DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd

DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER

(BAGIAN II)

DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd

JURUSAN/PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI BANJARMASIN

MARET 2013

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal i MUQADIMAH

Alhamdulillah penyusun ucapkan ke hadirat ALLAH SWT, karena berkat limpahan rahmat, taufik dan hidayah-Nya penyusun dapat menyelesaikan diktat Aljabar Linear ini. Shalawat dan salam juga semoga selalu tercurah kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW beserta sahabat, kerabat, serta ummat beliau yang senantiasa istiqamah mengikuti risalah beliau hingga akhir zaman.

Diktat ini disusun dalam dua bagian, dengan harapan setelah selesai bagian I akan dilaksanakan ujian tengah semester, dan nanti langsung dilanjutkan dengan bagian II. Semoga dengan penyusunan diktat ini dapat membantu mahasiswa dalam belajar Aljabar Linear, tentu saja perlu ditambah dengan buku pendukung lainnya.

Penyusun juga menyadari bahwa diktat ini masih jauh dari sempurna, sehingga saran dan kritik sangat penyusun harapkan.

Banjarmasin, Maret 2013 Penyusun,

TTD

Abdul Jabar, M.Pd

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal ii DAFTAR ISI

Halaman

BAB IV RUANG VEKTOR ……….. 1

4.1 Field ……… 1

4.2 Ruang Vektor ……… 2

4.3 Ruang Vektor Bagian ………. 4

4.4 Kombinasi Linear dan Span ……….. 4

4.5 Bebas Linear ………. 5

4.6 Basis dan Dimensi ……….. 6

4.7 Row Space, Column space dan Null space ……… 8

BAB V RUANG HASIL KALI DALAM ……….. 12

5.1 Hasilkali Dalam Umum ……… 12

5.2 Hasilkali Dalam Khusus ……….. 13

5.3 Panjang vektor , jarak antar vektor ,dan besar sudut dalam RHD ……… 14

5.4 Basis Ortonormal; Proses Gram-Schmidt ……… 15

5.5 Perubahan Basis ……… 18

BAB VI TRANSFORMASI LINEAR ……… 20

BAB VII NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN ………. 25

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 1 BAB IV

RUANG VEKTOR

4.1 Field

Misal { K, + , * }, K adalah himpunan , didefinisikan 2 operasi + (penjumlahan) dan * (perkalian). Akan dikatakan Field jika dipenuhi :

1. untuk setiap ,  K maka  +  K dan  *   K, dikatakan K tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.

2. untuk setiap ,,  K maka (+ ) +  =+ ( + )

3. terdapat 0  K disebut elemen nol, sedemikian sehingga 0 +  =  + 0 =  , untuk setiap

 K

4. untuk masing-masing  K , terdapat -  K disebut negatip dari  sedemikian sehingga (- ) +  =  +(- )=0

5. untuk setiap , K maka  +  =  +  6. untuk setiap ,,  K maka (*)* =* ( * ) 7. untuk setiap ,,  K

(i) *(  +  )=* + *

(ii) (  +  )*  = * + *

8. untuk setiap , K maka  *  =  * 

9. terdapat 1 K disebut elemen satuan , sedemikian sehingga 1*  =  *1 =  , untuk setiap  K

10. untuk masing-masing 0 K , terdapat ^-1 K disebut negatip dari  sedemikian sehingga ^-1 *  =  *^-1=1

Anggota dari Field disebut Skalar.

Perhatikan : Sistem Bilangan berikut

Bilangan Kompleks Bilangan Imajiner Bilangan Riil B. Irrasional B. Rasional B. Bulat B. Pecahan

Dijelaskan 10 Syarat di atas diterapkan pada Masing-masing bilangan tersebut. Sehingga dapat disimpulkan Contoh Field adalah Bilangan Kompleks, Riil, dan Rasional.

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 2 4.2 Ruang Vektor

Suatu objek di dalam ruang vektor V disebut vektor. V dikatakan sebagai ruang vektor bila memenuhi 10 aksioma berikut :

1. Jika u dan v di dalam V, maka u + v juga harus di dalam V 2. u + v = v + u

3. u + (v + w) = (u + v) + w

4. Di dalam ruang vektor V ada objek 0, yang disebut sebagai vektor 0 sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u, untuk semua u di dalam vektor V

5. Untuk setiap u di dalam V, ada objek yang disebut sebagai –u di dalam V, yang disebut sebagai negatip u, sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0

6. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah objek di dalam ruang vektor V, maka ku juga ada di dalam ruang vektor V

7. k(u+v) = ku + kv 8. (k + m)u = ku + mu 9. k(mu) = (km)u 10. 1.u = u

Contoh 4.1

Buktikan R² merupakan ruang vektor!

Jawab

Ambil u, v, w  R²

u = (u1, u2) v = (v1, v2) w = (w1, w2) 1. u + v = (u1, u2) + (v1, v2)

= (u1 + v1, u2 + v2)  R² (sifat tertutup bilangan real) 2. u + v = (u1 + v1, u2 + v2)

= (v1 + u1, v2 + u2) (sifat komutatif bilangan real)

= (v1, v2) + (u1, u2)

= v + u

3. u+(v + w) = (u1, u2) + [(v1, v2) + (w1, w2)]

= (u1, u2) + (v1 + w1, v2 + w2)

= (u1 + (v1 + w1), u2 +( v2 + w2) )

= ((u1 + v1)+ w1), (u2 + v2) + w2) (Sifat assosiatif bilangan real)

= [(u1 + v1, u2 + v2)] + (w1, w2)

= [(u1, u2) + (v1, v2)] + (w1, w2)

