Aljabar Linear Elementer

(1)

Aljabar Linear Elementer

MA1223

3 SKS

Silabus :

Bab I Matriks dan Operasinya

Bab II Determinan Matriks

Bab III Sistem Persamaan Linear

Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang

Bab V Ruang Vektor

Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam

Bab VII Transformasi Linear

(2)

VII Transformasi Linear

Sub pokok Bahasan

• Definisi Transformasi Linear • Matriks Transformasi

• Kernel dan Jangkauan

Beberapa Aplikasi Transformasi Linear

• Grafika Komputer

• Penyederhanaan Model Matematis • dan lain lain

(3)

Transformasi Linear

Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V  W dinamakan transformasi linear, jika

untuk setiap dan berlaku :

Jika V = W maka T dinamakan operator linear

V b a,   R



a b



 T . 1 T

 

a T

 

b

 

a  T



. 2 T

 

a

(4)

Contoh :

Tunjukan bahwa T : R2_{ R}3_{, dimana}

merupakan tranformasi linear.

Jawab :

Ambil unsur sembarang di R2_,

Misalkan

(i) Akan ditunjukan bahwa

                         y x y x y x T , 2 1        u u u 2 2 1 R v v v _       



u

v

    

T

u

T

v

T







Rumus Transformasi

(5)

Terbukti bahwa



u v



 T                    2 1 2 1 v v u u T



 







                 2 2 1 1 2 2 1 1 v u v u v u v u



 



                 2 2 1 1 2 2 1 1 v u v u v u v u                           2 1 2 1 2 1 2 1 v v v v u u u u



u v

    

Τ u Τ v T   

(6)

(ii) Ambil unsur sembarang

Jadi, T merupakan transformasi linear.

R

u



2

dan





 

_               2 1 u u u                 2 1 2 1 u u u u                       2 1 2 1 u u u u                 2 1 2 1 u u u u 

 

u Τ α 

(7)

Contoh 2 :

Misalkan T merupakan suatu transformasi dari M_2x2 ke R yang didefinisikan oleh

T(A) = det (A), untuk setiap A  M_2x2, Apakah T merupakan Transformasi linier.

Jawab :

Misalkan

maka untuk setiap  R berlaku det (A) = 2 2 4 3 2 1 x M a a a a A _              4 3 2 1 det a a a a    



₁ ₂ ₃ ₄



2det( ) 2 A a a a a     

(8)

Perhatikan bahwa det(A) ≠  det(A) Jadi T bukan transformasi linier.

Contoh 3 :

Diketahui T : P2 (Polinom orde-2)  R2, dimana

a. Apakah T merupakan transformasi linear b. Tentukan            c a b a cx bx a T( 2) ) 1 ( x x2 T   2 3 2 1 u x u x u u    2 3 2 1

v

x

v

x

v





Jawab :

(9)

Sehingga Perhatikan bahwa





v

u



u1  v1

 

 u2  v2

 

x  u3  v3



x2







 



2



3 3 2 2 1 1 v u v x u v x u T v u T       



 





 



_           3 3 1 1 2 2 1 1 v u v u v u v u



 





 



_           3 1 3 1 2 1 2 1 v v u u v v u u                   3 1 2 1 3 1 2 1 v v v v u u u u



 

2



3 2 1 2 3 2 1 u x u x T v v x v x u T      

(10)

Ambil unsur sembarang P2, dan   R, sehingga

Jadi, T merupakan transformasi linear

2 3 2 1 u x u x u u   

 



2



3 2 1 u x u x u T u T     









         3 1 2 1 u u u u    









         3 1 2 1 u u u u            3 1 2 1 u u u u 



2



3 2 1 u x u x u T    

(11)

b.

Suatu transformasi linear T : V  W dapat direpresentasikan dalam bentuk :

 A dinamakan matriks transformasi dari T.

