ALJABAR LINEAR ELEMENTER.

I GUSTI AYU MADE SRINADI

DESAK PUTU EKA NILAKUSMAWATI

JURUSAN ILKOM

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS UDAYANA

i Bahan ajar yang berjudul Aljabar Linear Elementer ini, dirasakan penyusun sangat memberikan manfaat untuk menambah bahan pustaka di Jurusan Matematika dan Jurusan Ilmu Komputer, Fakultas MIPA Universitas Udayana, serta merupakan salah satu buku pegangan bagi mahasiswa yang mengambil mata kuliah Aljabar Linear Elementer.

Materi-materi yang disajikan dalam bahan ajar meliputi: Sistem Persamaan Linear, Determinan, Vektor pada R2 _{dan R}3_{, Ruang Vektor Euclidean, Ruang-ruang Vektor} Umum, Hasil Kali Dalam, dan Nilai Eigen & Vektor Eigen. Dalam setiap Bab menguraikan teori-teori, disertai dengan pembuktian-pembuktian teorema. Penyajian contoh-contoh latihan soal diuraikan secara jelas dan bertahap sehingga diharapkan dapat memudahkan pembaca untuk memahami isi materi. Pada akhir setiap Bab disajikan Soal-soal latihan, yang dapat dimanfaatkan oleh dosen pengampu sebagai tugas terstruktur, untuk mengetahui daya serap mahasiswa terhadap isi materi.

Pengalaman, pengetahuan dan materi kepustakaan yang terbatas, merupakan kendala dalam penyusunan bahan ajar ini, sehingga jauh dari sempurna. Kritik dan saran dari berbagai pihak, untuk ikut menyempurnakan bahan ajar ini akan diterima dengan senang hati. Akhir kata, semoga bahan ajar ini bermanfaat bagi kita semua.

Denpasar, Februari 2014

ii

PENGANTAR………..………... i

DAFTAR ISI ………. ii

BAB I. SISTEM PERSAMAAN LINEAR ………... 1 1.1. Sistem Persamaan Linear ………

1.2. Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss Jordan ………. 1.3. Matriks dan Operasi Matriks ……….. 1.4. Invers dan Kaidah Aritmatika Matriks ………. 1.5. Hasi-hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan & Keterbalikan ....

1 6 7 11 16

BAB II. DETERMINAN ……….. 24

2.1. Fungsi Determinan ………... 2.2. Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris ……… 2.3. Sifat-sifat Determinan ……….. 2.4. Perluasan Kofaktor ………... 2.5. Aturan Cramer ………..

24 25 30 36 39 BAB III. VEKTOR PADA R2 _{DAN R}3 ……….. ₄₅

3.1. Vektor ……….

3.2. Norm Vektor dan Aritmatika Vektor ……… 3.3. Hasil Kali Silang ………... 3.4. Dot Product (Hasil kali Titik/Skalar) ……… 3.5. Vektor-vektor Ortogonal ………. 3.6. Proyeksi Ortogonal ……….. 3.7. Jarak Antara Titik dan Garis ………... 3.8. Hasil kali Silang (Cross Product) ………. 3.9. Vektor pada Garis dan Bidang dalam Ruang Tiga Dimensi ………….

45 47 51 53 55 56 58 59 60

BAB IV. RUANG VEKTOR EUCLIDEAN ………... 63

4.1. Ruang Berdimensi-n Euclidean ……….. 4.2. Ortogonalitas (Ketegaklurusan) ………. 4.3. Transformasi Linear dari Rn _{ke R}m ……… 4.4. Geometri Transformasi Linear ………... 4.5. Sifat-sifat Transformasi Linear dari Rn _{ke R}m ………

63 67 70 73 75

BAB V. RUANG-RUANG VEKTOR UMUM ………. 78

5.1. Aksioma Ruang Vektor ………... 5.2. Subruang (Subspace) ……… 5.3. Kombinasi Linear ………

5.4. Rentang ………..

5.5. Bebas Linear ……….. 5.6. Basis dan Dimensi ………

78 80 81 82 84 85

BAB VI. HASIL KALI DALAM ………. 90

6.1. Hasil Kali Dalam ……….. 6.2. Sudut dan Keortogonalan dalam Ruang Hasil Kali Dalam …………...

iii 6.5. Koordinat-koordinat Relatif Terhadap Basis-basis Ortonormal ……... 6.6. Proses Gram-Schmidt untuk Membentuk Basis-basis

Ortogonal/Ortonormal ………...

6.7. Dimensi ……….

6.8. Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Kosong ……….

101 102 107 109 BAB VII. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN ……….. 116

7.1. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ………. 7.2. Diagonalisasi ………. 7.3. Diagonalisasi Ortogonal ………..

116 124 128

DAFTAR PUSTAKA 145

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

BAB I

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

1. 1 Sistem Persamaan Linear

1.1.1 Persamaan Linear

Persamaan linear adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu, (tidak memuat bentuk trigonometri, eksponen, logaritma), tidak ada perkalian atau pembagian dengan variabel lain/dirinya sendiri.

Misal :

a1x + a2y = b

Sebuah persamaan jenis ini disebut sebuah Persamaan Linear dalam variabel/ peubah x dan y. Secara umum kita mendefinisikan suatu persamaan linear dalam n peubah x1,x2,…,xn sebagai suatu persamaan yang bisa disajikan dalam bentuk :

a1x1+a2x2+…+anxn = b

Dengan a1,a2,…,an dan b konstanta real. Peubah-peubah dalam suatu persamaan linear kadang-kadang disebut yang tak diketahui.

Contoh-contoh Persamaan yang Bukan Persamaan Linear 1. 2x + y = 3 (persamaan Linear)

2. x + 3y2 _{= 7 (bukan persamaan Linear karena y berpangkat 2)}

Solusi dari persamaan linear a1x1 + a2x2+ … + anxn = b adalah deret dari n bilangan s1, s2, …,sn, sehingga persamaan tersebut akan tepat bila x1 = s1, x2 = s2, …, xn = sn. Solusi tersebut yaitu {s1, s2, …, sn} disebut himpunan jawab (solution set) atau solusi umum (general solution) dari persamaan linear.

Contoh : Himpunan jawab dari 2 x + y = 1 adalah : x = t, y=1-2t atau x = 1/2 (1-t), y=t

Sistem Persamaan Linear merupakan sejumlah persamaan yang mengandung n variable

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Tidak semua sistem persamaan mempunyai penyelesaian. Misalnya jika kita mengalikan persamaan kedua dalam sistem berikut :

x + y = 4 2x + 2y = 6

dengan ½, akan terbukti bahwa tidak ada penyelesaian karena terjadi ketakkonsistenan: x +y = 4

x + y = 3

Sebuah sistem persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian disebut sebagai sistem yang tak konsisten; jika paling tidak ada satu penyelesaian, maka sistem itu disebut konsisten.

Persamaan-persamaan linear dalam dua variabel/peubah tersebut dapat dibuat dalam suatu grafik yang berbentuk garis lurus, karena suatu titik (x,y) terletak dalam suatu garis jika dan hanya jika angka x dan y memenuhi persamaan garis tersebut, penyelesaian sistem persamaan tersebut berpadanan dengan titik-titik potong g1 dan g2,sehingga terdapat 3 kemungkinan :

 Garis g1 dan g2 mungkin sejajar, dimana tidak ada perpotongan dan akibatnya tidak ada penyelesaian terhadap sistem tersebut.

 Garis g1 dan g2 mungkin berpotongan hanya di satu titik,dimana sistem tersebut tepat mempunyai satu persamaan.

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Secara umum dapat diringkaskan mengenai Sistem Persamaan Linear sebagai berikut:

1.1.2 Metode Eliminasi

Ada 3 Operasi dasar yang dapat dilakukan pada sistem persamaan linear tanpa mengubah jawaban sistem persamaan tersebut.

1. mengubah urutan persamaan pada sistem tersebut.

2. mengalikan sebuah persamaan dari sistem dengan bilangan tak nol. 3. untuk sembarang bilangan real, c ≠ 0.