= (u+v ) + w 4.  0 = (0, 0)  R²

u + 0 = (u1, u2) + (0, 0) = (u1, u2) = u 5.  u  R² -u = (-u1, -u2)  R²

u + (-u) = (u1, u2) + (-u1, -u2) = (0, 0) = 0 6. ku = k (u1, u2) = (ku1, ku2)  R²

7. k (u + v) = k (u1 + v1, u2 + v2)

= (k(u1 + v1), k(u2 + v2))

= (ku1 + kv1, ku2 + kv2)

= (ku1, ku2) + (kv1, kv2)

= k(u1, u2) + k(v1, v2) = ku + kv 8. (k + l) u = (k + l) (u1, u2)

= ((k + l) u1, (k + l) u2)

= ((k u1 + l u1), (k u2 + l u2))

= (ku1, ku2) + ( lu1, lu2)

= k (u1, u2) + l (u1, u2)

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 3

= ku + lu 9. k (lu) = k (l(u1, u2))

= k (lu1, lu2) = (klu1, klu2)

= kl (u1, u2) = (kl)u 10. 1u = 1 (u1, u2) = (u1, u2) = u

R² merupakan ruang vektor karena memenuhi 10 aksioma Contoh 4.2

Diketahui : B = {(x, y) | x, y  R} dimana (x, y) + (x’, y’) = (x + x’, 0) dan k(x, y) = (2x, ky) Selidiki apakah B sebuah ruang vektor?

Jawab:

Ambil u, v, w  B

u = (u1, u2) v = (v1, v2) w = (w1, w2) 1. u + v = (u1, u2) + (v1, v2)

= (u1 + v1, 0)  B(sifat tertutup bilangan real) 2. u + v = (u1 + v1, u2 + v2) = (u1 + v1, 0)

= (v1 + u1, 0)

v + u = (v1, v2) + (u1, u2) = (v1 + u1, 0)

= u + v

3. u+(v + w) = (u1, u2) + [(v1, v2) + (w1, w2)]

= (u1, u2) + (v1 + w1, 0)

= (u1 + (v1 + w1), 0)

= ((u1 + v1)+ w1), 0)

(Sifat assosiatif bilangan real) (u+v ) + w = [(u1, u2) + (v1, v2)] + (w1, w2)

= [(u1 + v1, 0)] + (w1, w2)

= ((u1 + v1)+ w1), 0)

=u+(v + w) 4.  0 = (0, 0)  B

u + 0 = (u1, u2) + (0, 0) = (u1, 0) ≠ u (gagal) 5.  u  B  -u = (-u1, -u2)  B

u + (-u) = (u1, u2) + (-u1, -u2) = (0, 0) = 0 6. ku = k (u1, u2) = (2u1, ku2)  B

7. k (u + v) = k (u1 + v1, 0)

= (2(u1 + v1), 0)

= (2u1 + 2v1, 0) ku + kv = k(u1, u2) + k(v1, v2)

= (2u1, ku2) + (2v1, kv2)

= (2u1 + 2v1, 0) = k (u + v) 8. (k + l) u = (k + l) (u1, u2)

= ( 2u1, (k + l) u2) ku + lu = k (u1, u2) + l (u1, u2)

= (2u1, ku2) + ( 2u1, lu2)

= ((2u1 + 2u1), 0)

= (4u1, 0) ≠ (k + l) u (gagal) 9. k (lu) = k (l(u1, u2))

= k (2u1, lu2) = (4u1, klu2) (kl)u = kl (u1, u2) = (2u1, klu2)

≠ k (lu) (gagal)

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 4 10. 1u = 1(u1, u2) = (2u1, u2) ≠ u (gagal)

B bukan ruang vektor sebab tidak memenuhi aksioma 4, 8, 9, dan 10 4.3 Ruang Vektor Bagian ( Subspace )

V adalah Ruang Vektor , W adalah Subset dari V. Untuk menentukan apakah W merupakan ruang bagian V, cukup diperiksa berikut :

1. W   ( W tidak hampa ) , untuk itu perlu ditunjukkan bahwa vektor 0 W.

2. Untuk setiap a, b W maka a + b W 3. Untuk setiap a  W ,   K maka  a  W Contoh 4.3

U = { (x, 0) | x R}. Buktikan bahwa U merupakan sub ruang dari R²! Misalkan a , b ∈ U artinya a = ( x1,0 ) dan b = ( x2,0 ) dengan x1,x2∈ R 1. U. Contoh 0 = (0,0) ∈ U

2. a + b = ( x1 + x2,0 ) dengan x1+x2∈ R , jadi a + b ∈ U

3. Untuk skalar k , maka k a = ( kx1,0 ) dengan kx1∈ R , jadi k a ∈ U Semua syarat terpenuhi , maka U merupakan sub–ruang R²

Contoh 4.4

U = { (x, y, z) | y = 2x + z}. Selidiki apakah U merupakan sub ruang dari R³ Misalkan a , b ∈ U

artinya a = (a1, a2, a3) dan b = (b1, b2, b3) dengan a2 = 2a1 + a3 dan b2= 2b1 + b3

1. U. Contoh 0 = (0, 0, 0) ∈ U

2. a + b = ( a1 + b1, a2 + b2 , a3 + b3 ) apakah a2 + b2 = 2(a1 + b1) + (a3 + b3 ) Penyelidikan:

2(a1 + b1) + (a3 + b3 ) = 2a1 + 2b1 + a3 + b3 (sifat distributif dan assosiatif umum)

= 2a1 + a3+ 2b1 + b3 (sifat komutatif umum)

= (2a1 + a3)+ (2b1 + b3) = a2 + b2

a + b ∈ U (terpenuhi)

3. Untuk skalar k , maka k a = (ka1, ka2, ka3) apakah ka2= 2ka1+ ka3

Penyeledikan:

2ka1+ ka3 = k2a1+ ka3 =k(2a1+ a3 ) = ka2 ( terpenuhi) U merupakan sub–ruang R³

4.4 Kombinasi Linier dan Span (Membangun)

Sebuah vektor w dikatakan merupakan suatu kombinasi linier dari vektor-vektor v1, v2, …, vn jika vektor w dapat dituliskan sebagai :

w = a1v1 + a2v2 + ……..+ anvn

dengan a1, a2 ……an adalah sembarang skalar yang memenuhi persamaan.

