DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER
(BAGIAN I)
DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd
JURUSAN/PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI BANJARMASIN
MARET 2013
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal ii MUQADIMAH
Alhamdulillah penyusun ucapkan ke hadirat ALLAH SWT, karena berkat limpahan rahmat, taufik dan hidayah-Nya penyusun dapat menyelesaikan diktat Aljabar Linear ini. Shalawat dan salam juga semoga selalu tercurah kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW beserta sahabat, kerabat, serta ummat beliau yang senantiasa istiqamah mengikuti risalah beliau hingga akhir zaman.
Diktat ini disusun dalam dua bagian, dengan harapan setelah selesai bagian I akan dilaksanakan ujian tengah semester, dan nanti langsung dilanjutkan dengan bagian II. Semoga dengan penyusunan diktat ini dapat membantu mahasiswa dalam belajar Aljabar Linear, tentu saja perlu ditambah dengan buku pendukung lainnya.
Penyusun juga menyadari bahwa diktat ini masih jauh dari sempurna, sehingga saran dan kritik sangat penyusun harapkan.
Banjarmasin, Maret 2013 Penyusun,
TTD
Abdul Jabar, M.Pd
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal iii DAFTAR ISI
Halaman
BAB I SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS ……… 1
1.1 Sistem Persamaan Linear ………. 1
1.2 Matriks ……….. 2
1.2.1 Macam-macam matriks ……….. 2
1.2.2 Kesamaan matriks ………. 4
1.2.3 Transpose matriks ……….. 5
1.2.4 Operasi aljabar matriks ……….. 5
1.3 Hubungan SPL dengan Matriks ……….. 7
1.4 Eliminasi Gauss-Jordan ………. 8
1.5 Menentukan invers matriks ……….. 10
1.6 SPL Homogen ……… 11
BAB II DETERMINAN ………. 13
2.1 Pendahuluan ………. 13
2.2 Ekspansi Kofaktor ………. 14
2.3 Reduksi baris menggunakan operasi baris elementer ……… 14
2.4 Metode Cramer ……….. 15
2.5 Hubungan Determinan, Invers Matriks dan Penyelesaian SPL ……….. 17
BAN III VEKTOR DI R2 DAN R3 ……… 18
3.1 Pendahuluan ………. 18
3.2 Operasi-operasi pada Vektor ……….. 18
3.3 Hasil kali titi, panjang vektor, dan jarak ……….. 19
3.4 Proyeksi ortogonal ………. 20
3.5 Hasil Kali Silang ……… 21
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 1 BAB I
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS 1.1 Sistem Persamaan Linear
Definisi 1.1 : Persamaan Linear
Persamaan linear adalah persamaan yang peubahnya berpangkat satu. Suatu persamaan linear dengan n peubah x1, x2, … , xn dapat dinyatakan dalam bentuk :
a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = b (1.1)
dimana a1, a2 , … , an dan b adalah konstanta-konstanta real.
Definisi 1.2 : Penyelesaian Persamaan Linear
Penyelesaian dari persamaan linear (1.1) adalah urutan dari n bilangan s1, s2, … , sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila
x1= s1, x2 =s2, … , xn = sn (1.2)
disubstitusikan terhadapnya.
Himpunan semua pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan penyelesaian.
Definisi 1.3 : Sistem Persamaan Linear
Suatu himpunan berhingga dari persamaan- persamaan linear dalam peubah-peubah x1, x2, …, xn dinamakan sistem persamaan linear atau sistem linear.
Suatu urutan bilangan-bilangan s1, s2, … , sn dinamakan pemecahan dari sistem tersebut jika (1.2) adalah pemecahan dari masing-masing persamaan pada sistem tersebut.
Sebuah sistem sebarang yang terdiri dari m persamaan linear dengan n bilangan yang tidak diketahui :
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
: (1.3)
.
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
Definisi 1.4 : Konsistensi
1. Sebuah sistem persamaan yang tidak memiliki penyelesaian dikatakan tidak konsisten.
Jika ada setidak-tidaknya satu pemecahan, maka sistem persamaan tersebut dikatakan konsisten.
2. Suatu sistem persamaan linear mungkin tidak memiliki penyelesaian, atau memiliki persis satu penyelesaian, atau memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian.
Dalam 2 dimensi dapat digambarkan sebagai berikut :
Tidak ada penyelesaian Tepat satu penyelesaian Banyak penyelesaian i
k
i k
i = k
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 2 1.2 Matriks
Defenisi 1.5: Matriks
Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun menjadi suatu jajaran persegi panjang yang terdiri atas baris dan kolom dan dibatasi tanda kurung.
Sebuah matriks dapat diberi nama dan nama itu biasanya dinyatakan dengan memakai huruf besar (kapital), seperti A, B, C, …. dan seterusnya.
Contoh 1.1:
(i) Dengan menandai kurung biasa A =
−4 3
5
2 dan B =
3 9 0 11
8 7 (ii) Dengan menandai kurung siku
A =
−4 3
5
2 dan B =
3 9 0 11
8 7
Suatu matriks A seperti pada pembahasan terdahulu, yang terdiri dari m baris dan n kolom, maka matriks A berordo m x n dan ditulis dengan lambang Am x n. Sedangkan banyaknya elemen (unsur) matriks A sama dengan m x n buah. Dengan demikian matriks A yang berordo m x n dapat disajikan sebagai berikut :
Am x n =
mn n n n
m m
m a
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3 2 1
3 33 23 13
2 32 22 12
1 31 21 11
Contoh 1.2 A 2 x 2 =
−1 5 7
2 → adalah matriks berordo 2 x 2
B2 x 3 =
−
−
0 12 3 6
4
3 → adalah matriks berordo 2 x 3
1.2.1 Macam-macam Matriks
Jika diperhatikan dari banyaknya baris dan banyaknya kolom serta jenis elemen-elemennya, maka matriks dibedakan menjadi beberapa macam yaitu:
1. Matriks Baris
Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris atau matriks yang berordo (1 x n) dengan n > 1
Contoh 1.3 : A1 x 3 = (3 5 1)
B1 x 4 = (2 3 7 -6) 2. Matriks Kolom
Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom atau matriks yang berordo (m x 1) dengan m > 1
Baris ke-1 Baris ke-2
Baris ke-m
Kolom ke-1 Kolom ke-n
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 3 Contoh 1.4 :
A3 x 1 =
− 9
3 7
B4 x 1 =
− 1
2 2 0
C5 x 1 =
−
1 15
3 9 8
3. Matriks persegi/kuadrat
Matriks persegi adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.
