1
TRANSFORMASI LINEAR
Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear
Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd
Disusun oleh :
Kelompok 7/ Kelas III A2
Endar Alviyunita 13144100094 Ahmat Sehari --- Kunikatus Sangadah 151441000-- Nur Lailatus Shofiah 15144100060
PROGAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2016
2
TRANSFORMASI LINIER
A. Transformasi Linier dari R ke n R m
Jika pada suatu fungsi f dengan R sebagai domain dan n R sebagai m kodomain (m dan n mungkin sama) sehingga dapat dinyatakan bahwa fungsi f memetakan R ke n R dengan notasi m f : Rn Rm
Jika kita menotasikan suatu transformasi dengan T , maka : n m
T R R yang didefinisikan oleh persamaan-persamaan berikut:
1 11 1 12 2 ... 1n n w a x a x a x 2 21 1 22 2 ... 2n n w a x a x a x . . 1 1 2 2 ... m m m mn n w a x a x a x Dalam notasi matriks
11 12 1 1 1 2 21 22 2 2 1 2 n n m m m mn n a a a w x w a a a x w a a a x Atau wAx
B. Pengertian Transformasi Linier Secara Umum
Setelah mengetahui transformasi linier dari R ke n R , kita telah m menunjukkan bahwa sebuah transformasi T : RnRm adalah linier jika dan hanya jika kedua hubungan T
uv
T
u T v
dan
T ku kT u
Berlaku untuk semua vektor u dan v pada R dan setiap skalar k n Bentuk tersebut dapat juga didefinisikan :
Jika T : VW adalah sebuah fungsi dari ruang vektor v kedalam ruang vektor w maka T dinamakan transformasi linier jika:
3
(i) T
uv
T
u T
v untuk semua vektor u dan v di V (ii) T
ku kT
u untuk semua vektor u didalam V dan semuaskalar k
f
Diagram Venn
C. Contoh-contoh Transformasi Linier 1. Pemetaan Nol
Pemetaan Nol adalah fungsi yang memetakan setiap vektor di V ke vektor nol. Misalkan T : VW dengan T x
0
adalah pemetaan yang menghubungkan vektor nol 0 W ke setiap vektor v V . Untuk sebarang vektor u v, V maka
0 T uv
0 0 T uv
T uv T u T v
0 T ku Oleh karena itu, T transformasi linier T ku
k.0
T ku kT u 2. Pemetaan Identitas u u u+v ku k T(u) T(v) T(u+v) T(ku) k4
Pemetaan identitas adalah fungsi yang memetakan v ke dirinya sendiri .
Pemetaan T : V V yang didefinisakan oleh T v
V , biasanya dinotasikan oleh I.Perhatikan pemetaan identitasI : VV , dengan T x y
, x y, yang memetakan tiap v V ke dirinya sendiri. Maka untuk sebarang u v, Vvektor kita mempunyai
I uv u v I u I v Ambil u V dan k skalar, maka
I ku ku
I ku kI u
Jadi, I transformasi linier. 3. Pemetaan Konstan
Pemetaan konstan adalah suatu fungsi yang menghasilkan suatu konstanta (tetapan). Pemetaan T : V W yang didefinisikan oleh
=T u c. Dengan uV dan c adalah suatu konstanta. Karena suatu konstanta tidak bisa menjadi suatu vektor, maka pemetaan konstan bukan merupakan suatu transformasi linier.
Bukti:
Misalkan 2
:
T R C adalah fungsi yang didefinisikan oleh
,T v x y dengan v
x y, di R dan C2 R. Tunjukkan apakah Tmerupakan suatu transformasi linier! Misalkan u
x y1, 1
dan v
x2, y2
1, 1
2, 2
T u v T x y x y
1 2, 1 2
T x x y y
x1 x2 , y1 y2
5
x y1, 1 x2, y2
T u
T v
c Karena syarat pertama tidak terpenuhi, maka T bukan merupakan suatu transformasi linear.