Contoh :

Misalkan, suatu transformasi linear T : R2_{ R}3

didefinisikan oleh :    ) 1 ( x x2 T _               0 0 1 1 1 1

 

u

A

u

T



untuk setiap

_u

 V.                           y x y x y x

(12)

Jawab :

Perhatikan bahwa

Jadi matriks transformasi untuk T : R2_{ R}3_adalah

Jika T : Rn_{ R}m_{merupakan transformasi linear}

maka ukuran matriks transformasi adalah m x n

                                             y x y x y x y x 1 0 0 1 1 1              1 0 0 1 1 1 A

(13)

dimana



v

₁

, v

₂







3 2 : R  R 

   

v_i  u_i 

 

v1₂ v1₂ u1₂ T u v v T      



₁ ₂



₂ ₂



₁ ₂



₃ ₂ 2 3x

v

x



u

x





v1 v2











1 2 1 2 1    u u v v Misalkan

basis bagi ruang vektor dan merupakan transformasi linear

untuk setiap i = 1,2.

Sehingga

Jadi

basis bagi V maka ia punya invers

Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara : Tulis :

2

(14)

                                             1 0 0 , 1 1 0 , 1 1 1 3 2 1 v v v 1 3 : R  P 

 

v

_i

A

v

_i

p

_i

T



x p p x p₁ 1 ; ₂ 1; ₃  2                       2 1 1 dan Contoh 3 : Misalkan

adalah basis bagi R3

Transformasi linear didefinisikan untuk setiap i = 1,2,3.

Tentukan :

Matrix transformasi Jika

(15)





 

_                          2 0 2 ; 0 1 1 ; 1 1 1 1 x _B p₂ _B p₃ x _B p 3 , 2 , 1 ,    v_i p_i _i                      2 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 1                       Jawab : Definisikan : Karena Maka atau

(16)

            0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1             1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 ~            1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ~                             2 2 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 1















1

2

0

1

0

invers matriks dicari dengan OBE :

Sehingga

(17)

                                   2 1 1 2 1 1                           1 1 2 1 1 2 2 1 0 1 0 1 1 1 B x   _{ }          ingat bahwa jadi Sementara itu,



  x



                       1 2 1 1

(18)



2 2



1 , , 1 x  x  x  x  x





            2 1 0 1 x T





             0 2 1 2 x x T





             0 1 2 1 x x2 T



2



1 x x T   Contoh 4 :

Jika T : P₂  R3_{adalah transformasi linear}

dimana

Tentukan

.

Diketahui basis dari polinom orde dua adalah

Gunakan Definisi Membangun

(19)

Jawab :

Perhatikan bahwa

himpunan 3 polinom tersebut adalah basis

bagi polinom orde 2

maka polinom tersebut ditulis nejadi :

Samakan suku-suku sejenis sehingga diperoleh SPL

dengan solusi k₁ =0 , k₂ = 2, dan k₃ = 1.

1

3 2 3 2 1 3 1















k







 

2



3 2 2 1 2 1 1 1 x  x  k  x  k  x  x  k  x  x

(20)

Jadi kombinasi linear diatas berbentuk :

atau

Karena transformasi T bersifat linear maka :



2



 



2

 

2



1 2 1 0 1 x x T x T x x T x x T                                 0 1 2 0 2 1 2            0 5 4



2









2

 

2



1 1 2 1 0 1 x x T x x x x x T          







2

 

2



2 1 1 2 1 0 1 x  x   x   x  x   x  x

(21)

Kernel dan Jangkauan

Misalkan T : V → W merupakan transformasi linear Semua unsur di V yang dipetakan ke vektor nol di W dinamakan kernel T notasi ker ( T ). atau Contoh 5 : Trans. Linear T : P₂  R2 Perhatikan bahwa maka

 



| 0



) (T  u V T u  Ker            c a b a cx bx a T( 2)    ) 1 ( x x2 T _               0 0 1 1 1 1 ) ( 1 x x2 Ker T

(22)

Sementara itu,

karena

Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal transformasi merupakan unsur kernel T.

Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyai vektor tak nol sebagai unsur kernel T.