Matriks Am x n disebut matriks persegi jika m = n, sehingga sering ditulis Am x n = An.
Pada matriks persegi elemen-elemen a11, a22, a33, …, ann disebut elemen-elemen diagonal utama, dan an1, …, a1n disebut elemen-elemen diagonal samping.
Defenisi: Trace
Trace A adalah hasil penjumlahan dari elemen-elemen pada diagonal utama dari matriks persergi A.
Trace A = a11 + a22 + … + ann
Contoh 1.5:
A3x3 = A3 =
− 8 4 7
0 1 5
3 6 2
Elemen diagonal utamanya adalah 2, -1, 8 Elemen diagonal samping adaaalah 3, -1, 7 Trace A = (2) + (-1) + (8) = 9
4. Matriks diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya bernilai nol, kecuali elemen diagonal utama.
Contoh 1.6:
A2 =
1 0
0
2 B3 =
0 0 0
0 3 0
0 0 1
C3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
5. Matriks segitiga atas
Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya adalah nol.
Contoh 1.7:
D2 =
2 0
1
5 E3 =
−
3 0 0
8 2 0
4 5 1
6. Matriks segitiga bawah
Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya adalah nol.
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 4 Contoh 1.8:
F2 =
3 1
0
8 G3 =
−5 8 7 0 1 2
0 0 7
7. Matriks identitas
Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua nilai elemen-elemen pada diagonal utamanya sama dengan satu, sedangkan elemen lainnya nol. Matriks identitas disebut juga matriks satuan yang dilambangkan dengan “I”.
Contoh 1.9:
I2x2 =
1 0
0
1 I3x3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
8. Matriks nol
Matriks nol adalah matriks yang seluruh elemennya bernilai nol. Matriks nol dinyatakan dengan lambang “O”
Contoh 1.10:
O2x3 =
0 0 0
0 0
0 O2x2 =
0 0
0
0 O3x2 =
0 0
0 0
0 0
1.2.2 Kesamaan Matriks
Defenisi 1.6: Kesamaan Matriks
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama dan ditulis A=B apabila keduanya berordo sama dan semua unsur-unsur yang bersesuaian sama.
Contoh 1.11:
A=
1 5 6 8 4
2 B=
1 6 4
2 8 10 2 4
C=
− 1 5
6 3
4 12
Maka A=B, tetapi A≠C dan B≠C Contoh 1.12:
Jika A=
− +
y x y x
6
9 dan B=
1 6
9 5 Tentukan nilai x dan y apabila A=B!
Jawab :
A=B maka x + y = 5 x – y = 1 + 2x = 6 x = 3 y = 2
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 5 1.2.3 Transpose Matriks
Defenisi 1.7: Transpose Matriks
Transpose matriks A adalah suatu matriks yang diperoleh dengan cara mengubah setiap elemen baris matriks A menjadi elemen kolom matriks transposenya, atau sebaliknya.
Transpose matriks A dilambangkan dengan At atau AT. Contoh 1.13:
A =
− 4 5
3
1 maka AT = At =
−3 4 5 1
B =
− 3 8 9
5 2
4 maka BT = Bt =
−5 3 8 2
9 4
1.2.4 Operasi Aljabar Matriks
Pada pembahasan di atas, kita telah mempelajari pengertian matriks, notasi, ordo matriks, jenis-jenis matriks, kesamaan matriks dan transpose matriks, maka pada sub bahasan ini kita akan membahas operasi (pengerjaan) antar matriks, diantaranya adalah operasi penjumlahan dan pengurangan, perkalian matriks dengan bilangan real (scalar) dan perkalian matriks dengan matriks.
a. Penjumlahan Matriks
Defenisi 1.8: Penjumlahan Matriks
Jika A dan B adalah dua buah matriks yang berordo sama, maka jumlah matriks A dan matriks B (ditulis A+B) adalah sebuah matriks baru yang didapat dengan cara menjumlahkan elemen- elemen matriks A dengan elemen-elemen matriks B yang seletak.
Contoh 1.14:
Jika diketahui : A(2x3) =
23 22 21
13 12 11
a a a
a a
a dan B(2x3) =
23 22 21
13 12 11
b b b
b b b
Maka : (A + B)(2x3) =
+ +
+
+ +
+
23 23 22 22 21 21
13 13 12 12 11 11
b a b a b a
b a b a b a
Contoh 1.15:
Jika : A =
−
− 2 5 3
4 1
3 ; B =
−
−
−
3 4 2
6 2
1 ; C =
−
− 7 10 1
1 9 8 Tentukan : a). A + B
b). B + C Jawab :
a) A + B =
−
− 2 5 3
4 1
3 +
−
−
−
3 4 2
6 2 1
=
− +
− +
− +
+ +
−
− +
) 3 ( ) 2 ( 4 5 ) 2 ( 3
6 4 2 ) 1 ( ) 1 (
3 =
−5 9 1
10 1 2
b) B + C =
−
−
−
3 4 2
6 2
1 +
−
− 7 10 1
1 9 8
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 6
=
−
− 4 14 3
7 7 7
Sifat-sifat penjumlahan matriks adalah:
b. Perkalian Matriks dengan Bilangan
Definisi 1.9: Perkalian Matriks dengan Skalar
Jika k adalah bilangan real dan A adalah sebuah matriks maka kA adalah sebuah matriks baru yang didapat dari hasil perkalian k dengan elemen-elemen matriks A.
