SUBRUANG VEKTOR
Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd
Disusun Oleh : Kelompok 6/ III A4
1. Nina Octaviani Nugraheni 14144100115
2. Emi Suryani 14144100126
3. Azah Elvana 14144100139
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2015
1
SUBRUANG VEKTOR A. Definisi
Jika dan , keduanya merupakan ruang vektor, di mana adalah himpunan bagian dari , dan bukan himpunan kosong { } , maka disebut subruang (subspace) dari . Dengan demikian jika kesepuluh aksioma dalam ruang vektor , maka akan berlaku juga untuk .
Teorema 1
Jika adalah suatu himpunan yang terdiri dari satu atau lebih vektor dari suatu ruang vektor , maka adalah subruang dari , jika dan hanya jika syarat-syarat berikut terpenuhi:
1) Jika dan adalah vektor-vektor pada , maka berada pada . 2) Jika adalah skalar sembarang dan adalah vektor sembarangan pada
, maka berada pada Bukti:
Jika adalah suatu subruang dari , maka semua aksioma ruang vektor terpenuhi, khususnya aksioma 1 dan 6 berlaku. Tetapi aksioma-aksioma ini secara tepat adalah syarat-syarat 1 dan 2 (teorema 1).
Catatan
Suatu himpunan yang terdiri dari satu atau lebih vektor dari suatu subruang disebut tertutup terhadap penjumlahan (closed under addition) jika syarat a pada teorema 1 berlaku, dan dikatakan tertutup terhadap perkalian skalar (closed under scalar multiplication) jika syarat b berlaku. Jadi teorema 1 menyatakan bahwa adalah subruang dari jika dan hanya jika tertutup terhadap penjumlahan dan tertutup terhadap perkalian skalar.
Contoh Subruang
1. Diketahui ,* + | -
Apabila ,* + | - { } buktikan bahwa adalah subruang vector dari
Penyelesaian:
2
Pembuktian bahwa { }
* + sebab Sehingga
Misal:
[ ] [ ]
Sebab maka { }
Pembuktian aksioma a.
Misal:
*
+ [ ] *
+ [ ] [
]
Misalkan
* + sebab b.
*
+ [
] * + Keterangan
3
Karena { } , syarat 1 dan 2 terpenuhi, maka terbukti adalah subruang vektor dari
2. Diketahui adalah himpunan vektor- vektor yang berbentuk ( ) dengan dengan operasi standar . Tunjukan apakah merupakan subruang vektor atau bukan !
Penyelesaian :
Akan ditunjukan apakah memenuhi syarat sub ruang vektor Misalkan ̅
̅ Dengan maka ̅ ̅
̅ ̅ ̅ ̅
Karena syarat ke-1 tidak dipenuhi, maka bukan merupakan subruang vektor
B. Kombinasi Linear
Sebuah vektor disebut “kombinasi linear” dari vektor- vektor , jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:
Dengan adalah skalar Catatan:
Kadang-kadang kita menuliskan vektor dengan bentuk , tetapi dalam konteks SPL akan dituliskan berbeda, yaitu:
̅ [
]
juga merupakan vektor dalam artian
̅ ̅ dengan
4
[
]
dan ̅ [
]
Contoh:
Diketahui vektor-vektor dalam . Tunjukkan bahwa vektor merupakan kombinasi linear dari .
Jawab:
Supaya menjadi kombinasi linear dari , maka harus ada skalar sehingga:
atau dengan kata lain
Di dapat empat persamaan yaitu:
Kita selesaikan dengan OBE, matriks augmented dari sistem persamaan di atas:
[
| ] [
| ] [
|
]
[
|
] [
| ]
Dari matriks di atas, maka diperoleh:
5
Substitusi mundur menjadi:
Untuk maka . Ini artinya dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari .
C. Merentang (Span)
Jika { } adalah vektor-vektor di dalam ruang vektor dan jika tiap-tiap vektor di dalam vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari { } , maka dikatakan bahwa vektor- vektor ini merentang (span)
Jika spann maka disebut himpunan perentang dan dikatakan direntang oleh .
Contoh :
Buktikan bahwa veKtor merentang
Jawab:
Ambil sembarang vektor ( ) maka dapat ditulis dalam bentuk:
( )
( )
Dengan kata lain sembarang vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear vektor merentang
6
Hasil yang penting dari konsep di atas adalah sebagai berikut.