4. Pemetaan dari R ke 2 R2 Misalkan 2 2
:
T R R adalah fungsi yang didefinisikan oleh
2 ,
T v x y dengan v
x y, di R ,Buktikan bahwa 2 T merupakan transformasi linear! Bukti : 2 2 : T R R
2 ,
T v x y
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 , , ( ) , , , 2 , 2 2 , 2 2 , 2 ( ( ) ( ) , 2 Misalkan u x y dan v x y i T u v T x y x y T x x y y x x y y x x y y x x y y x y
2, 2 x y T u T v 5. Pemetaan dari R ke 3 R
1, 1 1 1 1 1 ( ) 2 , 2 , ii T ku T kx ky k x k y k x y k T u 6
Periksa linearitas transformasi, T: R3R dengan
, ,
! T x y z x y z Penyelesaian : 3 : T R R
, ,
T x y z x y z ! Misalkan u
x1 y1 z1
, v
x2y2z2
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 ( ) , , , , ( ) ) ( i T u v T x y z x y z T x x y y z z x x y y z z x y z x y z T u T v
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( , , , , ) ii T ku T kx ky kz T kx ky kz kx ky kz k x y z kT x y z k T u Dengan demikian, T transformasi linear
6. Pemetaan dari R ke R 2
Periksa linearitas transformasi, 2
: T RR dengan
. ! T xy x y Misalkan x y 8 maka, 8 x y
1, 7
2, 67 (...,...)
Karena fungsi di atas mempunyai banyak pemetaan, sehingga T bukan merrupakan suatu transformasi linear.
Contoh:
1. Apakah fungsi T x y
, 2 3xy merupakan transformasi linear? Penyelesaian : 2 : T R R
,x y (2 3xy) Misalkan u
x y1, 1
dan v
x y2, 2
1, 1
2 2
( )i T u v T x y x y, T x
1x y2, 1y2
2 3 x
1x2
y1y2
2 3 x13x2 y1 y2
2 3x1 y1 3x2y2 T
2 3 x1y1
T 3x2y2
T u
T 3x2y2
3 2 2
T x y T v
1 1
( )ii T ku T 2k3kx ky kT
2 3 x1ky1
kT u( )Karena pada pembuktian pertama tidak terbukti, maka T bukan merupakan transformasi linear.
Contoh penyangkal
8
2, 3
T ku T K K
5.2 , 5,3
T
10,15
T 2 3.10 15 17 Sedangkan untuk Kt u
5T u
5
kT u T u
5T 2,3
5 2 3.2 3
5 5 25
( ) T ku kT u 1725Jadi fungsi yang diberikan diatas bukan transformasi linear
D. Sifat-sifat Transformasi Linear
Jika T V W adalah sebuah transformasi linear, maka : v dan 1 v 2 sebarang pada V dan skalar c dan 1 c sebarang, kita memperoleh 2
Dan secara lebih umum, jika v v1, 2,...,vn, adalah vektor-vektor pada V dan
1, ,...,2 n
c c c adalah skalar maka
1 1 2 2 1 1 2 2
( ... n n) ( ) ( ) ... n ( )n
T c v c v c v c T v c T v c T v ... (1)
Rumus (1) terkadang diuraikan dengan sebutan transformasi linear yang mempertahankan kombinasi linear. Teorema berikut ini mencantumkan tiga sifat dasar yang umum untuk semua transformasi linear.
Teorema 8.1.1
9 (a) T(0)0
(b) T( v) T v( ) untuk semua v pada V
(c) T v( w)T v( )T w( ) untuk semua v dan w pada V
Bukti : Misalkan v adalah vektor sebarang pada V Karena 0. v0, kita memperoleh : (a) T(0)T(0 )v 0 ( )T v 0 (b) T( v) T(( 1) ) v ( 1) ( )T v T v( ) Akhirnya, v w v ( 1) ;w sehingga, (c) T v( w)T v( ( 1) )w T v( ) ( 1) ( ) T w T v( )T w( )
Dengan kata lain, bagian (a) dari teorema di atas menyatakan bahwa sebuah transformasi linear memetakan 0 ke 0. Sifat ini sangat bermanfaat untuk mengidentifikasi transformasi-transformasi yang tidak linear. Sebagai contoh , jika x adalah sebuah vektor tak nol tetap pada 0 R , maka 2 transformasi T x( ) x x0.
Memiliki efek geometrik untuk mentranslasikan setiap titik pada x ke arah yang sejajar dengan x sejauh 0 x0 (Gambar 8.14). Hal ini bukan
merupakan sebuah transformasi linear karena T(0)x0 , sehingga T tidak memetakan 0 ke 0 .