Misalnya :
A =
mn m
m m
n n
a a
a a
a a
a a
a a
a a
...
...
...
...
...
...
3 2 1
2 23
22 21
1 13
12 11
Maka kA =
mn m
m m
n n
ka ka
ka ka
ka ka
ka ka
ka ka
ka ka
...
...
...
...
...
...
3 2 1
2 23
22 21
1 13
12 11
c. Perkalian Matriks dengan Matriks
Definisi 1.10: Perkalian Matriks dengan Matriks
Dua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom matriks yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matriks pengalinya. Hasil kali dua buah matriks Amxn dengan Bnxp
adalah sebuah matriks baru Cmxp. Cara mendapatkan unsur pada baris ke-i kolom ke-j matriks C adalah dengan mengalikan dan menjumlahkan unsur-unsur baris ke – i matriks A dengan kolom ke-j matriks B.
Missal A =
d c
b
a ; B =
s r
q
p maka:
AB =
d c
b
a
s r
q
p =
+ +
+ +
ds cq dr cp
bs aq br ap Contoh 1.16:
Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini:
A =
−
−
3 2 3
4 5
1 ; B =
− 6 2
2 4
1 0
Jawab :
A(2x3) . B(3x2) = C(2x2)
1. Sifat Komutatif : A + B = B + A
2. Sifat Assosiatif : (A + B) + C = A + (B + C)
Amxn x Bnxp = Cmxp
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 7 A.B =
−
−
3 2 3
4 5 1
− 6 2
2 4
1 0
=
− + +
− +
− +
+ +
− +
− +
−
) 6 )(
3 ( ) 2 )(
2 ( ) 1 )(
3 ( ) 2 )(
3 ( ) 4 )(
2 ( ) 0 )(
3 (
) 6 )(
4 ( ) 2 )(
5 ( ) 1 )(
1 ( ) 2 )(
4 ( ) 4 )(
5 ( ) 0 )(
1 (
=
−
−
−
11 14
33 12
d. Matriks Invers
Definisi 1.11: Matriks Invers
Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang berordo sama dan berlaku AB = BA = I, maka A dapat dibalik, dan B merupakan invers dari matriks A.
e. Sifat-sifat Operasi Matriks
Dari uraian diatas diperoleh sifat-sifat matriks. Untuk setiap matriks A, B dan C (yang dapat dijumlah/dikalikan) dipenuhi:
1. (AB) C = A (BC) ... Sifat Asosiatif 2. A (B + C) = AB + AC ... Sifat Distributif Kiri 3. (B + C) A = BA + CA ... Sifat Distributif Kanan 4. k (AB) = (kA) B = A (kB) ... Perkalian Skalar 5. AI = IA = A ... Sifat Identitas 6. A0 = 0A = 0 ... Sifat Matriks Nol
7. AB ≠ BA ... Tidak Berlaku Sifat Kumulatif kecuali matriks yang saling invers dan perkalian dengan identitas.
8. (AB)T = BTAT... Sifat perkalian matriks 9. (AB)-1 = B-1A-1
1.3 Hubungan SPL dengan Matriks Proposisi 1.5 : Augmented Matrix
Persamaan (1.3) dapat dituliskan dalam bentuk augmented matrix (matriks yang diperbesar) sebagai berikut :
m mn m
m
n n
b a a
a
b a a
a
b a a
a
...
...
...
...
...
...
2 1
2 2 22
21
1 1 12
11
(1.4) Proposisi 1.6 : Operasi Baris Elementer
Penyelesaian sistem persamaan (1.4) dapat dilakukan dengan operasi baris elementer (OBE) pada matriks diperbesarnya.
Operasi Baris Elementer :
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 8 1. Kalikanlah sebuah baris dengan sebuah konstanta yang tidak sama dengan nol
2. Pertukarkanlah dua baris pada matriks
3. Tambahkanlah perkalian dari satu baris pada baris yang lain.
1.4 Eliminasi Gauss-Jordan
Langkah-langkah menyelesaikan SPL dengan Eliminasi Gauss:
1. SPL diubah dulu menjadi menjadi matriks yang diperbesar (MD)
2. Lakukan OBE pada MD sehingga matriks berbentuk eselon baris (MEB) 3. Kembalikan MEB menjadi SPL biasa
4. Selesaikan SPL dengan substitusi.
Langkah-langkah menyelesaikan SPL dengan Eliminasi Gauss-Jordan:
1. SPL diubah dulu menjadi menjadi matriks yang diperbesar (MD)
2. Lakukan OBE pada MD sehingga matriks berbentuk eselon baris tereduksi (MEBT) 3. Kembalikan MEBT menjadi SPL biasa
Proposisi 1.7: Matriks Eselon Baris Tereduksi (MEBT) MEBT adalah matriks yang memenuhi syarat berikut:
a. Bila terdapat baris tak nol, maka bilangan tak nol pertama adalah 1. 1 ini disebut 1 utama
b. Dua baris tak nol yang berurutan, maka 1 utama baris bawah lebih ke kanan dari 1 utama di atasnya.
c. Baris nol berada di bawah
d. Setiap kolom yang memuat 1 utama bernilai nol di tempat lainnya.
Jika matriks hanya memenuhi syarat a, b, dan c maka matriks tersebut dinamakan MEB.
