BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.

(1)

BAB 6 RUANG HASIL KALI

DALAM

Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.

(2)

KERANGKA PEMBAHASAN

1. Hasil Kali Dalam

2. Sudut dan Keortogonalan pada Ruang Hasil Kali Dalam

3. Basis Ortogonal, Proses Gram-Schmidt 4. Perubahan Basis

5. Matriks Ortogonal

(3)

6.1 HASILKALI DALAM

Definisi

Misalnya V adalah suatu ruang vektor, dan , ̅ ∈ maka notasi < , >

dinamakan hasilkali dalam jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut:

1. , ̅ = ̅, (Simetris)

2. + ̅, = , + ̅, (Aditivitas)

3. untuk suatu kR, , ̅ = , ̅ = , ̅ (Sifat Homogenitas) 4. , ≥ 0 , untuk setiap dan , = 0 ↔ = 0 (Sifat Positifitas)

Ruang vektor yang dilengkapi dengan operasi hasilkali dalam dinamakan Ruang Hasilkali Dalam (RHD)

(4)

NORM VEKTOR

Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam, maka norm (panjang) sebuah vektor dinyatakan oleh :

= ̅, ̅ > 0

Contoh 1 : Ruang Hasil Kali Dalam Euclid ( Rⁿ ) Misalkan , ̅ ∈ maka , ̅ = + +...+

= , > 0

=

+ +...+

(5)

CONTOH 2

Misalnya W  R³ yang dilengkapi dengan operasi hasil kali , ̅ = 2 + +3 , dengan , ̅ ∈

Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam Jawab :

Misalkan , ̅, ∈ , maka

(i). , ̅ = 2 + +3

= 2 + +3

= ̅,

(terbukti simetris)

(6)

(ii). + ̅, = (u₁+v₁, u₂+v₂, u₃+v₃), (w₁, w₂, w₃)

= 2(u₁+ v₁)w₁ + (u₂+v₂)w₂ + 3(u₃+v₃)w₃

= 2u₁w₁+2v₁w₁+u₂w₂ +v₂w₂+3u₃w₃+3v₃w₃

= 2u₁w₁+u₂w₂+3u₃w₃+2v₁w₁+v₂w₂+3v₃w₃ (bersifat aditivitas) (iii) untuk suatu kR,

, ̅ = (ku₁, ku₂, ku₃), (v₁, v₂, v₃)

= 2ku₁v₁ + ku₂v₂ + 3ku₃v₃

= k2u₁v₁ + ku₂v₂ + k.3u₃v₃ (bersifat homogenitas) (iv). , = 2 + +3

Jelas bahwa , > 0 untuk setiap dan , = 0 jika = 0 (Sifat Positifitas)

Untuk vektor R², , = +

(7)

CONTOH 3

Tunjukan bahwa , ̅ = + 2 − 3 bukan merupakan

hasil kali dalam

JAWAB:

Perhatikan ^, ⁼ + 2 − 3

Pada saat 3u₃² > u₁² + 2u₂² maka ,

< 0

Tidak memenuhi Sifat positivitas Bukti dengan u = (2,2,2)

, = 2 + 2. 2 − 3 2 = 0  seharusnya nol hanya pada u = (0,0,0)

(8)

CONTOH 4: MENGGUNAKAN HASILKALI DALAM EUCLIDIAN TERTIMBANG

Penting diketahui bahwa norma dan jarak tergantung pada HASILKALI DALAM YANG DIGUNAKAN. Contohnya, vektor u = (1,0) dan v = (0,1):

1. Hasilkali dalam Euclid

2. Hasilkali dalam Euclid tertimbang

(9)

CONTOH 5: LINGKARAN SATUAN TAKBIASA DI R ²

1. Sketsakan lingkaran satuan di sistem koordinat-xy di R² menggunakan hasilkali dalam Euclid , ̅ = +

2. Sketsakan lingkaran satuan di sistem koordinat-xy di R² menggunakan hasilkali dalam Euclid tertimbang , ̅ = +

JAWAB

1. Jika u = (x,y) maka = , = + . Pada lingkaran satuan maka +

= 1 atau + = 1

2. Jika u = (x,y) maka = , = + . Pada lingkaran satuan maka + = 1 atau + = 1

(10)

HASILKALI DALAM DITURUNKAN DENGAN MATRIKS

Jika

Maka hasilkasli dalamnya adalah

• , ̅ = .

