Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9

Aljabar Linier Elementer

Kuliah ke-9

Materi kuliah

• Hasilkali Titik

• Proyeksi Ortogonal

Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor

7/9/2014 3

Definisi

Jika 𝒖 dan 𝒗 adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3 dan 𝜃 adalah sudut antara 𝒖 dan 𝒗, maka hasilkali titik (dot product) atau hasilkali dalam Euclidean 𝒖. 𝒗 didefinisikan sebagai berikut:

𝒖. 𝒗 = 𝒖 𝒗 cos 𝜃 jika 𝒖 ≠ 𝟎 dan 𝒗 ≠ 𝟎

𝟎 jika 𝒖 = 𝟎 dan 𝒗 = 𝟎

Catatan:

𝜃 sudut antara 𝒖 dan 𝒗 dengan 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋

Yanita, FMIPA Matematika Unand

Contoh

Tentukan 𝒖. 𝒗 dengan 𝒖 = (0, 0, 1), 𝒗 = (0, 2, 2) dan 𝜃 = 45°, seperti pada gambar di bawah ini:

Penyelesaian:

𝒖. 𝒗 = 𝒖 𝒗 cos 𝜃

= 0² + 0² + 2² 0² + 2² + 2² cos 45

Bentuk Komponen dari Hasilkali Titik

7/9/2014 5

Misalkan 𝒖 = 𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃ dan 𝒗 = 𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃ adalah vektor-vektor tak nol.

Ingat kembali aturan cosinus pada segitiga:

𝑐² = 𝑎² + 𝑏² − 2𝑎𝑏 cos 𝜃

Rumus ini akan digunakan untuk menentukan hasilkali titik dalam bentuk komponen-komponen dari vektor tersebut.

Yanita, FMIPA Matematika Unand

Perhatikan gambar berikut ini:

Dengan menggunakan rumus cosinus pada segitiga, maka:

𝑃𝑄 ² = 𝒖 ² + 𝒗 ² − 2 𝒖 𝒗 cos 𝜃 (1)

7/9/2014 7

Oleh karena 𝑃𝑄 = 𝒗 − 𝒖 , maka persamaan 1 menjadi:

𝒗 − 𝒖

²

= 𝒖

²

+ 𝒗

²

− 2 𝒖 𝒗 cos 𝜃 Atau

𝒖 𝒗 cos 𝜃 = 1

2 𝒖

²

+ 𝒗

²

− 𝒗 − 𝒖

²

Atau

𝒖. 𝒗 =

¹

2

𝒖

²

+ 𝒗

²

− 𝒗 − 𝒖

²

(2)

Yanita, FMIPA Matematika Unand

Perhatikan bahwa:

𝒖

²

= 𝑢

₁²

+ 𝑢

₂²

+𝑢

₃²

, 𝒗

²

= 𝑣

₁²

+ 𝑣

₂²

+ 𝑣

₃²

dan 𝒗 − 𝒖

²

= (𝑣

₁

− 𝑢

₁

)

²

+(𝑣

₂

− 𝑢

₂

)

²

+(𝑣

₃

− 𝑢

₃

)

²

Substitusi nilai ini pada persamaan (2), diperoleh

𝒖. 𝒗 = 1 2

𝑢

₁²

+ 𝑢

₂²

+𝑢

₃²

+ 𝑣

₁²

+ 𝑣

₂²

+ 𝑣

₃²

−( 𝑣

₁

− 𝑢

₁ ²

+ 𝑣

₂

− 𝑢

₂ ²

+ 𝑣

₃

− 𝑢

₃ ²

)

= 𝑢

₁

𝑣

₁

+ 𝑢

₂

𝑣

₂

+ 𝑢

₃

𝑣

₃

7/9/2014 9

Jadi untuk hasilkali titik pada ruang berdimensi 3 dengan menggunakan komponen adalah:

𝒖. 𝒗 = 𝑢

₁

𝑣

₁

+ 𝑢

₂

𝑣

₂

+ 𝑢

₃

𝑣

₃

Dan hasilkali titik pada ruang berdimensi 2 dengan menggunakan komponen adalah:

𝒖. 𝒗 = 𝑢

₁

𝑣

₁

+ 𝑢

₂

𝑣

₂

Yanita, FMIPA Matematika Unand

Menentukan Sudut Antara Dua Vektor

Jika 𝒖 dan 𝒗 adalah vektor-vektor tak nol, maka sudut antara 𝒖 dan 𝒗 dapat ditentukan dengan menggunakan rumus

𝒖. 𝒗 = 𝒖 𝒗 cos 𝜃 yaitu:

cos 𝜃 = 𝒖. 𝒗

𝒖 𝒗

Contoh

7/9/2014 11

Tentukan 𝒖. 𝒗 dan sudut 𝜃 antara 𝒖 dan 𝒗, dengan 𝒖 = (1, −5,4) dan 𝒗 = (3,3,3).

Penyelesaian:

• 𝒖. 𝒗 = 𝑢₁𝑣₁ + 𝑢₂𝑣₂ + 𝑢₃𝑣₃

= 1 3 + −5 3 + 4 3

= 0

• cos 𝜃 = ^𝒖.𝒗

𝒖 𝒗

= 0

= 0𝒖 𝒗

Jadi sudut antara 𝒖 dan 𝒗 adalah 90°

Yanita, FMIPA Matematika Unand

Teorema 3.3.1

Misalkan 𝒖 dan 𝒗 adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3.

a.

𝒗. 𝒗 = 𝒗 ², yaitu 𝒗 = 𝒗. 𝒗

1 2

b. Jika vektor-vektor 𝒖 dan 𝒗 adalah tak nol dan 𝜃 adalah sudut di antaranya, maka

1.

𝜃 adalah lancip jika dan hanya jika 𝒖. 𝒗 > 𝟎

2.

𝜃 adalah tumpul jika dan hanya jika 𝒖. 𝒗 < 𝟎

3.

𝜃 = ^𝜋

2 jika dan hanya jika 𝒖. 𝒗 = 𝟎

Bukti Teorema 3.3.1

a. Perhatikan bahwa 𝒗. 𝒗 bermakna bahwa sudut antara 𝒗 dengan 𝒗 adalah 0, jadi

𝒗. 𝒗 = 𝒗 𝒗 cos 0 = 𝒗

²

atau 𝒗 = (𝒗. 𝒗)

1 2

b. Karena 𝜃 memenuhi 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, maka 𝜃 adalah lancip jika dan hanya jika cos 𝜃 > 0; 𝜃 adalah tumpul jika dan hanya jika cos 𝜃 < 0; dan 𝜃 =

^𝜋₂

jika dan hanya jika cos 𝜃 = 0. Kemudian perhatikan bahwa cos 𝜃 memiliki tanda yang sama dengan 𝒖. 𝒗, karena 𝒖. 𝒗 = 𝒖 𝒗 cos 𝜃, 𝒖 > 0 dan 𝒗 > 0.

Jadi 𝜃 adalah lancip jika dan hanya jika 𝒖. 𝒗 > 0; 𝜃 adalah tumpul jika dan hanya jika 𝒖. 𝒗 < 0; dan 𝜃 =

^𝜋₂

jika dan hanya jika 𝒖. 𝒗 = 0.

7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 13

Contoh

Tentukan apakah 𝒖 dan 𝒗 membentuk sudut lancip, tumpul atau saling tegak lurus, dengan

a. 𝒖 = (6,1,4) dan 𝒗 = (2,0,3) b. 𝒖 = (−6,0,4) dan 𝒗 = (3,1,6) c. 𝒖 = (0,0, −1) dan 𝒗 = 1,1,1 d. 𝒖 = (2,4, −8) dan 𝒗 = 5,3,7

Penyelesaian:

a. 𝒖. 𝒗 = 𝑢₁𝑣₁ + 𝑢₂𝑣₂ + 𝑢₃𝑣₃ = 6 2 + 1 0 + 4 3 = 24 b. 𝒖. 𝒗 = 𝑢₁𝑣₁ + 𝑢₂𝑣₂ + 𝑢₃𝑣₃ = −6 3 + 0 1 + 4 6 = 6 c. 𝒖. 𝒗 = 𝑢₁𝑣₁ + 𝑢₂𝑣₂ + 𝑢₃𝑣₃ = 0 1 + 0 1 + −1 1 = −1 d. 𝒖. 𝒗 = 𝑢₁𝑣₁ + 𝑢₂𝑣₂ + 𝑢₃𝑣₃ = 2 5 + 4 3 + −8 7 = −34