Contoh 1.17 : Diketahui:
x + y = 7 2x – y = 2
Selesaikan SPL di atas menggunakan:
a. Eliminasi Gauss
b. Eliminasi Gauss-Jordan Penyelesaian
a. Eliminasi Gauss
Langkah 1: Ubah SPL àMD
−1 2 2
7 1 1
Langkah 2: Lakukan OBE pada MD sehingga terbentuk MEB
−1 2 2
7 1
1 -2b1 + b2
−
−3 12 0
7 1
1 b2/(-3)
4 1 0
7 1 1
Keterangan: -2b1 + b2 artinya (-2) kali baris 1 tambahkan pada baris ke-2, jika diuraikan:
(-2).1 + 2 = 0 (-2).1 + (-1) = -3 (-2).7 + 2 = -12
b2/(-3) artinya baris ke-2 dikali –(1/3), jika diuraikan
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 9 0/(-3) = 0
-3/(-3) = 1 12/(-3) = 4
Langkah 3: Ubah MEB à SPL x + y = 7
0x + y = 4 à y =4, nilai y = 4 disubstitusikan ke persamaan x + y = 7 didapatkan x = 3 Jadi penyelesaian dari SPL di atas adalah x = 3 dan y = 4.
b. Eliminasi Gauss-Jordan Langkah 1: idem
Langkah 2: Lakukan OBE pada MD sehingga terbentuk MEBT Lanjutan dari atas
4 1 0
7 1
1 -b2 + b1
4 1 0
3 0 1 Langkah 3: Ubah MEBT àSPL
4 1 0
3 0
1 x + 0y = 3 à x = 3, 0x + y = 4 à y = 4
Jadi penyelesaian dari SPL di atas adalah x = 3 dan y = 4.
Contoh tambahan eleminasi Gauss Diketahui persamaan linear
x + 2y + z = 6 x + 3y + 2z = 9 2x + y + 2z = 12 Tentukan Nilai x, y dan z Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
-B1+B2 -2B1+B3 3B2+B3
B3/3 (Matriks menjadi Eselon-baris) Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
x + 2y + z = 6 y + z = 3 z = 3
Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:
y + z = 3 y + 3 = 3 y = 0
x + 2y + z = 6 x + 0 + 3 = 6 x = 3
Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3 Contoh tambahan eliminasi Gauss-Jordan
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 10 Diketahui persamaan linear
x + 2y + 3z = 3 2x + 3y + 2z = 3 2x + y + 2z = 5 Tentukan Nilai x, y dan z Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
-2B1 + B2 -2B1 + B3 -3B2+B3
-1B2 dan B3/8 -4B3 + B2 -3B3+B1
-2B2 + B1 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi) Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1
1.5 Menentukan invers matriks
Invers suatu matriks (misalkan invers A) dapat dihitung dengan menggunakan eliminasi Gauss–Jordanterhadap matriks diperbesar [ A : I] dimana ukuran I sama dengan ukuran A.
Cara perhitungan seperti ini didasarkan dari sifat A A–1 = I. Untuk menentukan solusi dari SPL tersebut maka berdasarkan prosedur yang telah dipelajari sebelumnya , maka dapat dilakukan eliminasi Gauss – Jordan terhadap matriks [A : I] . Jika A memang memiliki invers maka matriks eselon baris tereduksinya akan berbentuk [I: A-1] . Jika setelah melakukan eliminasi Gauss–Jordan tidak diperoleh bentuk [ I : A-1] maka disimpulkan bahwa matriks tersebut tidak memiliki invers.
Contoh 1.18:
Diketahui A =
−
−
3 4 2
0 1 1
5 5 2
, tentukan A-1 jika ada!
Jawab:
[A : I] =
−
−
−
−
−
≈
−
≈
−
−
3 2 2
5 4 3
5 5 3
|
|
|
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 2 0
0 2 1
0 1 0
|
|
|
3 2 0
5 3 0
0 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
|
|
3 4 2
0 1 1
5 5 2
= [I : A-1]
(langkah detailnya sebagai latihan) Jadi A-1 =
−
−
−
−
−
3 2 2
5 4 3
5 5 3
1.6 SPL Homogen
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 11 Definisi 1.12: Sistem Persamaan Linear Homogen
Sebuah sistem persamaan linear dikatakan homogen jika pada persamaan (1.3) nilai bi = 0 untuk setiap i = 1,2,...,m
Tiap-tiap sistem persamaan linear homogen adalah sistem yang konsisten, karena x1=x2 = ... = xn = 0 selalu merupakan penyelesaian. Penyelesaian ini dinamakan penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain yang memenuhi persamaan homogen tersebut, maka penyelesaian tersebut dinamakan penyelesaian tak trivial.
Penyelesaian trivial terjadi jika satu – satunya penyelesaian untuk SPL adalah x = 0 hal ini terjadi jika semua kolom pada matriks diperbesar [A : B] (setelah dilakukan eliminasi Gauss– Jordan ) memiliki satu utama kecuali untuk kolom yang terakhir atau dengan kata lain semua kolom pada matriks A memiliki satu utama . Jika hal yang sebaliknya terjadi yaitu tidak semua kolom pada matriks A ( setelah dilakukan eliminasi Gauss–Jordan ) memilki satu utama atau jika terdapat baris nol maka penyelesaian untuk SPL adalah penyelesaian tak trivial yaitu penyelesaian tak hingga banyak.
TEOREMA 1.1:
Sistem persamaan linear homogen dengan lebih banyak bilangan tak diketahui (peubahnya) daripada banyaknya persamaan, selalu mempunyai tak hingga banyak penyelesaian.
Contoh 1.19
Diketahui sistem persamaan linear homogen x + 2y = 0
-x - 2y + z = 0 2x + 3y + z = 0 Jawab:
Penyelesaian SPL homogen di atas adalah
≈
−
−
=
0 0 0
|
|
|
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
|
|
|
1 3 2
1 2 1
0 2 1 ] :
[A B (langkah detailnya sebagai latihan)
Pada matriks yang terakhir terlihat bahwa semua kolom matriks A memiliki satu utama sehingga penyelesaiannya adalah trivial yaitu x = 0, y = 0, dan z = 0.
Contoh 1.20
Diketahui sistem persamaan linear homogen
=
−
−
−
−
−
−
−
0 0 0 0
3 0 0 3
1 4 2 1
2 2 1 2
1 2 1 1
w z y x
Penyelesaian SPL homogen di atas:
−
−
≈
−
−
−
−
−
−
−
0 0 0 0
|
|
|
|
0 0 0 0
0 0 0 0
0 2 1 0
1 0 0 1
0 0 0 0
|
|
|
|
3 0 0 3
1 4 2 1
2 2 1 2
1 2 1 1
(langkah detail sebagai latihan)
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 12 Pada matriks yang terakhir terlihat bahwa hanya dua kolom dari matriks A yang memiliki satu utama atau terdapat dua baris nol , ini berarti bahwa penyelesaian SPL adalah tak trivial yaitu penyelesaian banyak dengan dua parameter, yaitu x = w dan y = 2z sehingga kalau z = s dan w = t, maka x = t, y = 2s, z = s, dan w = t.