Teorema :

Jika T : V  W adalah transformasi linear

maka Ker (T) merupakan subruang dari V

Bukti :

Ambil _a_, _b _ _Ker ₍_T₎ sembarang dan Riil

)

(

2

1 

x



x

2



Ker

T

0 1 1 ) 2 1 ( 2 _          x x T

(23)

1. Karena setiap artinya setiap maka Ker(T)  V

2. Perhatikan bahwa artinya setiap

oleh karena itu Ker(T) ≠ { }

3. Karena dan Ker(T)  V

Ingat bahwa V mrp ruang vektor, sehingga berlaku

akibatnya Jadi ) (T Ker a 

 

0 sehingga  V T a a ) ( 0  Ker T

 

0  A0  0 T ) ( , b Ker T a  V b a  



a  b



 Ta Tb  0  0  0 T

 

T b a  ker

(24)

karena V adalah ruang vektor

maka untuk setiap   Riil berlaku :

Jadi,

Dengan demikian, terbukti bahwa

Jika T : V  W adalah transformasi linear maka Ker(T ) merupakan subruang dari ruang vektor V Karena Ker(T ) merupakan subruang

 Basis Ker(T). V a T Ker a ( ) maka  Karena 4.

)

(T

Ker

a









a







T

 

a





0 

0 T

(25)

                    c b a T





 

 2 

 

 2  



2  0                      x c b a x c a b a c b a T Contoh 6 :

Diketahui Transformasi linear T : R3 →_P

2 dengan

Jawab :

Perhatikan bahwa :

=(a + b) + (2a – c)x + (2a + b + c)x2

(26)

0 2 0 2 0 a b a c a b c       _   _      _{ }                             c b a T ₂ 2 a b a c a b c     _  _    _{ }               1 1 2 1 2 0 0 1 1           c b a Ini memberikan sehingga

Jadi, matriks transformasi bagi T adalah

            1 1 2 1 2 0 0 1 1 A

(27)

~ 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 1 1                        0 0 0 1 1 0 1 2 0 0 1 1            0 0 0 2 / 1 0 0 2 / 1 1 0 2 / 1 0 1 ~













0

1

0

1

0

1 ~

Dengan melakukan OBE pada matriks tersebut :

Dengan demikian, Basis ker(T) = { } dan nulitasnya adalah nol.

(28)

                                         1 1 0 , 1 2 1 , 2 0 1



₁_ ₂_x2 _, ₁_ ₂_x _ _x2 _, _ _x _ _x2



Perhatikan hasil OBE

maka basis ruang kolom dari matriks A adalah :

oleh karena itu, basis jangkauan dari T adalah :

(29)

                                           d c b a d c b a d c b a T 2 2 Contoh 7 :

Diketahui transformasi linear T : R4_{ R}3

didefinisikan oleh :

(30)

Jawab :                                            d c b a d c b a d c b a T 2 2                            d c b a 2 1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 1                2 1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 1 A Jadi

(31)

   

4 , 0 R d c b a v v A v T                                           0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 1 ~ 2 1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 1 ~ A

Basis Ker(T) dan Nulitasnya?

Dengan OBE

(32)

0 

v

A

                                                                    0 , , 2 1 1 0 0 0 0 1 1 t s t s d c b a d c b a                                          2 1 1 0 0 , 0 0 1 1

Ker(T) = ruang solusi dari yaitu

Jadi Basis Ker(T) adalah

(33)

                   c a b a c b a T 2





2 4 2 x x x T     _T



₁ ₃_x



 ₇  ₂_x ₂_x2



x



T 3 Latihan 1. Suatu transformasi T : 3_2 didefinisikan oleh

2. Jika suatu transformansi T : P₁  P₂ _{diberikan oleh :}

dan Tentukan

(34)

                         1 1 3 2 1 T                          1 2 1 5 3 T             3 1 T (Untuk no. 3 – 5)

Suatu transformasi linear, T :R2_R3

Yang diilustrasikan sebagai berikut : dan

3. Tentukan matriks transformasi dari T ! 4. Tentukan hasil transformasi,

(35)

                1 2 2 1 1 3 2 1 1 1 2 1 A                    c a b a c b a T 2

7. Misalkan T : 3_2_{didefinisikan oleh}

Tentukan basis Ker(T) dan basis R(T) beserta dimensinya !