Contoh 4.5

Jika terdapat vektor u=(-1,1,2) dan v=(2,-3,0) di ruang R³, tentukan apakah vektor-vektor berikut ini adalah kombinasi linier dari u dan v :

a) (-4,5,4) b) (1,-2,0) Jawab :

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 5 a) Untuk mengetahui suatu vektor adalah kombinasi linier dari vektor yang lainnya,

dibuat penulisan persamaan vektor sebagai berikut : w = a1u + a2v

-4 = -a1 + 2a2;5 = a1- 3a2; 4 = 2a1

Jadi : karena ditemukan a1 = 2 dan a2= -1 maka w mrupakan kombinasi linear dari u dan v

b) Sebagai latihan

Jika S={v1,v2, …,vr) adalah himpunan vektor di dalam ruang vektor V, dikatakan membangun (Span) suatu ruang vektor V jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di S.

Contoh 4.6

Tentukan apakah v1=(-2,1,2), v2=(0,1,3), v3=(-1,0,1) span dari ruang vektor R³? Jawab :

Untuk menentukan span di ruang vektor R³, maka dicari kemungkinan setiap vektor di ruang R³ adalah kombina-si linier dari v1, v2 dan v3. Misalkan vektor a=(a1,a2,a3) di ruang vektor R³, maka a dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari v1,v2,dan v3

Agar supaya ada nilai k1,k2 dan k3, maka matrik 3 x 3 tersebut harus mempunyai invers atau determinan tidak boleh sama dengan nol. Karena determinan matrik tersebut adalah -3, maka k1,k2 dan k3 didapatkan. Jadi disimpulkan bahwa v1,v2 dan v3 merupakan span dari ruang vektor R³

4.5 Bebas Linear Definisi :

Himpunan m buah vektor {u1, u2 , …, um} disebut bergantung linier ( linearly dependent, tidak bebas linier) bila terdapat skalar-skalar 1, 2 , …, m yang tidak semua nol

sedemikian sehingga 1 u1 + 2 u2 +… + m um = 0 ( 0 = vektor nol ).

Dalam hal lain himpunan { u1, u2 , …, um} disebut bebas Linier (linearly independent ), dengan perkataan lain apabila 1 u1 + 2 u2 +… + m um = 0 hanya dipenuhi oleh 1= 2 = …

=m=0.

Contoh 4.6

Apakah vektor-vektor v1=(1,0,1), v2=(2,-1,3) dan v3=(-3,1,-4) saling bebas atau bergantung linier?

Jawab :

1 2

-4 -1 2

5 1 -3

4 2 0

a a

     

     

     

     

     

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 6 Untuk mengecek kebergantungan linier, langkah yang dilakukan adalah dengan menuliskan persamaan homogen yang mengandung vektor-vektor tersebut yakni : a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0 a1(1,0,1) + a2(2,-1,3) +a3(-3,1,-4) = 0

Diperoleh persamaan :

a1+ 2a2 – 3a3=0; -a2 + a3 = 0 dan a1+ 3 a2 – 4 a3 = 0, didapatkan : a1 = a2 = a3 = 1

Jadi vektor v1, v2 dan v3 adalah bergantung linier.

Beberapa catatan :

1. Sebuah kumpulan vektor yang ada di dalam S, maka

a) Saling bergantung linier jika dan hanya jika paling sedikit ada 1 vektor di dalam S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain yang juga di dalam S

b) Saling bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor di dalam S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor lainnya di dalam S.

2. Sekumpulan vektor berjumlah berhingga yang memuat vektor nol (0) adalah saling bergantung linier.

3. Jika S ={v1, v2, v3, …, vn} adalah sekumpulan vektor di ruang R^m. Apabila n>m, maka himpunan S adalah saling bergantung linier.

4.6 Basis dan Dimensi

Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya.

Definisi

Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, …, vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi :

1. S bebas linier

2. S span (membangun) V Contoh 4.7

Jika v1=(1,2,1), v2=(2,9,0) dan v3=(3,3,,4).

Apakah S={v1, v2, v3} adalah basis di R³? Jawab :

• Syarat sebagai basis adalah span dan bebas linier, maka langkah yang harus dilakukan adalah menguji kedua syarat tersebut.

• Jika span, maka harus ada vektor lain yang merupakan kombinasi linier v1, v2 dan v3

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 7 Supaya ada solusi, maka matrik 3 x 3 memiliki invers.

• Dari hasil perhitung diperoleh nilai determinan = 1, yang menandakan bahwa matrik memiliki invers. Dengan demikian setiap nilai b1, b2 dan b3 akan menghasilkan nilai a1, a2 dan a3.

• Dapat dikatakan bahwa S adalah span dari R³.

• Jika nilai b1= b2 = b3 = 0, maka a1= a2 = a3= 0 (detailnya sebagai latihan) sehingga ketiga vector saling bebas linier.

