada di V.

g) k(u + v) = ku + kv h) (k + l)u = ku + lu i) k(lu) = (kl)(u) j) lu = u

• Teorema 3.

Misalkan V adalah sebuah ruang vektor, u sebuah vektor pada V, dan k sebuah skalar; maka :

(a) 0u = 0 (b) k0 = 0 (c) (-1)u = - u

(d) jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0

3.5 SUBRUANG

• Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan subruang (subspace) V jika W itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V.

• Teorema 4.

Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruang vektor V, maka W adalah subruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku.

(a) Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka u + v terletak di W.

(b) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor pada W, maka ku berada di W.

• Sebuah vektor w dinamakan kombinasi linear dari vektor-vektor v1, v2, ....,vr jika vektor tersebut dapat diungkapkan dalam bentuk

w = k1v1 + k₂v2 + ... + k_rvr

dimana k₁, k₂, ...., k_r adalah skalar.

• Contoh 1

Perlihatkan bahwa w = (9, 2, 7) merupakan kombinasi linier dari u = (1, 2, -1) dan v

= (6, 4, 2). Tunjukkan pula bahwa w’ = (4, -1, 8) bukan merupakan kombinasi linier dar vektor u dan v tersebut

Jawab

Supaya w merupakan kombinasi linier dari u dan v, maka harus ada skalar k1 dan k2

sehingga w = k₁u + k₂v; yakni

(9, 2, 7) = k₁(1, 2, -1) + k₂(6, 4, 2)

Penyamaan komponen-komponen yang bersesuaian memberikan

7 2

2 4

2

9 6

2 1

2 1

2 1

= +

−

= +

= +

k k

k k

k k

Dengan memecahkan sistem ini akan menghasilkan k₁ = -3, k₂ = 2 sehingga w = 3 u + 2 v

Demikian juga supaya w’ merupakan kombinasi linier dari u dan v, maka harus ada skalar k₁ dan k₂ sehingga w = k₁u + k2v; yakni

(4, -1, 8) = k₁(1, 2, -1) + k₂(6, 4, 2) Penyamaan komponen-komponen yang bersesuaian memberikan

8 2

1 4

2

4 6

2 1

2 1

2 1

= +

−

−

= +

= +

k k

k k

k k

Sistem-sistem persamaan ini tidak konsisten (buktikan) sehingga tidak ada skalar k₁ dan k₂ yang memenuhi w = k₁u + k2v. Dengan demikian jelas w’ bukanlah kombinasi linier dari u dan v.

• Definisi. Jika v1, v2, ...,vr adalah vektor-vektor pada ruang vektor V dan jika masing- masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear v1, v2, ....,vr maka kita mengatakan bahwa vektor-vektor ini merentang V.

• Teorema 5.

Jika v₁, v2, ....,vr adalah vektor-vektor pada ruang vektor V, maka :

(a) Himpunan W dari semua kombinasi linear v₁, v2, ....,vr adalah subruang V.

(b) W adalah subruang terkecil dari V yang mengandung v₁, v2, ....,vr dalam arti bahwa setiap subruang lain dari V yang mengandung v₁, v2, ....,vr harus mengandung W.

3.6 KEBEBASAN LINEAR

• Jika S = {v1, v2, ....,vr} adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor k1v1 + k2v2 + ... + krvr = 0

mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni k1 = 0, k2 = 0, ...., kr = 0

Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S kita namakan himpunan bebas linear (linearly independent). Jika ada pemecahan lain, maka S kita namakan himpunan tak bebas linear (linearly dependent).

• Contoh 2.

Himpunan vektor-vektor S = {v₁, v₂, v₃} dengan v₂ = (1, 2, 5, -1), v₃ = (7, -1, 5, 8) adalah himpunan tak bebas linier karena 3v₁ + v₁ + v₃ = 0

• Teorema 6.

Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah

(a) Tak bebas linear jika dan hanya jika paling tidak satu diantara anggota himpunan vektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari anggota himpunan vektor S lainnya.

(b) Bebas linear jika tidak ada anggota himpunan vektor S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dalam anggota himpunan vektor S lainnya.

• Teorema 7.

(a) Jika sebuah himpunan mengandung vektor nol, maka himpunan itu takbebas linear.

(b) Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua vektor takbebas linear jika dan hanya jika salah satu dari vektor itu adalah perkalian dari skalar lainnya.

• Teorema 8.

Misalkan S = {v1, v2, ....,vr} adalah himpunan vektor-vektor pada Rⁿ. Jika r > n, maka S takbebas linear.