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 13 BAB II
DETERMINAN 2.1 Pendahuluan
Definisi 2.1
Misalkan A matriks kuadrat , fungsi determinan A sering dituliskan sebagai determinan matriks A ( disingkat det(A) atau |A| ) didefinisikan sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A.
Hasil kali elementer dari matriks A akan berbentuk :
a1p1. a2p2… . anpn dimana p1,p2, …, pn merupakan permutasi dari bilangan – bilangan 1,2,…, n.
Tanda dari a1p1. a2p2… . anpn sendiri ditentukan dari banyaknya bilangan bulat besar yang mendahului bilangan yang lebih kecil ( banyaknya invers ) pada bilangan p1,p2, …, pn, jika banyaknya invers adalah ganjil maka tandanya negatif ( – ) dan jika sebaliknya tandanya positif ( + ).
Contoh 2.1:
Tentukan determinan dari matriks
22 21
12 11
a a
a
a !
Jawab
Karena matriks di atas berukuran 2 x 2 maka kita perlu mencari permutasi dari 1 dan 2 Permutasi Hasil Kali Elementer Banyak Invers Hasil Kali Elementer Bertanda
(1 2) a11a22 0 + a11a22
(2 1) a12a21 1 - a11a22
Determinan matriks a11a22 - a11a22
Contoh 2.2:
Tentukan determinan dari matriks
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
! Jawab
Karena matriks di atas berukuran 3 x 3 maka kita perlu mencari permutasi dari 1, 2, 3
Permutasi Hasil Kali Elementer Banyak Invers Hasil Kali Elementer Bertanda
(1 2 3) a11a22a33 0 + a11a22a33
(1 3 2) a11a23a32 1 - a11a23a32
(2 1 3) a12a21a33 1 - a12a21a33
(2 3 1) a12a23a31 2 + a12a23a31
(3 1 2) a13a21a32 2 + a13a21a32
(3 2 1) a13a22a31 3 - a13a22a31
Determinan matriks a11a22a33- a11a23a32- a12a21a33+ a12a23a31+ a13a21a32- a13a22a31
Mencari determinan juga bisa menggunakan aturan panah, tapi cara ini terbatas hanya untuk ukuran 2 x 2 dan 3 x 3, yakni: (garis ke kanan bawah positif, garis ke kiri bawah negatif)
a11 a12 a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 14 2.2 Ekspansi Kofaktor
Salah satu metode yang digunakan untuk menghitung determinan adalah ekspansi kofaktor.
Definisi Minor
Minor elemen aij ( Mij ) yaitu determinan yang didapatkan dengan menghilangkan baris i dan kolom j matriks awalnya.
Definisi Kofaktor
Kofaktor elemen aij ( Cij ) = (−1 )i+j Mij
Jika A matriks bujur sangkar berukuran nxn , maka dengan menggunakan metode ini perhitungan determinan dapat dilakukan dengan dua cara yang semuanya menghasilkan hasil yang sama yaitu :
– ekspansi sepanjang baris i det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin – ekspansi sepanjang kolom j det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj
Contoh 2.3 Diketahui A =
2 3 0
1 2 0
3 2 1
, Tentukan det (A) dengan menggunakan ekspansi kofaktor ! Jawab
Cara 1
Akan dicoba menggunakan ekspansi kolom 1 untuk menghitung det (A) Det (A) = a11C11 + a21C21 + a31C31
C11 = (−1 )1+1 M11 = M11 = 2 3
1
2 = 4 – 3 = 1
C21 = (−1 )2+1 M21 = − M21 = − 2 3
3
2 = -(4 – 9) = 5
C31 = (−1 )3+1 M31 = M31 = 1 2
3
2 = 2 – 6 = -4 Jadi det (A) = (1 . 1) + (0 . 5) + (0 . -4) = 1 Cara 2
Akan dicoba menggunakan ekspansi baris 1 untuk menghitung det (A) Det (A) = a11C11 + a12C12 + a13C13
C11 = (−1 )1+1 M11 = M11 = 2 3
1
2 = 4 – 3 = 1
C12 = (−1 )1+2 M12 = − M12 = − 2 0
1
0 = -(0 – 0) = 0
C13 = (−1 )1+3 M13 = M13 = 3 0
2
0 = 0 – 0 = 0 Jadi det (A) = (1 . 1) + (2 . 0) + (3 . 0) = 1
2.3 Reduksi baris menggunakan operasi baris elementer
Penggunaan metode ini sebenarnya tidak lepas dari metode ekspansi kofaktor yaitu pada kasus suatu kolom banyak mengandung elemen yang bernilai 0. Berdasarkan sifat ini maka matriks yang berbentuk eselon baris atau matriks segitiga akan lebih mudah untuk dihitung
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 15 nilai determinannya karena hanya merupakan perkalian dari elemen diagonalnya. Reduksi baris dilakukan dengan mengubah kolom – kolom sehingga banyak memuat elemen 0.
Biasanya bentuk metriks akhir yang ingin dicapai adalah bentuk eselon baris atau bentuk segitiga tetapi ini tidak mutlak. Jika bentuk eselon atau segitiga belum tercapai tetapi dianggap perhitungannya sudah cukup sederhana maka determinan bisa langsung dihitung.
Dalam melakukan reduksi baris operasi yang digunakan adalah operasi baris elementer.