• Kesimpulannya : S={v1, v2, v3} adalah himpunan dari vektor basis di R³ Catatan:

 Ruang vektor V yang bukan nol (0) disebut dimensi terbatas (finite dimensional), yaitu mengandung kumpulan vektor yang membentuk baris {v1, v2, v3, …, vn}

 Jika tidak ada kumpulan vektor yang membentuk basis, maka V disebut sebagai dimensi tak terbatas (infinite dimensional)

 Catatan : ruang vektor nol disebut finite dimensional

 Dimensi dari ruang vektor V yang berdimensi terbatas didefinisikan sebagai jumlah vektor yang membentuk basis di dalam ruang vektor V.

 Ruang vektor nol mempunyai dimensi nol.

Pada pembahasan mengenai membangun dan bebas linier , suatu himpunan vektor dapat ditunjukkan merupakan himpunan yang bebas linier atau membangun ruang vektor V hanya dengan melihat dari jumlah vektor dan dim ruang vektor. Sebenarnya tanpa menghitung kita sudah bisa menyimpulkan bahwa himpunan vektor tersebut tidak bebas linier karena agar bebas linier maksimal jumlah vektor = dim ruang vektor. Sebaliknya jika suatu himpunan vektor hanya memuat vektor dengan jumlah kurang dari dim ruang vektor , maka dapat disimpulkan bahwa himpunan vektor tersebut tidak membangun .

Berdasarkan hal ini, maka suatu himpunan vektor kemungkinan bisa menjadi basis ruang vektor berdimensi n jika jumlah vektornya = n. Jika jumlah vektor < n maka tidak membangun sebaliknya jika jumlah vektor > n maka bergantung linier.

Jika jumlah vektor = n , maka dapat dihitung nilai determinan dari ruang yang dibangun oleh himpunan vektor tersebut.

Jika det = 0 , maka ia tidak bebas linier dan tidak membangun

Jika det ≠ 0 , maka ia bebas linier dan membangun  merupakan basis . Contoh 4.8

Tentukan basis dan dimensi serta solusi dari system persamaan linier homogen berikut ini : x1 + 2x2 + 2x3 – x4 + 3x5 = 0

x1 + 2x2 + 3x3 + x4 + x5 = 0 3x1 + 6x2 + 8x3 + x4 + 5x5 = 0 Jawab :

Harus dicari solusi SPL dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan diperoleh hasil berikut: (detail sebagai latihan)

x3 + 2x4 – 2x5 = 0 x1 + 2x2 – 5x4 + 7x5 = 0 Solusinya :

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 8 Maka yang menjadi basisnya adalah :

Sedangkan dimensinya adalah 3 (karena vektor basisnya ada 3) 4.7 Row space, Column space dan Null space

Jika A adalah suatu matrik dengan ordo mxn :

Am x n =





































mn n n n

m m

m a

a a a

a a a a

a a a a

a a a a

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

3 2 1

3 33 23 13

2 32 22 12

1 31 21 11

Maka vektor baris adalah r1=[a11 a12 … a1n], r2=[a21 a22 … a2n] dan seterusnya.

Vektor kolom adalah



























1 21 11

1 ...

am

a a

c ,



























2 22 12

2 ...

am

a a

c dan seterusnya.

 Vektor-vektor baris r1, r2, ….., rm disebut : row space dari A

 Vektor-vektor kolom c1, c2, ….., cn disebut : column space dari A

 Ruang solusi SPL homogen Ax = 0 yang merupakan sub ruang Rⁿ disebut : null space

 Sistem linier Ax = b disebut konsisten jika dan hanya jika b adalah column space dari A

 Jika x0 adalah salah satu solusi dari sistem persamaan linier Ax = b dan kumpulan solusi dari Ax=0 yaitu v1, v2, …, vn merupakan basis untuk null space dari A, maka setiap solusi dari Ax = b dapat ditulis sebagai berikut : x = x0 + a1v1 + a2v2 + …. + anvn

 Solusi dari Ax = b adalah x0 yang disebut sebagai solusi khusus (particular solution) dan x0 + a1v1 + a2v2 + …. + anvn disebut solusi umum (general solution).

 Solusi umum dari Ax = 0 adalah a1v1 + a2v2 + …. + anvn, dengan demikian dapat disimpulkan bahwa solusi lengkap dari Ax = b adalah solusi khusus ditambah solusi umum dari Ax=0.

Menentukan basis ruang baris/kolom

Basis ruang baris A didapatkan dengan melakukan OBE pada A sehingga diperoleh bentuk BEB, baris yang tak nol merupakan basisnya. Sedangkan basis ruang kolom A didapatkan

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 9 dengan melakukan OBE pada A^T sehingga diperoleh bentuk BEB, baris yang tak nol merupakan basisnya.

Dimensi (ruang baris) = Dimensi (ruang kolom) = rank matriks.

Rank dan Nullity

Pada suatu matrik A dan A^T, terdapat 6 ruang vektor yaitu Row space A Row space A^T

Column space A Column space A^T Null space A Null space A^T

Namun row space A^T = column space A, begitu juga dengan column space A^T = row space A.

Oleh sebab itu tinggal 4 ruang vektor yang perlu diperhatikan yaitu row space A, column space A, null space A dan null space A^T.

Ini semua disebut sebagai fundamental matrix space dari A.

Dapat disimpulkan bahwa dimensi dari row space dan column space suatu matrik adalah sama. Dimensi dari row space dan column space suatu matrik disbut dengan istilah “rank”, sedangkan dimensi dari null space disebut dengan istilah “nullity”(nullitas)

Contoh 4.9

Carilah solusi dari system persamaan linier berikut ini : x1 + 2x2 – x3 + 3x4 – 4x5 = – 1

2x1 + 4x2 – 2x3 – x4 + 5x5 = 2 2x1 + 4x2 – 2x3 + 4x4 – 2x5 = 0 Jawab :

Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan (detailnya sebagai latihan) diperoleh : x1 = -2x2 + x3 + 1/8

x4 = 1/8 x5 = 3/8

maka







































































































































8 3 8 1 8 1

3 2

5 4 3 2 1

0 0

0 0 1 0 1

0 0 0 1 2

x x

x x x x x

.