3.7 BASIS DAN DIMENSI

• Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {v1, v2, ....,vr} merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S kita namakan basis untuk V jika

(a) S bebas linear ; (b) S merentang V

• Contoh 3

Misalkan v1 = (1, 2, 1) , v₂ = (2, 9, 0), dan v₃ = (3, 3, 4). Perlihatkanlah bahwa himpunan S = { v1, v2, v3} adalah basis untuk R³.

Jawab.

Untuk memperlihatkan bahwa S merentang R3, maka harus ditunjukkan bahwa sembarang vektor b = (b1, b2, b3) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier

b = k1v1 + k2 v2 + k3v3

dari vektor-vektor S. Dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen- komponennya maka akan memberikan

(b1, b2, b3) = k1(1, 2, 1) + k2 (2, 9, 0)+ k3 (3, 3, 4) atau

(b1, b2, b3) = (k1 + 2 k2 + 3 k3, 2k1 + 9k2 + 3k3, k1 + 4 k3) atau

3 3 1

2 3 2

1

1 3 2

1

4 3 9

2

3 2

b k k

b k k

k

b k k

k

= +

= +

+

= +

+

Jadi untuk memperlihatkan bahwa S merentang V, maka kita harus perlihatkan bahwa sistem persamaan (3.1) mempunyai pemecahan untuk semua pilihan b = (b1, b2, b3). Untuk membuktikan S bebas linier (BL), harus ditunjukkan bahwa satu-satunya pemecahan dari

k1v1 + k2 v2 + k3v3 = 0 adalah k1 = k2 = k3 = 0.

3.1

3.2

Seperti sebelumnya jika persamaan 3.2 dinyatakan dalam komponen- komponennya, maka pembuktian BL akan direduksi menjadi pembuktian bahwa sistem tersebut homogen , yaitu

0 4

0 3

9 2

0 3

2

3 1

3 2

1

3 2

1

= +

= +

+

= +

+

k k

k k

k

k k

k

yang hanya mempunyai pemecahan trivial. Perhatikan bahwa persamaan (3.1) dan (3.3) mempunyai matriks koefisien yang sama. Selanjutnya tinjau kembali bagian (a), (b), dan (d) dari teorema 12 handout kuliah pada bagian

“Hasil Selanjutnya mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan” (atau Howard Anton teorema 15 pada bagian 1.7). Menurut bagian tersebut jelas secara serempak dapat dibuktikan bahwa S bebas linier dan merentang R³ dengan memperlihatkan bahwa matriks koefisien

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

4 0 1

3 9 2

3 2 1 A

pada persamaan (3.1) dan (3.3) dapat dibalik (mempunyai inverse). Hal ini sama dengan membuktikan bahwa det (A) ≠0, yaitu

( )

1

4 0 1

3 9 2

3 2 1

det A = =−

Jelas karena det (A) ≠0, maka menurut A dapat dibalik. Jadi, S adalah sebuah basis untuk R³.

• Contoh 4 Misalkan

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ 1 0

0 1

M1 , ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ 0 0

1 0

M2 , ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ 0 1

0 0

M3 , dan ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ 1 0

0 0 M4

Himpunan S = [M1, M2, M3, M4] adalah sebuah basis untuk ruang vektor M22

dari matriks-matriks 2 x 2. Untuk melihat bahwa S merentang M22, perhatikanlah bahwa sebuah vektor khas (matriks)

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ d c

b a

dapat kita tulis sebagai

1 1 1 1

1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1

dM cM bM aM

d c

b d a

c b a

+ + +

=

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣ + ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣ + ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣ + ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

Untuk melihat bahwa S bebas linier, anggaplah bahwa

1 1 1

1 bM cM dM

aM + + +

= yakni,

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣ + ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣ + ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣ + ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

1 0 0 0

0

1 b c d

a

maka

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

0 0

0 0 d c

b a

Jadi a = b = c = d = 0 sehingga S bebas linier

Basis S dalam contoh ini disebut basis baku untuk M22.

• Definisi. Sebuah ruang vektor taknol V dinamakan berdimensi berhingga (finite dimensional) jika ruang vektor tersebut mengandung sebuah himpunan berhingga dari vektor-vektor { v1, v2, ....,vn } yang membentuk sebuah basis.

Jika tidak ada himpunan seperti itu, maka V dinamakan berdimensi takberhingga (infinite dimensionel). Tambahan lagi, kita akan menganggap ruang vektor nol sebagai ruang vektor berdimensi berhingga walaupun ruang vektor tersebut tidak mempunyai himpunan bebas linear, sehingga basis pun tidak ada.

• Teorema 9.

Jika S = { v1, v2, ....,vn } adalah basis untuk ruang vektor V, maka setiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah takbebas linear.

