a11 a12 x1 b1 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE

(1)

Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE

11 12 1 1

21 22 2 2

a a x b

     

      

     

11 12 1 1

21 22 2 2

a a x b

     

      

     

(2)

Untuk DIPERHATIKAN !

• Untuk mencari Matriks INVERS ordo 2, ^a ^b

c d

 

  

A , dapat digunakan rumus:

1 1 d b

c a a d b c

        A

• Untuk mencari Matriks INVERS ordo 3, dapat dilakukan dengan cara:

– melalui pembentukan matrik ADJOIN, kemudian dibagi dengan nilai DETERMINAN-nya

     

1 1 1

adj adj

    

A A A

A A

det

– menggunakan metode OBE (Operasi Baris Elmenter)  EG atau EGJ

– atau cara lainnya...?

• Untuk mencari Matriks INVERS ordo n (n > 3), disarankan menggunakan metode OBE

(3)

Definisi:

– Jika A sebarang matriks (n x n) dan C_ij adalah kofaktor a_ij,, maka matriks berikut

11 12 1

21 22 2

1 2

...

... ... ... ...

...

n n

n n nn

C C C

 

 

 

dinamakan matriks kofaktor A

– Transpos dari matriks kofaktor adalah Adjoint (sering ditulis: adj(NAMA_MATRIKS))

– Transpos dari matriks kofaktor A adalah Adjoint A (adj(A)).

Matriks ADJOIN ( Classical Adjoint )

(4)

 Matriks ADJOIN berordo 2:

Carilah matriks adjoin dari matriks di bawah ini:

2 1 4 3

 

   A

Elemen matriks kofaktor A (= C_ij ) adalah

11 12

21 22

3 4

1 2

    

    

C C



³ ⁴

1 2

  

   Kof. A

maka

3 4 1 2

 T

 

   

 

 

 

Adj. A 3 -1

-4 2

Matriks ADJOIN versus Matriks INVERS (#1)

(5)

 Determinan:

Harga determinan dari matriks di bawah ini:

 

^ ^det ^_ ^_ ^ ^ ²

 

det A 2 1 2 1

4 3 4 3

maka, cara menghitung

A^¹

adalah sbb:

1

2 2

2

    

 

 

 

 





 A det (A)

adj(A) 1 3 -1 -4 2 3 -1

-2 1

Matriks ADJOIN versus Matriks INVERS (#2)

(6)

 Matriks ADJOIN berordo 3:

Carilah matriks adjoin dari matrik-matriks berikut ini:

2 3 4

0 4 2 1 1 5

  

 

 

  

 

A

dan

3 2 1 1 6 3 2 4 0

  

 

  

 

B

Matriks ADJOIN versus Matriks INVERS (#3)

(7)

 Penyelesaian:

(a). Untuk matriks 0² ³4 2⁴

1 1 5

  

 

 

  

 

A , terlebih dahulu dicari matriks kofaktor A dari kesembilan elemen (komponen) matriks tsb:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

4 2 0 2 0 4

1 5 1 5 1 1

3 4 2 4 2 3

1 5 1 5 1 1

3 4 2 4 2 3

4 2 0 2 0 4

 

         

 

         

 

       

 

C C C

didapatkan

maka

18 11 10 2 14

18 2 4 11 14 5 10 4 8

4

4 5 8



 

 

 

  

 

 

 

  

   

  



Kof.A Adj. A

Matriks ADJOIN vs Matriks INVERS (#4)

(8)

 Penyelesaian:

(b). Untuk matriks

3 2 1

1 6 3

2 4 0

  

 

  

 

B , terlebih dahulu dicari matriks kofaktor B dari kesembilan elemen (komponen) matriks tsb:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

6 3 1 3 1 6

4 0 2 0 2 4

2 1 3 1 3 2

4 0 2 0 2 4

2 1 3 1 3 2

6 3 1 3 1 6

       

 

       

 

       

C C C

didapatkan

maka

12 6 8

4 2 8

12 10 16

12 4 12

6 2 10

8 8 16



 

 

 

  



 

 

 

 

   

 

 

 

Kof.B Adj. B

Matriks ADJOIN vs Matriks INVERS (#5)

(9)

 Determinan matriks ordo 3:

Bagaimana dengan DETERMINAN matriks persegi berordo 3?

Bagaimana cara menghitung DETERMINAN tersebut yang paling efektif dan efisien??

