NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
7.2 Perhitungan Vektor Eigen
7.2 Perhitungan Vektor Eigen
Kita tinjau kembali persamaan AX X dimana A adalah matriks bujur sangkar dan X adalah vektor bukan nol yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam subbab 7.1 telah dibahas tentang perhitungan nilai eigen dari matriks A(), pada subbab ini kita bahas vektor yang memenuhi persamaan tersebut yang disebut vektor eigen(vektor karakteristik) yang sesuai untuk nilai eigennya.
Kita tinjau sebuah matriks bujur sangkar orde 2 x 2 berikut:
A =
Persamaan (7.4) dikalikan dengan identitas didapatkan:
Persamaan (7.5) dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan:
0
Persamaan (7.6) adalah sistem persamaan linier homogen, vektor dalam ruang Rn yang tidak nol didapatkan jika dan hanya jika persamaan tersebut mempunyai solusi non trivial untuk nilai eigen yang sesuai.
Contoh. 7.17
Dapatkan vektor eigen dari matriks A =
persamaan:
0
Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 35
Solusi non trivial sistem persamaan ini adalah:
2
2 dimana r adalah bilangan sembarang yang tidak nol.
Untuk 3 maka:
Solusi non trivial sistem persamaan tersebut adalah:
2
X s dimana s adalah senbarang bilangan yang tidak nol.
Contoh 7.18
Dapatkan vektor eigen dari matriks A =
didapatkan dari persamaan:
0
Untuk 4 didapatkan sistem persamaan linier berbentuk:
0
Solusi non trivialnya adalah
3
dengan r bilangan sembarang yang tidak nol.
Untuk maka:
Sistem persamaan linier menjadi:
5
Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 36 0
0 3
0 0
1 1
x
x
Tidak ada solusi non trivial dari sistem persamaan linier tersebut, jadi tidak terdapat vektor eigen dari matriks A untuk 5.
Contoh 7.19
Dapatkan vektor eigen dari
0 2
3 A 1
Jawab:
Nilai eigen matriks A didapatkan dari persamaan:
0detI A 0 0 2
3
det 1
0 6 ) 1
(
0
2 6
0 ) 3 )(
2
( Nilai eigen matriks A adalah:
, 0 2
maka 1 2 ,
0 3
maka 2 3
Vektor eigen didapatkan dengan persamaan:
0 2
0 3 ) 1 (
2 1
2 1
x x
x x
Untuk 2 maka:
0 2 2
0 3
2 1
2 1
x x
x x
Solusi non trivial sistem persamaan linier tersebut adalah:
1
3x 2 x
Misalkan x 1 r maka x 2 3r.
Jadi vektor eigen matriks A untuk 2 adalah:
r X r
3 dengan r bilangan sembarang yang tidak nol.
Untuk 3
Vektor eigen didapatkan dari sistem persamaan linier:
0 3 2
0 3 2
2 1
2 1
x x
x x
Solusi non trivial adalah:
, 3
2x 1 x2 maka 2 1 3 2x x
Misalkan x 1 r vektor eigen matriks A yang sesuai dengan 3 adalah:
Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 37
2 dengan r bilangan sembarang yang tidak nol.
Contoh 7.20
Dapatkan vektor eigen dari A =
Vektor eigen didapatkan dari persamaan:
0
Solusi non trivial persamaan tersebut adalah:
2
X r dengan r bilangan sembarang yang tidak nol.
Untuk 2 maka:
Solusi non trivial sistem persamaan linier tersebut adalah;
2
Contoh 7.21
Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 38 Dapatkan vektor eigen dari A =
Vektor eigen ditentukan dari persamaan:
Dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan:
0
Solusi non trivial didapatkan dari:
3x1x26x3
3x12x2 2x3
0Jadi vektor eigen matriks A =
Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 39
dengan r adalah bilangan sembarang yang tidak nol.
Untuk 0
Vektor eigen ditentukan dari persamaan:
Dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan:
0
Solusi sistem persamaan linier adalah:
0
Vektor eigen dari matriks A =
dengan r bilangan sembarang yang tidak nol.
Untuk 7
Vektor eigen didapatkan dari persamaan:
Dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan:
0
Solusi sistem persamaan linier adalah:
Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 40
Vektor eigen matriks A =
dengan r sembarang bilangan yang tidak nol.
Contoh 7.22
Dapatkan vektor eigen dari matriks A =
adalah 2, vektor eigennya didapatkan dari persamaan:
Dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan:
0
Solusi non trivial sistem persamaan liniernya adalah:
3
Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 41 Vektor eigen matriks A =
yang sesuai dengan nilai eigen 2 adalah:
dengan s adalah bilangan sembarang yang tidak nol.
