• Tidak ada hasil yang ditemukan

Aljabar Linear Elementer

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "Aljabar Linear Elementer"

Copied!
25
0
0

Teks penuh

(1)

Aljabar Linear Elementer

MA1223

3 SKS

Silabus :

Bab I Matriks dan Operasinya

Bab II Determinan Matriks

Bab III Sistem Persamaan Linear

Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang

Bab V Ruang Vektor

Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam

Bab VII Transformasi Linear

(2)

Determinan Matriks

Sub Pokok Bahasan

– Permutasi dan Determinan Matriks – Determinan dengan OBE

– Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Beberapa Aplikasi Determinan

 Solusi SPL  Optimasi

 Model Ekonomi  dan lain-lain.

(3)

Permutasi dan Definisi Determinan Matriks

Permutasi  susunan yang mungkin dibuat dengan

memperhatikan urutan

Contoh :

Permutasi dari {1, 2, 3} adalah

(1,2,3), (1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1) Invers dalam Permutasi

Jika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutan permutasi

(4)

Permutasi Genap  Jumlah invers adalah bil. genap Permutasi Ganjil  Jumlah invers adalah bil. ganjil

Contoh :

Jumlah invers pada permutasi dari {1, 2, 3} (1,2,3)  0 + 0 = 0  genap (1,3,2)  0 + 1 = 1  ganjil (2,1,3)  1 + 0 = 1  ganjil (2,3,1)  1 + 1 = 2  genap (3,1,2)  2 + 0 = 2  genap (3,2,1)  2 + 1 = 3  ganjil

(5)

Definisi Determinan Matriks

Hasil kali elementer A  hasilkali n buah unsur A tanpa ada pengambilan unsur dari baris/kolom yang sama.

Contoh :

Ada 6 (3!) hasil kali elementer dari matriks A, yaitu:

a11 a22 a33, a11 a23 a32 , a12 a21 a33 , a12 a23 a31 , a13 a21 a32 , a13 a22 a31              nn n n n n a a a a a a a a a A        1 1 2 11 11 1 11 11            33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A

(6)

Hasil kali elementer bertanda a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 – a13 a22 a31

Jadi, Misalkan Anxn maka determinan dari matriks A didefinisikan sebagai jumlah dari semua hasil kali elementer bertanda matriks tersebut.

Notasi : Det(A) atau |A|

Perhatikan…

Tanda (+/-) muncul sesuai hasil klasifikasi permutasi indeks kolom,

yaitu : jika genap  + (positif) jika ganjil  - (negatif)

(7)

Contoh :

Tentukan Determinan matriks

Jawab : Menurut definisi : Det(A3x3) = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 atau            33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A 23 31 22 21 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a A 

(8)

Contoh :

Tentukan determinan matriks

Jawab :               1 2 2 0 1 1 1 2 3 B

 

1 2 2 0 1 1 1 2 3 det     B ) 1 )( 1 )( 2 ( ) 2 )( 0 )( 3 ( ) 2 )( 1 )( 1 ( ) 2 )( 1 )( 1 ( ) 2 )( 0 )( 2 ( ) 1 )( 1 )( 3 (             2 0 2 2 0 3      1  2 2 1 1 2 3  

(9)

Menghitung Determinan dengan OBE Perhatikan : a. b. c. 3 3 0 2 1        det 45 9 8 7 0 5 4 0 0 1            det 24 6 0 0 5 4 0 3 2 1  Dengan mudah…

Karena hasil kali elementer bertanda selain unsur diagonal adalah nol

Det(A) =

Hasilkali unsur diagonal?

Hitung Det. Matriks Bukan

(10)

Perlu OBE untuk menentukan determinan suatu matriks yang bukan segitiga.

Caranya :

Matriks bujur sangkar ~ OBE ~ matriks segitiga

Berikut ini adalah pengaruh OBE pada nilai determinan suatu matriks, yaitu :

1. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali pertukaran baris maka Det (B) = - Det (A)

Contoh : maka         1 1 1 2 A A  3      1 1 B B  1 1  3   A

(11)

2. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali pertukaran baris maka Det (B) = - Det (A)

Contoh : dan maka         1 1 1 2 A A  3         2 2 1 2 B    2 2 1 2 B 2 6 1 1 1 2 2    A

(12)

3. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan

perkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol k lalu dijumlahkan pada baris lain maka Det (B) = Det (A)

Contoh 3 : Perhatikan         6 2 3 1 A A  12   6 2 3 1 12 0 3 1  12 

OBE yang dilakukan pada matriks

(13)

Contoh 3 :

Tentukan determinan matriks berikut :

Jawab :            2 1 0 1 2 1 0 1 2 A 2 1 0 1 2 1 0 1 2  A 2 -ke dan 1 -ke baris pertukaran 2 1 0 0 1 2 1 2 1  

(14)

= 4 (hasil perkalian semua unsur diagonalnya) 2 1 2 2 1 0 2 3 0 1 2 1 b b A     3 -ke dan 2 -ke baris Pertukaran 2 3 0 2 1 0 1 2 1  3 2 3 4 0 0 2 1 0 1 2 1 b b 

