ALJABAR LINEAR (Vektor diruang 2 dan 3)
Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd
Disusun Oleh : Kelompok 3/3A4
1. Nurul Istiqomah 14144100130 2. Ambar Retno Mutia 14144100150
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2015
2
VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3
A. Vektor (Geometrik)
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah yang belum ditentukan. Vektor tergantung sistem koordinat. Sedangkan skalar adalah besaran yang mempunyai nilai tetapi tidak mempunyai arah. Skalar tidak tergantung sistem koordinat.
Vektor-vektor dalam dinyatakan secara geometris sebagai segmen- segmen garis yang terarah atau panah-panah didalam ruang-2 atau ruang- 3. Arah panah menentukan arah vektor dan panjang vektor menentukan besarnya. Ekor panah dinamakan titik pemulaan (initial point) dari vektor dan ujung panah dinamakan titik terminal (terminal point). Bila membicarakan vektor maka kita akan menyatakan bilangan sebagai skalar, semua skalar merupakan bilangan real dan dinyatakan oleh huruf kecil miring biasa seperti a, k, v, w, dan x.
Vektor AB atau vektor u
A adalah titik awal (initial point) B adalah titik terminal (terminal point)
Gambar 1
Maka dapat dilambangkan dengan v = 1. Vektor Ekivalen
Vektor ekivalen adalah vektor-vektor dengan ukuran dan arah yang sama dapat dilambangkan dengan v = u
v ekivalen u
Apabila arah dan panjangnya sama.
Jadi v = u Gambar 2
B
A u
D
C B
A
v u
3
Jika v adalah sebuah vektor dan k adalah sebuah skalar, maka hasil perkalian kv didefinisikan sebagai panjang vektor [k] kali panjang vektor v, dimana arahnya sama seperti arah v jika k > 0 dan berlawanan arah dengan v jika k < 0.
Vektor-vektor di dalam bidang dapat digambarkan oleh pasangan bilangan real maka vektor di dalam r3 dapat digambarkan oleh tripel bilangan real dengan sebuah sistem koordinat siku-siku. Dalam sistem koordinat siku-siku terdapat titik asal atau titik 0 dan tiga garis yang saling tegak lurus sumbu koordinat yang biasa disebut dengan x, y, z.
Sistem koordinat siku-siku di dalam ruang-3 dapat digolongkan ke dalam dua kategori yakni sistem tangan kiri dan sistem tangan kanan.
a) Sistem tangan kanan b) Sistem tangan kiri Gambar 3
Jika sebuah vektor v di dalam ruang-3 diletakkan sehingga titik permulaannya berada di titik asal sebuah sistem koordinat siku-siku, maka koordinat-koordinat titik terminal dinamakan komponen- komponen dari v.
Jika v = (v1, v2, v3) dan u = (u1, u2, u3) adalah dua vektor di dalam ruang-3, maka untuk vektor-vektor yang di dalam sebuah bidang dapat disimpulkan bahwa:
1. v dan u ekivalen jika dan hanya jika v = u 2. v + u = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3 )
3. v = ( v1, v2, v3)
4 2. Vektor Nol
Vektor nol adalah vektor yang panjangnya nol, dinyatakan sebagai v v untuk setiap vektor v. Karena vektor nol secara alami tidak memiliki arah, maka sepakat bahwa vektor nol dapat memiliki arah sebarang, sehingga penyelesaian masalah yang ditinjau menjadi lebih mudah.
3. Vektor Negatif
Vektor negatif adalah vektor yang besarnya sama dengan v tetapi arahnya berlawanan.
v + (-v) = 0
Gambar 4 4. Pengurangan Vektor
Pengurangan vektor didefinisikan oleh v – u = v + (-u)
Gambar 5
5. Komponen Vektor di Ruang-2
Gambar 6 u = (u1, u2)
v
-v
-u v
u -w
v-u
5 v = (v1, v2)
6 6. Komponen Vektor di Ruang-3
Gambar 7 u = (u1, u2, u3)
v = (v1, v2, v3) 7. Penjumlahan
Jika u dan v adalah sembarang dua vektor, maka jumlah u + v adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut. Tempatkan v sehingga titik awalnya berimpit dengan titik akhir u. Vektor u + v dinyatakan oleh panah dari titik awal u terhadap titik akhir v.