Solusi khususnya adalah

































8 3 8 1 8 1

0 0

, sedangkan solusi umumnya adalah _{2 3}

0 0 1 0 1

0 0 0 1 2

x x



































































+

































8 3 8 1 8 1

0 0

Bagaimana cara mencari basis dari null space ?

Ruang solusi dari SPL homogen Ax=0 adalah null space.

Jadi untuk mencari basis dari null space adalah dengan menganggap ada SPL homogen Contoh 4.10

Tentukan basis dari null space A serta nullitasnya dari SPL homogen berikut:

2x1 + 2x2 – x3 + x5 = 0 – x1 – x2 + 2x3 – 3x4+ x5 = 0 x1 + x2 – 2x3 – x5 = 0 x3 + x4+ x5 = 0

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 10 Jawab:

Dengan menggunakan eleminasi Gauss-Jordan (detailnya sebagai latihan) diperoleh:

x1 = -x2 - x5

x3 = -x5

v4 = 0

5 2

5 4 3 2 1

1 0 1 0

1

0 0 0 1 1

x x

x x x x x









































































































Jadi basis dari null space adalah :

































0 0 0 1 1

dan





































1 0 1 0

1

. Nullitas adalah 2

Jika suatu matrik di dalam bentuk row-reduced echelon, maka vektor baris (row vector) dengan 1 (satu) sebagai leading entry menjadi basis dari row-space dari matrik tersebut dan vektor kolom (column vector) dengan 1 (satu) sebagai leading entry menjadi basis dari column space dari matrik tersebut

Contoh 4.11

Tentukan basis dari row space , column space dan rank matriks dari matrik berikut ini :

Jawab :

Karena sudah berbentuk BEB, maka

Basis dari row space adalah : r1 = [1 0 -1 2 1]

r2 = [0 1 0 1 2]

r3 = [0 0 0 1 3]

Untuk mencari basis untuk column space, maka lakukan OBE pada A^T sehingga berbentuk BEB (detailnya sebagai latihan)

Diperoleh

Rank matriks adalah 3 Catatan:

Jika dua matrik A dan B saling row-equivalent, maka :

1. Kumpulan vector kolom A saling bebas linier jika dan hanya jika kolom vektro B yang berkorespondensi letaknya juga saling bebas linier.

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 11 2. Kumpulan vector kolom A membentuk basis dari column space (ruang kolom) A jika

dan hanya jika vector B yang letaknya sama dengan A juga membentuk basis untuk ruang kolom B

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 12 BAB V

RUANG HASIL KALI DALAM

5.1 Hasil Kali Dalam Umum Definisi

Hasilkali dalam (inner product) pada sebuah ruang vektor V adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan real <u, v> dengan sepasang vektor u dan v di dalam V, sedemikian sehingga aksioma-aksioma berikut ini dipenuhi bagi semua vektor u, v, dan w di dalam V dan semua bilangan skalar k.

1. Simetris: <u, v> = <v, u>

2. Aditivitas: <u + v, w> = <u, w> + <v, w>

3. Homogenitas: <ku, v> = k <u, v>

4. Positivitas: <v, v> ≥ 0 dan <v, v> = 0 jika dan hanya jika v = 0.

Ruang vektor yang dilengkapi hasil kali dalam seperti diatas disebut Ruang hasil kali dalam yang biasa disingkat dengan RHD.

Contoh 5.1

Tunjukkan bahwa operasi perkalian titik standar di R³ Euclides merupakan hasil kali dalam ! Jawab

Akan ditunjukkan bahwa perkalian titik standar memenuhi keempat aksioma hasil kali dalam , yaitu :

Misalkan a = ( a1,a2,a3 ) , b = ( b1,b2,b3 ) , c = ( c1,c2,c3 ) maka a , b, c ∈ R³ 1. Simetris

< a , b > = ( a . b)

= (a1b1 + a2b2 + a3b3 ) = (b1a1 + b2a2 + b3a3 )

= < b, a > ………… ( terpenuhi ) 2. Aditivitas

< a + b , c > = ( ( a + b) . c )

= ((a1+b1 , a2+b2 , a3+b3 ) . ( c1,c2,c3 ) )

= ((a1c1 + b1c1) + ( a2c2+b2c2 ) + (a3c3 + b3c3 )

= (a1c1 + a2c2 + a3c3 ) + (b1c1 + b2c2 + b3c3 )

= ( a . c ) + ( b . c )

= < a , c > + < b , c > …… ( terpenuhi ) 3. Homogenitas

< k a , b > = ( k a . b )

= ( ka1b1 + ka2b2 + ka3b3 ) = k(a1b1 + a2b2 + a3b3 ) = k( a . b )

= k< a , b > ………… ( terpenuhi ) 4. Positivitas

< a , a > = ( a . a ) = ( a12+ a22+ a32 ) ≥ 0 ………… ( terpenuhi ) dan

< u, u > = ( a12+ a22+ a32 ) = 0 ↔ u = ( 0,0,0 ) = 0 . … …( terpenuhi )

RHD yang memiliki hasil kali dalam berupa perkalian titik standar seperti diatas biasa disebut RHD Euclides.

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 13 Contoh 5.2

Tunjukkan bahwa <u, v> = u1v1 + u3v3 tidak memenuhi syarat aksioma hasil kali dalam.

