Aljabar Linier & Matrik

Aljabar Linier & Matrik

11. Transformasi Linear

Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V  W dinamakan transformasi linear, jika

untuk setiap dan berlaku :

Jika V = W maka T dinamakan operator linear V

b

a,  ^{ R}



^{a b}



^

T .

1 ^T

 

^{a T}

 

^b

 

^{a }

T  .

2 ^T

 

^a

Transformasi Linear

Tunjukan bahwa T : R²  R³, dimana

merupakan tranformasi linear.

Jawab :

Ambil unsur sembarang di R², Misalkan

(i) Akan ditunjukan bahwa





















 



 



 

 





y x

y x

y T x

,

2 1 

 



  u

u u ²

2

1 R

v

v v  



 



 

 ^{u v}      ^{T u T v}

T   

Rumus Transformasi

Contoh 1

Terbukti bahwa



^{u  v}



^

T _







 



 



 



 





2 1 2

1

v v u

T u

   

 































2 2

1 1

2 2

1 1

v u

v u

v u

v u

   































2 2

1 1

2 2

1 1

v u

v u

v u

v u











































2 1

2 1

2 1

2 1

v v

v v

u u

u u



^{u v}

    

^{Τ u Τ v}

T   

(ii) Ambil unsur sembarang

Jadi, T merupakan transformasi linear.

R R

u 

²

dan  

  _



 



 



 



 





2 1

u u u



 























2 1

2 1

u u

u u









 

 

  ^





















2 1

2 1

u u

u u





























2 1

2 1

u u

u u



 

^u

Τ

 α

Misalkan T merupakan suatu transformasi dari M_2x2 ke R yang didefinisikan oleh

T(A) = det (A), untuk setiap A  M_2x2, Apakah T merupakan Transformasi linier.

Jawab :

Misalkan

maka untuk setiap  R berlaku det (A) =

2 2 4

3

2

1

M x

a a

a

A a  



 



 



 





4 3

2 1

det

a a

a a







  ²



^a₁^a₂ ^a₃^a₄



 ^2det(A)

Contoh 2

Perhatikan bahwa det(A) ≠  det(A) Jadi T bukan transformasi linier.

Contoh 3 :

Diketahui T : P2 (Polinom orde-2)  R2, dimana

a. Apakah T merupakan transformasi linear b. Tentukan



 







 



 a c

b cx a

bx a

T( ²)

) 1

( x x² T   Jawab :

a.(i) Ambil unsur sembarang P₂,

Sehingga

Perhatikan bahwa

p   q 

^u₁ ^{ v}₁

 

^{ u}₂ ^{ v}₂

 

^{x  u}₃ ^{ v}₃



^x2

   

^{1 1}

 

^{2 2}

 

^{3 3}



²



T p  q T u  v  u  v x  u v x

   

   

^_^















 

3 3

1 1

2 2

1 1

v u

v u

v u

v u

   

   

^_^















 

3 1

3 1

2 1

2 1

v v u

u

v v u

u



 







 



 







 

3 1

2 1

3 1

2 1

v v

v v u

u

u u

  

1 2 3 ²



2 3 2

1 u x u x T v v x v x

u

T     



Ambil unsur sembarang P2, dan   R, sehingga

Jadi, T merupakan transformasi linear

2

1 2 3

p  u u x u x

 

^{u T}



^u₁ ^u₂ ^{x u}₃^x2



T     

 

 

^_^







 

3 1

2 1

u u

u u









 

 

^_^







 

3 1

2 1

u u

u u







 







 

3 1

2 1

u u

u

 u



^u₁ ^u₂^{x u}₃^x2



T  

 

b.

Suatu transformasi linear T : V  W dapat direpresentasikan dalam bentuk :

 A dinamakan matriks transformasi dari T.

Contoh :

Misalkan, suatu transformasi linear T : R²  R³ didefinisikan oleh :





 )

1

( x x²

T _



 



 



 









0 0 1

1 1 1

 

^{u Au}

T 

u

untuk setiap  V.





















 



 



 



 



 

y x

y x y

x

Jawab :

Perhatikan bahwa

Jadi matriks transformasi untuk T : R²  R³ adalah

Jika T : Rⁿ  R^m merupakan transformasi linear maka ukuran matriks transformasi adalah m x n



 













































 



 



 



 



 

y x y

x y x y

x

1 0

0 1

1 1























1 0

0 1

1 1

A

dimana



^v₁^{, v}₂







3

: R2  R



   

^v_i ^{ u}_i



   

^v1₂ ^v1₂ ^u1₂

T

u v

v T















_{1 2}



_{2 2}



_{1 2}



_{3 2}

2

3x

v v

x

 u u

x

 

^v₁ ^v₂





_{1 2}

 

_{1 2}



^1



 u u v v

Misalkan

basis bagi ruang vektor V dan merupakan transformasi linear

untuk setiap i = 1,2.