Pada operasi baris elementer ada beberapa operasi yang berpengaruh terhadap nilai determinan awal , yaitu :
ü Jika matriks B diperoleh dengan mempertukarkan dua baris pada matriks A maka det (B) = − det (A)
ü Jika matriks B diperoleh dengan mengalikan konstanta k ke salah satu baris matriks A maka det (B) = k det (A)
ü Jika matriks B didapatkan dengan menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya, maka det (B) = det (A)
Contoh 2.4 Diketahui:
=
i h g
f e d
c b a
A , dimana det (A) = s
Tentukan determinan dari matriks berikut
+ +
+
+ + +
=
−
−
−
=
=
i h g
i f h e g d
f c e b d a D i h g
c b a
f e d C i h g
c b a
f e d
B , 2 2 2 , .
Jawab;
Matrik B diperoleh dari mempertukarkan baris 1 dan baris 2 sehingga det(B) = -det(A) = -s Matrik C diperoleh dari mempertukarkan baris 1 dan baris 2, baris kedua dikali 2 dan baris ketiga dikali (-1) sehingga det(C) = -2.(-1)det(A) = 2s
Matriks D diperoleh dengan menambahkan baris yang satu dengan yang lainnya sehingga det(D) = det (A) = s.
2.4 Metode Cramer
Jika AX = B adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik B Contoh 2.5
Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30 -x1 - 2x2 + 3x3 = 8 Jawab:
Bentuk matrik A dan B
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 16 A =
−
−
−
3 2 1
6 4 3
2 0 1
dan B =
8 30
6
kemudian ganti kolom j dengan matrik b A1 =
−2 3 8
6 4 30
2 0 6
, A2 =
−
−
3 8 1
6 30 3
2 6 1
A3 =
−
−
−
8 2 1
30 4 3
6 0 1
dengan metode panah kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas
maka,
Menentukan invers suatu matriks dapat juga menggunakan rumus berikut : )
) ( det(
1 1
A A adj
A− = , dimana adj(A) = CT, C = {cij}, cij = kofaktor elemen aij
Contoh 2.6
Cari A-1 dari matriks pada contoh 1.18 dengan menggunakan rumus ( ) )
det(
1 1
A A adj
A− = .
Jawab Diketahui:
A =
−
−
3 4 2
0 1 1
5 5 2
Sehingga det(A) = -1 C11 = (-1)1+1M11 =
3 4
0
−1
=-3 C12 = - 3 2
0
−1
=3 C13 =
4 2
1 1 −
− =-2
Dengan cara yang sama diperoleh C21 = 5, C22 = -4, C23 = 2, C31 = 5, C32 = -5, C33 = 3 Sehingga diperoleh C =
−
−
−
−
3 5 5
2 4 5
2 3 3
−
−
−
−
=
=
3 2 2
5 4 3
5 5 3 )
(A CT Adj
Sehingga
1
1 1
=− A−
−
−
−
−
3 2 2
5 4 3
5 5 3
=
−
−
−
−
−
3 2 2
5 4 3
5 5 3
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 17 2.5 Hubungan Determinan, Invers Matriks dan Penyelesaian untuk Sistem Persamaan Linier
Jika suatu SPL berbentuk AX = B dan A matriks bujur sangkar , maka sifat dari penyelesaian SPL dapat diketahui dari nilai determinan A atau invers matriks A. Berikut ini adalah hubungan yang berlaku :
Det (A) ≠ 0 ó A–1 terdefinisi (ada) ó penyelesaian tunggal untuk SPL Det (A) = 0 ó A tidak memiliki invers
Det (A) = 0 => banyak penyelesaian atau tidak mempunyai penyelesaian
Pada kasus det (A) ≠ 0 untuk menentukan penyelesaiannya dapat digunakan invers matriks untuk menghitungnya, yaitu X = A–1B . Sedangkan pada kasus det (A) = 0 , untuk menentukan penyelesaian SPL harus digunakan eliminasi Gauss–Jordan pada matriks diperbesar [A : B] .
Contoh 2.7
Diketahui SPL berikut
−
−
3 4 2
0 1 1
5 5 2
=
1 2 1
z y x
Penyelesaian
Karena det(A)= -1, maka X = A–1B =
−
−
−
−
−
3 2 2
5 4 3
5 5 3
1 2 1
=
−
−
5 10 12
(A-1 diambil dari contoh 2.6) Dari sini diperoleh x = -12, y = 10, dan z = -5.
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 18 BAB III
VEKTOR DI R2 DAN R3 3.1 Pendahuluan
Definisi 3.1
Vektor didefinisikan sebagai besaran yang memiliki arah.
Kecepatan, gaya dan pergeseran merupakan contoh – contoh dari vektor karena semuanya memiliki besar dan arah walaupun untuk kecepatan arahnya hanya positif dan negatif.
Vektor dikatakan berada di ruang – n ( Rn ) jika vektor tersebut mengandung n komponen.
Jika vektor bearada di R2 maka dikatakan vektor berada di bidang, sedangkan jika vektor berada di R3 maka dikatakan vektor berada di ruang.
Secara geometris, di bidang dan di ruang vektor merupakan segmen garis berarah yang memiliki titik awal dan titik akhir. Vektor biasa dinotasikan dengan huruf kecil tebal atau huruf kecil dengan ruas garis.
Contoh 3.1
A B v atau v
Dari gambar diatas terlihat beberapa segmen garis berarah ( vektor ) seperti ABdengan A disebut sebagai titik awal , sedangkan titik B disebut titik akhir.
Vektor posisi didefinisikan sebagai vektor yang memiliki titik awal O.
3.2 Operasi–operasi pada Vektor Definisi penjumlahan dua vektor
Jika u dan v adalah dua vektor sebarang berada di ruang yang sama, maka vektor (u + v) adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut: Tempatkan vektor v sedemikian rupa sehingga titik awalnya berimpitan dengan titik akhir u. Vektor u + vdiwakili oleh anak panah dari titik awal u hingga titik akhir v.