E. Karnel dan Jangkauan 1. Kernel dari transformasi.
10
nol) dari T adalah himpunan vektor di V yang dipetakan ke vektor oW oleh T. Kernel dari transformasi T dinotasikan dengan
) ) ,
( (
Ker T vV│T v o oW .
Untuk memperjelas pengertian dari kernel suatu transformasi, perhatikan transformasi T yang diberikan oleh gambar 1 berikut:
Gambar 1
Dari gambar 1 nampak bahwa kernel dari trasformasi T diberikan
1
( ) ,
Ker T o v sebab kedua vector odanv dipetakan terhadap vektor 1 nol.
F. Jangkauan dari transformasi
Misal T V: Wmerupakan transformasi linear, maka Jangkauan/Range dari T yaitu himpunan vektor di W yang merupakan bayangan atau peta dari paling sedikit satu vektor di V. Jangkauan dari T dinotasikan dengan
( ), Im(T) ( ) ( ) ,
R T R T w W T v │ w vV
Contoh karnel dan jangkuan
a. T R: R adalah transformasi linear yang dirumuskan oleh
2
T x x untuk setiap
x R.Apakah vektor berikut terletak dalam ker( )T dan R T( ) 1) (0)
Penyelesaian : (0) ( 2.0) (0)
11 Jadi (0)terletak dalam ker( )T
Dari vektor tersebut diperoleh SPL : (x) 2 0
T x
Dari SPL tersebut diperoleh x0, sehingga T(0) terletak dalam ( ) R T 2) (1) Penyelesaian: (1) ( 2.1) ( 2) T
Jadi (1) tidak terletak dalam ker( )T
Dari vektor tersebut diperoleh SPL: ( ) 2 1
T x x
Dari SPL tersebut diperoleh 1 2
x sehingga T(1) terletak dalam ( )
R T .
b. 2 2
:
T R R adalah transformasi linear yang dirumuskan oleh
, (2 2 , )T x y x y xy untuk setiap ( )x R.
Apakah vektor ( 1,1) terletak dalam ker T
dan R T
Penyelesaian :
1,1
2 2, 1 1
0, 0T
Jadi ( 1,1) terletak dalam ker T
Dari vektor tersebut diperoleh SPL : 2 2 1 1 x y x y 11 12 1 21 22 2 2; 2; 1 1; 1; 1 a a b a a b 21 22 11 12 1 2 a a a a dan 2 21 22 2 1 11 12 1 1 b a a b b a a b
Jadi, T
1,1
tidak terletak dalam R T
c. 3 3
:
12
( , , ) (2 2 , 2 2 , )
T x y z x y z x y z xy untuk setiap ( )x R
Apakah vektor (2,2,1) terletak pada ker (T) dan R(T) Penyelesaian :
(2, 2,1) (4 2 2, 2 4 2, 2 2) (0, 4, 0)
T
Jadi, vektor (2,2,1) tidak terletak pada ker (T). Dari vektor tersebut diperoleh SPL :
2 2 2 2 2 2 1 x y z x y z x y
Dari SPL tersebut dengan menggunakan metode Cramer diperoleh
1 2 1 , 2 x y ,dan 1 4 z
Ini berarti T(2, 2,1)terletak dalam R(T) Teorema 2
Jika T V: Wadalah sebuah transformasi linear, maka : (a) Kernel dari T adalah subruang dari V
(b) Jangkauan dari T adalah subruang dari W
Bukti :
(a) Berdasarkan teorema 1, vektor 0 berada didalam ker (T), sehingga himpunan ini mengandung setidaknya satu vektor misalkan v1 dan v2
adalah vektor-vektor didalam ker(T), dan misalkan k adalah skalar sebarang, maka:
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) 0 0 0
T v v T v T v Sehingga v1v2 terletak pada ker (T), dan
1 1
( ) ( ) 0 0
T kv kT v k
Sehingga kv1terletak pada ker(T)
(b) Karena T(0)=0 , terdapat setidaknya satu vektor pada R(T). Misalkan w1
danw2adalah vektor-vektor di dalam jangkauan dari T, dan k adalahskalar sebarang. Untuk membuktikan hal tersebut, harus ditunjukkan bahwa
13 1 2
w w dan kw1terletak didalam jangkauan dari T. Dengan menemukan vektor a dan vektor b pada V sedemikian rupa sehingga T a( )w1w2 dan
1 ( )
T b kw karena w1danw2berada didalam jangkauan dari T, terhadap vektor-vektor a1dan a2 dan V sedemikian rupa sehingga T a( )1 w1dan
2 2 ( )
T a w
Jika a a1 a2 dan bka1 maka:
1 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T a a a T a T a w w T b T ka kT a kw Definisi 2
Jika T V: Wadalah sebuah transformasi linear, maka dimensi range dari T disebut sebagai rank dari T (rank of T) dan dinotasikan dengan rank (T); dimensi karnelnya disebut nulitas dari T (nulity of T) dan dinotasikan dengan nuitas (T) jangkauan T adalah ruang kolom dari A.