• , ̅ =

Jika

maka

(11)

CONTOH 6

Diketahui

Hasilkali dalamnya adalah mengikuti rumus , ̅ =

(12)

CONTOH 7

Diketahui matriks

maka

dan jaraknya:

= . = 1 + 2 + 3 + 4 = 30

= . = (−1) +0 + 3 + 2 = 14

(13)

HASILKALI DALAM POLYNOMIAL

Jika

adalah dua vektor di P

₂

, maka Normanya:

CONTOH:

= 3 + 5 − 6 dan = 4 + 3 + 2 , = 3.4 + 5.3 + −6 . 2 = 15

= 3 + 5 + −6 = 70

(14)

HASILKALI DALAM FUNGSI

Misalkan f = ( ) dan g = ( ) adalah dua fungsi di C [a,b] dan didefinisikan:

ditambah satu fungsi s = ( ) , maka hasilkali dalamnya:

NORMANYA:

(15)

SIFAT-SIFAT HASILKALI DALAM

(16)

6.2 SUDUT DAN KEORTOGONALAN PADA RUANG HASILKALI DALAM

Subbab ini membahas

1. Definisi gagasan SUDUT antara dua vektor di ruang hasilkali dalam

2. Penggunaan konsep ini untuk mendapatkan beberapa

hubungan dasar antar vektor pada hasilkali dalam,

termasuk hubungan geometri mendasar antara ruang-

nul dan ruang kolom dari sebuah matriks

(17)

KETIDAKSAMAAN CAUCHY-SCHWARZ

Sudut antara dua vektor dalam suatu RHD : cos = , ̅

̅

Karena cos ≤ 1, maka

, ̅

̅ ≤ 1

Hal ini terbukti dengan KETIDAKSAMAAN CAUCHY-SCHWARZ:

, ̅ ≤ ̅

(18)

SIFAT-SIFAT PANJANG DAN JARAK

SIFAT-SIFAT PANJANG SIFAT-SIFAT JARAK

(19)

SUDUT ANTAR-VEKTOR

Jika ^, ≤ 1 dikuadratkan maka ^, ≤ 1 atau ekueivalen dengan:

−1 ≤

^{̅, ̅}

̅ ̅ ≤ 1

(20)

CONTOH

Tentukan sudut dua vektor: u = (4,3,1,-2) dan v = (-2,1,2,3) Jawaban:

= 1.97 rad

(21)

ORTOGONALITAS

Seperti pada bab sebelumnya, ortogonal berarti tegak lurus atau terjadi saat cos  = 0 atau . =

Contoh: Apakah dua matriks berikut ortogonal?

(ORTOGONAL)

(22)

CONTOH: ORTOGONAL VEKTOR DI P ₂

Misalkan p = x dan q = x², maka

Karena , = 0, maka vektor p = x dan q = x² ortogonal relatif terhadap hasilkali dalam yang diketahui

Diketahui hasilkali dalam berikut:

(23)

PYTHAGORAS

Jika u dan v vektor ortogonal di RHD, maka

+ = +

Contoh: Seperti contoh sebelumnya dengan

Pythagoras: maka

Bukti dengan integrasi:

(24)

PELENGKAP ORTOGONAL

Jika V bidang melalui asal R3 dengan RHD Euclid, maka semua vektor di L tegak lurus dengan setiap vektor di V

DEFINISI

Misalkan W subruang dari RHD V. Sebuah vektor u di V dikatakan ortogonal terhadap W jika dia

ortogonal terhadap setiap vektor di W, dan kumpulan semua vektor di V yang ortogonal

terhadap W disebut pelengkap ortogonal dari W

(W

^

)

(25)

SIFAT-SIFAT PELENGKAP ORTOGONAL

Jika W adalah sebuah subruang RHD V dimensi-tentu, maka

1. W

^

adalah subruang dari V

2. Hanya ada satu vektor yang umum terhadap W dan W

^

adalah 0

3. Pelengkap ortogonal dari W

^

adalah W, sehingga (W

^

)

^

= W

(26)

HUBUNGAN GEOMETRIK ANTARA RUANG-NUL DAN RUANG BARIS

Jika A adalah matriks m x n, maka

1. Ruang-nul A dan ruang baris A adalah pelengkap ortogonal di R

ⁿ

berhubungan dengan RHD Euclid 2. Ruang-nul A

^T

dan ruang kolom dari A adalah

pelengkap ortogonal di R

^m

berhubungan dengan RHD

Euclid

(27)

CONTOH

Misalkan W adalah subruang R⁵ yang direntangkan oleh vektor

Temukan basis untuk pelengkap ortogonal W!