Sehingga Jadi

basis bagi V maka ia punya invers

Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara : Tulis :





























 

















 



















1 0 0 ,

1 1 0 ,

1 1 1

3 2

1 v v

v

1

: R3  P



  ^v

_i

^{A v}

_i

^p

_i

T  

x p

p x

p₁ 1 ; ₂ 1; ₃  2



















 1

1 dan

Contoh 3 :

adalah basis bagi R³

Transformasi linear didefinisikan untuk setiap i = 1,2,3.

Tentukan :

Matrix transformasi Jika

     

_



 



 

 



 



 

 



 





 



 2

2 0 0 ;

1 1 1 ;

1 1

1 x _B p_{2 B} p₃ x _B

p

3 , 2 , 1 ,  



v_i p_{i i}



 





 





















 1 0 2

0 1 1

1 1 1

0 1

1

0 0

1

1

1 1 1

0 1

1

0 0

1 2

0 1

0 1 1





















 



 





 



Jawab

Karena Maka

atau

Definisikan ^:



















 0 0 1

0 1 0

0 0 1

1 1 1

0 1

1

0 0

1



















 1 0 1

0 1 1

0 0 1

1 1 0

0 1

0

0 0

1

~



















1 1 0

0 1 1

0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

~



 





 

















 



 





 

 1 2 2

0 1 0

1 1 0

0 1 1

0 0 1

2 0 1

0 1 1



 0 1 0

invers matriks dicari dengan OBE :

Sehingga

Jadi matriks transformasi T adalah



























































2 1 1

2 1 1



 



 

















 



 





 

1 1

2 1 1 2

2 1

0 1

0

1 2

1

1 x

B





 



 



 

 



ingat bahwa 

jadi

Sementara itu,

^{  x}





































 1

2 1 1



^{1 x,  x  x2, 1  x  x2}



 





















2 1 0 1 x

T

 























0 2 1 x2

x

T

 























0 1 2 1 x x²

T



^{1 x x2}



T  

Contoh 4 :

Jika T : P₂  R³ adalah transformasi linear dimana

Tentukan

Diketahui basis dari polinom orde dua adalah

Perhatikan bahwa

himpunan 3 polinom tersebut adalah basis bagi polinom orde 2

maka polinom tersebut ditulis nejadi :

Samakan suku-suku sejenis sehingga diperoleh SPL

dengan solusi k₁ =0 , k₂ = 2, dan k₃ = 1.

1

1 1

3 2

3 2

1

3 1















 k k

k k

k

k k

 

₂



²

 

₃ ²



1

2 1 1

1 x  x  k  x  k  x  x  k  x  x Jawab

Jadi kombinasi linear diatas berbentuk :

atau

Karena transformasi T bersifat linear maka :



^{1 x x2}



^0T

^{ }

^{1 x 2T}



^{x x2}

 

^{T 1 x x2}



T          









 







 1

2 2

1

2 





 5 4



^{1 x x2}



^T



⁰

^

^{1 x}

^

²



^{x x2}

 

^{1 1 x x2}

 

T          

  

²

 

²



2 0 1 2 1 1

1 x  x   x   x  x   x  x

Misalkan T : V → W merupakan transformasi linear Semua unsur di V yang dipetakan ke vektor nol di W dinamakan kernel T

notasi ker ( T ).

atau

Contoh 5 :

Trans. Linear T : P₂  R² Perhatikan bahwa

maka



^|

 

⁰



)

(T  u V T u  Ker



 







 



 a c

b cx a

bx a

T( ²)





 )

1

( x x²

T _



 



 



 









0 0 1

1 1 1

) ( 1 x x² Ker T

Kernel dan Jangkauan

Sementara itu, karena

Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal transformasi merupakan unsur kernel T.

Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyai vektor tak nol sebagai unsur kernel T.