1.1.3 Matriks Yang Diperluas

Untuk menyusun matriks-matriks yang diperbanyak peubah-peubah harus ditulis dalam urutan yang sama dalam setiap persamaan dan konstanta harus berada disebelah kanan.

SPL TAK HOMOGEN Tidak semua bi = 0, bi 0

olusi Sistem Persamaan Linear (SPL)

Dengan m persamaan, n variable :

m n

mn m

m

n n

n n

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

 

 

 

 

 

 

..

... ...

...

... ...

2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

SPL HOMOGEN b1 = b2= … = bm = 0

KONSISTEN

(mempunyai solusi) _{KONSISTEN TAK KONSISTEN}

Tak ada titik potong

Solusi Trivial

x1=x2= …=xn=0 Satu Solusi Solusi Non Trivial

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Untuk menyederhanakan penulisan SPL di atas, dapat dituliskan dalam bentuk matriks gandengan/matriks diperluas/matriks diperbesar (Augmented Matrices) dengan menuliskan koefisien-koefisien persamaan dan konstanta nilai persamaan dalam satu matriks sbb :

   

 

   

 

m mn m

m

n n

b a a

a

b a a

a

b a a

a

...

: : : : :

... ...

2 1

2 2 22

21

1 1 12

11

1.1.4 Operasi Baris Elementer

Ada tiga operasi yang dapat dilakukan pada suatu sistem persamaan linear tanpa mengubah jawabannya. Ketiga operasi tersebut, yaitu :

 Menukar letak dari dua baris matriks tersebut  Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol

 Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan baris lain

Ketiga operasi ini dapat dijalankan pada matriks lengkapnya dan disebut operasi baris elementer.

Adapun notasi ketiga baris tersebut adalah :

1. Menukar baris ke-i dan ke j : Bij atau Bi Bj

2. Mengalikan baris ke-i dengan bilangan c, c ≠ 0 : Bi (c) atau c Bi Bi 3. Mengalikan baris ke-i dengan c, ditambahkan pada baris ke-j : Bji (c) atau

Bj + c BiBj

Contoh 1 :

2 3

1 3 5 1 3 5

2 9 7 4 6 8

4 6 8 2 9 7

B B

   

  _  

   

   

   

Contoh 2 :

2

1 3 5 1 3 5

2 9 7 (3) 6 27 21

4 6 8 4 6 8

B

   

   

   

   

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Contoh 3:

32

1 3 5 1 3 5

2 9 7 ( 2) 2 9 7

4 6 8 0 12 6

B       _                

1.1.5 Eselon Baris

Bentuk Eselon-baris, matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :

1. Jika suatu baris tidak nol, maka angka pertama yang tidak nol pada baris tersebut harus bernilai 1 (leading 1).

2. Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan pada baris-baris bawah dari matriks.

3. Jika ada dua baris tidak nol, maka posisi leading 1 pada baris di bawahnya, harus berada lebih kanan dari leading 1 baris di atasnya.

4. Masing-masing kolom yang memiliki leading 1, elemen-elemen lain pada kolom tersebut bernilai nol.

Contoh :

 Suatu proses eliminasi sampai memperoleh bentuk Eselon Baris Tereduksi (memenuhi sifat 1 s/d 4) disebut Eliminasi Gauss Jordan

 Sedangkan proses eliminasi hingga memperoleh bentuk Eselon Baris (memenuhi sifat 1 s/d 3, sifat 4 tidak terpenuhi) disebut Eliminasi Gauss  Contoh matriks eselon baris tereduksi :

          8 1 0 0 3 0 1 0 4 0 0 1 ;              0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 2 1 0 ;           0 0 0 0 0 0 0 0 0

 Contoh matriks eselon baris tapi bukan eselon baris tereduksi :

ALJABAR LINEAR ELEMENTER 1. 2 Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss Jordan

Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss Jordan adalah suatu prosedur mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

Contoh : Diketahui persamaan linear

x + 2y + z = 6

x + 3y + 2z = 9 2x + y + 2z = 12 Tentukan Nilai x, y dan z! Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

21 31 32 3

1 2 1 6 1 2 1 6 1 2 1 6 1 2 1 6 1 2 1 6

1

1 3 2 9 ( 1) 0 1 1 3 ( 2) 0 1 1 3 (3) 0 1 1 3 ( ) 0 1 1 3 3

2 1 2 12 2 1 2 12 0 3 0 0 0 0 3 9 0 0 1 3

B B B B

         

  _   _      

         

          

         

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

x + 2y + z = 6

y + z = 3

z = 3

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

y + z = 3 x + 2y + z = 6

y + 3 = 3 x + 0 + 3 = 6

y = 0 x = 3

ALJABAR LINEAR ELEMENTER 1. 3 Matriks dan Operasi Matriks

Matriks adalah susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan atau unsur-unsur (elemen-elemen) yang teratur dalam baris dan kolom.

Matriks juga bisa didefinisikan sebagai suatu susunan bilangan yang berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut elemen(unsur)dari matriks tersebut.

Secara umum matriks bisa di ditulis sebagai berikut :

A = [

… … .

. .. .. ..

…

]

Ukuran (ordo) dari matriks dinyatakan dengan m x n, dimana m menyatakan banyaknya baris, dan n menyatakan banyaknya kolom dari matriks tersebut. Elemen matriks dapat ditulis dengan tanda kurung siku “[ ]” atau dalam tanda kurung besar “( )”. Notasi matriks dinyatakan dengan huruf capital , sedangkan elemen-elemennya dengan huruf kecil. Maka matriks A di atas dapat dinotasikan dengan : [ ] m x n atau [ ] atau elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks A dinotasikan dengan =

Matriks yang mempunyai satu baris saja disebut matriks baris dan sebaliknya. Secara umum matriks baris atau matriks kolom lebih sering dinyatakan dengan huruf kecil

dicetak tebal, misal : a = [ , , … , ] ; b =

[ . .

]

Contoh :

= [ − ]

Kita mempunyai = , = − , = , =

1.3.1 Ukuran dan Operasi pada Matriks

Ukuran matriks diberikan oleh jumlah baris dan kolom yang dikandungnya. Misalkan, matriks B = [−

− ], mempunyai 2 baris dan 3 kolom, sehingga

ALJABAR LINEAR ELEMENTER tidak bisa untuk dijumlahkan atau dikurangkan. Jika matriks A = m x r dan meatriks B = r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n. Untuk mencari elemen-elemen dalam

baris i dan kolom j dari AB, pilih baris i dari matriks A dan kolom j dan matriks B. Kalikan elemen-elemen yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya.

Definisi – definisi yang terdapat dalam operasi – operasi matriks:

1. Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan anggota – anggotanya yang berpadanan sama

Contoh:

Tinjau matriks – matriks berikut:

= [ ] = [ ] = [ ]

Jika = maka = tetapi untuk semua nilai lainnya matriks tidak sama, karena tidak semua anggota – anggotanya yang berpadanan sama. Tidak ada nilai yang membuat = karena mempunyai ukuran yang berbeda.

2. Jika A dan B adalah matriks – matriks berukuran sama, maka jumlah + adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan anggota – anggota B dengan anggota – anggota A yang berpadanan, dan selisih − adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan anggota – anggota A dengan anggota – anggota B yang berpadanan. Matriks – matriks berukuran berbeda tidak bisa ditambahkan atau dikurangkan.

+ = + = +

− = − = −

Contoh: Tinjau matriks – matriks

= [−

− ] = [ −

− − ] = [ ]

Maka,

+ = [−

− ] + [ −

− − ] = [

−

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

− = [−

− ] − [ −

− − ] = [

−

− −

− −

− ]

3. Jika adalah sebarang matriks dan adalah sebarang skalar, maka hasil kali adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap anggota dengan . Dalam notasi matriks, jika = [ ], maka = =

Contoh:

Untuk matriks – matriks

= [ _{] = [− − ] = [} − ]

Maka kita akan mendapatkan:

= [ ] = [ ] − = − [− − ] =

[ −₋ − ]

= [ − ] = [ − ]

4. Jika , , … , matriks dengan ukuran sama , , … , skalar, maka bentuk

+ + + disebut sebagai kombinasi linier dari , , … , dengan koefisien , , … , .