Jawab

Misalkan a = ( a1,a2,a3 ) , b = ( b1,b2,b3 ) , c = ( c1,c2,c3 ) maka a , b, c ∈ R³ 1. Simetris

< a , b > = (a1b1 + a3b3 ) = (b1a1 + b3a3 )

= < b, a > ………… ( terpenuhi ) 2. Aditivitas

< a + b , c > = <(a1+b1 , a2+b2 , a3+b3 ) , ( c1,c2,c3 ) >

= ((a1c1 + b1c1) + (a3c3 + b3c3 )

= (a1c1 + a3c3 ) + (b1c1 + b3c3 )

= < a , c > + < b , c > …… ( terpenuhi ) 3. Homogenitas

< k a , b > = ( ka1b1 + ka3b3 ) = k(a1b1 + a3b3 ) = k( a . b )

= k< a , b > ………… ( terpenuhi ) 4. Positivitas

< a , a > = ( a . a ) = ( a12 + a32 ) ≥ 0 ………… ( terpenuhi ) dan

< a, a > = ( a12 + a32 ) = 0 ↔ a = ( 0,0,0 ) = 0 tidak terpenuhi sebab ambil a = (0, a2, 0) maka < a, a > = 0 padahal a bukan 0.

Terbukti bahwa <u, v> = u1v1 + u3v3 tidak memenuhi syarat aksioma hasil kali dalam.

5.2 Hasilkali Dalam Khusus

Jika w1, w2, …, wn adalah bilangan-bilangan real positif yang disebut nilai bobot (weight), dan jika u = (u1, u2, …, un) dan v = (v1, v2, …, vn) adalan vektor-vektor pada Rⁿ maka

<u, v> = w1 u1v1 + w2 u2 v2 + …. + wn unvn

mendefinisikan sebuah hasil kali dalam pada Rⁿ. Hasilkali dalam ini disebut hasilkali dalam Euclidean berbobot dengan nilai-nilai bobot w1, w2, …, wn.

Contoh 5.3

Diketahui <u, v> = 2u1v1 + 3 u2 v2 dan u = (7, 5) dan v = (2, -1). Tentukan <u, v>.

Jawab

<u, v> = 2.7.2 + 3.5.(-1) = 13

Hasilkali dalam yang dibangun oleh Matriks

Misalkan u =

































un

u u

...

...

2 1

dan v =

































vn

v v

...

...

2 1

adalan vektor-vektor pada Rⁿ, maka

<u, v> = v^TA^TAu

Dinamakan hasilkali dalam yang dibangun oleh A.

Contoh 5.4

Tentukan formula hasil kali dalam yang dibentuk oleh A = 











3 0

0

2 !

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 14 Jawab:

<u, v> = v^TA^TAu = [v1 v2] 











3 0

0

2 











3 0

0 2









2 1

u u

= 2u1v1 + 3u2v2 (detailnya sebagai latihan)

5.3 Panjang vektor , jarak antar vektor ,dan besar sudut dalam RHD

Ketika kita membahas tentang panjang vektor , maka kita harus menghilangkan rumusan yang selama ini kita gunakan mengenai panjang vektor dalan ruang –n Euclides berdasarkan operasi hasil kali titik . Kita akan menghitung panjang suatu berdasarkan hasil kali dalam yang telah diberikan, dan sudah dibuktikan bersama – sama bahwa hasil kali titik dalan ruang – n Euclides juga merupakan hasil kali dalam jadi konsep yang digunakan ini akan lebih luas daripada konsep sebelumnya.

Misalkan V merupakan ruang hasil kali dalam u, v ∈ V maka a. u  u, u ^1/2

b. d(u, v) = <u – v, u – v>^1/2

c. Misalkan β adalah sudut antara u dan v, maka cos β adalah v

u v cos  u,

Contoh 5.5

Diketahui u = (2, -1), v = (7, 3) dan β adalah sudut antara u dan v. Tentukan panjang masing- masing vektor dan cos β menggunakan hasilkali dalam yang diberikan berikut:

a. Hasilkali dalam Euclidis

b. Hasilkali dalam Euclidis yang diboboti <u, v> = 3u1v1 + 2u2v2 dimana u = (u1, u2) dan v = (v1, v2)

c. Hasilkali dalam yang dibentuk oleh matriks A 







 1 3

2 1 Jawab:

a. Hasilkali dalam Euclidis

 u  u,u ^1/2  2.2(1)(1) 5

 v  v,v ^1/2  7.73.3 58



290 11 58

5 3 ).

1 ( 7 . , 2

cos   



 u v v

 u

b. Hasilkali dalam yang diboboti

 u  u,u ^1/2 3.2.22(1)(1) 14

 v  v,v ^1/2  3.7.72.3.3 165



2310 36 165

14

3 ).

1 ( 2 7 . 2 . , 3

cos   



 u v v

 u

c. Hasilkali yang dibentuk oleh matriks A



   

⁶⁵

7 7 4 1 4

2 1 3

2 1 1 2

3 1 1 2

, ^1/2  







 























 

 u u u

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 15



   

745

24 24 13 3 13

7 1 3

2 1 1 2

3 3 1 7

, ^1/2  







 























 

 v v v



 

745 65

1 2 1 3

2 1 1 2

3 3 1 , 7

cos



























 u v v

 u

(hitung sendiri hasil akhirnya) 5.4 Basis Ortonormal; Proses Gram-Schmidt

Diketahui V ruang hasil kali dalam dan v1, v2,…, vn adalah vektor – vektor dalam V.