Matriks ADJOIN vs Matriks INVERS (#6)

(10)

Latihan #1 - Cari Matriks ADJOIN ordo 3 x 3

 Cari nilai kofaktor

• C₁₁ = (-1)¹⁺¹ (6*0 – 3*(-4)) = 12

• C₁₂ = (-1)¹⁺² (1*0 – 3*2) = 6

• C₁₃ = (-1)¹⁺³ (1*(-4) – 6*2) = -16

• C₂₁ = (-1)²⁺¹ (2*0 – (-1)*(-4)) = 4

• C₂₂ = (-1)²⁺² (3*0 – (-1)*2) = 2

• C₂₃ = (-1)²⁺³ (3*(-4)– 2*2) = 16

• C₃₁ = (-1)³⁺¹ (2*3 – (-1)*6) = 12

• C₃₂ = (-1)³⁺²(3*3 – (-1)*1) = -10

• C₃₃ = (-1)³⁺³ (3*6 – 2*1) = 16

• Matriks Kofaktor A

• Transpos matriks Kof. A adalah Adjoint A (= adj(A))

3 2 1

1 6 3

2 4 0

  

 

     

A ¹² ⁶ ¹⁶

4 2 16

12 10 16

  

 

  

 

12 4 12

( ) 6 2 10

16 16 16 Adj A

 

 

 

  

 

(11)

Matriks Bujursangkar

(12)

Definisi:

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks persegi (matriks bujur-sangkar).

Determinan matriks hanya dimiliki oleh matriks persegi.

Determinan matriks juga digunakan untuk mencari matriks INVERS (matriks balikan) atau dapat juga digunakan untuk penyelesaian SPL dengan aturan Cramer.

Bagaimanakah mencari determinan untuk matriks berordo 2, matriks berordo 3, dan bahkan matriks yang berordo lebih tinggi?

Determinan Matriks PERSEGI

(13)

Jika diketahui matriks berordo 2 berikut:

11 12

21 22

a a a b

a a c d

 

          A

Maka determinan dari matriks di atas dapat dihitung menggunakan rumus berikut:

   

 

11 12

11 22 12 21

21 22

det a b

a d b c c d

a a

a a a a

a a

 

      

 

 

      

 

det A

Determinan Matriks Berordo 2

(14)

Jika diketahui matriks berordo 3 berikut:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

 

 

  

 

 

A

Maka determinan dari matriks di atas dapat dihitung dengan:

(a).

Ekspansi Kofaktor



Minor dan Kofaktor: Ekspansi Kofaktor Pada Baris, dan



Minor dan Kofaktor: Ekspansi Kofaktor Pada Kolom

(b).

Metode Sarrus

(c).

Determinan Matriks Segitiga Atas/Bawah (Ordo sembarang)

Determinan Matriks Berordo 3

(15)

Jika diketahui matriks berordo 3 berikut:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

 

 

  

 

 

A

Maka langkah-langkah penentuan determinan dari matriks di atas dengan Minor dan Kofaktor adalah sbb:

(a).

Pertama kali, buat minor dari

a₁₁

   

22 23

11 11 11 22 33 23 32

32 33

a a det

a a a a a a

 

        

 

 

M M M

(b).

Kemudian, kofaktor dari

a₁₁

adalah

 ¹     ¹ 

11 11 22 33 2 3

1

3 1

1 ^ det 1 ^ a a a a 2

        

C M

Mencari Determinan Matriks Berordo 3 dengan Minor dan Kofaktor (#1)

(16)

langkah-langkah penentuan determinan dari matriks di atas  sbb:

(c). Kemudian, minor dan kofaktor dari

a₁₂

adalah

   

21 23

12 12 12 21 33 23 31

31 33

a a det

a a a a a a

 

        

 

 

M M M

      ³ 

12 12 21 33 23 31

2

1 1^ det 1 a a a a

        

C M

(d). Kemudian, minor dan kofaktor dari

a₁₃

adalah

   

21 22

13 13 13 21 32 22 31

31 32

a a det

a a a a a a

 

        

 

 

M M M

      ⁴ 

13 11 21 32 22 31

3

1 1^ det 1 a a a a

        

C M

(e). Secara keseluruhan, DETERMINAN adalah

 

11 11 12 12 13 13

det A  a C  a C  a C

(17)

Latihan:

Tentukanlah DETERMINAN dari matriks

1 2 3

2 5 8

4 3 2

  

 

   

 

 

A

Dengan ekspansi Ekspansi Kofaktor pada Baris!