Contoh:

Jika = [ ] = [− − ] = [ − ] maka,

− + = + − + = [ ] + [ −₋ − ] + [ − ]

= [ ]

5. Jika matriks berukuran dan matriks berukuran , maka hasil kali adalah suatu matriks berukuran dengan unsur – unsur sebagai berikut:

= ∑ ∑ = + + +

Contoh:

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Karena adalah matriks dan adalah matriks , maka hasil kali adalh sebuah matriks .

Maka,

= [ ] [ − ] = [ ₋ ]

1.3.2 Partisi Matriks

Sebuah matriks dapat dipartisi ke dalam matriks yang lebih kecil dengan menyisipkan garis horizontal atau vertikal diantara baris atau kolom yang ditentukan. Misalkan matriks A berukuran m x n dapat dipartisi menjadi :

A = [

… … .

. .. .. ..

…

] = [ ]

A = [

… … .

. .. .. ..

…

] =

[ . .

]

A = [

… … .

. .. .. ..

…

] = [ _, , … , ]

Contoh:

Jika A = 1 2 1

3 2 1

 

 _ 

  dan

2 1 1 1

6 8

B



 

 

 _{ }

 

 

maka :

a. Matriks Kolom kedua dari AB =

1

1 2 1 11

1

3 2 1 9

8    _{  }   _ _{ }  

 _{ }  

 

b. Matriks Baris pertama dari AB =









2 1

1 2 1 1 1 2 11

6 8



 

_ _

 

 

ALJABAR LINEAR ELEMENTER 1. 4 Invers dan Kaidah Aritmatika Matriks

Diasumsikan bahwa matriks memenuhi sehinga operasi aritmatik matriks tersebut valid, meliputi :

a. A + B = B + A

b. A +(B+C) = (A+B)+ C c. A(BC) = (AB) C d. A(B+C) = AB + AC e. (B+C)A = BA + CA f. A(B-C) = AB-AC g. (B-C)A = BA-BC h. a(B+C) = aB+aC i. (a+b)C = aC+bC j. (a+b)C = aC-bC k. a(bC) = abC

l. a(BC) =(aB)C = B(aC)

1.4.1 Invers Matriks

Jika A sebuah matriks segi (bujur sangkar), dan matriks B berukuran sama didapatkan sedemikian hingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik (invertible) dan B adalah invers dari A.

Contoh :

B = [ ] adalah invers dari A = [ −

− ]

Teorema :

Misal A = [ ] maka inversnya adalah − =

− [₋ − ] = [ −

− ₋

− _{− −} ]

Contoh:

1. Tentukan invers dari matriks [ ] Penyelesaian:

Kita beri nama mtriks diatas dengan matriks , sehingga:

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Sedangkan matriks identitasnya:

= [ ]

Kemudian kita gandengkan matriks A dengan matriks I, sehingga menjadi:

[ ] = [ ] (matriks gandengan ini kita beri nama matriks �) Kita lakukan operasi baris dasar sampai matriks menjadi matriks I

� = [ ] ~ − [ _{− −} ] ~ − [ _{− ]}

[

− ] ~ − [ − − ]

Maka − = [−

− ]

1.4.2 Sifat-Sifat Invers

1. Invers suatu matriks bersifat unik.

Jika B dan C keduanya merupakan invers dari A maka B = C.

2. Suatu hasil kali berapapun banyaknya matriks yang bisa dibalik adalah matriks yang bisa dibalik, dan invers dari hasil kali tersebut adalah hasil kali invers – inversnya dalam ukuran terbalik. Jika A dan B matriks-matriks berukuran sama dan dapat dibalik, maka:

a. AB dapat dibalik

b. − = − −

c. Jika

= I ; = A. A. A. . . A (n faktor, n >0). Jika A bisa dibalik, maka :

− ₌ − ₌ − − _… − _{(n faktor).}

= + ; =

1.4.3 Jenis–Jenis Matriks

Matriks dapat dibedakan menurut jenisnya, antara lain: 1. Matriks Nol

ALJABAR LINEAR ELEMENTER               0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0

2. Matriks Baris

Suatu matriks dikatakan sebagai matriks baris, jika matriks tersebut hanya terdiri atas satu baris, misalnya

  

1 7, 5 3 2 6



3. Matriks kolom

Suatu matriks dikatakan sebagai matriks kolom, jika matriks tersebut hanya

terdiri dari satu kolom. Misalnya,

               7 5 3 , 5 2

4. Matriks persegi dan matriks bujur sangkar

Suatu matriks dikatakan sebagai matriks persegi atau matriks bujur sangkar, jika banyak baris pada matriks tersebut sama dengan banyak kolomnya.

Misalnya,                    2 8 1 1 3 6 5 7 3 , 1 4 3 2

Pada suatu matriks persegi ada yang dinamakan sebagai diagonal utama dan diagonal sekunder. Perhatikan matriks berikut.

          33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a

Elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama pada matriks tersebut adalah

a11, a22 dan a33 (sesuai dengan arsiran yang berasal dari kiri atas ke kanan bawah). Sebaliknya, elemen-elemen yang terletak pada diagonal sekunder sesuai dengan

arsiran yang berasal dari kiri bawah ke kanan atas, dalam hal ini: a11, a22, a33. 5. Matriks segitiga

kedua-ALJABAR LINEAR ELEMENTER duanya) bernilai nol. Jika elemen-elemen yangada di bawah diagonal utama bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika elemen-elemen yang ada di atas diagonal utamanya bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga bawah.

Misalnya,            4 0 0 3 4 0 2 1 5            4 2 3

0 1 5 0 0 7

Matriks segitiga bawah Matriks segitiga atas 6. Matriks Diagonal

Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks diagonal jika elemenelemen yang ada di bawah dan di atas diagonal utamanya bernilai nol, atau dengan kata lain elemen-elemen selain diagonal utamanya bernilai nol.

Misalnya,               1 0 0 0 2 0 0 0 4 4 0 0 1

7. Matriks Skalar

Suatu matriks diagonal dikatakan sebagai matriks skalar jika semua elemen-elemen yang terletak pada diagonal utamanya memiliki nilai yang sama, misalnya,               5 0 0 0 5 0 0 0 5 9 0 0 9

8. Matriks Identitas dan matriks satuan

Suatu matriks skalar dikatakan sebagai matriks identitas jika semua elemen yang terletak pada diagonal utamanya bernilai satu, sehingga

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Metode untuk mencari matriks kebalikan adalah melalui operasi baris dasar matriks

gandengan antara dan

[ ]~ [ − _]

Selain itu ada satu cara menentukan solusi SPL apabila matriks invertible, maka:

= punya solusi tunggal yaitu = −

Contoh: Tentukan solusi SPL berikut:

+ + =

+ − =

− + + =

Penyelesaian:

Kita ubah Sistem Persamaan Linier di atas ke dalam bentuk matriks dan kita beri nama :

= [ ]

Sedangkan matriks identitasnya:

= [ ]

Kemudian gandengkan matriks dengan matriks dan kita beri nama matriks tersebut dengan K

[ ]

= [ ] ~ − − [ −

− −− ]

[ −

− −− ] ~ [ −− −− ]

[ −

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

[ − −

− − ] ~ − [

−

− −

− − ]

[ − − −

− − ] ~ − [

−

− −

− − ]

Sehingga − = [

−

− −

− − ]

Maka = − = [

−

− −

− − ] [ ] = [−− ]

Jadi solusi untuk Sistem Persamaan Linier diatas adalah:

= = − = −

1.5 Hasil-hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan

Teorema:

Setiap sistem persamaan linier bisa tidak mempunyai penyelesaian, tepat satu penyelesaian, atau tak hingga banyaknya penyelesaian

Teorema:

Jika adalah suatu matriks × yang bisa dibalik , maka untuk setiap matriks b, × , sistem persamaan = tepat mempunyai satu penyelesaian yaitu

= −

Contoh:

+ + =

+ − =

− + + =

Jika sitem persamaan linier ini diubah ke dalam bentuk matriks maka:

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Sedangkan matriks identitasnya:

= [ ]

Kemudian kita akan mencari invers dari matriks � dengan menggandengkan matriks tersebut dengan matriks identitasnya, kita beri nama matriks tersebut dengan matriks .