Contoh 7.22
Dapatkan vektor eigen dari A =
Nilai eigen didapatkan dengan persamaan:
0 Nilai eigen matriksnya adalah:
0
Vektor eigen didapatkan berdasar persamaan:
Dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan:
0
Solusi sistem persamaan liniernya adalah:
Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 42 0
3x1 x3
1
3 3x
x
2 0 x
Vektor eigen yang sesuai adalah:
1 1
3 0 x x X
Misalkan x 1 t
Vektor eigennya adalah:
t t X
3
0 dengan t bilangan sembarang yang tidak nol.
Untuk 2
Sistem persamaan liniernya adalah:
0 2 0 3
0 0 3 2
0 2 0 3
3 1
2 1
3 1
x x
x x
x x
Solusi non trivial sistem persamaan liniernya adalah:
0 2 3x1 x3
3
1 3
2x x
0 3 2x1 x2
1
2 3
2x x
Vektor eigen yang sesuai adalah:
1 1 1
2 3 3 2
x x x X
Misalkan x 1 p maka vektor eigennya adalah:
p p p X
2 3 3
2 dengan p bilangan sembarang yang tidak nol.
Untuk 3
Sistem persamaan liniernya adalah:
Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 43
Solusi non trivial sistem persamaan liniernya adalah;
3
Vektor eigen yang sesuai adalah:
Misalkan x 1 qmaka vektor eigennya adalah;
X dengan q bilangan sembarang yang tidak nol.
Contoh 7.23
Dapatkan vektor eigen dari matriks A =
vektor eigennya didapatkan dari persamaan:
Dalam bentuk sistem persamaan linier adalah:
0
Solusi non trivialnya adalah:
3
Vektor eigen yang sesuai adalah:
Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 44
Contoh 7.24
Dapatkan vektor eigen dari A =
Nilai eigen matriks tersebut didapatkan dari persamaan:
0 Nilai eigennya adalah:0
Vektor eigen didapatkan dari persamaan:
Sistem persamaan liniernya dituliskan:
0 terdefinisikan.
Untuk 2
Sitem persamaan liniernya adalah:
0
Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 45 Solusi non trivial sistem persamaan liniernya adalah:
2
2x 1 x
3 0 x
Vektor eigen yang sesuai adalah:
Misalkan x 1 t maka vektor eigennya menjadi:
X dengan t bilangan sembarang yang tidak nol.
Contoh 7.25
Dapatkan vektor eigen dari matriks A =
Nilai eigen matriks didapatkan dari persamaan:
0 Nilai eigen matriks adalah:0 1
1
Vektor eigen didapatkan dari persamaan:
Dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan:
0
Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 46 Solusi non trivialnya adalah:
2
1 2
2x x
2
1 x
x
3 0 x
Vektor eigen yang sesuai adalah:
0
1 1
x x X
Misalkan x 1 t maka vektor eigennya adalah:
0
t t
X dengan t bilangan sembarang yang tidak nol.
Untuk 5
Sistem persamaan liniernya adalah:
0 0 0 0
0 0 2 2
0 0 2 2
2 1
2 1
x x
x x
Solusi non trivialnya adalah:
2
1 2
2x x
2
1 x
x
3 0 x
Vektor eigen yang sesuai adalah:
0
1 1
x x X
Misalkan x 1 r maka vektor eigenya adalah:
0
r r
X dengan r bilangan sembarang yang tidak nol.
Contoh 7.26
Dapatkan vektor eigen dari A =
1 0 2
0 1 2
1 0 4
Jawab:
Nilai eigen dari matriks didapatkan dari persamaan
0detI A
Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 47
Nilai eigen matriks tersebut adalah:
0
Vektor eigen didapatkan dari persamaan:
Dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan:
0
Solusi non trivialnya adalah:
3
3x1x
2 0 x
Vektor eigen yang sesuai adalah:
0 dengan p adalah bilangan sembarang yang tidak nol.
Untuk 2
Sistem persamaan linier yang sesuai adalah:
0
Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 48 Solusi non trivialnya adalah:
3
2x1x
2
2x 1 x
Vektor eigen yang sesuai adalah:
1 1 1
2 2 x x x X
Misalkan x 1 s maka vektor eigennya adalah:
s s s X
2
2 dengan s bilangan sembarang yang tidak nol.
Untuk 3
Sistem persamaan liniernya adalah:
0 2 0 2
0 0 2 2
0 0
3 1
2 1
3 1
x x
x x
x x
Solusi trivialnya adalah:
3 0
1x x
3
1 x
x
0 2 2 1 2
x x
1
2 x
x
Vektor eigen yang sesuai adalah:
1 1 1
x x x X
Misalkan x 1 t maka
t t t
X dengan t bilangan sembarang yang tidak nol.