Penyelesaian:

 

           

11 11 12 12 13 13

det

1 34 2 36 3 14

34 72 42 64

a a a

     

        

  



A C C C

(18)

Latihan:

1 2 3

2 5 8

4 3 2

  

 

   

 

 

A

Dengan ekspansi Ekspansi Kofaktor pada Kolom!

Penyelesaian:

 

           

11 11 21 21 31 31

det

1 34 2 13 4 1

34 26 4

64

a a a

     

     

  



A C C C

(19)

Jika diketahui matriks berordo 3 berikut:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

 

 

  

 

 

A

Dengan skema penentuan determinan menurut Metode Sarrus sbb:

11 12 13 11 11

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a a a

 

 

 



  – – –

Mencari Determinan Matriks Berordo 3 dengan Metode Sarrus (#1)

(20)

Maka nilai determinan menurut Metode Sarrus adalah:

       

     

11 22 33 12 23 31 13 21 32

31 22 13 32 23 11 33 21 11

det a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

         

       

A

Latihan:

Tentukan determinan dari matriks

1 2 3

2 5 8

4 3 2

  

 

   

 

 

A

menggunakan Metode Sarrus seperti di atas!

Mencari Determinan Matriks Berordo 3 dengan Metode Sarrus (#2)

(21)

Metode-metode penentuan DETERMINAN yang telah dipelajari selama ini, hanyalah dapat diterapkan untuk matriks-matriks bujursangkar (matriks persegi) berordo 2 atau (maksimum) berordo 3.



B B a a g g a a i i m m a a n n a a m m e e n n e e n n t t u u k k a a n n D D E E T T E E R R M M I I N N A A N N u u n n t t u u k k m m a a t t r r i i k k s s b b e e r r o o r r d d o o l l e e b b i i h h b b e e s s a a r r d d a a r r i i 3 3 ? ? ? ? ? ?

Mencari Determinan Matriks Berordo di atas 3 ???

(22)

11 12 1

22 2

0 0 0

m m

mm

a a a

a a

a

 

 

  

 

 

A

dan

11

21 22

1 2

0 0

0

m m mm

a

a a

a a a

 

 

  

 

 

B

IDE DASAR: Penentuan Determinan Matriks Berordo Sembarang

(23)

Mencari Determinan MBS dan Aturan Cramer

11 12 1 1

21 22 2 2

a a x b

     

      

     

11 12 1 1

21 22 2 2

a a x b

     

      

     

(24)

Ulangan - Cari Matriks ADJOIN ordo 3 x 3

 Cari elemen kofaktor

• C₁₁ = (-1)¹⁺¹ (6*0 – 3*(-4)) = 12

• C₁₂ = (-1)¹⁺² (1*0 – 3*2) = 6

• C₁₃ = (-1)¹⁺³ (1*(-4) – 6*2) = -16

• C₂₁ = (-1)²⁺¹ (2*0 – (-1)*(-4)) = 4

• C₂₂ = (-1)²⁺² (3*0 – (-1)*2) = 2

• C₂₃ = (-1)²⁺³ (3*(-4)– 2*2) = 16

• C₃₁ = (-1)³⁺¹ (2*3 – (-1)*6) = 12

• C₃₂ = (-1)³⁺²(3*3 – (-1)*1) = -10

• C₃₃ = (-1)³⁺³ (3*6 – 2*1) = 16

• Matriks Kofaktor A

• Transpos matriks Kof. A

adalah Adjoint A (= adj(A)):

3 2 1

1 6 3

2 4 0

  

 

   

A

12 6 16

4 2 16

12 10 16

  

 

  

 

12 4 12

( ) 6 2 10

16 16 16 Adj A

 

 

 

 

 

(25)

Definisi:

Determinan adalah suatu fungsi tertentu sebagai penghubung dari suatu skalar (bilangan real) dengan suatu matriks persegi (matriks bujur-sangkar).

Determinan matriks hanya dimiliki oleh matriks persegi (MBS, Matriks Bujur Sangkar). Determinan matriks juga digunakan untuk mencari matriks INVERS (matriks balikan) atau dapat juga digunakan untuk penyelesaian SPL dengan aturan Cramer.

Bagaimanakah mencari determinan untuk matriks berordo 3, matriks berordo 4, dan bahkan matriks yang berordo lebih tinggi?