Sifat-sifat Hasilkali Titik

7/9/2014 15

Teorema 3.3.2

Jika 𝒖, 𝒗 dan 𝒘 adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau berdimensi 3, dan 𝑘 adalah skalar, maka:

a. 𝒖. 𝒗 = 𝒗. 𝒖

b. 𝒖. 𝒗 + 𝒘 = 𝒖. 𝒗 + 𝒖. 𝒘 c. 𝑘 𝒖. 𝒗 = 𝑘𝒖 . 𝒗 = 𝒖. 𝑘𝒗

d. 𝒗. 𝒗 > 0 jika 𝒗 ≠ 0 dan 𝒗. 𝒗 = 0 jika 𝒗 = 0

Yanita, FMIPA Matematika Unand

Bukti Teorema 3.3.2 (dibuktikan untuk vector pada ruang berdimensi 3 ; untuk vector pada ruang berdimensi 2 dibuktikan secara analog)

a. 𝒖. 𝒗 = 𝑢₁𝑣₁ + 𝑢₂𝑣₂ + 𝑢₃𝑣₃ = 𝑣₁𝑢₁ + 𝑣₂𝑢₂ + 𝑣₃𝑢₃ = 𝒗. 𝒖 (analog untuk di ruang berdimensi 2)

b. 𝒖. 𝒗 + 𝒘 = 𝑢₁(𝑣₁+𝑤₁) + 𝑢₂(𝑣₂+𝑤₂) + 𝑢₃(𝑣₃+𝑤₃)

= 𝑢₁𝑣₁ + 𝑢₁𝑤₁ + 𝑢₂𝑣₂ + 𝑢₂𝑤₂ + 𝑢₃𝑣₃ + 𝑢₃𝑤₃

= 𝑢₁𝑣₁ + 𝑢₂𝑣₂ + 𝑢₃𝑣₃ + 𝑢₁𝑤₁ + 𝑢₂𝑤₂ + 𝑢₃𝑤₃

= 𝒖. 𝒗 + 𝒖. 𝒘

c. 𝑘 𝒖. 𝒗 = 𝑘 𝑢₁𝑣₁ + 𝑢₂𝑣₂ + 𝑢₃𝑣₃

= 𝑘 𝑢₁𝑣₁ + 𝑘 𝑢₂𝑣₂ + 𝑘 𝑢₃𝑣₃

= 𝑘𝑢₁ 𝑣₁ + 𝑘𝑢₂ 𝑣₂ + (𝑘𝑢₃)𝑣₃

= 𝑘𝒖 . 𝒗

d. Jika 𝒗 ≠ 0, maka 𝒗. 𝒗 = 𝑢₁𝑢₁ + 𝑢₂𝑢₂ + 𝑢₃𝑢₃ = 𝑢₁² + 𝑢₂² + 𝑢₃² > 0

𝑢 + 𝑢 𝑢 + 𝑢 𝑢 = 0, karena 𝑢 ² = 0, 𝑢 ² = 0

Vektor-Vektor Ortogonal

11/11/2014 17

• Vektor-vektor ortogonal adalah vektor-vektor yang saling tegak lurus.

• Berdasarkan Teorema 3.3.1 b., dua vektor saling tegak lurus jika dan hanya jika 𝒖. 𝒗 = 𝟎 .

• Jika 𝒖 dan 𝒗 saling tegak lurus, maka

disimbolkan 𝒖 ⊥ 𝒗 .

Proyeksi Ortogonal

Sebarang vektor 𝒖 merupakan penjumlahan dua buah vektor, misal 𝒖 = 𝒘₁ + 𝒘₂, dimana 𝒘₁ sejajar dengan dengan vektor tak nol tertentu 𝒂 dan 𝒘₂ ⊥ 𝒂.