• Teorema 10.

Sebarang dua basis untuk ruang vektor berdimensi berhingga mempunyai jumlah vektor yang sama.

• Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V, Tambahan lagi, kita mendefinisikan ruang vektor nol mempunyai dimensi nol.

• Teorema 11.

(a) Jika S = { v1, v2, ....,vn } adalah sebuah himpunan n vektor bebas linear pada sebuah ruang V yang berdimensi n, maka S adalah sebuah basis untuk V.

(b) Jika S = { v1, v2, ....,vn } adalah sebuah himpunan n vektor yang merentang ruang V yang berdimensi n, maka S adalah basis untuk V.

(c) Jika S = { v1, v2, ....,vn } adalah sebuah himpunan bebas linear pada ruang V yang berdimensi n dan r < n, maka S dapat diperbesar menjadi basis untuk V ; yakni, vektor-vektor vr+1 ,....,vn sehingga {v1, v2,,....,vr,vr+1,....,vn} adalah sebuah basis untuk V.

3.8 RUANG BARIS DAN KOLOM MATRIKS; RANK; PENERAPAN TERHADAP PENCARIAN BASIS

Tinjaulah matriks m x n

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

2 1

2 22

21

1 12

11

Vektor-vektor

( )

( )

(

_{m m mn}

)

m

n n

a a

a r

a a a r

a a a r

, , ,

, , ,

, , ,

2 1

2 22 21 2

1 12 11 1

=

=

=

terbentuk dari baris-baris A yang kita namakan vektor-vektor baris A, dan vektor- vektor

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

1 21 11

1

am

a a

c ,

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

2 22 12

2

am

a a

c , ... ,

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

3 23 13

3

am

a a c

terbentuk dari kolom-kolom A yang kita namakan vektor-vektor kolom A.

Subruang Rⁿ yang direntang oleh vektor-vektor baris yang kita namakan ruang baris (row space) A dan subruang R^m yang direntang oleh vektor-vektor kolom kita namakan ruang kolom (column space) A.

• Contoh 5

Misalkan ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

4 1 3

0 1 A 2

Vektor-vektor baris A adalah

r1 = (2, 1, 0) dan r2 = (3, -1, 4) Vektor-vektor kolom A adalah

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ 3 2

c1 , ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= − 1 1

c2 , dan ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ 4 0 c3

• Teorema 12.

Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks.

• Teorema 13.

Vektor-vektor baris taknol berbentuk eselon baris dari matriks A membentuk basis untuk ruang baris A.

• Contoh 6.

Carilah sebuah basis untuk ruang yang direntang oleh vektor-vektor

v1 = (1, -2, 0, 0, 3), v2 = (2, -5, -3, -2, 6), v3 = (0, 5, 15, 10, 0) v4 = (2, 6, 18, 8, 6)

Jawab. Ruang yang direntang oleh vktor-vektor ini adalah ruang baris dari matriks

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

6 8 18 6 2

0 10 15 5 0

6 2 3 5 2

3 0 0 2 1

Dengan mereduksi matriks ini menjadi bentuk eselon baris (buktikan sendiri!), didapatkan

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡ −

0 0 0 0 0

0 1 1 0 0

0 2 3 1 0

3 0 0 2 1

Vektor-vektor baris taknol pada matriks ini adalah

w1 = (1, -2, 0, 0, 3), w2 = (0, 1, 3, 2, 0), dan w3 = (0, 0, 1, 1, 0)

Vektor-vektor ini membentuk basis bagi ruang baris tersebut dan sebagai konsekuensinya maka akan membentuk basis untuk ruang yang direntang oleh v1, v2, v3, dan v4

• Teorema 14.

Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom A mempunyai dimensi yang sama.

• Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan rank A dan dinyatakan dengan rank (A).

• Teorema 15.

Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu sama lain.

(a) A dapat dibalik.

(b) A x = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial.

(c) A ekivalen baris dengan In.

(d) A x = b konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berukuran n x 1.

(e) det(A) ≠ 0.

(f) A mempunyai rank n.

(g) Vektor-vektor baris A bebas linear.

(h) Vektor-vektor kolom A bebas linear.

• Teorema 16.

Sebuah sistem persamaan linear Ax = b adalah konsisten jika dan hanya jika b berada pada ruang kolom A.

• Teorema 17.

Sebuah sistem persamaan linear Ax = b akan konsisten jika dan hanya jika rank dari matriks koefisien A sama dengan rank dari matriks yang diperbesar [A|b].

• Teorema 18.

Jika Ax = b adalah sistem linear konsisten dari m persamaan n bilangan takdiketahui, dan jika A mempunyai rank r, maka pemecahan sistem tersebut mengandung n – r parameter.