Karnel T adalah ruang pemecahan Ax0 sehingga : Rank (T)=dim(ruang kolom A)=rank(A)
Nulitas(T)=dim(ruang pemecahan Ax0)
Teorema 4 (Teorema dimensi)
Jika T V: Wadalah sebuah transformasi linear dari ruang vektor V yang berdimensi n kepada sebuah ruang vektor W, maka:
Rank dari T
nulitas dari T
nDengan kata lain, teorema ini menyatakan bahwa rank + nulitas dari transformasi linear sama dengan dimensi domainnya. dalam kasus khusus dimana V R Wn, Rmdan T V: Wmerupakan perkalian oleh sebuah matriks A yang berukuran m x n dan Rank(A) + dim (ruang pemecahan Ax = 0) = n
14
Tentukan rank dan nulitas dari transformasi linear T P: 2P3 yang didefinisikan dengan T(p(x))xp(x). Penyelesaian: 2 2 2 2 3 ker { a bx cx ( ( )) ( ) ( ( )) 0 (a bx cx ) 0 (a bx cx ) 0 ax+bx cx a=b=c= ( ) 0} 0 ( ( ) ) 0 T v V T p x xp x T p x T x Ker T T v p x │
Nulitas (T)dimensi (Ker T( ))0
Sehingga rank (T)dimensi ( )P2 nullitas(T) 3 0 3 F. Representasi Transformasi Linear
Misalkan : Rn m
T R adalah transformasi linear dari ruang vektor V ke ruang vektor W , bila V dan W berdimensi berhingga, maka transformasi linear tersebut dapat dinyatakan dengan suatu matriks, yang disebut matriks penyajian (representasi matriks). Misalkan e e1, ,2 ,en adalah basis baku untuk R dan misalkan n A adalah sebuah matriks
m n
yang dibentuk oleh1 2
( ), ( ),..., ( )n
T e T e T e sebagai vektor-vektor kolomnya, maka A disebut sebagai matriks penyajian (representasi matriks).
Misalkan T: VW : V
T W
n m
15 1 1 2 2 n m x b x b x b 1 1 2 2 n m x b x b T x b
Maka diperoleh sistem persamaan linear Ax0
11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b
Bentuk perkalian matriks:
1 11 12 1 1 21 21 2 2 2 1 2 n n n n m m mn a a a x b a a a x b x b a a a Jadi 1 11 12 21 21 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a
sebagai matriks standarnya.
16
Transpose dari matriks koefisien-koefisien di atas, yang dilambangkan dengan ( )
s
m T atau [ ]T sdisebut representasi matriks T relatif terhadap basis S , atau cukup dinyatakan dengan matriks T pada basis S .
