Mata Kuliah: Aljabar Linier Dosen Pengampu: Darmadi, S. Si, M. Pd

(1)

. RUANG BERDIMENSI n EUCLIDIS

Mata Kuliah: Aljabar Linier

Dosen Pengampu: Darmadi, S. Si, M. Pd

Disusun oleh:

Kelompok 1, Pendidikan Matematika VA

1. Abdul Fajar Sidiq

(08411.050)

2. Lilies Purwanti

(08411.176)

3. Ristinawati

(08411.242)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN DAN ILMU

PENGETAHUAN ALAM

IKIP PGRI MADIUN

(2)

KATA PENGANTAR

Dengan mengucapkan puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan taufik dan hidayahNya kepada kami sehingga kami dapat menyusun makalah ini.

Tentunya didalam menyusun makalah ini masih banyak terdapat kekuranganya hal ini disebabkan oleh terbatasnya kemampuan dan referensi yang kami peroleh.

Tak lupa pula kami ucapkan terima kasih kepada :

1. Darmadi, S. Si, M. Pd selaku dosen pembimbing

2. Teman-teman yang telah membantu kelancaran dalam pembuatan makalah ini

Kami menyadari bahwa makalah ini sangat jauh dari kesempurnaan, oleh sebab itu segala kritik dan saran dari teman-teman semua sangat membantu kami. Dan semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kami dan kita semua.

Madiun, 4 November 2010

(3)

BAB I PENDAHULUAN

Pada saat pertama kali ilmu vektor dikembangkan sekitar abad ke-17, hanya dikenal vektor-vektor di R2 dan R3 saja, tetapi dalam perkembangannya yakni menjelang akhir abad ke-19, tenyata didapatkan permasalahan yang lebih kompleks sehingga dikembangkan vektor-vektor di ruang berdimensi 4, 5 atau secara umum merupakan vektor-vektor di Rn. Pada saat itu dikenal bahwa kuadrupel bilangan (a1, a2, a3, a4) dapat ditinjau sebagai titik pada ruang berdimensi 4, kuintupel (a1, a2, a3, a4, a5) sebagai titik di ruang berdimensi 5, dan seterusnya. Secara geometris memang kita hanya dapat menggambarkan vektor-vektor di R3. Untuk vektor-vektor di R4 dan seterunya belum bisa digambarkan secara geometris, tetapi dasar yang digunakan seperti operasi-operasi vektor masih sama seperti operasi-operasi pada vektor-vektor di R2 dan R3 . Orang yang pertama kali mempelajari di Rn adalah euclidis sehingga vektor-vektor yang berada di Rn dikenal sebagai vektor Euclidis, sedangkan ruang vektornya disebut ruang-n Euclidis.

(4)

BAB II

PEMBAHASAN (Ruang-n Euclidis)

II. 1. Definisi

Jika n adalah sebuah bilangan bukat positif, maka tupel-n-terorde

(ordered-n-tuple) adalah sebuah urutan n bilangan real (a1, a2, a3, . . . , an). Himpunan semua tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan Rn. Ruang vektor Rn dinamakan ruang berdimensi n Euclidis ( Euclidis

n-space)

II. 2. Operasi-operasi Baku pada Rn

Misalkan u = (u1, u2, . . . , un) dan v = (v1, v2, . . . , vn) pada Rn, maka: 1. u dan v dikatakan sama jika u1 = v1, u2 = v2, . . . , un = vn.

2. Penjumlahan u dan v didefinisikan oleh: u + v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn)

3. Perkalian skalar yakni perkalian u dengan sembarang skalar k didefinisikan oleh:

ku = (ku1, ku2, . . . , kun) Contoh:

Misalkan u = ( 1, -2, 3, 5 ) dan v = ( 2, -1, 1, -4 ), vektor-vektor di R4 yang memenuhi persamaan u + 2v = w. Tentukan vektor w!