3.9 RUANG HASIL KALI DALAM

• Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil u,v dengan masing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma

berikut dipenuhi untuk semua vektor u, v, dan w di V dan juga untuk semua skalar k.

1) u,v = v,u (aksioma simetri) 2) u+v,w = u,w + v,w (aksioma penambahan) 3) ku,v =k u,v (aksioma kehomogenan) 4) v,v ≥0 ; dan v,v =0 (aksioma kepositifan)

jika dan hanya jika v = 0

Sebuah ruang vektor riil dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan ruang hasil kali dalam riil (real product space).

• Teorema 19.

Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang hasil kali dalam riil dan k sebarang skalar, maka

(a) 0,v = v,0 =0 u (b) u,v+w = u,v + u,w (c) u,kv =k u,v

3.10 PANJANG DAN SUDUT DI RUANG HASIL KALI DALAM Di R², panjang vektor u = (u1, u2) diberikan oleh

2 2 2

1 u

u +

= u

yang dapat kita tuliskan dalam ruas-ruas hasil kali dalam titik sebagai

(

u u

)

¹²

u u

u = ⋅ = ⋅

Dengan cara yang sama, jika u = (u1, u2, u3) adalah vektor di R³, maka

( )

¹²

2 3 2 2 2

1 u u

u = u +u +u = ⋅ Selanjutnya diperoleh definisi berikut

• Definisi. Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka norma (atau panjang) vektor u dinyatakan oleh u dan didefinisikan oleh

2

u 1

u, u =

• Definisi. Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka jarak antara dua titik (vektor) u dan v dinyatakan oleh d(u,v) dan didefinisikan oleh

( )

u,v = u−v d

• Contoh 7.

Jika u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) adalah vektor pada Rn dengan hasil kali dalam Euclidis, maka

2 2

2 2 1 2

, 1 = u +u + +u_n

= u u u

dan

( )

(

_{1 1}

) (

² _{2 2}

)

²

( )

²

2

, 1

n

n v

u v

u v u d

− + +

− +

−

=

−

−

=

−

= u v u v u v v

u,

Amatilah bahwa persamaan ini tak lain dari rumus baku untuk norma Euclidis dan jarak yang dibahas pada sub bab “Ruang-n Euclidis”.

• Teorema 20.

(Ketaksamaan Cauchy-Schwarz). Jika u dan v adalah vektor pada sebuah ruang hasil kali dalam, maka

v v u u v

u, ² ≤ , ,

Berikut adalah tinjauan terhadap sifat-sifat yang paling penting dari panjang Euclidis dan jarak Euclidis dalam R² dan R³ dalam bentuk tabel

Sifat-sifat dasar panjang (L) Sifat-sifat dasar jarak (D)

L1. u ≥0 ^D1. d

( )

u,v ≥0

L2. u =0 jika dan hanya jika u=0 D2. d

( )

u^,v =⁰ jika dan hanya jika u=v L3. ku = k u ^D3. d

( ) ( )

u,v =d v,u

L4. u+v ≤ u + v ^D4. d

( ) (

u,v ≤d u,w

) (

+d w,v

)

Teorema berikutnya akan mengakui definisi-definisi mengenai normal dan jarak pada ruang hasil kali dalam

• Teorema 21.

Jika V adalah ruang hasil kali dalam, maka norma u = u, u ¹² dan jarak d(u,v) = ||u–v|| memenuhi semua sifat yang didaftarkan pada tabel di atas.

• Definisi. Dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor u dan v dinamakan ortogonal jika u,v =0. Selanjutnya jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada himpunan W, maka kita katakan bahwa u ortogonal terhadap W.

• Teorema 22.

(Teorema Pythagoras yang digeneralisasi). Jika u dan v adalah vektor- vektor ortogonal pada ruang hasil kali dalam, maka

||u + v||² = ||u||² + ||v||²

3.11 BASIS ORTONORMAL; PROSES GRAM-SCHMIDT

• Definisi. Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berada dalam himpunan tersebut ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norma 1 dinamakan ortonormal.

• Contoh 8

Misalkan v1 =

(

^0,1,0

)

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

2 , 1 0 , 2 1

v2 dan ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= 2

, 1 0 , 2 1 v3

Himpunan S = {v1, v2, ....,vn} ortonormal jika R³ mempunyai hasil kali dalam Euclidis, karena v₁,v₂ = v₁,v₃ = v₂,v₃ =0 dan

3 1

2

1 = v = v =

v

Jika v adalah vektor taknol pada ruang hasil kali dalam, maka menurut sifat L3 dari teorema 20 vektor

v v

1 mempunyai norma 1, karena

1 1

1 = v =

v v v

Proses pengalian vektor v taknol ini dengan kebalikan panjangnya untuk mendapatkan vektor yang normanya 1 dinamakan menormalisasikan v.