Jika adalah vektor-vektor di dalam ruang vektor , maka:
1. Himpunan dari semua kombinasi linear merupakan subruang dari
2. adalah subruang terkecil yang memuat dalam artian bahwa tiap-tiap subruang lain dari yang memuat harus memenuhi .
Contoh:
Tentukan apakah berada dalam span dengan dan
Jawab:
Akan dicari skalar dan sehingga:
Diperoleh:
Samakan koefisien-koefisiennya, maka diperoleh SPL:
Kita selesaikan dengan OBE, matriks augmented dari sistem persamaan diatas:
[
| ] [
| ] [
| ] [
| ]
[ | ]
Dari matriks di atas, maka diperoleh:
7 Substitusi mundur menjadi :
Didapatkan Jadi,
D. Bebas linear dan Tak Bebas Linear Definisi bebas linier:
jika sehingga maka vektor – vektor tersebut bebas linear .
Contoh bebas linear
Tentukan apakah vektor-vektor
Membentuk sebuah persamaan himpunan yang himpunan yang bebas linear.
Penyelesaian:
Dengan menyetarakan komponen- komponen yang bersesuaian akan diperoleh:
[
| ] [
| ] [
| ]
[
| ] [
| ] [
| ]
8
( )[
| ] [
| ]
Jadi maka himpunannya bebas linear
Definisi tak bebas linear
Vektor v1, v2, v3...vn dikatakan tak bebas linear jika terdapat yang tidak semuanya nol sehingga memiliki persamaan
Contoh tak bebas linear
Tentukan apakah vektor- vektor membentuk sebuah himpunan yang tak bebas linear
Penyelesaian:
Dengan menyetarakan komponen yang bersesuaian akan diperoleh:
[
| ] [
| ] [
| ]
[
| ] (
)[
| ] ( )
[
| ] [
| ] [ | ] Persamaan baru
atau atau
Jadi atau
9 E. Basis dan Dimensi
Kita menganggap suatu garis sebagai berdimensi satu, suatu bidang sebagai berdimensi dua, dan ruang di sekeliling kita sebagai berdimensi tiga.
Teorema :
Jika = { } adalah suatu basis dari ruang vektor , maka setiap vektor pada dapat dinyatakan dalam bentuk dengan tepat satu cara.
Contoh:
Misalkan { }, { }, { }. Tentukan bahwa himpunan { } adalah suatu basis untuk .
Penyelesaian:
Untuk menunjukkan bahwa himpunan merentang , kita harus menunjukkan bahwa suatu vektor sebarang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi.
Dari persamaan tersebut dapat diperoleh sebagai berikut:
| [
| ] [ | ] [
| ] Jika adalah suatu ruang vektor dan { } adalah suatu himpunan vektor- vektor pada , maka disebut basis untuk jika dua syarat berikut berlaku:
1. bebas linear 2. merentang
10
( )[
| ] [
| ] [ | ]
[
| ] (
)[ |
] ( )[
|
]
Persamaan tersebut merupakan bebas linear karena memiliki solusi trivial.
Kita dapat membuktikan bahwa adalah bebas linear dan merentang dengan membuktikan “matriks koefisiennya memiliki determinan tak nol”.
[
] kita memperoleh:
Dan dengan demikian adalah basis dari . Definisi:
Dimensi dari ruang vektor yang berdimensi terhingga, dinotasikan dengan didefinisikan sebagai banyaknya vektor-vektor yang membentuk basis pada . Selain itu, kita mendefinisikan ruang vektor nol sebagai berdimensi nol.
Contoh:
Apakah sistem persamaan homogen di bawah ini termasuk basis dalam ?
11 Penyelesaian:
[ | ] [
| ] [
| ]
( )[
| ] [
| ]
[
| ] [
| ]
[
| ] [
| ]
[
| ] [
| ]
[
| ] [
| ]
[ | ]
|
|
| |
|
12
Dari matriks di atas di dapat [ ] [ | ] ; dan
Berarti [ ] [ | ] , parameter banyak solusi Sehingga persamaan yang bersesuaian dari matriks di atas adalah
Dengan menyelesaikan variable pertama kita memperoleh
Karena dan belum diketahui dan matriks di atas memiliki banyak solusi maka kita misalkan
Jadi solusinya adalah
Oleh karena itu vektor-vektor solusi dapat dinyatakan sebagai
[ ] [
] [
] [ ]
[
]
[ ] Yang menunjukkan bahwa vektor-vektor
[
] dan
[ ]
merentang ruang solusi
Karena dan bebas linear maka merupakan basis dari .