Contoh 3.2
Definisi Selisih
Jika u dan v adalah dua vektor sebarang berada di ruang yang sama, v dari u didefinisikan sebagai u – v = u + (-v)
Perkalian vektor dengan skalar
Vektor nol didefinisikan sebagai vektor yang memiliki panjang = 0. Misalkan u vektor tak nol dan k adalah skalar, k ∈ R . Perkalian vektor u dengan skalar k , k u didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k| kali panjang u dengan arah :
Jika k > 0 ku searah dengan u
Jika k < 0 ku berlawanan arah dengan u Contoh 3.3
u -u 2u
Perhitungan vektor
Diketahui a dan b vektor–vektor di ruang yang komponen–komponennya adalah a = (a1,a2,a3) dan b = ( b1,b2,b3 )
Maka
a + b = (a1 +b1, a2+b2, a3+b3 ) u
v
u + v u
-v u - v
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 19 a − b = (a1 – b1, a2 – b2, a3 – b3 )
k .a = ( ka1, ka2, ka3 )
Jika c = AB kemudian titik koordinat A = ( a1,a2,a3 ) dan B = ( b1,b2,b3 ) maka c= (b1 − a1 , b2 − a2, b3 − a3 )
3.3 Hasil kali titik , panjang vektor dan jarak antara dua vektor Panjang Vektor (Norma)
Panjang dari suatu vektor u sering disebut norma (norm) u dan dinyatakan dengan u . Jika u
∈ R2 dengan u = (u1, u2) maka u = u12 +u22 . Jika u ∈ R3 dengan u = (u1, u2, u3) maka
2 3 2 2 2
1 u u
u
u = + + .
Suatu vektor dengan norma satu disebut vektor satuan (unit vector) Jarak
Jika P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2) adalah dua titik pada ruang berdimensi 3, maka jarak (distance) d diantara keduanya adalah norma dari vektor P1P2.
Karena P1P2=(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), maka:
( ) ( ) (
2 1)
22 1 2 2 1
2 x y y z z
x
d = − + − + −
Hal yang sama jika P1(x1, y1) dan P2(x2, y2) adalah dua titik pada ruang berdimensi 2, maka jarak (distance) d diantara keduanya adalah
( ) (
2 1)
22 1
2 x y y
x
d = − + −
Hasil kali titik Definisi
Jika u dan v adalah vektor-vektor pada pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3 dan α adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Eucledian (Eucledian inner product) u.v didefinisikan oleh
=
0 . u v cosα
v u
Jika a = (a1, a2, a3) dan b = (b1, b2, b3), maka hasil kali titik vektor a dan b didefinisikan sebagai :
a . b =a1.b1+ a2.b2 +a3.b3
Jika a = (a1, a2) dan b = (b1, b2), maka hasil kali titik vektor a dan b didefinisikan sebagai : a . b =(a1.b1)+ (a2.b2)
Jadi hasil kali titik dua buah vektor berupa skalar.
Dengan mengetahui besarnya α , akan diketahui apakah hasil kali titik akan bernilai positif atau negatif atau sebaliknya.
a . b > 0 ↔ α lancip , 0 ≤ α < 90o
a . b = 0 ↔ α = 90o, a dan b saling tegak lurus a . b < 0 ↔ α tumpul, 90o < α ≤ 180o
Contoh
Diketahui u = ( 2, –1,1 ) dan v = ( 1,1,2 ). Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh u dan v!
Jawab
u . v = 2 –1 + 2 = 3
jika u ≠ 0 dan v ≠ 0 jika u = 0 atau v = 0
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 20
( )
1 1 622+ − 2 + 2 =
= u
6 2 1
12 + 2 + 2 =
= v
2 1 6 6
cosα = 3 = =>α = cos-1( ½ ) = 60o
Jadi sudut yang dibentuk antara u dan v adalah 60o 3.4 Proyeksi ortogonal
Diketahui vektor a dan b adalah vektor – vektor pada ruang yang sama seperti terlihat pada gambar dibawah ini :
w2 a
w1 b
Vektor a disusun dari dua vektor yang saling tegak lurus yaitu w1 dan w2 ,jadi dapat dituliskan a = w1 + w2. Dari proses pembentukannya w1 juga disebut sebagai vektor proyeksi ortogonal a terhadap b karena merupakan hasil proyeksi secara ortogonal vektor a terhadap b, sedangkan w2 disebut sebagai komponen dari a yang tegak lurus terhadap b. Karena w1 merupakan hasil proyeksi di b maka dapat dituliskan w1 = k b , nilai k ini akan menentukan arah dan panjang dari w1 . Jika sudut antara a dan b adalah tumpul , maka tentunya nilai k akan negatif ini juga berarti arah w1 akan berlawanan dengan arah b .
Menghitung w1
Untuk menghitung w1 , harus dihitung terlebih dahulu nilai k. Dengan menggunakan aturan hasil kali titik , diperoleh :
a . b = (w1 + w2) . b
= w1 . b (karena w2 dan b saling tegak lurus maka w2 . b = 0)
= w1 b cosα
= kb b cosα(α adalah 0 atau 180)
= k b 2 Jadi .2
b b k= a
Sehingga w1 = kb = b b
b a
2
.
w2 = a – w1
Panjang w1 = b
b a.
Contoh
Diketahui a = (4, 1, 3) dan b = ( 4, 2,–2). Tentukan a. Vektor proyeksi tegak lurus dari a terhadap b!
b. Panjang dari vektor proyeksi tersebut !
