Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer

MA1223 3 SKS Silabus :

Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks

Bab III Sistem Persamaan Linear

Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang Bab V Ruang Vektor

Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam Bab VII Transformasi Linear

Bab VIII Ruang Eigen

Ruang Hasilkali Dalam (RHD)

Sub Pokok Bahasan – Definisi RHD

– Himpunan Ortonormal – Proses Gramm Schmidt Aplikasi RHD :

bermanfaat dalam beberapa metode optimasi,

seperti metode least square dalam peminimuman error dalam berbagai bidang rekayasa.

Definisi RHD

Misalnya V adalah suatu ruang vektor, dan maka notasi < , > dinamakan

hasil kali dalam

jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut:

1. (Simetris)

2. (Aditivitas)

3. untuk suatu kR, (Sifat Homogenitas)

4. , untuk setiap

dan (Sifat Positifitas)

V v

u, 





 u , v  v , u 







 u v, w  u, w    v, w 





 k ,u v _{ u , k v   k  u, v }

0 ,  

 u u

0 ,  

 u u ^{ u  0}

u

Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam, maka norm (panjang) sebuah vektor

dinyatakan oleh :

yang didefinisikan oleh : Contoh 1 :

Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( Rⁿ ) Misalkan ,  Rⁿ maka

= (u₁² + u₂² + …..+u_n²)^½

0 , ¹² 

 u u

 u

u

u

n nv u v

u v

u v

u    

 , _{1 1 2 2} ...

u v

0 ,  ¹² 

 u u

 u

Contoh 2 :

Misalnya W  R³ yang dilengkapi dengan operasi hasil kali dalam ,

dimana

Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam Jawab :

Misalkan

2u₁v₁ + u₂v₂ + 3u₃v₃

= 2 v₁u₁ + v₂u₂+ 3v₃u₃

(terbukti simetris)

3 3 2

2 1

1 3

2

, v u v u v u v

u    

 W v

u, 

W w

v

u, , 





 u , v





 v , u

<(u₁+v₁, u₂+v₂, u₃+v₃), (w₁, w₂, w₃)>

= 2(u₁+ v₁)w₁ + (u₂+v₂)w₂ + 3(u₃+v₃)w₃

= 2u₁w₁+2v₁w₁+u₂w₂ +v₂w₂+3u₃w₃+3v₃w₃ = 2u₁w₁+u₂w₂+3u₃w₃+2v₁w₁+v₂w₂+3v₃w₃ (bersifat aditivitas) (iii) untuk suatu kR,

<(ku₁, ku₂, ku₃), (v₁, v₂, v₃)>

= 2ku₁v₁ + ku₂v₂ + 3ku₃v₃ = k2u₁v₁ + ku₂v₂ + k.3u₃v₃

(bersifat homogenitas)







 u v, w )

ii (











 u, w v, w





 k ,u v





 u , k v





 k u, v

Jelas bahwa dan

Contoh 3 :

Periksa apakah

merupakan hasil kali dalam Jawab :

Perhatikan

Pada saat 3u₃² > u₁² + 2u₂²

maka

2 3 2

2 2

1 3

2 ,

) iv

( u u   u u  u

u u

u, ¹²  0 untuk setiap



0 jika

hanya 0

,   

 u u u

1 1 2 2 3 3

, 2 3

u v u v u v u v

    

2 3 2

2 2

1 3

2

, u u u u

u    



0 ,  

u u

Tidak memenuhi Sifat positivitas

cf ad

v

u  

 ,

) , ,

(a b c

u  v  (d,e, f )



 u , v

Contoh 4 :

Diketahui

dimana dan

Apakah merupakan hasil kali dalam?



u, u ^{ 0}

) 0 , 2 , 0

 (

u ^{ u , u  0}

 0 u





 u , v

Jelas bahwa = ( a² + c² ) Misalkan diperoleh

Padahal ada

Aksioma terakhir tidak terpenuhi.

Jadi

ad + cf bukan merupakan hasil kali dalam.

Jawab :

Himpunan Ortonormal

Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan ortogonal

jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegak lurus).

Himpunan ortonormal  himpunan ortogonal yang setiap vektornya memiliki panjang (normnya) satu.

Secara Operasional

Misalkan, pada suatuRHD T dikatakan himpunan vektor ortogonal jika

untuk setiap i ≠ j

Sedangkan, T dikatakan himpunan vektor ortonormal jika untuk setiap i berlaku



^{c c c}_n



T  ₁, ₂,...,

0

,  

 c_i c _j

 1 ci

Contoh 5 :

1.

Pada RHD Euclides, A bukan himpunan ortogonal.