Beberapa definisi penting

a. H = { v1, v2,…, vn } disebut himpunan ortogonal bila setiap vektor dalam V saling tegak lurus ,yaitu < vi, vj > = 0 untuk i ≠ j dan i,j = 1,2,…,n.

b. G = { v1, v2,…, vn } disebut himpunan ortonormal bila

 G himpunan ortogonal

 Norm dari vi = 1 , i = 1,2,…,n atau <vi, vi > = 1 Contoh 5.6

Diketahui: S = { v1, v2, v3 }

dimana v1 = (0, 1, 0), v2 = 



 





2 , 1 0 2,

1 , dan v3 = 



 



 

2 , 1 0 2,

1 . Selidiki apakah S ortonormal?

Jawab:

Pertama kita selidiki dulu apakah S ortogonal, setelah diselidiki ternyata S ortogonal sebab

< v1, v2 > = < v1, v3 > = < v2, v3 > = 0 ternyata panjang semua vektornya adalah 1.

Sehingga disimpulkan S ortonormal.

Metode Gramm–Schimdt

Metode Gramm–Schimdt digunakan untuk merubah suatu himpunan vektor yang bebas linier menjadi himpunan yang ortonormal. , jadi dalam hal ini disyaratkan himpunan yang ditransformasikan ke himpunan ortonormal adalah himpunan yang bebas linier. Jika yang akan ditransformasikan adalah himpunan vektor yang merupakan basis dari ruang vektor V maka metode Gramm–Schimdt akan menghasilkan basis ortonormal untuk V. Sebelum membahas tentang metode ini, akan dibahas tentang proyeksi ortogonal vektor terhadap ruang yang dibangun oleh himpunan vektor.

Diketahui H = { v1, v2,…, vn } adalah himpunan vektor yang bebas linier dari ruang vektor V dengan dim ≥ n dan S = { w1, w2,…, wn } merupakan himpunan yang ortonormal . Jika W menyatakan ruang yang dibangun oleh w1, w2,…, wn maka untuk setiap vektor z1 dalam W, dapat dituliskan z1 = k1w1 + k2w2 +…+ knwn dengan k1, k2, …,kn skalar.

Jika u adalah sembarang vektor dalam V , maka tentunya u dapat dituliskan sebagai jumlah dari dua vektor yang saling tegak lurus misalkan z1 dan z2 , jadi dapat dituliskan u = z1 + z2. Karena z1 dalam W , maka sebenarnya z1 merupakan proyeksi ortogonal u terhadap W , sedangkan z2 merupakan komponen vektor u yang tegak lurus terhadap W.

Jadi untuk menentukan z1, maka harus ditentukan nilai k1, k2, …,kn sedemikian hingga nilai k1 merupakan panjang proyeksi u terhadap w1, k2 merupakan panjang proyeksi u terhadap w2 dan seterusnya sehingga kn merupakan panjang proyeksi u terhadap wn. Proyeksi ortogonal u terhadap wi adalah proy Wi ( u ) = < u, wi > , dikarenakan w1, w2,…, wn merupakan vektor – vektor yang ortonormal .

Jadi dapat dituliskan bahwa proyeksi ortogonal u terhadap W adalah :

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 16 proyw ( u) = z1 = < u, w1 > w1 + < u, w2 > w2 +…+ < u, wn > wn dengan { w1, w2,…, wn} merupakan himpunan orthonormal.

Komponen u yang tegak lurus terhadap W adalah

z2 = u – (< u, w1 > w1 + < u, w2 > w2 +…+ < u, wn > wn)

Misal diketahui K = { v1, v2,…, vn } adalah himpunan yang bebas linier, maka K dapat dirubah menjadi himpunan S = { w1, w2,…, wn } yang ortonormal dengan menggunakan metode Gramm–Schimdt yaitu :

1.

1 1

1 v

w  v

2.

1 1 2 2

1 1 2 2

2 ,

, w w v v

w w v w v



 

3.

2 2 3 1 1 3 3

2 2 3 1 1 3 3

3 , ,

, ,

w w v w w v v

w w v w w v w v







 

……

n.

1 1 2

2 1

1

1 1 2

2 1

1

, ...

, ,

, ...

, ,























 

n n n n

n n

n n n n

n n

n v v w w v w w v w w

w w v w

w v w w v w v

Contoh 5.7

Diketahui H = {a , b, c } dengan a = ( 1,1,1 ) , b = ( 1,2,1 ) , c = (−1,1,0 ) a. Apakah H basis R³?

b. Jika ya , transformasikan H menjadi basis orthonormal dengan menggunakan hasil kali dalam Euclides !

Jawab

a. Karena dim(R³) = 3 dan jumlah vektor dalam H = 3 , maka untuk menentukan apakah H merupakan basis R³ atau bukan , adalah dengan cara menghitung determinan matriks koefisien dari SPL Ax = b dengan b adalah sembarang vektor dalam R³, yaitu = det



















 

0 1 1

1 2 1

1 1 1

. Setelah dihitung diperoleh det A = 1, ini berarti H merupakan basis untuk R³.

b. Hasil kali dalam antara a , b dan c

< a , b > = 4, < a , c > = 0 , < b , c > = 1

Untuk menjadikan H ortonormal, kita gunakan metode Gramm–Schimdt yaitu :

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 17 Normalisasi himpunan orthogonal ke himpunan ortonormal

Diketahui V RHD dan H = {v1, v2, …., vn} dalam V merupakan ortogonal dengan v1≠ 0, maka bisa diperoleh himpunan ortonormal yang didefinisikan sebagai : S = { s1, s2, …., sn} dengan

Kalau dicermati, sebenarnya ini adalah rumusan Gramm – Schimdt yang telah direduksi yaitu untuk nilai proyw(vi) = 0, akibat dari v1, v2, …. vn yang saling orthogonal. Proses untuk mendapatkan vektor yang ortonormal disebut menormalisasikan vektor.