JAWAB:

Matriks baris yang dibentuk oleh W:

Ruang-nul A adalah pelengkap ortogonal A, dan didapatkan:

Maka basis pelengkap ortogonal W adalah v1 = (-1,1,0,0,0) dan v2 = (-1,0,-1,0,1)

(28)

PERNYATAAN YANG EKUIVALEN

(29)

6.3 BASIS ORTONORMAL, PROSES GRAM-SCHMIDT

Sebuah himpunan vektor pada RHD dinamakan himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegak lurus).

Himpunan ORTONORMAL  himpunan ortogonal yang setiap vektornya memiliki panjang (normnya) satu.

Misalkan, T = {c₁, c₂, …, c_n} pada suatu RHD

T dikatakan himpunan vektor ortogonal jika <c_i, c_j> = 0 untuk setiap i ≠ j

Sedangkan, T dikatakan himpunan vektor ortonormal jika untuk setiap i berlaku

= 1

(30)

CONTOH

Misalkan

Maka himpunan vektor tersebut ortogonal karena Tentukan ortonormal vektor tersebut!

JAWAB:

Normalisasi u menghasilkan:

ortonormal karena

(31)

BASIS ORTONORMAL

Dalam RHD, basis yang mengandung vektor-vektor ortonormal disebut BASIS ORTONORMAL dan basis yang mengandung vektor-vektor ortogonal disebut BASIS ORTOGONAL

Contoh:

Vektor-vektor yang ada di Gambar 2 adalah basis ortonormal:

Pada R lebih tinggi:

Gambar 2

(32)

KOORDINAT RELATIF TERHADAP BASIS ORTONORMAL

TEOREMA:

Jika = , , … , adalah basis ortonormal untuk RHD V, dan u adalah vektor di V, maka

= , + , + ⋯ + ,

Contoh: Nyatakan vektor u = (1,1,1) sebagai kombinasi linear dari

= , , dan tentukan koordinat u

Koordinat u relatif tehadap S:

(33)

TEOREMA 6.3.2

(34)

CONTOH

Seperti contoh sebelumnya, tentukan norma u = (1,1,1) menggunakan Teorema 6.3.2 (a):

JAWAB:

Menggunakan cara biasa:

Menggunakan teorema:

(35)

KOORDINAT RELATIF TERHADAP BASIS ORTOGONAL

Jika = , , … , adalah basis ortonormal untuk RHD V, maka normalisasi vektor tersebut menghasilkan basis ortonormal

TEOREMA 6.3.3

Jika = , , … , adalah himpunan ortogonal vektor-

vektor bukan-nol di RHD, maka S adalah bebas linear.

(36)

CONTOH

Seperti pada contoh sebelumnya:

adalah

• membentuk himpunan ortogonal di RHD Euclid di R

³

• membentuk himpunan bebas linear

• karena R

³

memiliki dimensi-3, maka = , , adalah basis

ortonormal untuk R

³

(37)

PROYEKSI ORTOGONAL (TEOREMA 6.3.4)

Jika W adalah subruang dari RHD V dimensi-tentu, maka setiap vektor u di V dapat dinyatakan secara pasti dengan

= +

dengan di W dan adalah di W^

(38)

CONTOH

Misalkan R³ memiliki RHD Euclid, dan misalkan W subruang yang dibentangkan oleh vektor-vektor ortonormal = 0,1,0 dan

= − , 0, . Proyeksi ortogonal u = 1,1,1 pada W adalah

Komponen u yang ortogonal terhadap W adalah

(39)

MENEMUKAN BASIS ORTOGONAL DAN ORTONORMAL:

PROSES GRAM-SCHMIDT

Tahap 1. Misalkan

=

Tahap 2. Seperti diilustrasikan pada Fig. 6.3.3, kita dapat menemukan sebuah vektor yang ortogonal terhadap dengan menghitung

komponen yang ortogonal terhadap yang dibentangkan oleh .