[ ]

= [ ] ~ − − [ −

− −− ]

[ −

− −− ] ~ [ −− −− ]

[ −

− −− ] ~ − [ − − − − ]

[ − −

− − ] ~ − [

−

− −

− − ]

[ − − −

− − ] ~ − [

−

− −

− − ]

Sehingga �− = [

−

− −

− − ]

Maka = �− = [

−

− −

− − ] [ ] = [−− ]

Jadi solusi untuk Sistem Persamaan Linier diatas adalah:

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Latihan Soal – Soal

1. + + =

+ − =

− + + =

Pada sistem persamaan linier di atas tentukan nilai dan sehingga sistem persamaan linier memiliki:

a. Solusi tunggal b. Banyak solusi

c. Tidak ada solusi ( tidak konsisten )

2. Selesaikan sistem berikut ini dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan

+ + =

− − + =

− + =

3. Bila = [ ] Tentukan jika:

a. = + + b. = −

4. Diketahui matriks � = [

ℎ] buktikan bahwa

= + ℎ − ℎ − ×

5. _{Tentukan invers dari matriks , untuk} = [ cos � sin � − sin � cos �]

Penyelesaian

1. + + =

+ − =

− + + =

Penyelesaian:

Kita ubah terlebih dahulu sitem persamaan di atas ke dalam bentuk matriks. Sehingga menjadi:

= [ −

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Kemudian matriks diatas kita reduksi.

= [ −

− ] ~ − [ − − − + ]

[ − − −

+ ] ~ [ − − − + ]

[

− − − + ] ~ [ − − −⁄ + ⁄ ]

[ ⁄

− − − + ⁄ ] ~ − [

− ⁄ ⁄ −

− + ⁄ + ⁄

+ ]

a. Sistem Persamaan Linier tersebut memiliki solusi tunggal jika dan hanya jika

− ≠  ≠

b. Sistem Persamaan Linier tersebut memiliki banyak solusi jika dan hanya jika:

− = dan + =

= = −

c. Sistem Persamaan Linier tersebut tidak mempunyai solusi jika dan hanya jika:

− = dan + ≠

= ≠ −

2. + + =

− − + =

− + =

Penyelesaian:

Kita ubah terlebih dahulu sistem persamaan linier di atas ke dalam bentuk matriks

� = [− −

− ] ~ − [ −− − − ] ~ −

[ −

− − −− ] ~ − [ −− −− ] ~ −

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

3. = [ ]

Menentukan dari

a. = + +

b. = −

Penyelesaian:

a. = + + dimana =

= + +

= [ ] [ ] + [ ] + [ ]

= [ ] + [ ] + [ ]

= [ ] + [ ]

= [ ]

b. = − dimana =

= −

= [ ] − [ ]

= [ ] − [ ]

= [ ]

4. � = [

ℎ]

Kita akan membuktikan bahwa:

= + ℎ − ℎ − ×

Penyelesaian:

= + ℎ − ℎ − ×

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

[ +_{+ ℎ} + ℎ_{+ ℎ} ] = [ + ℎ_{+ ℎ ℎ + ℎ ] − [}+ ℎ ℎ − _{ℎ −} ]

[ +_{+ ℎ} + ℎ_{+ ℎ} ] = [ + ℎ_{+ ℎ ℎ + ℎ}+ ℎ] − [ ℎ − _{ℎ −} ]

[ + + ℎ

+ ℎ + ℎ ] = [ +

+ ℎ

+ ℎ + ℎ ] Terbukti.

5. = [ cos � sin �

− sin � cos �]

Invers dari matriks adalah

− ₌

� − − � [cos � − sin �sin � cos � ]

− ₌

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Soal-Soal Latihan : Sistem Persamaan Linear

1. Reduksilah (lakukan operasi baris dasar) matriks berikut sehingga menjadi matriks eselon baris (bentuk eselon) dan kemudian menjadi matriks eselon baris tereduksi (bentuk kanonik baris) :

a.           12 5 1 9 1 2 2 1 1 b.              7 7 3 6 3 3 2 1 4 2 1 2 1 2 1 c.             9 6 3 4 2 1 11 10 9 4 6 3 7 5 5 3 4 2 2 1 2 1 2 1 d.             10 7 2 0 6 4 0 0 12 8 3 0 3 2 1 0

2. Jika ada tentukan solusi SPL-SPL berikut:

a. 2 3 3 5 4 1 2 3       y x y x y x d. 10 8 3 3 3 2 2 3          z y x z y x z y x g. 2 9 6 4 5 4 2 5 3 3 5 4 2            t z y x t z y x t z y x b. 9 4 2 4 2     y x y x e. 5 13 4 2 2 2          z y x z y x z y x h. 8 8 3 6 5 6 2 4 2 4 2          z y x z y x z y x c. 3 2 7 1 2 2 2 5          z y x z y x z y x f. 4 2 5 4 3 5 6 8 5 2 2 2 3 2             t z y x t z y x t z y x i. 10 8 6 3 9 3 4 4 2 3 3 2             t z y x t z y x t z y x

3. Tentukan nilai a dan b agar SPL berikut mempunyai: (i) satu solusi

(ii) tak ada solusi (iii) banyak solusi

a. 5 1 2     by ax y x b. 5 2 1      y ax by x c. 3 1      ay x by x d. b z y x az y x y x         5 4 3 5 3 2 4 3z 2

4. Perhatikan SPL berikut:

a. b z y az y x y x        4 a 1 1 2 b. b az y x z ay x y x          11 3 3 1 2z 2 c. b z y ax z ay x y x        4

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Untuk setiap a nilai berapakah setiap sistem mempunyai solusi unik, dan untuk pasangan nilai (a, b) berapakah setiap sistem memiliki lebih dari satu solusi? 5. Jika 02 , 0 2 , dan 0  maka tentukan nilai ,,dari sistem

persamaan tak linear berikut :

9 tan cos 3 sin 6 2 tan 2 cos 2 sin 4 3 tan 3 cos sin 2                  

6. Tentukan nilai x, y, dan z dari sistem persamaan tak linear berikut:

3 2 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2          z y x z y x z y x

7. Tentukan syarat yang harus dipenuhi b agar SPL konsisten :

3 2 1 3 3 3 8z 5 4 5 2 b z y x b y x b z y x           

8. Bila

     1 2 1 3

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

BAB II

DETERMINAN

2.1 Fungsi Determinan

Fungsi determinan merupakan suatu fungsi bernilai real dari suatu peubah matriks. Fungsi determinan dinyatakan dengan det. Misalnya A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka fungsi determinan dari matriks A dapat dinyatakan dengan det(A).

Terdapat beberapa konsep-konsep yang perlu dipahami dalam menentukan determinan suatu matriks segi, meliputi :

2.1.1 Permutasi

Permutasi dari himpunan bilangan bulat : {1,2,….,n} adalah banyak susunan berbeda dari bilangan-bilangan integer tersebut tanpa adanya penghilangan atau pengulangan. Suatu metode yang mudah untuk mendaftarkan permutasi secara sistem adalah dengan menggunakan suatu pohon permutasi. Misalnya permutasi dari bilangan {1,2,3} dapat disusun :

(1,2,3) (2,1,3) (3,1,2) (1,3,2) (2,3,1) (3,2,1)

1 2 3

2 3 1 3 1 2

3 2 3 1 2 1

Dari pohon permutasi tersebut didapat bahwa ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan {1,2,3}. Secara umum, himpunan {1,2,3} akan mempunyai n!