Dengan menggunakan notasi vektor koordinat (kolom), representasi matriks
T dapat ditulis dalam bentuk m Ts( )[ ]T s
[ ( )] ,..., [ ( )]sT e1 s
T es
Yaitu kolom-kolom m T( ), berturut-turut adalah vektor-vektor koordinat dari
1 2 (e ), ( ),..., T(e )n T T e Contoh: 1. Misalkan jika 2 2 : T R R diberikan oleh: 1 1 2 2 1 2 3 2 2 x x x T x x x
Apakah merupakan representasi matriks? Maka penyelesaian: 1 1 3 (e ) T 0 1 T dan 2 0 2 (e ) T 1 2 T
Ini didapat dari:
1 3 2 1 3 (e ) 1 2 0 1 T 2 3 2 0 2 (e ) 1 2 1 2 T 1 0 0 1
Atau dapat juga diselesaikan dengan mengeluarkan x dari matriks yang diketahui: 1 1 2 2 1 2 3 2 2 x x x T x x x 1 2 3 2 1 2 x x
17
Jadi 3 2
1 2 A
adalah representasi matriks untuk
1 1 2 2 1 2 3 2 2 x x x T x x x 2. Misalkan 2 2 :
T R R adalah operator linear yang didefinisikan sebagai
, 2 3 , 4 5
T x y x y x y tentukan matriks T e terhadap basis ( )1
1, 2
1, 2 , 2,5
S e e
Penyelesaian:
Tentukan representasi matriksT e , dan kemudian nyatakan sebagai ( )1 kombinasi linear dan vektor-vektor e e 1, 2
1 1 8 1 2 (e ) 2 6 2 5 T T x y danx2y8, 2x5y 6 Atau dengan cara:
diubah ke dalam bentuk matriks menjadi
2 3 ( , ) 4 5 x y T x y x y Sehingga: 1 1 2 3 1 8 ( ) T 2 4 5 2 6 T e
Dengan menyelesaikan SPL tersebut, maka didapat x52dan y 22 Sehingga T(e )1 52e122e2. (dengan eliminasi substitusi)
Selanjutnya tentukan T(e )2 dan kemudian nyatakan sebagai kombinasi linear dari e dan 1 e ; 2
2 2 19 1 2 (e ) 5 17 2 5 T T x y dan x2y19, 2x5y 17
18 2 2 2 3 2 19 ( ) T 5 4 5 5 17 T e
Dengan menyelesaikan SPL tersebut, maka didapat x129dan y 55. Jadi, T e
2 129e155e2. (dengan eliminasi substitusi)Kemudian menuliskan koordinat-koordinat dan dan sebagai kolom-kolom untuk memperoleh representasi matriks dari . Jadi, 1 2 1 2 e 52 22 (e , e ) e 129 55 T
merupakan representasi matriks dari
( , ) (2 3 , 4 5 ) T x y x y x y atau
52 129 22 55 S T 19
LATIHAN SOAL
1. Misalkan T R: 2R3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh ( ) ( , , )
T v x xy xy dengan v( , )x y di R . Buktikan bahwa 2 T
merupakan transformasi linear!
2. Periksa linearitas transformasi, T R: 2R3 dengan ( , ) (2 , 3 ,3 1)
T x y xy x y x !
Tentukan T(2v13v24 )v3 !
3. Diketahui T R: 2R3 dengan T x y( , )(xy x y, , ) apakah T
merupakan transformasi linear ?
4. Diketahui T R: 2R3 dengan T x y( , )(2 ,x x y2, 2) apakah T
merupakan transformasi linear ?
5. Gunakan definisi transformasi linear untuk menunjukkan bahwa fungsi T R: 3R2 yang dirumuskan oleh
( , , ) (2 , 4 )
T x y z x y z y z adalah transformasi linear!
6. Misaldiberikantransformasi linear, 3 2 : T R R dengan 2 2 3 x x y z T y x y z z
, manakah di antaravektorberikut yang
merupakananggota Ker(T)? a. 2 2 2 b. 2 1 3
7. Diketahui sebuah transformasi linear T: R3→R3, dimana T[x,y,z] = [x + 2y – z, y+z, x+y-2z]
20
8. MisalkanF R: 2 R2adalah operator linear yang didefinisikan sebagaiF x y( , )(x3 ,y x5 )y
a. Tentukan representasi matriks F relative terhadap basis
1 2
{ , } {(1,3), (3,5)} S u u
b. Tentukan representasi matriks relative terhadap basis (standar)
1 2
{ , } {(1, 0), (0,1)} E e e
9. W adalah ruang vector dari matriks simetris yang berukuran2 2 .
2 : T WP didefinisikan dengan: 2 ( ) ( ) ( ) a b T a b b c x c a x b c
Tentukan rank dan nullitas dari transformasi linear T.