Determinan Matriks PERSEGI (MBS)

(26)

Jika diberikan matriks berordo 3, sebut ²0 ³4 2⁴

1 1 5

  

 

 

  

 

A , maka langkah-

langkah mencari “Matriks Kofaktor” dari MBS di atas adalah:

 Pertama, carilah kesembilan elemen (komponen) dari matriks minor-kofaktor A dari matriks tsb:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

4 2 0 2 0 4

1 5 1 5 1 1

3 4 2 4 2 3

1 5 1 5 1 1

3 4 2 4 2 3

4 2 0 2 0 4

 

       

 

         

 

         

C C C

 Kemudian, susunlah matriks kofaktor dari matriks A di atas sbb:

18 2 4 11 14 5 10 4 8

 

 

     Matriks Kofaktor (dari Matriks) A

Ulangan Matriks Kofaktor dari suatu MBS ordo 3

(27)

langkah-langkah penentuan determinan dari matriks di atas  sbb:

(c). Kemudian, tentukan minor-kofaktor dari

a₁₂

:

   

21 23

12 12 12 21 33 23 31

31 33

a a det

a a a a a a

 

        

 

 

M M M

      ³ 

12 12 21 33 23 31

2

1 1^ det 1 a a a a

        

C M

(d). Terakhir, harga minor-kofaktor dari

a₁₃

:

   

21 22

13 13 13 21 32 22 31

31 32

a a det

a a a a a a

 

        

 

 

M M M

      ⁴ 

13 11 21 32 22 31

3

1 1^ det 1 a a a a

        

C M

(e). Secara keseluruhan, DETERMINAN adalah

 

11 11 12 12 13 13

det A  a C  a C  a C

Determinan Matriks Ordo 3 dengan Minor-Kofaktor

(Ulangan #2)

(28)

Latihan:

1 2 3

2 5 8

4 3 2

  

 

   

 

 

A

Dengan ekspansi Ekspansi Kofaktor pada Baris!

Penyelesaian:

 

           

11 11 12 12 13 13

det

1 34 2 36 3 14

34 72 42 64

a a a

     

        

  



A C C C

Determinan Matriks Ordo 3 dengan Minor-Kofaktor

(Ulangan #3)

(29)

Latihan:

1 2 3

2 5 8

4 3 2

  

 

   

 

 

A

Dengan ekspansi Ekspansi Kofaktor pada Kolom!

Penyelesaian:

 

           

11 11 21 21 31 31

det

1 34 2 13 4 1

34 26 4

64

a a a

     

     

  



A C C C

Determinan Matriks Ordo 3 dengan Minor-Kofaktor

(Ulangan #4)

(30)

Latihan:

Menngunakan Metode Sarrus, tentukanlah DETERMINAN dari matriks berikut:

1 2 3

2 5 8

4 3 2

  

 

   

 

 

A

Penyelesaian:

       

     

           

11 22 33 12 23 31 13 21 32

31 22 13 32 23 11 33 21 12

det

1 5 2 2 ( 8) 4 3 2 3 4 5 3 3 ( 8) 1 2 2 ( 2)

64

a a a a a a a a a

         

       

                     

 A

Determinan Matriks Ordo 3 dengan Metode Sarrus

(Ulangan)

(31)

Untuk matriks berordo 3 berikut:

1 2 3

2 5 8

4 3 2

  

 

   

 

 

A

Maka, langkah-langkah Metode EG (OBE) untuk mencari determinan matriks A:

(a). Baris#1 (leading): OBE dengan B2 – B1 x 2 untuk mengubah

a

₂₁

menjadi 0  didapatkan: ₉² ³₁₄

4 3 2

1 0

  

  

 

 

,

(b). Baris#1 (leading): OBE dengan B2 – B1 x 4 untuk mengubah

a

₃₁

menjadi 0  didapatkan: ₉² ³₁₄

11 10 1

0 0

  

  

 

  

 

,

Determinan Matriks Ordo 3 dengan Eliminasi Gauss (EG)

(#1)

(32)

(c). Baris#2 (leading): OBE dengan B3 - B1 x

¹¹

9

untuk

mengubah a

₃₁

menjadi 0  didapatkan

¹ ₉² ³₁₄

0 64 9 0

0

 

  

 

  

 

 

,

suatu MBS “segitiga ATAS”.

(d). Maka, DETERMINAN dari matriks A di atas adalah:

     

¹ ⁹ ⁶⁴

det  9  64

     

 

A

.