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Inversi (pasangan negatif)

Suatu inversi dikatakan terjadi dalam suatu permutasi (j1 , j2 , … , jn) jika suatu

bilangan bulat yang lebih besar mendahului bilangan bulat yang lebih kecil. Total jumlah inversi yang terjadi dalam suatu permutasi bisa didapat sebagai berikut :

1) Cari bilangan bulat yang lebih kecil dari j1 dan yang mengikuti j1 dalam

permutasi tersebut,

2) Cari bilangan bulat yang lebih kecil dari j2 dan yang mengikuti j2 dalam

permutasi tersebut,

3) Teruskan proses menghitung ini untuk j3 , … , jn-1. Total dari jumlah-jumlah tersebut adalah total jumlah inversi dalam permutasi tersebut.

Contoh :

Jumlah pembalikan dalam permutasi (2, 4, 1, 3, 5) adalah : 1 + 2 + 0 + 0 = 3.

Dari mariks segi A = (ajj)nxn, unsur-unsur aij dan akl dikatakan pasangan negatif jika dan hanya jika k<i dan l>j atau k>i dan l<j dan dikatakan pasangan positif jika dan hanya jika k<i dan l<j atau k>i dan l>j. Permutasi dikatakan genap apabila total inversi jumlahnya genap, dan permutasi dikatakan ganjil apabila total inversi jumlahnya ganjil.

Contoh :

Dalam permutasi (2, 4, 1, 3, 5) , jumlah pembalikannya adalah 3 jadi permutasi tersebut dikatakan permutasi ganjil.

2.2 Menghitung Determinan Dengan Reduksi Baris

Menghitung determinan dengan reduksi baris adalah dengan mereduksi matriks yang diberikan menjadi bentuk segitiga atas melalui operasi baris elementer. Kemudian menghitung determinan dari matriks segitiga atas, kemudian menghubungkan determinan tersebut dengan matriks aslinya.

a. Menghitung Determinan Matriks 2 x 2 dan 3 x 3

 Matriks 2 x 2

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

 Matriks 3 x 3

= [ ] , maka :

dengan menggunakan aturan Sarrus

de� = | |

= + + − −

−

b. Teorema-teorema dasar tentang Determinan Teorema 1

Bila A adalah matriks segi (bujur sangkar) :

a. Jika A mempunyai sebuah baris nol atau sebuah kolom nol, maka det(A) = 0 Contoh :

= [ ] → de� = | | = . − . =

= [ −

− ] → de� = |

−

− |

= . . − + . . + − . . — . . − . . − . . − =

b. det(A) = det(AT) Contoh :

= [ ] → de� = | | = . − . =

= [ ] → de� = | | = . − . =

Maka terbukti det (A) = det (AT₎ Teorema 2

Jika A adalah matriks segitiga n x n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka det(A) adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utamanya, yaitu det(A) = a11 a22 ...

ann .

= [

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Contoh :

= [

−

− _{] → de� = |} − − _{| = −}

= −

Teorema 3

Bila A adalah suatu matriks n x n :

a. Jika B suatu matriks yang diperoleh bila satu baris atau baris atau satu kolom dari A dikalikan dengan skalar k, maka det(B) = k det(A)

= [ ] → , = [ ]

⇒de� = | | = + + − − − =

⇒ de� = | | = + + − − − =

⇒de� = de� = . =

b. Jika B suatu matriks yang diperoleh bila dua baris atau dua kolom dari A dipertukarkan, maka det(B) = - det(A)

= [ ] → →

= [ ]

⇒de� = | | = + + − − − =

⇒ de� = | | = + + − − − = −

ALJABAR LINEAR ELEMENTER c. Jika B suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan satu baris atau kolom dengan satu konstanta kemudian ditambahkan pada baris atau kolom yang lain, maka det(B)=det(A)

= [ ] → ℎ →

= [ ]

⇒de� = | | = + + − − − =

⇒ de� = | | = + + − − − =

⇒de� = de�

Teorema 4

Bila Enxn matriks elementer :

a. Jika E diperoleh dengan mengalikan satu baris In dengan k, maka det(E) = k

= [ ] → → | |

⇒ de� = =

b. Jika E diperoleh dengan menukarkan dua baris In , maka det(E) = -1

= [ ] → ℎ

→ | |

ALJABAR LINEAR ELEMENTER c. Jika E diperoleh dengan menambahkan k kali satu baris In ke baris yang lain,maka

det(E) = 1

= [ ] → ℎ ℎ

→ | |

⇒ de� =

Teorema 5

Jika A adalah sebuah matriks segi dengan dua baris/kolom yang proporsional, maka det(A) = 0.

= [ ] → ℎ ,

ℎ −

→ = [ ]

⇒maka de� = → | | =

Contoh :

= [ − ]

Penyelesaian :

= [ − ]

Det (A) = [ − ]

= - [

−

ALJABAR LINEAR ELEMENTER = -3 [

− ]

= -3 [

−

− ]

= -3 [

−

− ]

= (-3) (-55) [

− ]

Det (A) = (-3) (-55) (1) = 165

c. Menghitung Determinan dengan Operasi Kolom Contoh :

[

− ]

Penyelesaian :

Det (A) = [

− ]

= [

− ]

Det (A) = (1) (7) (3) (-26)

2.3 Sifat – sifat Determinan

1. | | = | |

Pembuktian:

2 6 4 4

2 3 1

2 6 4 4

3 2 1

         

         

T T

A A

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

T A A

Jadi  

2. Bila unsur-unsur salah satu atau kolom dari suatu matriks persegi bernilai nol maka determinan matriks tersebut = 0

3. Jika salah satu baris atau kolom dikalikan dengan konstanta c, maka determinan matrik baru adalah c kali determinan matriks sebelumnya

* *

*

:

1 2 1 2

4 6 2

3 4 3 4

3

3 6 3 6

12 18 6

3 4 3 4

:

6 3( 2)

6 6

Contohnya

A A

misa lka n

C

A A

Ja di

A C A

 

_{ }     

 



 

 _{ }      

 

      

0 9 1

0 0 9

1 0 0

0 3 0

1 0 3

0 1 0

:

 

     

 

     

B B

A A

Contohnya

ALJABAR LINEAR ELEMENTER 4. Jika dua baris atau dua kolom dipertukarkan maka

* *

*

:

1 2 1 2

4 6 2

3 4 3 4

3 4 3 4

6 4 2

1 2 1 2

:

2 ( 2)

2 2

Contohnya

A A

A A

Jadi

A A

 

_{ }     

 

 

_{ }    

 

     

5. Jika suatu matriks mempunyai dua baris atau kolom yang sama atau sebanding, maka determinannya adalah nol

:

;

1 2

4 8

1 2

8 8 0

4 8

contohnya

baris

A

A

   _ _

   

6. Bila matriks B diperoleh dari matriks A dengan menambahkan kelipatan suatu baris/kolom pada baris/kolom yang lain, maka

1 2 1 2

4 6 2

3 4 3 4

contohnya

A_ _ A    

 

B diperoleh dengan menambahkan 2x baris ke I pada baris ke II pada matriks A 0

18 18 6 2

9 3

6 2

9 3

;

   

  

 

A A kolom

B

A 

2 10 8 8 5

2 1 8

5 2 1

    

    

 B

B

A

ALJABAR LINEAR ELEMENTER 7. E matriks yang dihasilkan dari operasi dasar pada matriks Identitas

 Bila matriks E diperoleh dengan mengalikan satu baris matriks Identitas dengan konstanta k maka

Contoh ;

E dengan mengalikan K = 7 pada baris ke I

 Bila matriks E diperoleh dengan menambahkan K kali satu baris pada baris yang lain suatu matrik identitas maka

Contoh ;

E diperoleh dengan menambahkan 2X baris ke-I pada baris ke-II dari matrik identitas

 Bila matrik E diperoleh dengan menukarkan dua baris matrik identitas maka Contoh ;

E diperoleh dari menukarkan baris ke I dengan baris ke II pada matriks identitas

n I

7 1 7 1 0

0 7 1

0 0 7

   

    

 E

E ja di E  K

1 

E

1 0 1 1 2

0 1 1

2 0 1

   

    

 E

E _{jadi E} _{1 E} ₁

1 1 0 0 1

1 0 0

1 1 0

    

    

 E

ALJABAR LINEAR ELEMENTER 8. Jika A memiliki invers, maka det( 1) 1

det( )

A

A

 _

1

1

1 1

1 1

;

1 2 1 2

4 6 2

3 4 3 4

4 2

1

3 1

4 6

4 2

1

3 1

2

2 1 2 1

3 1

1

3 1 3 1

2 2

2 2 2 2

1 1 1

2 2

contoh

A A

A

A

A A

Jadi A A

A





 

 

 

_{ }       

    _{ }   

     _ _

 

   

_{ }     

 

 

     

9. Bila A adalah matriks (n x n) dan k suatu konstanta, maka det (kA)= det (A) x k berpangkat n

2 2 2 2

2 1 2 1

8 3 5

3 4 3 4

...

