Aljabar Linear Elementer

(1)

Aljabar Linear Elementer

MA1223

3 SKS

Silabus :

Bab I Matriks dan Operasinya

Bab II Determinan Matriks

Bab III Sistem Persamaan Linear

Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang

Bab V Ruang Vektor

Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam

Bab VII Transformasi Linear

(2)

Determinan Matriks

Sub Pokok Bahasan

– Permutasi dan Determinan Matriks – Determinan dengan OBE

– Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Beberapa Aplikasi Determinan

 Solusi SPL  Optimasi

 Model Ekonomi  dan lain-lain.

(3)

Permutasi dan Definisi Determinan Matriks

Permutasi  susunan yang mungkin dibuat dengan

memperhatikan urutan

Contoh :

Permutasi dari {1, 2, 3} adalah

(1,2,3), (1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1) Invers dalam Permutasi

Jika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutan permutasi

(4)

Permutasi Genap  Jumlah invers adalah bil. genap Permutasi Ganjil  Jumlah invers adalah bil. ganjil

Contoh :

Jumlah invers pada permutasi dari {1, 2, 3} (1,2,3)  0 + 0 = 0  genap (1,3,2)  0 + 1 = 1  ganjil (2,1,3)  1 + 0 = 1  ganjil (2,3,1)  1 + 1 = 2  genap (3,1,2)  2 + 0 = 2  genap (3,2,1)  2 + 1 = 3  ganjil

(5)

Definisi Determinan Matriks

Hasil kali elementer A  hasilkali n buah unsur A tanpa ada pengambilan unsur dari baris/kolom yang sama.

Contoh :

Ada 6 (3!) hasil kali elementer dari matriks A, yaitu:

a₁₁a₂₂a₃₃, a₁₁a₂₃a₃₂,a₁₂a₂₁a₃₃, a₁₂a₂₃a₃₁, a₁₃a₂₁a₃₂,a₁₃a₂₂a₃₁              nn n n n n a a a a a a a a a A        1 1 2 11 11 1 11 11            33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A

(6)

Hasil kali elementer bertanda a₁₁a₂₂a₃₃ – a₁₁a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁a₃₃ a₁₂a₂₃a₃₁ a₁₃a₂₁a₃₂ – a₁₃a₂₂a₃₁

Jadi, Misalkan A_nxn maka determinan dari matriks A didefinisikan sebagai jumlah dari semua hasil kali elementer bertanda matriks tersebut.

Notasi : Det(A) atau |A|

Perhatikan…

Tanda (+/-) muncul sesuai hasil klasifikasi permutasi indeks kolom,

yaitu : jika genap  + (positif) jika ganjil  - (negatif)

(7)

Contoh :

Tentukan Determinan matriks

Jawab : Menurut definisi : Det(A_3x3) = a₁₁a₂₂a₃₃– a₁₁a₂₃a₃₂– a₁₂a₂₁a₃₃+ a₁₂a₂₃a₃₁+ a₁₃a₂₁a₃₂– a₁₃a₂₂a₃₁ atau            33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A 23 31 22 21 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a A 

(8)

Contoh :

Tentukan determinan matriks

Jawab :               1 2 2 0 1 1 1 2 3 B

 

1 2 2 0 1 1 1 2 3 det     B ) 1 )( 1 )( 2 ( ) 2 )( 0 )( 3 ( ) 2 )( 1 )( 1 ( ) 2 )( 1 )( 1 ( ) 2 )( 0 )( 2 ( ) 1 )( 1 )( 3 (             2 0 2 2 0 3      1  2 2 1 1 2 3  

(9)

Menghitung Determinan dengan OBE Perhatikan : a. b. c. 3 3 0 2 1        det 45 9 8 7 0 5 4 0 0 1            det 24 6 0 0 5 4 0 3 2 1  Dengan mudah…

Karena hasil kali elementer bertanda selain unsur diagonal adalah nol

Det(A) =

Hasilkali unsur diagonal?

Hitung Det. Matriks Bukan

(10)

Perlu OBE untuk menentukan determinan suatu matriks yang bukan segitiga.

