RUANG HASIL KALI DALAM (RHKD)
Makalah Ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd
Disusun oleh: Kelompok 5
1. Nurita Cahyaningtyas (14144100112) 2. Rochayati (14144100120) 3. Nikmahtun Tri Harsiwi (14144100141)
Kelas 3 A4
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2015
RUANG HASIL KALI DALAM
A. Hasil Kali Titik
1. Definisi hasil kali titik
Jika dan adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3 dan adalah sudut antara dan , maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidean didefinisikan oleh
{‖ ‖‖ ‖
Contoh :
Sudut antara vektor-vektor dan adalah , maka
‖ ‖‖ ‖
(√ )(√ ) ( √ )
Misalkan dan adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau berdimensi 3 maka :
a) ‖ ‖ yaitu ‖ ‖
b) Jika vektor –vektor dan adalah tak nol dan adalah sudut diantaranya, maka
adalah lancip jika dan hanya jika
c) adalah tumpul jika dan hanya jika d) jika dan hanya jika
2. Sifat-sifat Hasil Kali Titik
Jika dan adalah vektor – vektor pada ruang berdimensi 2 atau berdimensi 3 dan adalah skalar, maka :
a.
b. c.
d. jika , dan jika Bukti :
Jika diberikan vektor – vektor dan adalah skalar pada , maka :
a. b. c.
d. dan , dan
B. Hasil Kali Dalam Real
1. Pengertian hasil kali dalam real
Suatu hasil kali dalam waktu untuk pada suatu ruang vektor real adalah suatu fungsi yang menghubungkan suatu bilangan real dengan setiap pasangan vektor dan dalam dengan cara sedemikian sehingga aksioma-aksioma berikut dipenuhi untuk semua vektor dan dalam dan semua skalar
a) 〈 〉 〈 〉 〈 〉 [Aksioma penjumlahan] b) 〈 〉 〈 〉 [Aksioma kesimetrisan]
c) 〈 〉 〈 〉 [Aksioma homogen] d) 〈 〉 [Aksioma kepositifan]
Dengan 〈 〉 jika dan hanya jika
Suatu ruang vektor real dengan suatu hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam real.
Aksioma a menyatakan bahwa fungsi hasil kali dalam adalah linier pada posisi pertama. Dngan menggunakan aksioma penjumlahan dan aksioma simetris, kita memperoleh
〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉
2. Sifat-sifat hasil kali dalam
Jika dan adalah vektor – vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam real , dan adalah sembarang skalar, maka :
(a) 〈 〉 〈 〉 (b) 〈 〉 〈 〉 〈 〉 (c) 〈 〉 〈 〉 (d) 〈 〉 〈 〉 〈 〉 (e) 〈 〉 〈 〉 〈 〉 Bukti : a. 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 b. 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉
〈 〉 〈 〉 〈 〉 c. 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 d. 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈( )〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 e. 〈 〉 〈 〉 〈 〉
〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈( )〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 Contoh :
Misalkan adalah ruang hasil kali dalam real, maka dengan linearitas, 〈 〉
〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉
C. Hasil Kali dalam Kompleks 1. Pengertian bilangan kompleks
Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk , dimana dan adalah elemen bilangan real, dan adalah satuan khayal/imajiner tertentu yang mempunyai sifat .
Misalkan maka adalah bilangan real dari yang dinyatakan dengan Re(z) dan adalah bagian khayal dari yang dinyatakan dengan Im(z). Jika dan maka disebut
bilangan khayal /imajiner murni. Sedngkan jika maka bilangan tersebut nilainya sama dengan bilangan real. Jadi kita melihat R (himpunan bilangan real) sebagai subhimpunan dari C (himpunan bilangan kompleks).
Bilangan kompleks C dengan operasi – operasi penjumlahan dan perkalian sebagai berikut ini :
jika dan hanya jika dan
Disebut medan (field) bilangan – bilangan, seperti halnya himpunan bilangan real R dan himpunan bilangan rasional Q.
Jika bilangan kompleks maka sekawan dari bilangan kompleks disebut konjugat. Konjugat dari dilambangkan dan didefinisikan sebagai :
̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ , maka ̅
̅ . adalah real jika dan hanya jika ̅ .
Nilai absolut dari , ditulis sebagai | |, didefinisikan sebagai akar kuadrat bukan negatif dari ̅. Yaitu | | √ ̅ √
Perhatikan bahwa sama dengan norma dari vektor pada . Anggaplah . Maka invers dari dan pembagian dengan pada C adalah ̅ ̅ dan ̅ ̅ Contoh : dan Maka
̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ dan ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ | | √ √ dan | | √ √
2. Hasil Kali Titik (Hasil Kali Dalam) pada
Perhatikan vektor [ ] dan [ ] pada . Hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam (inner product) dan dilambangkan dan didefinisikan sebagai ̅ ̅ ̅
Definisi ini disederhanakan menjadi kasus bilangan real karena ̅̅̅̅ ketika adalah real. Norma dari didefinisikan sebagai
‖ ‖ √
‖ ‖ √ ̅ ̅ ̅̅̅ ‖ ‖ √‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
Kita tekankan bahwa sehingga ‖ ‖ adalah real dan positif jika dan 0 karena .