Jika dim (V) = n, maka S juga merupakan basis ortonormal dari V Contoh 5.8

Diketahui a, b, c dalam R³ dengan a = (2,-1,1), b = (2, 5, 1) dan c =(-1,0,2). Jika R³ merupakan RHD Euclides, transfor-masikan a, b, c ke basis ortonormal !

Jawab :

<a,b> = 0, <a,c> = 0, <b,c> = 0

Misalkan H = {a,b,c} maka H merupakan himpunan ortonormal. Dim (R³) = 3 jadi dapat ditentukan basis ortonormal untuk R³.

Misalkan :

Basis ortonormal untuk R³ adalah :

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 18 5.5 Perubahan Basis

Suatu ruang vektor dapat memiliki beberapa basis. Jika terdapat sembarang vektor x dalam ruang vektor V yang memiliki himpunan vektor A dan B sebagai basisnya, maka x tentunya merupakan kombinasi linier dari vektor A dan B

Jika V ruang vektor, S={s1, s2, ….,sn} merupakan basis V, maka untuk sembarang x dalam V dituliskan:

x = k1s1 + k2s2 +……+ knsn

dengan k1, k2, ….kn skalar yang juga disebut koordinat x relatif terhadap basis S

disebut matrik x relatif terhadap basis S Jika S merupakan basis ortonormal, maka :

Jika A ={x1,x2} dan B = {y1, y2} berturut-turut merupakan basis dari V, maka untuk sembarang z dalam V didapatkan :[z]A dan [z]B. Bagaimana hubungan [z]A dan [z]B ?

Misalkan

Dari

………..(1)

………(2) Untuk

………(3) Dengan mensubstitusikan persamaan (1) dan (2) ke (3) diperoleh :

Ini berarti :

 

1

2 s

n

k x k

k

 

 

 

  

 

 

 

 

1 2

, ,

,

s

n

x s x x s

x s

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 19 P disebut matrik transisi dari basis A ke basis B.

Secara umum, jika A = {x1, x2, …xn} dan B = {y1, y2, ….yn} berturut-turut merupakana basis dari ruang vektor V, maka matrik transisi basis A ke basis B adalah :

Jika P dapat dibalik, maka P^-1 merupakan matrik transisi dari basis B ke basis A Contoh soal :

Diketahui : A = { v, w} dan B = {x, y} berturut-turut merupakan basis R² dengan v =(2,2), w = (3,- 1), x = (1,3) dan y = (-1,-1).

Tentukan :

a. Matrik transisi dari basis A ke basis B b. Hitung

A















  3

1

c. Hitung

B



















  3

1 dengan menggunakan hasil dari b

d. Matrik transisi dari basis B ke basis A Jawab

a. Misalkan

 

_







 b

v _B a , maka 



















 









b a 1 3

1 1 2

2 didapatkan 









 









2 0 b a

Dan untuk

 

_







 d

w_B c , maka 



















 









 d

c 1 3

1 1 1

3 didapatkan 











 









5 2 d

c

Jadi matriks transisi dari basis A ke basis B adalah:

P = 













 5 2

2 0

b. Misalkan 



























 

2 1

3 1

k k

A

maka didapatkan 









 









1 1

2 1

k k

c. Dari a dan b diperoleh P = 













 5 2

2

0 dan 









 



















 

1 1 3

1

A

sehingga

 

















  3 B

1 P  

















  3 A

1













 5 2

2 0









1 1 = 







 3 2

d. Matriks transisi dari B ke basis A adalah P^-1 dengan P merupakan matriks transisi terhadap basis A ke basis B. Jadi P^-1 = 







 

0 2

2 5 4 1

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 20 BAB VI

TRANSFORMASI LINEAR

Transformasi linear merupakan fungsi khusus dari suatu ruang vektor ke ruang vektor yang lain. Fungsi khusus tersebut didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 6.1.

Jika T: V1 → V2 merupakan fungsi dari ruang vektor V1 ke ruang vektor V2, maka T dinamakan transformasi linear, jika dan hanya jika

1. T(u + v) = F(u) + F(v) untuk setiap vektor u dan v di V1. 2. T(ku) = kT(u) untuk setiap vektor u di V1 dan setiap skalar k.

Contoh 6.1.

Untuk fungsi-fungsi berikut, selidiki apakah fungsi tersebut merupakan transformasi linear? Berikan alasannya!

1. Fungsi F1 dari R² ke R² yang didefinisikan dengan F1((x,y)) = (2x – y, x) untuk setiap (x,y)  R².

2. Fungsi F2 dari R² ke R² yang didefinisikan dengan F2((x,y)) = (x²,y) untuk setiap (x,y)  R². 3. Fungsi T1 dari R³ ke R³ yang didefinisikan dengan T1((x,y,z)) = (1,z,y) untuk setiap (x,y,z) 

R³.

4. Fungsi T2 dari R³ ke R³ yang didefinisikan dengan T2((x,y,z)) = (x + 2y, y – z, x + 2z) untuk setiap (x,y,z)  R³.

Penyelesaian:

1. Misalkan u = (x1 , y1) dan v = (x2 , y2) anggota R² dan k sebarang skalar.

F1(u + v) = F1((x1 + x2 , y1 + y2))

= (2(x1 + x2) – (y1 + y2), x1 + x2) = (2x1 + 2x2 – y1 – y2, x1 + x2)

= ((2x1 – y1) + (2x2 – y2), x1 + x2)

= (2x1 – y1, x1) + (2x2 – y2, x2) = F1(x1, y1) + F(x2, y2)

= F1(u) + F1(v).

F1(ku) = F1((kx1, ky1))