Jawab:

w = ( 1, -2, 3, 5 ) + 2( 2, -1, 1, -4 ) = ( 5, -4, 5, -3) Sifat-sifat operasi vektor pada ruang berdimensi n

Jika u = (u1, u2, . . . , un), v = (v1, v2, . . . , vn), dan w = (w1, w2, . . . , wn) adalah vektor-vektor pada Rn, k dan l adalah skalar, maka:

a. u + v = v + u

b. u + (v + w) = (u + v) + w c. u + 0 = 0 + u = u

(5)

e. k(lu) = (kl)u f. k(u + v) = ku + kv g. (k + l)u = ku + lu h. 1u = u Bukti: (sifat b) u + (v + w) = (u1, u2, . . . , un) + [(v1, v2, . . . , vn) + (w1, w2, . . . , wn)] = (u1, u2, . . . , un) + [(v1 + w1, v2 + w2, . . . , vn + wn)] = (u1+ [v1 + w1], u1+ [v1 + w1], . . . , un+ [vn + wn]) = ([u1+ v1] + w1,[ u1+ v1]+ w1, . . . , [un+ vn] + wn) = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn) + (w1, w2, . . . , wn) = (u + v) + w

II. 3. Hasil Kali Euclidis (euclidis Inner Product)

Jika u = (u1, u2, . . . , un), v = (v1, v2, . . . , vn), dan w = (w1, w2, . . . , wn) adalah sembarang vektor pada Rn, maka hasil kali dalam Euclidis uv

didefinisikan sebagai:

uv = u1v1 + u2v2 +. . . + unvn Contoh:

Misalkan u = ( 1, 2, 3, 4, 5) dan v = (-2, 1, 3, 5, -4) vektor-vektor di R5. Tentukan uv !

Jawab:

uv = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(3) + (4)(5) + (5)(-4) = 9

Sifat-sifat hasil kali dalam Euclidis a. u



v = v u

b. (u + v) w = uw + vw

c. (ku) v = k (uv)

d. vv  0, vv = 0v = 0

Bukti: (sifat a)

Misalkan u = (u1, u2, . . . , un) dan v = (v1, v2, . . . , vn), maka:

uv = u1v1 + u2v2 +. . . + unvn

= v1u1 + v2u2 +. . . + vnun = v u

(6)

Contoh:

(u + 3v) (2u + v) = u(2u + v) + (3v)(2u + v) (bagian b) = u2u + uv + (3v) (2u) + (3v)



v (bagian b) = 2 (u



u) + u



v + 6(v u) + 3(v v) (bagian c) = 2 (u



u) + 7(u



v) + 3(v v) (bagian a)

II. 4. Panjang dan Jarak pada Rn

Panjang atau norma (Euclidean Norm atau Euclidean Length) dari vektor u = (u1, u2, . . . , un) pada Rn: 2 2 2 2 1 2 1 ... ) (u u u u un u      

Sifat-sifat panjang pada Rn:

Jika u dan v adalah vektor-vektor pada Rn dan k adalah suatu skalar sembarang maka:

a) u 0

b) u 0 jika dan hanya jika u = 0 c) ku  k  u

d) uv  u  v

Bukti (c), Jika u = (u ,₁ u₂,u₃...u_n), maka ku = (ku1, ku2, ku3...kun) Sehingga,

   

2

 

2 2 2 1 ku ... kun ku ku     2 2 2 2 1 u ... un u k     = k u

Jarak antara dua titik u = (u1, u2, . . . , un) dan v = (v1, v2, . . . , vn) pada Rn: 2 2 2 2 2 1 1 ) ( ) ... ( ) ( ) , (u v u v u v u v u_n v_n d         

Sifat-sifat Jarak pada Rn

Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada Rn dan k adalah suatu skalar sembarang, maka:

(7)

a) d(u,v) 0

b) d(u,v) = 0 jika dan hanya jika u = v c) d(u,v) = d(v,u)

d) d(u,v)  d(u,w) + d(w,v) Contoh:

Misalkan u = ( 1, -1, -3, 3, 0) dan v = (-2, 1, 1, 3, -3) vektor-vektor di R5, maka: 5 2 20 ) 0 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 1 ( 2   2   2  2  2    u Dan 38 )) 3 ( 0 ( ) 3 3 ( ) 1 3 ( ) 1 1 ( )) 2 ( 1 ( ) , (u v    2    2    2  2    2  d

II. 5. Ortogonalitas (Ketegaklurusan)

Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal pada Rn dengan hasil kali dalam Euclidean, maka

2 2 2 v u v u   Bukti :



 



2 2 2 2 2 ) ( 2 u v v u v u v u v u v u          

II. 6. Notasi Alternatif untuk Vektor pada Rn

Penulisan suatu vektor u = (u1, u2,...un) pada Rn dalam notasi matriks sebagai suatu matriks baris atau suatu matriks kolom seringkali berguna :

             n u u u u : 2 1 atau u =



u₁,u₂,...u_n



Untuk vektor-vektor dengan notasi matriks kolom, kita memiliki rumus berikut untuk menghitung hasil kali euclidiean:

u v v

(8)

Jika A adalah suatu matriks n x n, maka rumus –rumus yang dihasilkan : v A u v Au   T v u A Av u  T  Contoh : Misalkan bahwa       1 2 1 A 0 4 2      1 1 3 u =           4 2 1 v =           5 0 2 Maka Au =      1 2 1 0 4 2      1 1 3           4 2 1 =           5 10 1 ATv=      3 2 1 1 4 2      1 0 1           5 0 2 =           1 4 7

Dan kita memperoleh

 v Au 7(-2) + 10(0) +5(5) = 11  A v u T (-1)(-7) + 2(4) + 4 (-1) = 11

Secara khusus, suatu sistem linear Ax = b dapat dinyatakan dalam bentuk hasil kali titik sebagai

Sistem

3x1 – 4x2 + x3 = 1 2x1 – 7x2 – 4x3 = 5

x1 + 5x2 - 8x3 = 0 Bentuk Hasil kali titik



 





 











                3 2 , 1 3 2 1 3 2 1 , 8 , 5 , 1 , , 4 , 7 , 2 , , 1 , 4 , 3 x x x x x x x x x =           0 5 1

(9)

PERTANYAAN DAN PEMBAHASAN

1. Mengapa v . v ≥ 0 ? Penyelesaian :

v . v ≥ 0 karena berapapun nilai v (positif atau negatif) jika dikalikan

hasilnya selalu positif. Positif x positif = positif Negatif x negatif = positif Oleh karena itu v . v ≥ 0 2. Mengapa u . v = vT . u ?

Penyelesaian :

Karena vektor bisa dituliskan dalam bentuk matriks, baik matriks baris maupun matriks kolom. Sedangkan dalam perkalian matriks harus memenuhi syarat Baris x Kolom.

Bukti:

Jika vektor u = u1, u2, ..., un dan v = v1, v2, ..., vn maka bisa ditulis dalam notasi matriks kolom:

             n u u u u : 2 1 dan              n v v v v : 2 1 Maka: vTu



u₁,u₂,...,u_n



            n u u u : 2 1 =



u₁v₁u₂v₂...u_nv_n

  

 u,v u.v jadi, u . v = vT . u

(10)

BAB III PENUTUP

Jika n adalah sebuah bilangan bukat positif, maka tupel-n-terorde

(ordered-n-tuple) adalah sebuah urutan n bilangan real (a1, a2, a3, . . . , an). Himpunan semua tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan Rn. Ruang vektor Rn dinamakan ruang berdimensi n Euclidis ( Euclidis n-space). Vektor –vektor yang berada pada Rn  vektor Euclidis, dan ruang vektor yang berada di Rn  ruang n Euclidis.

(11)

DAFTAR PUSTAKA

Anton,Howard.1993.Aljabar Linear Elementer Edisi ke Lima.Jakarta:erlangga. Anton,Howard.2002.Aljabar Linear Elementer Jilid 1 Edisi ke

Delapan.Jakarta:erlangga.