Ruang dengan operasi-operasi penjumlahan vektor, perkalian skalar, dan hasil kali titik disebut ruang-n Euclieadn kompleks. Untuk juga berlaku untuk jika kita mengganti dengan ̅̅̅̅̅̅. Contoh :
Perhatikan vektor – vektor [ ] dan [ ] pada . Maka : ̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ̅ ) ̅̅̅̅̅̅̅̅ | | | | | | ‖ ‖ √ ‖ ‖
3. Ruang hasil kali dalam kompleks
Hubungan antara bilangan kompleks , di mana , dan konjugat kompleksnya ̅ :
̅ | | √
̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̿
Selain itu, real jika dan hanya juka ̅
Definisi misalkan adalah ruang vektor atas C. Anggaplah untuk setiap pasangan vektor terdapat hubungan dengan suatubilangan kompleks, yang dilambangkan dengan 〈 〉. Fungsi ini disebut hasil kali dalam (kompleks) pada jika memenuhi aksioma – aksioma berikut . a) 〈 〉 〈 〉 〈 〉
b) 〈 〉 〈 ̅̅̅̅̅〉 c) 〈 〉 〈 〉
d) 〈 〉 dan 〈 〉 jika dan hanya jika .
Ruang vektor V dan C dengan hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam (kompleks).
Amati bahwa hasil kali dalam kompleks berbeda dengan hasil kali dalam real hanya pada aksioma kedua .
Aksioma (sifat linier) ekuivalen dengan dua syarat berikut ini : a) 〈 〉 〈 〉 〈 〉,
b) 〈 〉 〈 〉
Di lain pihak, dengan menerapkan dan , kita memperoleh 〈 〉 〈 〉̅̅̅̅̅̅̅̅̅
〈 〉 〈 〉̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 〈 〉 ̅ 〈 〉̅̅̅̅̅̅̅ 〈 〉 ̅〈 〉 〈 〉 〈 〉
Yaitu, kita harus menentukan konjugat dari bilangan kompleks ketika bilangan ini diambil dari posisi kedua pada hasil kali dalam kompleks. Hasil kali dalam adalah linier konjugat dalam posisi kedua yaitu,
〈 〉 ̅〈 〉 ̅〈 〉
Dengan menggabungkan bentuk linier pada posisi pertama dan bentuk linier konjugat pada posisi kedua, dengan induksi kita peroleh,
〈∑ ∑ 〉 ∑ ̅ 〈 〉
Contoh :
Misalkan , dan misalkan dan adalah vektor – vektor dalam , maka
〈 〉 ∑ ̅̅̅̅
Latihan Soal! 1. Misal , , . Hitunglah! a. 〈 〉 b. 〈 〉 c. 〈 〉 Penyelesaian: a. Untuk , , maka 〈 〉 ( ) b. Untuk , , misalkan 〈 〉 ( ) c. Untuk , , , maka 〈 〉 ( )
2. Misal dan adalah vektor-vektor pada . Tunjukkan bahwa 〈 〉 adalah ruang hasil kali dalam!
Penyelesaian:
Kita akan buktikan bahwa 〈 〉 memenuhi ke-4 aksioma 1) Akan dibuktikan bahwa 〈 〉 〈 〉
〈 〉
〈 〉 (Terbukti)
2) Akan dibuktikan bahwa 〈 〉 〈 〉 〈 〉 Jika , maka 〈 〉 〈 〉 〈 〉 (Terbukti)
3) Akan dibuktikan bahwa 〈 〉 〈 〉
〈 〉
〈 〉 (Terbukti)
4) Akan dibuktikan bahwa 〈 〉 dan 〈 〉 jika dan hanya jika 〈 〉 dan 〈 〉
Jika dan hanya jika atau . (Terbukti)
Jadi, 〈 〉 adalah ruang hasil kali dalam. 3. Tentukan norma vektor u dan jarak antara vektor u dan v jika diketahui
dan ! Penyelesaian:
Norma vektor u dinyatakan oleh ‖ ‖
‖ ‖ 〈 〉 √ √
√ √
Jarak antara vektor u dan v dinyatakan oleh ‖ ‖ √
√ √ √
√
4. Misalkan R2 merupakan hasil kali dalam Euclidis, carilah cosinus sudut antara u dan v jika diketahui dan !
Penyelesaian:
Misalkan sudut antara u dan v adalah , 〈 〉 ‖ ‖‖ ‖ 〈 〉 ( ( )) Dan
‖ ‖ √ √ √ ‖ ‖ √ √ √ Jadi, 〈 〉 ‖ ‖‖ ‖ √ √ √ 5. Misalkan diketahui ( √ √ ) (√ √ ), apakah himpunan vektor tersebut merupakan himpunan vektor yang orthornormal? Penyelesaian: 〈 〉 ( √ ) ( √ ) 〈 〉 ( √ ) ( √ ) 〈 〉 ( √ √ ) (√ √ )
Jadi, { } merupakan himpunan vektor yang orthogonal ‖ ‖ √ √ √ ‖ ‖ √( √ ) (√ ) √ √ ‖ ‖ √( √ ) ( √ ) √ √
Karena syarat orthonormal adalah semua himpunan yang orthogonal yang semua vektornya bernorma 1, maka himpunan { } merupakan himpunan yang orthonormal.
DAFTAR PUSTAKA
Abdul Aziz Saefudin.2012. Bahan Ajar Aljabar Linear. Yogyakarta: UPY. Anton, Howard.Aljabar Linear Edisi Kedelapan. Jakarta: Erlangga.