(15)

Determinan dengan ekspansi kofaktor

Misalkan

Beberapa definisi yang perlu diketahui :

• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A. Contoh :              nn n n n n a a a a a a a a a A ... : : : ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11            2 1 0 1 2 1 0 1 2 A 1 1 0 2 1 maka M13  

(16)

• Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j M ij Contoh : maka = (– 1)3 .2 = – 2

 

2 1 0 1 1 2 1 12    C 2 1 0 1 2 1 0 1 2            A

(17)

Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor :

• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i

det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin

• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j

det (A) = aij C1j + a2j C2j + . . . + anj Cjn

Contoh 6 :

Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :

           2 1 0 1 2 1 0 1 2 A

(18)

Jawab :

Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3

= a31 C31 + a32 C32 + . . . + a3n C3n

= 0 – 2 + 6

  3 1 3 3 ) det( j j jc a A 2 3 ) 1 ( 1 0    1 1 0 2 2 (1)33 2 1 1 2 2 1 0 1 2 1 0 1 2  A

(19)

Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-3

= a13 C13 + a23 C23 + . . . + an3 Cn3 = 0 – 2 + 6 = 4

3 1 3 3

)

det(

i i i

c

a

A

3 2 ) 1 ( 1 0    1 0 1 2 2 (1)33 2 1 1 2 2 1 0 1 2 1 0 1 2  A

(20)

Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka

dinamakan matriks kofaktor A.

Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A, notasi adj(A).              nn n n n n C C C C C C C C C C        2 2 1 22 21 1 12 11   CT A adj )(             nn n n n n C C C C C C C C C        2 1 1 22 12 1 21 11

(21)

Misalkan A punya invers maka

A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A)  0.

Beberapa sifat determinan matriks adalah :

1. Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka

det (A) = det (At)

2. Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran sama, maka :

det (A) det (B) = det (AB)

3. Jika A mempunyai invers maka :

) ( ) det( 1 1 adj A A A  ) det( 1 ) det( 1 A A 

(22)

Contoh :

Diketahui

Tentukan matriks adjoin A Jawab : Perhatikan bahwa

           1 2 0 0 1 1 1 0 1 A 1 1 2 0 1 ) 1 ( 1 1 11       c 1 1 0 0 1 ) 1 ( 1 2 12      c 13 ( 1)1 3 01 21  2     c . 1 dan , 1 , 1 , 2 , 1 , 2 22 23 31 32 33 21  cc   ccc   c

(23)

Sehingga matriks kofaktor dari A :

Maka matriks Adjoin dari A adalah :

           1 1 1 2 1 2 2 1 1 - C             1 2 2 1 1 1 1 2 1 -) (A CT adj

(24)

Latihan Bab 2

1. Tentukan determinan matriks dengan

OBE dan ekspansi kofaktor

dan

2. Diketahui :

dan

Tunjukan bahwa : det (A) det (B) = det (AB)

           2 1 1 1 2 1 1 1 2 P              1 4 4 0 1 0 0 2 3 Q            2 0 0 0 4 3 0 1 2 A             1 0 5 2 1 7 3 1 1 B

(25)

3. Diketahui :

Tentukan k jika det (D) = 29 4. Diketahui matriks

Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A. Tentukan nilai             4 3 1 0 1 5 1 k k D            5 4 3 0 1 2 0 0 1 A

 

 

 

A B B A x t det 5 det 2 det 2  

Referensi

Dokumen terkait

Pemeriksaan mikrobiologi terhadap lawar perlu dilakukan agar sesuai dengan standar kualitas makanan yang dapat mencegah terjadinya kasus traveler’s diarrhea.. Dalam

Berdasarkan uraian di atas, sehingga perlu adanya pengembangan sebuah bahan ajar berupa handout matematika berbasis pendekatan STEAM (Science, Technology, Engineering,

Tracer Study akan bermanfaat dalam menyediakan informasi penting mengenai hubungan antara pendidikan tinggi yang dilaksanakan di prodi Pendidikan Fisika dan dunia kerja, menilai

Penggunaan ekstrak buah mengkudu sebagai perendam berpengaruh terhadap kualitas fisik (daya ikat air dan keempukan) dan organoleptik (warna, tekstur dan total

Esomeprazol termasuk dalam golongan PPI (Proton Pump Inhibitor), sehingga kerjanya yaitu menghambat reseptor poma proton... Pasien usia 65 th didiagnosa osteoporosis, gout

Pembina Jabatan Fungsional yang bersangkutan. Teknis Diklat yang dilaksanakan untuk mencapai persyaratan kompetensi teknis yang diperlukan untuk pelaksanaan tugas PNS,

Diisi dengan alamat lengkap sesuai domisili kantor pusat Badan Penyelenggara Jaminan Sosial Ketenagakerjaan. Status Pemilikan Gedung.. Diisi dengan status pemilikan gedung, yaitu