10. Tentukan matriks standar transformasi linier T R: 2R3dengan
definisi 1 2 1 1 2 2 1 2 3 5 7 3 x x x T x x x x x
21 JAWAB 1. Diketahui : 2 3 : T R R ( ) ( , , ) T v x xy xy dengan v( , )x y di R 2 Penyelesaian : Misalkan u( ,x y1 1) 2 2 ( , ) v x y
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 ( ) , , , , , , , , , , , , , ( ) ( ) i T u v T x y x y T x x y y x x x x y y x x y y x x x x y y x x y y x x y x y x x y x y T x y T x y T u T v
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) , , , , , , ( , ) ( ) ii T ku T k x y T kx ky kx k x y k x y k x x y x y kT x y kT u Karena syarat(i) dan (ii) terbukti maka fungsi tersebut merupakan transformasi linear.. 2. Diketahui : 2 3 : T R R ( , ) (2 , 3 ,3 1) T x y xy x y x Penyelesaian : Misalkan u( ,x y1 1) 2 2 ( , ) v x y
22
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) , , , 2 , 3 , 3 1 2 2 , 3 3 , 3 3 1 2 , 3 , 3 1 , 2 , 3 , 3 , 2 , 3 , 3 ( ) 2 , 3 , 3 i T u v T x y x y T x x y y x x y y x x y y x x x x y y x x y y x x x y x y x x y x y x T x y x y x y x T u x y x y x
2 2 2 2 2
( ) 2 , 3 ,3T v x y x y x , Sehingga pembuktian (i) tidak terbukti.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) , , 2 , 3 ,3 1 ii T ku T k x y T kx ky kx ky kx ky kx
1 1 1 1 1
( ) 2 , 3 ,3 1kT u kx ky kx ky kx Sehingga pembuktian (ii)
tidak terbukti.
Karena pembuktian (i) dan (ii) tidak terbukti, maka fungsi tersebut bukan merupakan transformasi linear.
3. Diketahui : 2 3 : T R R dan T x y( , )(xy x y, , ) Penyelesaian : Misalkan u( ,x y1 1) 2 2 ( , ) v x y
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 ( ) , , , , , , , , , , , , , , ( ) ( ) i T u v T x y x y T x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x y x y x y x y T x y T x y T u T v 23
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) , , , , , , ( , ) ( ) ii T ku T k x y T kx ky kx ky kx ky k x y x y kT x y kT u Karena syarat(i) dan (ii) terbukti maka fungsi tersebut merupakan transformasi linear. 4. Diketahui : 2 3 : T R R 2 2 ( , ) (2 , , ) T x y x x y Penyelesaian: Misalkan u( ,x y1 1) 2 2 ( , ) v x y
1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 ( ) , , , 2 , , 2 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 , , 2 , , ( ) ( ) i T u v T x y x y T x x y y x x x x y y x x x x x x y y y y x x x x y x x y y y T x y T x y T u T v
1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) , , 2 , , 2 , , 2 , , ii T ku T k x y T kx ky kx kx ky kx k x k y k x kx ky
2 2
1 1 1 ( ) 2 , ,24
Jadi, karena syarat (i) dan (ii) tidak terpenuhi maka fungsi tersebut bukan merupakan transformasi linear.
5. Diketahui : 3 2 : T R R dengan T x y z( , , )(2x y z y, 4 )z Penyelesaian : Misalkan u( ,x y z1 1, )1 2 2 2 ( , , ) v x y z
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ( ) , , , , , , 2 , 4 2 2 , 4 4 2 , 4 , 2 , 4 , , , , ( ) ( ) i T u v T x y z x y z T x x y y z z x x y y z z y y z z x x y y z z y y z z x y z y z x y z y z T x y z T x y z T u T v
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) , , , , 2 , 4 2 , 4 ( , , ) ( ) ii T ku T k x y z T kx ky kz kx ky kz ky kz k x y z y z kT x y z kT u Karena syarat(i) dan (ii) terbukti maka fungsi tersebut merupakan transformasi linear. 6. Bayangandari 2 2 2 dan 2 1 3 olehtransformasi T adalahsebagaiberikut: T 2 2 2 = 2 4 2 0 4 6 2 0
25 T 2 1 3 = 2 2 3 4 3 3 = 1 4 Sehinggadapatdisimpulkan 2 2 2 ∈Ker(T) dan 2 1 3 Ker(T)
7. Kita tentukan dulu matriks transformasinya: T[1,0,0] = [1,0,1] T[0,1,0] = [2,1,1] T[0,0,1] = [-1,1,-2] A = 32( 1) 31(3) 1 2 1 1 2 3 1 2 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 2 1 1 3 1 1 0 K K
Rank matriksA (secarakolom) adalah 2. Jadi rank(T) = 2 dan basis nya dapat diambil {[1,0,1], [2,1,1]}.