2 1 2

3 4 3 4

2

8 3 (8 3) 5

3 4

det( ) ndet( ) contohnya

A A

K

K K

KA K

K K

K K

KA K K K K

K K

Jadi KA K A

 

_{ }      



     _{  } _    

     



ALJABAR LINEAR ELEMENTER

2 3 2 3 2 3

3 2 1 1 3 1 2 1

2 3 2 3 2 3

4 3 3 2 1 1

6 12 (4 9) (2 3)

6 5 1

6 6

det( ) det( ) det( ) contoh

A B C

maka

C A B

Jadi C A B

      _{ } _{ } _{   }                        

11.Jika A dan B matriks segi dengan ukuran sama, maka det (AB)= det (A) det(B)

, 2 2

1 3 2 5 2 9 5 12 11 17

4 2 3 4 8 6 20 8 14 28

11 17 1 3 2 5 14 28 4 2 3 4 308 238 (2 12)(8 15)

70 70

det( ) det( ) det( )

contoh

A B matiks x

A B AB

maka AB A B

Jadi

AB A B

           _{ } _{ } _{    } _                  

12.Determinan matriks diagonal, matriks segitiga atas da matriks segitiga bawah adalah hasil kali unsur-unsur diagonal utamanya .

ALJABAR LINEAR ELEMENTER 2.4 Perluasan Kofaktor

Jika A adalah suatu matrik bujur sangkar, maka minor anggota . Dinyatakan oleh dan didefinisikan sebagai determinan submatrik yg masih tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari matrik A. Bilangan dinyatakan oleh disebut kofaktor anggota . Secara singkat Dan untuk menentukan tanda + atau –gunakan “papan periksa”

Contoh :

32

3 1 4

3 4

2 5 6 26

2 6

1 4 8

M





   C₃₂  

 

1 3 2 M₃₂ M₃₂ 26 ij j i

M



1)

( C_ij

ij

a C_ij M_ij

                      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 54 53 52 51 45 44 43 42 41 35 34 33 32 31 25 24 23 22 21 15 14 13 12 11 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C                                                . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .             8 4 1 6 5 2 4 1 3 A 16 8 4 6 5 8 4 1 6 5 2 4 1 3

11  

 

M

 

1 11 11 16

1 1

11   



M M C

ij

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Perluasan Kofaktor

Perluasan kofaktor dari suatu matrik A ialah cara mencari determinan dari matrik A dengan mengalikan anggota- anggota pada suatu kolom/suatu baris dari matrik A dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil kali yang di dapat.

Pemahaman:

misalkan matriks A dengan ordo 3x3 berikut :

Contoh soal :

misal matriks ordo 3x3 berikut :

2 4 2

4 2 4

2 2 4

A

 

 

  

 

 

11 11 21 21 31 31

2 4 4 2 4 2

2 4 2

2 4 2 4 2 4

2.0 4.12 2.12

24

A a C a C a C

A

A

A

  

  

  

 

11 11 12 12 13 13

2 4 4 4 4 2

2 4 2

2 4 2 4 2 2

2.0 4.8 2.4

24

A a C a C a C

A

A

A

  

  

  

 

kita akan mencari determinannya dengan perluasan kofaktor

2.5 Adjoin Suatu Matriks

Definisi:

jika A adalah sembarang matrik n x n dan C(ij) adalah kofaktor dari a(ij) maka matriks

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a A

32 23 11 33 21 12 31 22 13 31 21 13 31 23 12 33 22

11a a a a a a a a a a a a a a a a a

a

A     



22 33 23 32



12



23 31 21 33



13



21 32 22 31



11 a a a a a a a a a a a a a a

a

A     

13 13 12 12 11

11C a C a C

a

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

11 12 1

21 22 2

1 2 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. n n

n n nn

C C C

C C C

C C C

               

disebut matrik kofaktor dari A. transpos dari matrik ini disebut adjoin A dan dinyatakan oleh adj (A).

Contoh adjoin matriks,

misalkan A adalah matrik 3x3 maka adjoin matrik A diperlihatkan dibawah sbg berikut:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 2 1 1 3 1

1 1 2 1 1 3

2 1 1 3 1 1

1 3 1

( ) 1 1 3

3 1 1

1 1 3

( ) [ ( )] 3 1 1

1 3 1

T

C C C

A C C C

C C C

mk A

adj A mk A

             _{ }_      _                      _{ }              _   _     

Aplikasi rumus adjoin untuk invers suatu matriks yaitu sebagai berikut

Contoh :

kita ambil nilai adjoin matrik A pada contoh diatas lalu kita cari inversnya

)

(

)

det(

1

1

A

adj

A

A





ALJABAR LINEAR ELEMENTER 2.6 Aturan Cramer

Jika Ax=b merupkan suatu sistem n persamaan linier dalamn peubah sedemikian hingga (A) tidak 0, maka sistem tersebut mempunyai suatu penyelesaian unik, yaitu sebagai beriut;

1 2

1 2

det( ) det( ) det( )

, ,...

det( ) det( ) det( )

n n

A

A A

x x x

A A A

  

dengan Aj adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan anggota-anggota pada kolom ke-j dari A dengan anggota-anggota pada matriks

Contoh penerapan aturan Cramer

Selesaikanlah SPL berikut: x + y + z = 3 2x + 3y + z = 6 4x +2y +z = 7

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Latihan Soal – Soal

1. Jika = [ ]

Tentukan = . !

2. Jika |

ℎ | = −

Tentukan |

− − −

− ℎ − − |

3. Tentukan _||− − − _||

4. Jika = [

−

− ]

Tentukan − dengan 2 cara:

a. − =

|�|

b. [ ]~[ − ]

Penyelesaian:

1. = [ ]

= .

[ ] = [ ] [ ]

ALJABAR LINEAR ELEMENTER 2. |

ℎ | = −

Kita akan ubah matriks diatas menjadi bentuk |

− − −

− ℎ − − | dengan cara

mereduksi terlebih dahulu:

|

ℎ | ~ − |

− − −

ℎ | ~ − |

− − −

− ℎ − − |

Kemudian ₋ merupakan dan ₋ merupakan Sehingga :

| || || | = | | − . . − = | | = | |

Jadi |

− − −

− ℎ − − | =

3. _||− − − _{|| = ?}

Kita reduksi terlebih dahulu menjadi matriks segitiga atas:

||− − − || ~ || − || ~ − ||

−

− || ~ −

|| −

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Maka

|| −

− || = . − . . . = − = | |

Karena merupakan , ₋ merupakan , ₋ merupakan Sehingga :

| || || || | = | | . . . | | = −

| | = −

Jadi _||− − − _{|| = −}

4. = [

−

− ]

a. Dengan metode − =

|�|

Kita cari terlebih dahulu determinan A,

| −

− |

−

−

− − − + + = − = | |

Kemudian kita cari adjoin A dengan cara kofaktor:

� = |− | = + =

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

� = | _{− | = − −} = −

� = |−₋ | = − + =

� = | | = − = −

� = | −_{− | = − + = −}

� = |− | = − − = −

� = | | = − =

� = | − | = + =

Maka adjoin A:

[ −− −−

− ]

jika ditranspose maka [

−

− −

− − ]

Maka

−

= | | = − [− − −

− − ] = [

− −

− −

]

b. Dengan metode [ ]~[ − ]