Jika = 0, maka bukan vektor basis

(40)

CONTOH

Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasikan vektor-vektor basis

= (1,1,1), = (0,1,1) dan = (0,0,1) terhadap basis ortogonal , ,

JAWAB: Dengan demikian,

membentuk basis ortogonal untuk R³. Normanya adalah

maka basis ortonormalnya:

(41)

DEKOMPOSISI-QR

PERMASALAHAN: Jika A adalah matriks m x n yang vektor kolomnya bebas linear, dan jika Q adalah matriks dengan vektor kolom ortonormal yang

dihasilkan dari penerapan proses Gram-Schmidt terhadap vektor kolom A, apakah hubungan, kalau ada, di antara A dan Q?

Untuk menyelesaikan permasalahan ini, andaikan bahwa vektor kolom A

adalah , , …, dan vektor kolom ortonormal Q adalah , , …, ; maka

A = QR

dengan R adalah MSA

(42)

CONTOH

Temukan dekomposisi-QR matriks:

JAWAB:

Matriks kolom A:

Vektor ortonormal dengan proses Gram-Schmidt:

(43)

6.4 PERUBAHAN BASIS

Sebuah basis mungkin tepat untuk satu permasalahan tapi tidak tepat untuk permasalahan lainnya, karena itu perlu adanya perubahan basis

Perubahan basis dapat menyebabkan perubahan koordinat

(misalnya R

³

ke R

²

atau sebaliknya)

(44)

VEKTOR KOORDINAT

TEOREMA 5.4.1:

Jika = , , … , adalah basis ruang vektor V, maka setiap v di V dapat dinyatakan secara unik dengan kombinasi linear:

= + + ⋯ +

dengan , ,… , adalah koordinat v relatif terhadap S, dan vektor ( ) = ( , ,… , )

adalah vektor koordinat v relatif terhadap S atau dinyatakan dengan:

[ ] =

⋮

(45)

PERUBAHAN BASIS: PERMASALAHAN

Jika merubah basis ruang vektor V dari basis lama B ke basis baru B’, bagaimana vektor koordinat lama [ ] dari vektor v yang berhubungan dengan vektor koordinat baru [ ] ? Simpelnya kita terapkan pada dimensi-2:

Misalnya = ( , ) dan = ( , ). Kita perlu vektor koordinat basis baru terhadap basis lama:

= dan =

= +

[ ] =

(46)

PERUBAHAN BASIS: SOLUSI

Jika kita merubah basis ruang vektor V dari basis lama

= ( , , … , ) dan = ( , , … , ), maka vektor koordinat [ ] dihubungkan dengan vektor koordinat baru [ ] dari vektor v yang sama dengan persamaan

dengan P adalah vektor koordinat dari vektor basis yang baru relatif terhadap basis lama.

Vektor kolom P adalah

Vektor P disebut MATRIKS TRANSISI dari ke :

Vektor Q disebut MATRIKS TRANSISI dari ke : Q = P

^-1

(47)

CONTOH

Misalnya = ( , ) dan = ( , ) adalah

a). Temukan matriks transisi dari ke b). Temukan [ ] , jika

c). Temukan Q JAWABAN:

a).

b). Atau

c). Q = P^-1, maka sehingga

(48)

6.5 MATRIKS ORTOGONAL

Matriks bujur-sangkar A yang memiliki sifat A

^-1

= A

^T

disebut MATRIKS ORTOGONAL

Mengikuti definisi ini maka A disebut ortogonal adalah jika dan hanya jika AA

^T

= A

^T

A = I

CONTOH:

adalah ortogonal karena

(49)

MATRIKS ROTASI ADALAH ORTOGONAL

Matriks rotasi searah jarum jam pada R

²

:

Jika A ditransposkan dan dikalikan dengan A:

(50)

PERNYATAAN YANG EKUIVALEN

(51)

TEOREMA 6.6.2

Contoh: adalah ortogonal karena det(A) = 1

dan pertukaran baris menghasilkan det(A) = -1

(52)

MATRIKS ORTOGONAL SEBAGAI OPERATOR LINEAR

(53)

BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.