13 Soal Latihan
Selesaikan soal berikut ini!
1. Diketahui ,* +| -
Apabila {[ ]| }, { }, buktikan bahwa W adalah subruang vektor dari !
2. Diketahui vektor-vektor dalam . Tunjukkan bahwa vektor merupakan kombinasi linear dari . 3. Diketahui apakah
bebas linear atau tak bebas linear ?
4. Apakah apakah bebas linear pada ?
5. Tentukan basis dan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh:
[ ] [ ] [ ]
6. Tentukan dimensi dan basis untuk ruang pemecahan system berikut!
14 Kunci Jawaban:
1. Diketahui ,* +| -
Apabila {[ ]| }, { }, buktikan bahwa W adalah subruang vektor dari !
Penyelesaian:
Pembuktian bahwa { }
* + sebab Sehingga
Misal:
* + * +
Sebab maka { }
Pembuktian aksioma
1.
Misal:
[
] [
] [
] [
] [
] Misalkan
[ ] sebab 2.
*
+ [
]
15 * +
Keterangan
Karena { } , syarat 1 dan 2 terpenuhi, maka terbukti adalah subruang vektor dari
2. Diketahui vektor-vektor dalam . Tunjukkan bahwa vektor merupakan kombinasi linear dari .
Penyelesaian:
Supaya menjadi kombinasi linear dari , maka harus ada skalar sehingga:
atau dengan kata lain Di dapat tiga persamaanya itu:
Kita selesaikan dengan OBE, matriks augmented dari system persamaan diatas:
[
] [
] [
]
[
]
Dari matriks di atas, maka diperoleh:
16 Substitusi mundur menjadi:
Untuk maka . Ini artinya dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari
3. Diketahui apakah bebas linear atau tak bebas linear ?
Penyelesaian:
Diketahui : Ditanya : bebas linear atau tak bebas linear ? jawab :
Membentuk sebuah himpunan yang tak bebas linear atau himpunan yang bebas linear
Dengan menyetarakan komponen- komponen yang bersesuaian akan diperoleh
[
| ] [
| ] [
| ]
( )[
| ] [
| ] (
)[
| ]
[
| ] [
| ] [ | ]
17
jadi maka bebas linear
4. Apakah apakah bebas linear pada ?
Penyelesaian:
Diketahui : Ditanya : Apakah bebas linear pada
Jawab :
Membentuk sebuah himpunan yang tak bebas linear atau himpunan yang bebas linear
Dengan menyetarakan komponen- komponen yang bersesuaian akan diperoleh
[
| ] [
| ] [
| ]
[ | ] ( )[
| ] [
| ]
Persamaan baru :
atau atau Jadi Maka tak bebas linear pada
18
5. Tentukan basis dan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh:
[ ] [ ] [ ] Penyelesaian:
Untuk menunjukkan bahwa himpunan merentang R, kita harus menunjukkan bahwa suatu vektor sebarang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi.
Sehingga didapat persamaan:
Persamaan tersebut merupakan bebas linear karena memiliki solusi trivial atau tidak berkelipatan. Kita dapat membuktikan bahwa adalah basis linear dan tidak merentang dengan membuktikan matriks koefisiennya memiliki determinan nol.
[
]
[
|
Sehingga di dapatbahwadimensinyaadatigayaitu dan basisnya ada 3 yaitu
6. Tentukan dimensi dan basis untuk ruang pemecahan system berikut:
19
Penyelesaian:
| [
| ] [
| ] [
| ]
[
| ] [
| ] [
| ]
[
| ]
|
|
|
|
Sehinggadi peroleh dan | ; | solusi tunggal
Vektor solusi dapat dinyatakan sebagai [ ] [ ]
[ ] merentang ruang solusi dan merupakan bebas linear maka adalah suatu basis di dan ruang solusinya berdimensi 1
20
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. 1984.Aljabar Linear Edisi Ketiga. Jakarta : Erlangga.
Anton, Howard.2000.Aljabar Linear Edisi Kedelapan.Jakarta : Erlangga.
Saefudin, Abdul Aziz.2012. Bahan Ajar Aljabar Linear.Yogyakarta.UPY