Gambar 8 Ruang-2
u + v = (u1, u2) + (v1, v2)
= (u1 + v1, u2 + v2) Ruang-3
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) Contoh 1:
Jika u = dan v = maka u + v = ? Jawab:
v
u u
v
7 u + v
8. Pengurangan Ruang 2
u – v = (u1, v1) – (u2, v2)
= (u1 – v1, u2 – v2) Ruang-3
u – v = (u1 –v1, u2 – v2, u3 – v3) Contoh 2:
Jika u dan v , maka u – v ?
Jawab:
u – v
B. Norma Vektor
Teorema 1. Jika u v dan w adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan serta l adalah skalar, maka hubungan berikut akan berlaku:
1. u + v = v + u sifat komutatif penjumlahan pada vektor
2. (u + v) + w = u + (v + w) sifat asosiatif penjumlahan pada vektor 3. u + 0 = 0 + u = u identitas (ada elemen identitas terhadap
penjumlahan = 0)
4. u + (-u) = 0 (setiap vektor punya invers)
5. u u (asosiatif perkalian skalar dengan vektor)
6. u v u v (sifat distributif antara skalar dengan vektor)
8
7. u u u (sifat distributif antara skalar dengan vektor)
8. 1u u sifat identitas perkalian (ada elemen satuan) Bukti:
Bukti bagian 2 (secara analitik). Bukti untuk vektor di dalam ruang-3, bukti untuk ruang-2, sama dengan bukti di dalam ruang-3. Jika untuk u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), dan w = ( w1, w2, w3) maka:
( u + v ) + w = [( u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) ]+ ( w1, w2, w3) = [( u1 + v1,u2 + v2, u3 + v3)]+ (w1, w2, w3)
= (( u1 + v1) + w1, (u2 + v2) + w2, (u3 + v3) + w3)
= ( u1 + (v1 + w1 ), u2 + (v2 + w2), u3 + (v3 +w3))
= u1 + (v1 + w1 ), u2 + (v2 + w2), u3 + (v3 +w3)
= (u1, u2, u3 ) + (v1 + w1 , v2 + w2, v3 + w3)
= (u1, u2, u3 ) + ((v1, v2, v3) + ( w1, w2, w3))
= u + (v + w)
Bukti bagian 2 (secara geometrik). Misalkan u, v dan w dinyatakan oleh dan , maka sesuai Gambar 9 di bawah ini :
R v
Q u+v w
u v+w
P u+(v+w) S
Gambar 9 Keterangan:
PQ = u QR = v RS = w PR = u + v QS = v + w
9 PS = u + (v + w)
Panjang sebuah vektor v sering dinamakan norma v dan dinyatakan dengan ||v||. Misalkan v = (v1, v2) adalah vektor ruang-2. Dengan menggunakan gambar 10 dan penerapan Teorema Pythagoras, maka akan didapatkan
R (v1, v2)
||v|| v2
O v1 P
Gambar 10
Contoh 3:
Jika v = (4, 3), maka:
= = 5
Misalkan v = (v1, v2, v3) adalah vektor ruang-3. Dengan menggunakan gambar dan dua penerapan pythagoras, maka didapatkan
Gambar 11 Z
x
P(V1, V2, V3)
y 0
R Q
S
10
Jika P1
x1,y1,z1
dan P2
x2,y2,z2
adalah dua titik di ruang-3, maka jarak di antara kedua titik tersebut adalah norma vektor P1P2, karena
2 1 2 1 2 1
2
1P x x ,y y ,z z
P
Maka jelas bahwa
x2 x1
2 y2 y1
2 z2 z1
2d
Contoh 4:
Jika v maka:
2 2
2 2 1
3
v =
Contoh 5:
Jika diketahui jarak antara P1( 3,-2,1) dan P2( 3,5,1) tentukanlah P1P2:
2
2 22
1P 33 5(2 11
P = = 7
C. Hasil Kali Titik
Pada bagian ini akan diperkenalkan semacam perkalian vektor di ruang-2 dan ruang-3. Sifat-sifat ilmu hitung perkalian ini akan ditentukan dan beberapa penerapannya akan diberikan.
Misalnya u dan v adalah dua vektor taknol di ruang-2 dan ruang-3, dan anggaplah vektor-vektor ini telah dilokasikan sehingga titik awalnya berhimpit. Yang diartikan dengan sudut di antara u dan v, dengan sudut θ yang ditentukan oleh u dan v yang memenuhi 0 ≤ θ ≤ π.