Caranya :

Matriks bujur sangkar ~ OBE ~ matriks segitiga

Berikut ini adalah pengaruh OBE pada nilai determinan suatu matriks, yaitu :

1. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali pertukaran baris maka Det (B) = - Det (A)

Contoh : maka         1 1 1 2 A A  3      1 1 B B  1 1  3   A

(11)

2. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali pertukaran baris maka Det (B) = - Det (A)

Contoh : dan maka         1 1 1 2 A A  3         2 2 1 2 B    2 2 1 2 B 2 6 1 1 1 2 2    A

(12)

3. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan

perkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol k lalu dijumlahkan pada baris lain maka Det (B) = Det (A)

Contoh 3 : Perhatikan         6 2 3 1 A A  12   6 2 3 1 12 0 3 1  12 

OBE yang dilakukan pada matriks

(13)

Contoh 3 :

Tentukan determinan matriks berikut :

Jawab :            2 1 0 1 2 1 0 1 2 A 2 1 0 1 2 1 0 1 2  A 2 -ke dan 1 -ke baris pertukaran 2 1 0 0 1 2 1 2 1  

(14)

= 4 (hasil perkalian semua unsur diagonalnya) 2 1 2 2 1 0 2 3 0 1 2 1 b b A     3 -ke dan 2 -ke baris Pertukaran 2 3 0 2 1 0 1 2 1  3 2 3 4 0 0 2 1 0 1 2 1 b b  

(15)

Determinan dengan ekspansi kofaktor

Misalkan

Beberapa definisi yang perlu diketahui :

• M_ij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A. Contoh :              nn n n n n a a a a a a a a a A ... : : : ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11            2 1 0 1 2 1 0 1 2 A ₁ 1 0 2 1 maka M₁₃  

(16)

• C_ij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j _M ij Contoh : maka = (– 1)3_.2 = – 2

 

2 1 0 1 1 2 1 12    C 2 1 0 1 2 1 0 1 2            A

(17)

Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor :

• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i

det (A) = a_i1 C_i1 + a_i2 C_i2 + . . . + a_in C_in

• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j

det (A) = a_ij C_1j + a_2j C_2j + . . . + a_nj C_jn

Contoh 6 :

Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :

           2 1 0 1 2 1 0 1 2 A

(18)

Jawab :

Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3

= a₃₁ C₃₁ + a₃₂ C₃₂ + . . . + a_3n C_3n

= 0 – 2 + 6



  3 1 3 3 ) det( j j jc a A 2 3 ) 1 ( 1 0    1 1 0 2 _ ₂ ₍_₁₎33 2 1 1 2 2 1 0 1 2 1 0 1 2  A

(19)

Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-3

= a₁₃ C₁₃ + a₂₃ C₂₃ + . . . + a_n3 C_n3 = 0 – 2 + 6 = 4





3 1 3 3

)

det(

i i i

c

a

A

3 2 ) 1 ( 1 0    1 0 1 2 _ ₂ ₍_₁₎33 2 1 1 2 2 1 0 1 2 1 0 1 2  A

(20)

Misalkan A_{n x n} dan C_ij adalah kofaktor aij, maka

dinamakan matriks kofaktor A.

Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A, notasi adj(A).              nn n n n n C C C C C C C C C C        2 2 1 22 21 1 12 11   _CT A adj )(             nn n n n n C C C C C C C C C        2 1 1 22 12 1 21 11

(21)

Misalkan A punya invers maka

A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A)  0.

Beberapa sifat determinan matriks adalah :

1. Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka

det (A) = det (At₎

2. Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran sama, maka :

det (A) det (B) = det (AB)

3. Jika A mempunyai invers maka :

) ( ) det( 1 1 _adj _A A A  ) det( 1 ) det( 1 A A 

(22)

Contoh :

Diketahui

Tentukan matriks adjoin A Jawab : Perhatikan bahwa

           1 2 0 0 1 1 1 0 1 A 1 1 2 0 1 ) 1 ( 1 1 11       c 1 1 0 0 1 ) 1 ( 1 2 12      c 13 ( 1)1 3 ₀1 ₂1  2     c . 1 dan , 1 , 1 , 2 , 1 , 2 ₂₂ ₂₃ ₃₁ ₃₂ ₃₃ 21  c  c   c  c  c   c

(23)

Sehingga matriks kofaktor dari A :

Maka matriks Adjoin dari A adalah :

           1 1 1 2 1 2 2 1 1 - C             1 2 2 1 1 1 1 2 1 -) (A CT adj

(24)

Latihan Bab 2

1. Tentukan determinan matriks dengan

OBE dan ekspansi kofaktor

dan

2. Diketahui :

dan

Tunjukan bahwa : det (A) det (B) = det (AB)

           2 1 1 1 2 1 1 1 2 P              1 4 4 0 1 0 0 2 3 Q            2 0 0 0 4 3 0 1 2 A             1 0 5 2 1 7 3 1 1 B

(25)

3. Diketahui :

Tentukan k jika det (D) = 29 4. Diketahui matriks

Jika B = A-1_{dan A}t_{merupakan transpos dari A.} Tentukan nilai             4 3 1 0 1 5 1 k k D            5 4 3 0 1 2 0 0 1 A

 

A B B A x t det 5 det 2 det 2  