[ −

− ] ~ [ −− ] ~ − −

[ − −

− − −− ] ~ − [ − − − ₋ ] ~ −

[

− −₋ ] ~ −

[

−

− − _]

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

[

−

− − _]

Soal Latihan DETERMINAN

1. Tentukan determinan dan matriks adjoin dari matriks A berikut :

   

 

   

 

 



2 0 1 3

3 0 2 1

2 1 3 2

5 0 2 1

A

2. Selesaikan SPL berikut ini dengan aturan Cramer

y x z

y z

x

z x y

2 1

3

5 8 2 3

1 2

3

  

  

  

3. Perhatikan SPL berikut:

1 1 1

  

  

  

kz y x

z ky x

z y kx

Dengan menggunakan konsep determinan, tentukan nilai k sehingga SPL memiliki :

ALJABAR LINEAR ELEMENTER BAB III

VEKTOR PADA R2 DAN R3

3.1 Vektor

Vektor adalah suatu besaran yang memiliki panjang dan arah. Secara geometri, vector dinyatakan sebagai ruas garis terarah atau anak panah pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3. Sebuah vector dapat ditulis dengan : v

AB



 , dimana A sebagai titik awal dari vector v dan B sebagai titik akhir. Vektor adalah suatu besaran yang memiliki besar atau panjang dan arah.

Contoh : - kecepatan - gaya

Vektor bisa disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang berdimensi-2 dan berdimensi-3, arah panah menunjukkan arah vektor

Secara Geometri :

B titik ujung (terminal point)

v=

A titik pangkal (intial point)

Definisi:

Penjumlahan 2 Vektor

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Selisih 2 Vektor.

Jika v dan w adalah 2 vektor sebarang, maka selisih u dari v adalah u – v = u - v

Vektor dalam Sistem Koordinat

Kita misalkan v adalah vektor sebarang pada suatu bidang. y

v (v1, v2) ket : v1 dan v2 adalah komponen dari vector v

x

Vektor – vektor dikatakan ekuivalen, bila vektor- vektor tersebut memiliki komponen yang sama, dalam arti memiliki panjang dan arah yang sama.

(w1, w2) v2

w2

v1 w1

(v1, v2) v + w

w

v

( v1 + w1, v2 + w2 ) y

x

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Vektor dalam R2

y

u2 U (u1,u2)

u1

x

inisial point dipusat koordinat O(0,0) dan terminal point di U(u1,u2) U UO

Komponen vektor = (u1,u2)

Vektor-vektor ekuivalen ↔ panjang dan arahnya sama.

 Dua buah vektor u dan v ekuvalen bila diletakkan sehingga initial pointnya berada pada pusat koordinat atau titik asal (0,0) maka pash terminal poitnya berimpit → u dan v memiliki komponen komponen yang sama.

 Dua buah vektor u dan v memiliki panjang dan arah yang sama U= (u1,u2) v= (v1,v2)

U ekuivalen dengan v ↔ u1=v1 dan u2=v2 Juga memenuhi :

U+v = (u1+v1, u2+v2) u-v = (u1-v1, u2-v2)

Ku = K(U1,U2)= (ku1,ku2)

3.2 Norm Vektor dan Aritmatika Vektor

Sifat-sifat vektor pada R2 _{dan R}3 _{diuraikan dalam teorema berikut :}

Jika U, V, dan W adalah vektor-vektor pada R2 _{atau R}3_{, k dan l adalah scalar, maka} memenuhi hubungan- hubungan berikut :

a) u + v = v + u

ALJABAR LINEAR ELEMENTER c) u + 0 = 0 + u = u

d) u + (-u) = 0 e) k(lu) = (kl)u f) k(u+v) = ku + lu g) (k+l)u = ku + kl h) 1u = u

Pembuktian :

a) u + v = v + u

= (v1 + v2 + v3) + (u1 + u2 + u3) = (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3) = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) = (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) = u + v

b) (u + v) + w = u + ( v + w)

= (u1,u2,u3) + [(v1,v2,v3) +(w1,w2,w3)] = (u1,u2,u3) + (v1+w1,v2+w2,v3+w3) = [(u1+v1) + w1, (u2+v2)+w2, (u3+v3)+w3]

= (u1+v1, u2+v2,u3+v3) + (w1,w2,w3) = (u+v) + w c) u + 0 = 0 + u = u

= (0,0,0) + (u1,u2,u3) = (u1,u2,u3)

= u d) u + (-u) = 0

= (u1,u2,u3) + (-u1,-u2,-u3) = (u1-u1, u2-u2, u3-u3) = 0

e) (kl)u = k(lu)

ALJABAR LINEAR ELEMENTER f) k(u+v) = ku + kv

= k(u1,u2,u3) + k(v1,v2,v3) = (ku1,ku2,ku3) + (kv1,kv2,kv3) = (ku1+kv1, ku2+kv2, ku3+kv3) = k (u1+v1, u2+v2, u3+ v3) = k (u+v)

g) (k+l)u = ku + lu

= k(u1,u2,u3) + l(u1,u2,u3) = (ku1,ku2,ku3) + (lu1,lu2,lu3)

= (ku1 + ku1, ku2 + lu2, ku3 + lu3) = (k+l)u h) 1u = u

= 1(u1,u2,u3) = u1,u2,u3 = u

Panjang vektor ( Norm Vektor ) u dinotasikan sbg ║u║ y

(u1,u2) Jadi, ║u║ = √ + u1 u2

z

P(u1,u2,u3)

S y

Q R

Jadi, ║u║= √ + +

Suatu vector yang mempunyai panjang 1 disebut vector satuan ( Unit Vektor )

Demikian juga, jika P1(x1,y1) dan P2(x2,y2) adalah titik-titik dalam ruang berdimensi-2, maka jarak antara kedua titik tersebut diberikan oleh:

║u║

x

O

x

║u║

║u║2_{= (OR)}2 _{+ (RP)}2

ALJABAR LINEAR ELEMENTER P2(x2,y2,z2) d=

z

P1(x1,y1,z1) y x

Jarak antara P1 dan P2 adalah norma vektor P P _{1 2} Contoh :

a Bila u = (4,3,5) , ║u║= …. Jawab :

║u║= √ + +

= √ = 5√

b Bila koordinat titik P(2,4) dan Q(6,1) , PQ = ? Jawab :

PQ = (6,-1) – (2,4) = (4,-5)

PQ = √ + = √

x p1(x1,y1,z1)

p(a,b,c) c

v

y

x a

v = OP = (a,b,c) = [ ]

P2(x2,y2,z3) o

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Sumbu – Sumbu Translasi

p

Sistem koordinat –xy ditranslasi ke system koordinat –x’y’, dimana titik asal O’ pada system koordinat –xy mempunyai koordinat O’(k,l) titik P € memiliki koordinat (x,y) dan (x’,y’). Untuk melihat hubungan keduanya, diperhatikan vector O’P.

→ Pada system koordinat –xy, inisial point O’(k,l) dan terminal point P(x,y) sehingga komponen

O'P = (x-k, y-l)

→ Pada system koordinat –x’y’, inisial point O’(0,0) dan terminal point P(x’,y’) sehingga komponen

OP =(x’,y’)

Diperoleh persamaan translasi :

3.3 Hasil Kali Silang

Jika U = , , dan V= V , V , V adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3,maka hasil kali silang U×V adalah vector yang didefinisikan sebagai

U×V= − , − , −

Atau dalam notasi determinan

× = (| | , − | | , | | )

x’ x’

O’(k,l)

k

O (0,0) x x

Y ’ y

Y ’

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Contoh:

Cari × , di mana = , , − dan = , ,

Penyelesaian:

[ − ]

× = | − |,−| − |,| |

= , − , −

Teorema. Jika U, V dan W adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3, maka:

a. . × = (U×V orthogonal terhadap U) b. . × = (U×V orthogonal terhadap V)

c. ‖ × ‖ = ‖ ‖ ‖ ‖ − . (identitas lagrange)

d. × × = . − . (hubungan antara hasil kali silang dan

hasil kali titik)

e. × = . − . (hubungan antara hasil kali silang dan

hasil kali titik)

Contoh:

Tinjau vektor-vektor

= , , − dan = , ,

Pada contoh di atas kita telah menunjukan bahwa

× = , − , −

Karena

. × = + − + − − =

Vektor satuan standar

Setiap vektor = , , dalam ruang berdimensi 3 dapat dinyatakan dalam bentuk I, j dan k karena kia bisa menuliskan

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Misalnya , − , = − +

Z

, ,

k

j

i , , Y

, ,

X

× = × = × =

× = × = × =

× = − × = − × = −

Identitas lagrange ‖ × ‖ = ‖ ‖ ‖ ‖ − .