Gambar 12 Gambar 13 Gambar 14
Definisi : Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan θ adalah sudut di antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner product) u • v didefinisikan oleh
u
v θ
v
u θ
θ
u v
11
z
x x
y u
v
P (u1, u2, u3)
Q (v1, v2, v3)
θ
Misalkan u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah dua vektor taknol. Jika, seperti pada gambar dibawah, θ adalah sudut di antara u dan v, maka hukum cosinus menghasilkan :
Gambar 15
Karena = v – u, maka dapat dituliskan kembali sebagai
atau
Dengan mensubstitusikan
dan
Maka setelah menyederhanakannya akan didapatkan
Jika u = (u1, u2) dan v = (v1, v2) adalah dua vektor di ruang-2, maka rumus yang bersesuaian adalah
Jika u dan v adalah vektor taknol, maka rumus di atas dapat dituliskan sebagai
12 Contoh 6:
Sudut di antara vektor u = (0, 0, 2) dan vektor v = (0, 3, 4) adalah 600. Tentukan u . v!
u . v = ||u||. ||v|| cos
) )
=
= (2)(5)
= 5
Teorema berikut ini memperlihatkan bagaimana perkalian titik dapat digunakan untuk mendapatkan informasi mengenai sudut diantara dua vektor, teorema ini juga menghasilkan hubungan penting di antara norma dan perkalian titik.
Teorema 2. Misalkan u dan v adalah vektor di ruang-2 atau ruang-3.
1. v • v = ; yakni, =
2. Jika u dan v adalah vektor-vektor taknol dan θ adalah sudut di antara kedua vektor tersebut, maka
θ lancip jika dan hanya jika u • v > 0 θ tumpul jika dan hanya jika u • v < 0 θ = jika dan hanya jika u • v = 0 Bukti:
1. Karena sudut diantara u dan v adalah 0 maka diperoleh:
2. Karena dan dan , maka u.v
mempunyai tanda yang sama seperti cos . Karena memenuhi 0 , maka sudut lancip jika dan hanya jika cos < 0, dan
= jika dan hanya jika cos = 0.
13
Jika u, v dan w adalah vektor-vektor di dalam ruang-2 dan ruang-3 dan k adalah skalar, maka :
1. u . v = v . u (Sifat komutatif Perkalian)
2. u( v + w) u . v + u . w (sifat Asosiatif Perkalian)
3. ( ) (sifat asosiatif perkalian dengan
skalar)
4. (sifat identitas
perkalian)
14 D. Latihan Soal
1. Jika dan Tentukanlah:
a.
b.
c.
d.
2. Komponen-komponen dari vektor v = dengan titik permulaan dan titik terminal tentukan ?
3. Sudut diantara vektor dan adalah 60, tentukan ?
4. Tentukan apakah dan membentuk sudut lancip, sudut tumpul atau saling tegak lurus:
a.
b.
c.
5. Misalkan u = (3, -4, 0), v = (-2, 2, -4). Carilah:
a. ||u + v||
b. ||u – 3v||
c. ||u|| + ||v||
6. Hitunglah jarak di antara titik P1 (5, 2, -3) dan titik P2 (1, -2, 2)!
15 Pembahasan :
1. Diketahui: v = (2, 5, 4) w= (8, 2, 4) Jawab:
a.
b.
c.
d.
2. Diketahui :
3. Diketahui :
Jawab :
= 10 4. Penyelesaian Nomor 4 :
16 a.
0,45 b.
(tumpul) c.
17
(lancip)
5. Dikethui:
a. u + v = (3, -4, 0) + (-2, 2, -4) = (1, -2, -4)
Maka ||u + v ||
b. 4u – v = 4(3, -4, 0) – (-2, 2, -4) = (12, -16, 0) – (-2, 2, -4) = (14, -18, 4)
Maka ||4u – v||
c. ||u|| =
=5
||v|| =
= =
Maka ||u|| + ||v|| = 5 +
18
6. Jarak di antara titik P1 (5, 2, -3) dan titik P2 (1, -2, 2):
Jawab:
2
2
22
1P 51 2(2 32
P = = 7,54
19
DAFTAR PUSTAKA
Abdul Aziz Saefudin.2012. Bahan Ajar Aljabar Linear. Yogyakarta: UPY.
Anton, Howard.Aljabar Linear Edisi Kedelapan. Jakarta: Erlangga.