Himpunan ortogonal dari vektor taknol selalu dapat dikonversikan terhadap ortonormal dengan menormalisasikan vektornya masing-masing

• Contoh 9

Himpunan S = {u1, u2, u3}, dimana

u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), dan u3 = (1, 0, -1) adalah ortogonal, karena u₁,u₂ = u₁,u₃ = u₂,u₃ =0.

Karena u₁ =1, u₂ = 2, dan u₃ = 2 , dengan menormalisasikan masing-masing vektornya akan menghasilkan himpunan ortonormal pada contoh 8

• Teorema 23.

Jika S = {v1, v2, ....,vn} adalah basis ortonormal untuk ruang hasil kali dalam V, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka

n n v v u v

v u v v u

u= , _{1 1}+ , _{2 2} + + ,

• Teorema 24.

Jika S = = {v1, v2, ....,vn} adalah himpunan ortogonal vektor taknol dalam ruang hasil kali dalam, maka S bebas linear.

• Teorema 25.

Misalkan V adalah ruang hasil kali dalam dan = {v1, v2, ....,vn} adalah himpunan ortonormal dari vektor-vektor V. Jika W menyatakan ruang yang direntang oleh v1, v2, ....,vn maka setiap vektor u dalam V dapat diungkapkan dalam bentuk

u = w1 + w2

dimana w1 terletak di W dan w2 ortogonal terhadap W dengan memisalkan

n n v v u v

v u v v u

w₁ = , _{1 1}+ , _{2 2} +…+ , dan

n n v v u v

v u v v u u

w₂ = − , _{1 1}− , _{2 2} −…− , (Lihat gambar3.9 untuk melukiskannya pada R³)

Gambar 3.9

Menurut gambar 3.9 maka kita namakan sebagai proyeksi ortogonal u pada W dan menyatakannya dengan proyw u. Vektor w2 = u - proyw u kita namakan komponen u yang ortogonal terhadap W. Dengan notasi ini rumus (3.3) dan

(3.4) dapat dituliskan sebagai

n n

wu u,v v u,v v u,v v

proy = _{1 1}+ _{2 2}+…+

(proyeksi ortogonal u pada W)

n n

w u u u v v u v v u v v

u−proy = − , _{1 1}− , _{2 2} −…− , (komponen u ortogonal terhadap W)

3.3

3.4

3.5

3.6 W

u

w2

w1

• Contoh 10.

Misalkan R³ mempunyai hasil kali dalam Euclidis dan misalkan W adalah subruang yang direntang oleh vektor-vektor ortonormal v₁=

(

0,1,0

)

dan

(

₅⁴ ₅³

)

2 = − ,0,

v . Proyeksi ortogonal u = (1, 1, 1) pada W adalah

( )( ) ( )( ) (

25

)

3 , 25 4 5 3 5 4 5 1

2 2 1

1

, 1 ,

0 , 0

, 1 , 0 1

, ,

proy

−

=

−

− +

=

+

= u v v u v v

wu

Komponen u yang ortogonal terhadap W adalah

(

^1,1,1

) (

₂₅⁴_,^1, ₂₅³

) (

₂₅²¹_,^0,₂₅²⁸

)

proy = − − =

− u

u _w

Perhatikanlah bahwa u−proy_wu ortogonal baik terhadap v1 maupun v2

sehingga vektor ini ortogonal terhadap setiap vektor para ruang W yang direntang oleh v1 dan v2 sebagai mana yang diharapkan.

• Teorema 26.

Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol mempunyai sebuah basis ortonormal.

Misalkan V adalah sebarang ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol dan misalkan S = {u1, u2, ..., un} adalah sebarang basis untuk V. Urutan langkah-langkah berikut akan menghasilkan basis ortonormal {v1, v2, ..., vn} untuk V Æ Proses Gram-Schmidt

Langkah 1. Misalkan v₁ =u₁ u₁ . Vektor v1 mempunyai norma 1.

Langkah 2. Buat/bangun vektor v2 yang normanya 1 yang ortogonal terhadap v1. Caranya adalah hitung komponen u2 yang ortogonal terhadap ruang W1 yang direntang oleh v1 dan kemudian normalisasikanlah komponen u2 tersebut; yakni

1 1 2 2

1 1 2 2 2 1 2

1 2 2

2 ,

, proy

proy

v v u u

v v u u u u

u v u

−

= −

−

= −

w w