Determinan Matriks Ordo 3 dengan Eliminasi Gauss (EG)

(#2)

(33)

Untuk matriks berordo 3 berikut:

1 2 3

2 5 8

4 3 2

  

 

   

 

 

A

Maka, langkah-langkah Metode EG (OBE) untuk mencari determinan matriks A:

(a). Baris#3 (leading): OBE dengan B2 – B3 x  ^-4 untuk mengubah

a23 menjadi 0  didapatkan: _{18 17}¹ ^-2 ³₀

4 3 2

 

 

 

,

(b). Baris#3 (leading): OBE dengan B1 – B3 x ³

2 untuk mengubah a₁₃

menjadi 0  diperoleh:

-5 13 0 2

18 17 0

4 3 2

 

 

 



  ,

Determinan Matriks Ordo 3 dengan Metode Doolittle

(#1)

(34)

(c). Baris#2 (leading): OBE dengan B1 – B2 x

¹³

34

 

 

 

untuk

mengubah a

₃₁

menjadi 0  didapatkan

64 0 0 18 17 0 4 3 2

 

 

 

, suatu MBS “segitiga BAWAH”.

(d). Ternyata, DETERMINAN dari matriks A di atas adalah:

       

⁶⁴ ¹⁷ ² ²¹⁷⁶

det A      64

.

 Matriks SEGITIGA ATAS dapat digunakan untuk menghitung DETERMINAN, sedangkan Matriks SEGITIGA BAWAH tidak dapat.

Determinan Matriks Ordo 3 dengan Eliminasi Gauss (EG)

(#2)

(35)

1 5 3

2 3 4

4 3 2

 

 

 

  

  

 

A

Menggunakan metode Eliminasi Gauss!

Penyelesaian:

 

1 5 3

det 2 3 4

4 3 2



 



 12

A

Determinan Matriks Ordo 3 dengan Eliminasi Gauss (EG)

(Latihan#1)

(36)

Tentukanlah DETERMINAN dari matriks-matriks

1 2 3 4

4 2 1 0

1 3 1 1

3 1 2 1

 

 

 

    

 

 

A

;

5 1 1 5

3 2 1 0

1 3 1 1

8 2 0 1

 

 

 

  

  

 

 

  

 

B

;

5 1 1 3

3 2 1 0

1 3 1 1

8 2 0 1

 

 

 

  

  

 

 

  

 

C

Menggunakan metode Eliminasi Gauss!

Penyelesaian:

     

det A  ? ; det B  ? ; det C  ? ;

Determinan Matriks Ordo 4 dengan Eliminasi Gauss (EG)

(Latihan#2)

(37)

1 2 3 4

4 2 1 0

1 3 1 1

3 1 2 1

 

 

 

  

 

 

 

A

Menggunakan MS-Excel!

Penyelesaian:

1 -2 3 -4

4 2 1 0

1 -3 1 -1

3 1 2 1

Det (A) = -88

Determinan Matriks Ordo 4 dengan MS-Excel

(#1)

(38)

1 2 3 0 2

1 3 2 2 5

2 1 1 0 1

3 2 1 3 3

5 6 7 9 2

 

 

  

 

   

  

 

 

A

Menggunakan MS-Excel!

Penyelesaian:

-1 2 3 0 2

1 3 2 -2 5

2 1 -1 0 1

3 2 1 -3 3

5 6 7 9 2

220 Det (A) =

Determinan Matriks Ordo 5 dengan MS-Excel

(#2)

(39)

Untuk Solusi Persamaan Linier

(40)

Definisi:

Jika diketahui suatu Sistem Persamaan Linier (SPL) dengan 2 persamaan, sebagai berikut:

11 12 1 1

21 22 2 2

a a x b

     

 

     

     

Maka, solusi SPL di atas dengan aturan Cramer adalah sbb:

1 12

2 22

1

11 12

21 22

det

det b a

b a

x a a

a a

 

 

 

  

 

 

dan ¹¹ ¹

21 2

1

11 12

21 22

det

a b

x a a

a a

 

 

 

  

 

 

Aturan CRAMER untuk Solusi SPL

(41)

Definisi:

Jika diketahui suatu Sistem Persamaan Linier (SPL) dengan 3 persamaan, sebagai berikut:

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 31 33 3 3

a a a x b

     

       

     

     

Maka, solusi SPL di atas dengan aturan Cramer adalah sbb:

1 2 3

0 0 0

; ;

x  x  x 

  

  

Aturan CRAMER untuk Solusi SPL

(42)

Dari solusi SPL di atas melalui aturan Cramer berikut:

1 2 3

0 0 0

; ;

x  x  x 

  

  

dengan

11 12 13 1 12 13

0 21 22 23 1 2 22 23

31 31 33 3 31 33

11 1 13 11 12 1

2 21 2 23 3 21 22 2

31 3 33 31 31 3

det ; det

a a a x a a

a x a a a x

   

   

       

   

   

   

   

       

   

   