2.

Pada RHD Euclides, B merupakan himpunan ortonormal.

3.

Pada RHD Euclides, C merupakan himpunan ortonormal.



 



 







 

 



 

0

1 - 0

1

,

A









 



 



 



 



 

1 -

0 0

1

,

B



































 

2 1

2 1

2 1

2 1

C

Misalkan

adalah basis ortonormal untuk RHD V Jika adalah sembarang vektor pada V, maka

Perhatikan bahwa, untuk suatu i berlaku :

Karena S merupakan himpunan ortonormal dan



^{v v v}_n



S  ₁, ₂,...,

u

n nv k v

k v

k

u  _{1 1}  _{2 2}  ...















 u, v_i k₁v₁ k₂v₂ ... k_nv_n, v_i



























k₁ v₁,v_i k₂ v₂,v_i ... k_i v_i,v_i ... k_n v_n,v_i

i v

v_i, _i   1 untuk setiap j 

i v

v_{i j}  

 , 0 untuk setiap ^dan

Sehingga, untuk setiap i berlaku

i

i k

v

u 

 ,

n

n v

v u v

v u v

v u

u  , ₁  ₁  , ₂  ₂ ...  , 

n nv k v

k v

k

u  _{1 1}  _{2 2}  ... Kombinasi linear

Ditulis menjadi

Contoh 6 :

Tentukan kombinasi linear dari 

 



  2 a 1

pada RHD Euclides berupa bidang yang dibangun



















2 1

2 1

u 













 

2 1

2 1

dan v

Jawab :

v v

a u

u a

a  ,    , 

v u

a 



 





 



 



 



 



 



 



 



 



 

2 1

2 1

2 1

2 1

2 , , 1

2 1 2

1

 

^v

u

a  ¹ ₂   ¹ ₂

Perhatikan …..

u dan v mrp Basis ortonormal

v k u

k

a  ₁  ₂

Proses Gramm-Schmidt



^{c c c}_n



S  ₁, ₂, 



^{w w w}_n



B  ₁, ₂ , ... ,

basis bagi suatu RHD V

basis ortonormal bagi V

1 1

. 1

1 c

w  c

Langkah yang dilakukan

2. Langkah kedua

c²

w1 p₁

q1

w2

w2

c2

1

2 1 1

1 2 2 2 1 1

1

, ,

w

c w w

p proy c c w w

w

 

   

1 2

1 c p

q  

2 1

2 2

1 1

2 2

2

, ,

,

w w

c c

w w

c w c









  Vektor satuan searah q1

3. Langkah ketiga c₃ w₃

W

c3

w1 w2

p2

q2

w3

2 2

3 1

1 3 3

2 proy c c ,w w c ,w w

p  _W      q₂  c₃  p₂

3 3 1 1 3 2 2

3

3 3 1 1 3 2 2

, ,

, ,

c c w w c w w

w c c w w c w w

     

      

Vektor satuan Yang tegak lurus

Bidang W

Contoh 7 :

Diketahui :

B merupakan basis pada RHD Euclides di R³.

Transformasikan basis tersebut menjadi basis Ortonormal

Jawab :

Langkah 1.





























 















 



















1 0 0 ,

1 1 0 ,

1 1 1

3 2

1 u u

u B

1 1 1

u

v  u  

3 1 , 1 ,

 1

























 3 1

3 1

3 1

Langkah 2

2 2

2 2

2

1 1

u proy u

u proy v u

v v



 

 



 







 



 









3 , 1 3 , 1 3 2

3 , 1 3 , 1 3 1 3 1 2

, 1 , 0

, _{1 1}

2 2

2

2 proy ₁u u u v v

u _v

3 6 9

1 9 1 9 4 2

2  proy ₁u    

u _v

















 1

6 1

6 2

v2

Sementara itu,

Karena itu,

sehingga :

Langkah 3

Sementara itu,

sehingga :

3 3

3 3

3 u proy u

u proy v u

W W



 

 



 

 





 





 



 



 











2 , 1 2 , 1 0

6 , 1 6 , 1 6 2 6

1 3

, 1 3 , 1 3 1 3 1 1

, 0 , 0

,

, _{1 1 3 2 2}

3 3

3

3 proy u u u v v u v v

u W





















1 2 1 3

0 v

Jadi,

 ^v

₁

^{, v}

₂

^{, v}

₃



merupakan basis ortonormal untuk ruang vektor R³ dengan hasil kali dalam Euclides































































2 1

2 1

6 1

6 1

6 2

3 1

3 1

3

1 0

,

= ,

Contoh 8 :













































1 1 0 , 1 0 1

















 1 1 1 u

Diketahui bidang yang dibangun oleh merupakan subruang

dari RHD Euclides di R³

Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor

pada bidang tersebut.