Teorema :

Jika T : V  W adalah transformasi linear maka Ker (T) merupakan subruang dari V

) ( 2

1  x  x

²

 Ker T

1 0 ) 1

2 1

( ²  



 



 



 x x T

1. Karena setiap artinya setiap

maka Ker(T)  V

2. Perhatikan bahwa artinya setiap

oleh karena itu Ker(T) ≠ { }

3. Karena dan Ker(T)  V

Ingat bahwa V mrp ruang vektor, sehingga berlaku

akibatnya Jadi

) (T Ker a 

 

⁰

sehingga 

V T a

a

) ( 0  Ker T

 

^{0  A0  0}

T

) ( , b Ker T

a 

V b

a  



^{a  b}



^{ Ta Tb  0  0  0}

T

 

^T

b

a  ker

karena V adalah ruang vektor

maka untuk setiap   Riil berlaku :

Jadi,

Dengan demikian, terbukti bahwa

Jika T : V  W adalah transformasi linear maka Ker(T ) merupakan subruang dari ruang vektor V Karena Ker(T ) merupakan subruang

V a

T Ker

a ( ) maka  Karena

4.

) (T Ker a 



  a  ^  T   a ^  ^{0  0}

T

































c b a T





 

 ² 

 

 ²  



²  ⁰



































x c b a

x c a b

a c

b a T

Contoh 6 :

Diketahui Transformasi linear T : R^{3 →}P₂ dengan

Jawab :

Perhatikan bahwa :

=(a + b) + (2a – c)x + (2a + b + c)x² Tentukan basis dan dimensi Ker(T) dan R(T)

















 























0 0 0

2 2

c b a

c b

b a



































c b a

T 

























c b a

c b

b a

2

2 













 1 1

2

1 2

0

0 1

1

















c b a

Ini memberikan

sehingga

Jadi, matriks transformasi bagi T adalah











 0 2 1

0 1

1 A

~ 0 0 0

1 1

2

1 2

0

0 1

1

















 

















0 0 0

1 1

0

1 2

0

0 1

1



















0 0 0

2 / 1 0

0

2 / 1 1

0

2 / 1 0

1

~

 







 







0 0 0

1 0

0

0 1

0

0 0

1

~

Dengan melakukan OBE pada matriks tersebut :

Dengan demikian, Basis ker(T) = { } dan nulitasnya adalah nol.























 





































1 1 0 , 1 2 1 , 2 0 1



^{1 2x2 , 1 2x  x2 ,  x  x2}



Perhatikan hasil OBE

maka basis ruang kolom dari matriks A adalah :

oleh karena itu, basis jangkauan dari T adalah :

sehingga rank (dimensi basis R(t)) = 3







































































d c

b a

d c

b a

d c b a T

2 2

Contoh 7 :

Diketahui transformasi linear T : R⁴  R³ didefinisikan oleh :

Tentukan basis kernel dari T dan nulitasnya

Jawab :







































































d c

b a

d c

b a

d c b a T

2 2















































d c b a

2 1

1 1

2 1

0 0

0 0

1 1













0 0

1 1

Jadi

   

^{0, R4}

d c b a v

v A v

T 













































 























0 0

0 0

2 1

0 0

0 0

1 1

~ 2 1

1 1

2 1

0 0

0 0

1 1

~ A

Basis Ker(T) dan Nulitasnya?

Dengan OBE

Ker(T) adalah ruang solusi dari

 0 v A

































































 









































0 ,

, 12

1 0 0

0 0

1 1

t s t s

d c b a

d c b a































































12 1 0 0 , 0

0 1 1

Ker(T) = ruang solusi dari yaitu

Jadi Basis Ker(T) adalah



 







 

















c a

b a

c b a

T 2



^{2 x}



^{4 x x2}

T     ^T



^{1 3x}



^{ 7  2x  2x2}



^x



T 3 Latihan

1. Suatu transformasi T : ³  ² didefinisikan oleh

2. Jika suatu transformansi T : P₁  P₂ diberikan oleh : dan

Tentukan

Periksa apakah T merupakan transformasi linear



















 



 



 

 





 1

1 3 2

T 1



















 



 



 



 



 

1 2 1 5

T 3



 



 



 



 3 T 1

(Untuk no. 3 – 5)

Suatu transformasi linear, T :R²R³ Yang diilustrasikan sebagai berikut :

dan

3. Tentukan matriks transformasi dari T ! 4. Tentukan hasil transformasi,

5. Tentukan basis kernel dan jangkauan dari T !





























1 2

2 1

1 3

2 1

1 1 2

1 A



 







 

















c a

b a

c b a

T 2

7. Misalkan T : ³  ² didefinisikan oleh

Tentukan basis Ker(T) dan basis R(T) beserta dimensinya !

6. Tentukan rank dan nulitas matriks Transformasi :

2 2

:

T P  P



²



²

T ax  bx  c  cx  bx  a

Apakah dengan

merupakan transformasi linier?

Apakah dengan

merupakan transformasi linier?

:

2

T P  ^{T ax} 

²

^{ bx  c}  ^{ a}

2 3

:

T P  P ^{T p x}     ^{ xp x  }