Perhatikan gambar berikut:

Vektor 𝒘₁ disebut proyeksi ortogonal 𝒖 pada 𝒂 (komponen vektor 𝑢 sepanjang 𝒂), disimbokan dengan proj_𝒂 𝒖

Proyeksi Ortogonal

11/11/2014 19

Teorema 3.3.3

Jika 𝒖 dan 𝒂 adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3 dan jika 𝒂 ≠ 𝟎, maka:

Komponen vektor 𝒖 sepanjang 𝒂:

proj

_𝒂

𝒖 = 𝒖. 𝒂 𝒂

²

𝒂

Komponen vektor 𝒖 yang ortogonal terhadap 𝒂:

𝒖 − proj

_𝒂

𝒖 = 𝒖 − 𝒖. 𝒂

𝒂

²

𝒂

Bukti Teorema 3.3.2

Perhatikan gambar berikut:

𝒖 = 𝒘

₁

+ 𝒘

₂

(1)

Misalkan 𝒘

₁

= proj

_𝒂

𝒖 dan 𝒘

₂

= 𝒖 − proj

_𝒂

𝒖.

Karena 𝒘

₁

sejajar dengan 𝒂, maka pastilah 𝒘

₁

kelipatan skalar

11/11/2014 21

Jadi persamaan (1) menjadi:

𝒖 = 𝒘

₁

+ 𝒘

₂

= 𝑘𝒂 + 𝒘

₂

(2)

Lakukan perkalian titik dengan 𝒂 pada kedua ruas persamaan (2), yaitu:

𝒖. 𝒂 = 𝑘𝒂 + 𝒘

₂

. 𝒂

= 𝑘𝒂 . 𝒂 + 𝒘

₂

. 𝒂

= 𝑘 𝒂. 𝒂 + 𝒘

₂

. 𝒂

= 𝑘 𝒂

²

+ 0, karena 𝒂. 𝒂 = 𝒂

²

dan 𝒘

₂

⊥ 𝒂 Jadi

𝑘 =

^𝒖.𝒂

𝒂 ²

Oleh karena 𝒘

₁

= proj

_𝒂

𝒖 = 𝑘𝒂, maka proj

_𝒂

𝒖 = 𝑘𝒂 = 𝒖. 𝒂

𝒂

²

𝒂 dan

𝒘

₂

= 𝒖 − proj

_𝒂

𝒖 = 𝒖 − 𝒖. 𝒂

𝒂

²

𝒂

Contoh

11/11/2014 23

Tentukan proyeksi ortogonal 𝒖 terhadap 𝒂 dan tentukan komponen vektor 𝒖 yang ortogonal terhadap 𝒂, dengan:

a. 𝒖 = 3, 1, −7 dan 𝒂 = (1, 0, 5) b. 𝒖 = 1, 0, 0 dan 𝒂 = (4, 3, 8) Penyelesaian:

Proyeksi ortogonal 𝒖 terhadap 𝒂 adalah:

proj

_𝒂

𝒖 = 𝒖. 𝒂

𝒂

²

𝒂

Jadi yang perlu dicari 𝒖. 𝒂 dan 𝒂

²

a. 𝒖 = 3, 1, −7 dan 𝒂 = (1, 0, 5) 𝒖. 𝒂 = 3, 1, −7 . (1, 0, 5)

= 3 1 + 1 0 + −7 5

= −32

𝒂 ² = 1² + 0² + 5² = 26

Proyeksi ortogonal 𝒖 terhadap 𝒂:

proj_𝒂 𝒖 = 𝒖. 𝒂

𝒂 ² 𝒂 = −32

26 1, 0, 5 = − 16

13 , 0, − 80 13 Komponen vektor 𝒖 yang ortogonal terhadap 𝒂:

𝑢 − proj_𝒂 𝒖 = 𝒖 − 𝒖. 𝒂

𝒂 ² 𝒂 = 3, 1, −7 − − 16

13 , 0, − 80 13

11/11/2014 25

b. 𝒖 = 1, 0, 0 dan 𝒂 = (4, 3, 8) 𝒖. 𝒂 = 1, 0, 0 . (4, 3, 8)

= 1 4 + 0 3 + 0 8 𝒂 ²= 4= 4² + 3² + 8² = 89

Proyeksi ortogonal 𝒖 terhadap 𝒂:

proj_𝒂 𝒖 = 𝒖. 𝒂

𝒂 ² 𝒂 = 4

89 (4, 3, 8) = 16

89 , 12

89 , 32 89 Komponen vektor 𝒖 yang ortogonal terhadap 𝒂:

𝑢 − proj_𝒂 𝒖 = 𝒖 − 𝒖. 𝒂

𝒂 ² 𝒂 = 1, 0, 0 − 16

89 , 12

89 , 32 89

= − 15

89 , − 12

89 , − 32 89

Panjang dari komponen vektor 𝒖 sepanjang 𝒂

Ingat bahwa panjang dari vektor 𝒂 adalah 𝒂 . Jika 𝒂 pada ruang berdimensi 2, maka

𝒂 = 𝑎

₁²

+ 𝑎

₂²

Jika 𝒂 pada ruang berdimensi 3, maka

𝒂 = 𝑎

₁²

+ 𝑎

₂²

+ 𝑎

₃²

Jadi panjang dari komponen vektor 𝒖 sepanjang 𝒂 adalah:

proj

_𝒂

𝒖 = 𝒖. 𝒂

𝒂

²

𝒂 = 𝒖. 𝒂

𝒂

²

𝒂 = 𝒖. 𝒂

𝒂

²

𝒂

11/11/2014 27

proj

_𝒂

𝒖 = 𝒖. 𝒂

𝒂

²

𝒂 Ingat kembali:

𝒖. 𝒗 = 𝒖 𝒗 cos 𝜃 Berarti 𝒖. 𝒂 = 𝒖 𝒂 cos 𝜃

sehingga

proj

_𝒂

𝒖 = 𝒖 𝒂 cos 𝜃

𝒂

²

𝒂

= 𝒖 cos 𝜃

Rumus antara jarak titik dan garis

Misalkan kita ingin mencari jarak antara titik 𝑃

₀

(𝑥

₀

, 𝑦

₀

) dan

garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐.

11/11/2014 29

Untuk maka proj_𝒂 𝒖 = ^𝒖.𝒂

𝒂 ² 𝒂 Maka untuk proj_𝒏 𝑄𝑃₀ = ^{𝑄𝑃0.𝒏}

𝒏 ² 𝒏

= ^{𝑄𝑃0.𝒏}

𝒏

𝑄𝑃₀ = (𝑥₀ − 𝑥₁, 𝑦₀ − 𝑦₁) 𝑄𝑃₀. 𝒏 = 𝑎 𝑥₀ − 𝑥₁ + 𝑏(𝑦₀ − 𝑦₁)

𝒏 = 𝑎² + 𝑏² Jadi 𝐷 = ^{𝑄𝑃0.𝒏}

𝒏 = ^{𝑎 𝑥0−𝑥1 +𝑏(𝑦0−𝑦1))}

𝑎²+𝑏²

Karena titik 𝑄(𝑥

₁

, 𝑦

₁

) terletak pada garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐, maka titik ini memenuhi persamaan garis ini, sehingga:

𝑎𝑥

₁

+ 𝑏𝑦

₁

+ 𝑐 = 0 atau 𝑐 = −𝑎𝑥

₁

− 𝑏𝑦

₁

Subtitusi nilai ini ke 𝐷, diperoleh

𝐷 = 𝑎 𝑥

₀

− 𝑥

₁

+ 𝑏(𝑦

₀

− 𝑦

₁

) 𝑎

²

+ 𝑏

²

= 𝑎𝑥

₀

+ 𝑏𝑦

₀

+ 𝑐

𝑎

²

+ 𝑏

²

Contoh

11/11/2014 31

Tentukan jarak antara

a. Titik (−3,1) dengan garis 4𝑥 + 3𝑦 + 4 = 0 b. Titik (2, −5) dengan garis 𝑦 = −4𝑥 + 2

c. Titik (1,8) dengan garis 3𝑥 + 𝑦 = 5 Penyelesaian :

a. 𝐷 =

^{𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐}

𝑎²+𝑏²

=

4 −3 + 3 1 +4 4²+3²

= 3 4

5

Penyelesaian:

b. 𝐷 =

^{𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐}

𝑎²+𝑏²

=

4 2 + 1 −5 +(−2)

4²+1²

=

¹

17

c. 𝐷 =

^{𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐}

𝑎²+𝑏²

=

3 1 + 1 8 +(−5)

3²+1²

=

⁶

10