Jawab :

















 

















1 1 0 ,

1 0 1

2

1 v

v Diketahui

Selain membangun subruang pada RHD Karena

merupakan basis bagi subruang pada RHD tsb.

himpunan tsb juga saling bebas linear (terlihat bahwa ia tidak saling kelipatan).



^v₁^{, v}₂



Langkah awal :

Basis tersebut  basis ortonormal.

 

     

 



 















2 , 1 0 2 , 1

2 1 , 0 , 1

1 0

1

1 , 0 , 1

2 2

2 1 1 1

v w v

 

2 1

2 0 1

0

2 , 1 0 2 , 1

1 , 1 , 0 , ₁

2













 



 

 w

Perhatikan bahwa : v



 



 



 



 

2 , 1 0 2 , 1

2 , 1 0 2 , 1 2

, _{1 1} 1 2 w w

v

 



 







 



 





2 , 1 1 2 , 1

2 , 1 0 2 , 1 1

, 1 , 0 , _{1 1}

2

2 v w w

v

 

1 6 4 6

4 1 1 4 1

2 1 1

2 , 1

2 2 2

1 1 2 2













 



 

 



 





 v w w

v

Sehingga:

Akibatnya :

Akhirnya, diperoleh



 









 







 

6 , 1 6 , 2 6 1 2 6 1

2 , 1 1 2 , 1

, ,

1 1 2 2

1 1 2 2 2

w w v v

w w v w v































































1 6 2

6 1

, 2 1 0 2 1

Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tsb

=

















 1 1 1 u

u oy _W

Pr  u,w₁ w₁  u,w₂ w₂

 

2 2

2 1

0 2 1

2 , 1 0 , 2 1 1 , 1 , 1 , ₁











 



 



 

 w u

Proyeksi Orthogonal Vektor

pada bidang tersebut adalah

Perhatikan bahwa :

Sementara itu :

6 2

6 1 6

2 6

1 , 1 1 1 ,

6 1

6 2

6 1

2















































 wu

u oy _W

Pr  u, w1 w1  u,w2 w2



















 

 















3 1 3 2

3 1

1 0 1























3 43 2 3 2

Dengan demikian,

=













































1 1 0 , 1 0 1

















 1 1 1 u

Contoh 9 :

Diketahui bidang yang dibangun oleh

merupakan subruang dari RHD Euclides Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor

pada bidang tersebut.

^v₁^{, v}₂

v1 v₂

Jelas bahwa

merupakan basis bagi bidang tersebut, karena dan saling bebas linear

Jawab

Basis tersebut akan ditransformasikan menjadi basis ortonormal.

 

     

 



 



 











2 , 1 0 , 2 1

2 1 , 0 , 1

1 0

1

1 , 0 , 1

2 2

2 1 1 1

v w v

Perhatikan bahwa :

 

2 1

2 0 1

0

2 , 1 0 2 , 1 1 , 1 , 0 , ₁

2













 



 

 w v

Sehingga:



 



 



 



 

2 , 1 0 2 , 1 2

, 1 0 , 2 1 2

, _{1 1} 1

2 w w

v

 



 







 









2 , 1 1 2 , 1

2 , 1 0 2 , 1 1

, 1 , 0 , _{1 1} 2

2 v w w v

akibatnya

u

u oy _W

Pr  u,w₁ w₁  u,w₂ w₂

Proyeksi Orthogonal Vektor pada bidang W adalah:















 

 















3 1 3

2 3 1

1 0 1

















 4

3 2 3 2

=



 









 







 

6 , 1 6 , 2 6 1 2 6 1

2 , 1 1 2 , 1

, ,

1 1 2 2

1 1 2 2 2

w w v

v

w w v w v









































































6 1

6 2

6 1

, 2 1 0 2 1

Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tersebut adalah :

Latihan Bab VI



 u , v



 u , v



 u , v

1. Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali dalam atau bukan

= u₁²v₁ + u₂v₂² di R²

= u₁v₁ + 2u₂v₂ – u₃v₃ di R³

= u₁v₃ + u₂v₂ + u₃v₁ di R³

a.

b.

c.

2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1) dan vektor (k, 5, 6 ) adalah orthogonal

dalam ruang Euclides !

















0 1 1

















1 0 1















 

2 1

1

3. W merupakan subruang RHD euclides di ³

yang dibangun oleh vektor

dan

Tentukan proyeksi orthogonal vektor pada W