= ‖ ‖ ‖ ‖ − ‖ ‖‖ ‖ cos � = ‖ ‖ ‖ ‖ − ‖ ‖ ‖ ‖ � = ‖ ‖ ‖ ‖ − �

= ‖ ‖ ‖ ‖ � Karena � �, maka � , sehingga ini bias ditulis sebagai

‖ × ‖ = ‖ ‖‖ ‖ sin �

Luas jajaran genjang

A= = ‖ ‖‖ ‖ sin � = ‖ × ‖

3.4 Dot Product ( Hasil Kali Titik/Skalar)

u

u u ● v θ v θ v

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Bila u dan v R2_{, R}3 _{; diasumsikan bahwa initial point kedua vector berimpit} dengan sudut antara kedua vector sebesar θ ; 0≤ θ ≤ �.

Dot poduct atau Euclidean Inner Product didefinisikan sebagai:

∥ ∥ ∥ ∥cos θ ; ≠ ≠

⋅ =

0 ; = =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −

P1

P2 u

θ v

Hukum atau Aturan kosinus:

∥ − ∥ =∥ ∥ +∥ ∥ − ∥ ∥∥ ∥ cos �

∈ dengan = , = , maka diperoleh:

∥ ∥ = +

∥ ∥ = +

∥ − ∥ =∥ − , − ∥2

= − + −

= − + + − +

∥ − ∥ =∥ ∥ +∥ ∥ − ∥ ∥∥ ∥ cos �

∥ − ∥ =∥ ∥ +∥ ∥ − ⋅

= [‖ ‖ + ‖ ‖ − ‖ − ‖ ]

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

= [ + ]

⋅ = +

Bila , � dengan = , , = , , , maka:

⋅ = + +

⋅ = ‖ ‖‖ ‖ cos �

cos � =_{‖ ‖‖ ‖}⋅

Teorema Dot Product:

a) ⋅ = ‖ ‖ ⟹ ‖ ‖= ⋅

b) vektor - vector tak nol , dan θ sudut antara kedua vector , maka: i. θ mirip sudut lancip jika dan hanya jika ⋅ >

ii. θ mirip sudut tumpul jika dan hanya jik

iii. θ= �= ° − jika dan hanya jika ⋅ = Teorema

Jika , adalah vector pada atau , suatu scalar maka:

a. ⋅ = ⋅

b. ⋅ + = ⋅ + ⋅

c. ⋅ = ⋅ = ⋅

d. ⋅ > ℎ ≠ ⋅ = =

3.5 Vektor - Vektor Ortogonal

Vektor tegak lurus disebut juga vektor orthogonal. Dua vektor tak nol dimana

⊥ jika dan hanya jika ⋅ = y

a

P1(x1,y1) P2(x2,y2)

x b

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Akan dibuktikan ⊥ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Dimana P1 dan P2 berada pada garis ax+by+c=0 Vektor n = (a,b) vector normal garis Maka :

P1(x1,y1) ax1+by1+c=0…………(1) P2(x2,y2) ax2+by2+c=0…………(2)

Persamaan 2 dan1 di eliminasi sehingga memperoleh a(x2-x1)+b(y2-y1)=0………..(3) n = (a,b)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (x2-x1, y2-y1)

⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = , ⋅ − , −

= − + ( − = (terbukti)

3.6 Proyeksi Ortogonal

W2 W2 W2

U Q U U Q W1 a a W1 W1 Q

W1+ W2 = W1 +( U- W1) = U

W1 // a dan W2 a

W1= proyeksi ortoganal dari U pada a atau komponen vector U sepanjang / sejajar a dinotasikan sebagai ProyaU

W1= ProyaU

W2= komponen vektor U yang orthogonal terhadap a W2= U- W1=U- ProyaU

Teorema

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

� =_{‖�‖ ∙ �}⋅ �

− � = −_{‖�‖ ∙ �}⋅ �

Contoh :

= , − , � = . − ,

� = + + ⋅ . − ,

= ⋅ . − , = ( , − , )

− � = , − , − ( , − , ) = (− , − , )

Untuk panjang komponen vektor ∥ �:

‖ � ‖ = ‖_{‖�‖ ∙ �‖}⋅ �

= |_{‖�‖ |}⋅ � ‖�‖

=| ⋅ �|_‖�‖ ‖�‖

=| ⋅ �|_‖�‖

=‖ ‖‖�‖|cos �|_‖�‖

= ‖ ‖|cos �|

Jarak dari suatu titik pada bidang ke suatu garis. y

D

Q(X1,Y1) Po(Xo,Yo) D=?

ax+by+c=0

ALJABAR LINEAR ELEMENTER jarak D = panjang proyeksi orthogonal dari

= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅_{‖ ‖ |}

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − , −

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ = , − , −

= − + −

‖ ‖ = √ +

= |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅_{‖ ‖ | =} | − + − |

√ + =

− + −

√ +

, + + =

Maka = − −

Diperoleh

= | + + |

√ +

Contoh :

Jarak titik (-1,2) ke garis 4x+3y-6=0

=| . − + . − |

√ + =

3.7 Jarak Antara Titik Dan Garis

X Y

D

n = (a, b)

P0(x0, y0) D

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Misalkan Q(x1, y1) adalah titik sebarang pada garis dan tempatkan vector n = (a, b) sedemikian rupa sehingga titik awalnya berimpitan dengan Q. Jarak D sebanding dengan panjang dari proyeksi orthogonal

QP

0 pada n, sehingga : projn

D = n n

QP

  0 0

QP

proj tetapi

QP



x

x

y

y



1 0 1 0

0  , 

QP

n a



x

x



b



y

y



1 0 1

0

0    

n 

a

2

b

2 sehingga

D =









b

a

y

y

x

x

b a 2 2 1 0 1 0     ………..persamaan 1

Karena titik Q(x1, y1) terletak pada garis tersebut, koordinatnya memenuhi persamaan garis tersebut sehingga :

ax1 + by1 + c = 0 atau c = - ax1 – by1, substitusikan pernyataan tersebut ke dalam persamaan 1, maka menghasilkan : D =

b

a

y

x

b c a 2 2 0 0   

3.8 Hasilkali Silang (Cross Product)

Definisi : jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah vector- vector pada ruang berdimensi 3, maka cross product u x v adalah vector yang didefinisikan sebagai :

(u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1) Atau dalam notasi determinan :

          

v

v

u

u

v

v

u

u

v

v

u

u

v u 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 , ,

Teorema : Hubungan Hasilkali Silang dengan Hasilkali Titik a) u  (u x v) = 0

b) v  (u x v) = 0

c)

u



v



u

v



 

u



v

2

2 2 2

ALJABAR LINEAR ELEMENTER e) (u x v) x w = (u  w)v – (v  w)u

Teorema : Sifat – sifat Hasilkali Silang a) u x v = - (v x u)

b) u x (v + w) = (u x v) + (u x w) c) (u + v) x w = (u x w) + (v x w) d) k(u x v) = (ku) x v = u x (kv) e) u x 0 = 0 x u = 0

f) u x u = 0

3.9 Vektor Pada Garis Dan Bidang Dalam Ruang Tiga Dimensi

P0(x0, y0, z0) P(x, y, z)

x

y z

l

V = (a, b, c)

Persamaan dari bidang yang melewati titik P0 (x0, y0, z0) dan memiliki vector taknol n = (a, b, c) sebagai normalnya, dimana bidang tersebut terdiri dari tepat titik P(x, y, z) dengan vector