Untuk mencariker(T):
Misalkanv
v v v1, 2, 3
Ker T( )maka Av = 0 atau1 2 3 1 2 1 0 0 1 1 0 1 1 2 0 v v v nulitas(T) = n - rank(A) = 3 – 2 = 1
Ambil dua persamaan yang bebas : 1 2 3
2 3 2 0 0 v v v v v
Ambil parameter, misalnyav2makav1 3, v3 . Jadi [ 3,1, 1]
v ; Ker(T) mempunyai basis (-3,1,-1) atau Ker(T) = L{[-3,1,-1]}
26 8. a. ( )1 1 10 1 3 3 14 3 5 F u F x y danx3y10,3x5y 14 Atau dengan cara:
diubah ke dalam bentuk matriks menjadi
( , ) 3 5 x y F x y x y Sehingga: 1 1 1 3 1 10 ( ) T 3 1 5 3 14 F u
Dengan menyelesaikan SPL tersebut, maka didapat x 23dan y11 Sehingga F u( )1 23u111u2. (dengan eliminasi substitusi)
Selanjutnya tentukan F u( )2 dan kemudian nyatakan sebagai kombinasi linear dari u dan 1 u ; 2
2 3 18 1 3 ( ) 5 22 3 5 F u F x y dan x3y18, 3x5y 22
Atau dengan cara:
2 3 1 3 3 18 ( ) 5 1 5 5 22 F u F
Dengan menyelesaikan SPL tersebut, maka didapat x 39dan y19. Jadi, F
u2 39u119u2. (dengan eliminasi substitusi)Kemudian menuliskan koordinat-koordinat dan dan sebagai kolom-kolom untuk memperoleh representasi matriks dari .
27 Jadi, 1 2 1 2 23 11 ( , ) 39 19 u F u u u
merupakan representasi matriks dari
( , ) ( 3 , 5 ) F x y x y x y atau
23 39 11 19 S F b. 1 1 1 ( ) 0 1 F u F dan 2 0 3 ( ) 1 5 F u F Ini didapat dari:
1 1 3 1 1 ( ) 1 5 0 1 F u 2 1 3 0 3 ( ) 1 5 1 5 F u 1 0 0 1
Atau dapat juga diselesaikan dengan mengeluarkan x dari matriks yang diketahui: 3 5 x x y F y x y 1 3 1 5 x y Jadi 1 3 1 5 E F 9. P(x) = a+bx+cx2
28 2 ( ) : 0 ( ) : ( ) ( ) ( ) 0 ( ) : ( ) ( ) ( ) 0 ( ) : ( ) : a b a b Ker T T b c b c a b Ker T a b b c x c a x b c a b Ker T a b b c c a b c a b Ker T a b c b c c c Ker T c c c
Jadi, basis Ker(T) 1 1 1 1
sehingganulitas(T) = dimensiker(T) = 1
Rank(T)= dimensi W – nulitas(T) = 3 - 1 = 2
10.
Kemudian menuliskan koordinat-koordinat dan sebagai kolom-kolom matriks standar yaitu
29
DAFTAR PUSTAKA
Abdul Aziz Saefudin. 2015. Modul Aljabar Linear.Yogyakarta: Universitas PGRI Yogyakarta.
Andrilli, Stephen and David Hecker. 2010. Elementary Linear Algebra Fourth Edition. Canada: Elsevier.
Anton, Howard. 2004. Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi. Jakarta: Erlangga
Danang Mursita. 2010. Aljabar Linear. Bandung: Rekayasa Sains.
Matthews, K. R. 1998. Elementary Linear Algebra. Department of Mathematics: University of Queensland.