c. Komponen dari a yang tegak lurus terhadap b ! Jawab:
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 21 a. Misalkan w1 adalah vektor proyeksi tegak lurus dari a terhadap b, maka w1 = k b
sedangkan k =
2 1 24 12 )
2 ( 2 4
) 2 .(
3 2 . 1 4 . 4
2 2
2 = =
− + +
− +
+ sehingga w1 = ½ ( 4, 2,–2) = (2, 1, -1)
b. Panjang w1 = b
b a. =
6 6 24 12 )
2 ( 2 4
) 2 .(
3 2 . 1 4 . 4
2 2
2 = =
− + +
− + +
c. Misalkan w2 merupakan komponen dari a yang tegak lurus terhadap b, maka w2 = a – w1 = (4, 1, 3) - (2, 1, -1) = (2, 0, 4)
3.5 Hasil Kali Silang Definisi
Misalkan u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 3, maka hasil kali silang (cross product) u x v adalah vektor yang didefinisikan sebagai
((u2.v3 – u3.v2), – (u1.v3 – u3.v1), ( u1.v2 – u2.v1)) Atau dalam notasi determinan
−
2 1
2 1 3 1
3 1 3 2
3
2 , ,
v v
u u v v
u u v v
u u
Hubungan antara hasil kali titik dengan hasil kali silang
Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 3, maka 1. u . (u x v) = 0
2. v . (u x v) = 0
3. uxv 2 = u 2 v 2 −
( )
u.v 2disebut identitas Lagrange 4. u x (u x w) =(u . w)v – (u . v)w5. (u x u) x w =(u . w)v – (v . w)u Sifat – sifat hasil kali silang
1. a x b = – ( b x a )
2. a x ( b + c) = a x b + a x c 3. ( a + b) x c = a x c + b x c 4. k ( a x b ) = ( k a ) x b = a x k b 5. a x a = 0
Penerapan Hasil Kali Silang
Hasil kali silang dapat digunakan untuk menghitung luas daerah segitiga yang dibentuk oleh tiga titik misalnya A, B, dan C. Menggunakan rumus berikut:
Luas daerah segitiga ABC = ABxAC 2
1 Contoh
Tentukan luas daerah segitiga yang dibentuk oleh A(2, 1, 1), B(1, 2, 1), dan C(2, 0, 1).
Jawab:
) 0 , 1 , 1 ( ) 1 1 , 1 2 , 2 1
( − − − = −
= AB
) 0 , 1 , 0 ( ) 1 1 , 1 0 , 2 2
( − − − = −
= AC
) 1 , 0 , 0 1 ( 0
1 , 1 0 0
0 , 1
0 1
0
1 =
−
−
−−
= − AC x AB
Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 22 Luas daerah segitiga = ABxAC
2
1 =
2 1 1 2 1 1 0 2 0
1 2 2 2
=
= + +
DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER
(BAGIAN II)
DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd
JURUSAN/PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI BANJARMASIN
MARET 2013
Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal i MUQADIMAH
Alhamdulillah penyusun ucapkan ke hadirat ALLAH SWT, karena berkat limpahan rahmat, taufik dan hidayah-Nya penyusun dapat menyelesaikan diktat Aljabar Linear ini. Shalawat dan salam juga semoga selalu tercurah kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW beserta sahabat, kerabat, serta ummat beliau yang senantiasa istiqamah mengikuti risalah beliau hingga akhir zaman.
Diktat ini disusun dalam dua bagian, dengan harapan setelah selesai bagian I akan dilaksanakan ujian tengah semester, dan nanti langsung dilanjutkan dengan bagian II. Semoga dengan penyusunan diktat ini dapat membantu mahasiswa dalam belajar Aljabar Linear, tentu saja perlu ditambah dengan buku pendukung lainnya.
Penyusun juga menyadari bahwa diktat ini masih jauh dari sempurna, sehingga saran dan kritik sangat penyusun harapkan.
Banjarmasin, Maret 2013 Penyusun,
TTD
Abdul Jabar, M.Pd
Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal ii DAFTAR ISI
Halaman
BAB IV RUANG VEKTOR ……….. 1
4.1 Field ……… 1
4.2 Ruang Vektor ……… 2
4.3 Ruang Vektor Bagian ………. 4
4.4 Kombinasi Linear dan Span ……….. 4
4.5 Bebas Linear ………. 5
4.6 Basis dan Dimensi ……….. 6
4.7 Row Space, Column space dan Null space ……… 8 BAB V RUANG HASIL KALI DALAM ……….. 12
5.1 Hasilkali Dalam Umum ……… 12
5.2 Hasilkali Dalam Khusus ……….. 13 5.3 Panjang vektor , jarak antar vektor ,dan besar sudut dalam RHD ……… 14 5.4 Basis Ortonormal; Proses Gram-Schmidt ……… 15 5.5 Perubahan Basis ……… 18
BAB VI TRANSFORMASI LINEAR ……… 20
BAB VII NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN ………. 25
Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 1 BAB IV
RUANG VEKTOR
4.1 Field
Misal { K, + , * }, K adalah himpunan , didefinisikan 2 operasi + (penjumlahan) dan * (perkalian). Akan dikatakan Field jika dipenuhi :
1. untuk setiap α,β ∈ K maka α + β∈ K dan α * β ∈ K, dikatakan K tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.
2. untuk setiap α,β,γ ∈ K maka (α+ β) + γ =α+ (β + γ)
3. terdapat 0 ∈ K disebut elemen nol, sedemikian sehingga 0 + α = α + 0 = α , untuk setiap α∈ K
4. untuk masing-masing α∈ K , terdapat - α∈ K disebut negatip dari α sedemikian sehingga (- α) + α = α +(- α)=0
5. untuk setiap α,β∈ K maka α + β = β + α
6. untuk setiap α,β,γ ∈ K maka (α*β)*γ =α* (β * γ) 7. untuk setiap α,β,γ ∈ K
(i) α*( β + γ )=α*β + α*γ (ii) ( β + γ )* α = β*α + γ*α
8. untuk setiap α,β∈ K maka α * β = β * α
9. terdapat 1∈ K disebut elemen satuan , sedemikian sehingga 1* α = α *1 = α , untuk setiap α∈ K
10. untuk masing-masing α≠0∈ K , terdapat α-1∈ K disebut negatip dari α sedemikian sehingga α-1 * α = α *α-1=1
Anggota dari Field disebut Skalar.
Perhatikan : Sistem Bilangan berikut
Bilangan Kompleks Bilangan Imajiner Bilangan Riil B. Irrasional B. Rasional B. Bulat B. Pecahan
Dijelaskan 10 Syarat di atas diterapkan pada Masing-masing bilangan tersebut. Sehingga dapat disimpulkan Contoh Field adalah Bilangan Kompleks, Riil, dan Rasional.
