Latihan soal
1. Jika
|
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖
| = −6
Tentukan
|
−3𝑎 −3𝑏 −3𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 − 4𝑑 ℎ − 4𝑒 𝑖 − 4𝑓
|
Penyelesaian.
|
−3𝑎 −3𝑏 −3𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 − 4𝑑 ℎ − 4𝑒 𝑖 − 4𝑓
|
Suatu faktor bersama yaitu −3 dari baris pertama dikeluarkan melewati tanda determinan
= −3 |
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 − 4𝑑 ℎ − 4𝑒 𝑖 − 4𝑓
|
4 kali baris kedua ditambahkan ke baris ketiga
= −3 |
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖
|
sehingga
= (−3)(−6)
= 18
2. Misalkan
𝐴 = [
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 ]
Dengan mengasumsikan bahwa 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = −7, tentukan a. det(3𝐴)
b. det(𝐴−1) c. det(2𝐴−1) Penyelesaian.
det(𝑘𝐴) = 𝑘𝑛det(𝐴) 𝑑𝑒𝑡(𝐴−1) = 1
det(𝐴)
Karena matriks 𝐴 berukuran 3 × 3 maka 𝑛 = 3 sedemikian sehingga a.
𝑑𝑒𝑡(3𝐴) = 33𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 27(−7) = −189 b.
𝑑𝑒𝑡(𝐴−1) = 1
det(𝐴)= 1
−7= −1 7 c.
𝑑𝑒𝑡(2𝐴−1) = 23𝑑𝑒𝑡(𝐴−1) = 8
det(𝐴)= 8
−7= −8 7
3. Dengan menggunakan aturan minor kofaktor, tentukan 𝐴−1 jika diketahui 𝐴 = [
2 −3 5
0 1 −3
0 0 2
]
Penyelesaian.
Kofaktor-kofaktor dari 𝐴 adalah
𝐶11= (−1)1+1|1 −3
0 2 | = (−1)2(2 − 0) = 2 𝐶21= (−1)2+1|−3 5
0 2| = (−1)3(−6 − 0) = 6 dan seterusnya sehingga diperoleh
𝐶11= 2 𝐶12= 0 𝐶13= 0 𝐶21= 6 𝐶22= 4 𝐶23= 0 𝐶31= 4 𝐶32= 6 𝐶33= 2 Jadi matriks kofaktor-kofaktor adalah
[
2 0 0 6 4 0 4 6 2 ]
dan adjoin dari 𝐴 adalah
𝑎𝑑𝑗(𝐴) = [
2 6 4 0 4 6 0 0 2 ]
Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama maka det(𝐴) = 𝑎11𝐶11+ 𝑎12𝐶12+𝑎13𝐶13
= 2(2) + (−3)(0) + 5(0)
= 4 + 0 + 0
= 4
sehingga
𝐴−1= 1
det(𝐴)𝑎𝑑𝑗(𝐴)
=1 4[
2 6 4 0 4 6 0 0 2 ]
=
[ 1 2
3 2 1 0 1 3 2 0 0 1 2]
4. Selesaikan persamaan-persamaan berikut dengan menggunakan aturan Cramer.
−𝑥1− 4𝑥2+ 2𝑥3+ 𝑥4= −32 2𝑥1− 𝑥2+ 7𝑥3+ 9𝑥4 = 14
−𝑥1+ 𝑥2+ 3𝑥3+ 𝑥4= 11 𝑥1− 2𝑥2+ 𝑥3− 4𝑥4 = −4 Penyelesaian.
Sistem persamaan tersebut bisa diubah menjadi bentuk
[
−1
−12 1
−4
−11
−2 2 73 1
1 91
−4 ] [
𝑥1 𝑥2
𝑥3 𝑥4
] = [
−32 1411
−4 ]
Diperoleh matriks koefisien
𝐴 = [
−1 2
−1 1
−4
−1 1
−2 2 7 3 1
1 9 1
−4 ]
det(𝐴) = (−1) |
−1 7 9
1 3 1
−2 1 −4
| − (−4) |
2 7 9
−1 3 1 1 1 −4
| + 2 |
2 −1 9
−1 1 1
1 −2 −4
| − 1 |
2 −1 7
−1 1 3
1 −2 1
|
= (−1)(90) + 4(−83) + 2(8) − 1(17)
= −90 − 332 + 16 − 17
= −423 dan diperoleh matriks-matriks
𝐴1= [
−32 1411
−4
−4
−11
−2 2 73 1
1 91
−4 ]
det(𝐴1) = (−32) |
−1 7 9
1 3 1
−2 1 −4
| − (−4) |
14 7 9 11 3 1
−4 1 −4
| + 2 |
14 −1 9
11 1 1
−4 −2 −4
| − 1 |
14 −1 7 11 1 3
−4 −2 1
|
= (−32)(90) − (−4)(305) + 2(−230) − 1(−5)
= −2880 + 1220 − 460 + 5
= −2115
𝐴2= [
−1
−12 1
−32 1411
−4 2 73 1
1 91
−4 ]
det(𝐴2) = (−1) |
14 7 9 11 3 1
−4 1 −4
| − (−32) |
2 7 9
−1 3 1 1 1 −4
| + 2 |
2 14 9
−1 11 1 1 −4 −4
| − 1 |
2 14 7
−1 11 3 1 −4 1
|
= (−1)(305) + 32(−83) + 2(−185) − 1(53)
= −305 − 2656 − 370 − 53
= −3384
𝐴3 = [
−1
−12 1
−4
−1 1
−2
−32 1411
−4 1 9 1
−4 ]
det(𝐴3) = (−1) |
−1 14 9
1 11 1
−2 −4 −4
| − (−4) |
2 14 9
−1 11 1 1 −4 −4
| + (−32) |
2 −1 9
−1 1 1
1 −2 −4
| − 1 |
2 −1 14
−1 1 11
1 −2 −4
|
= (−1)(230) + 4(−185) + (−32)(8) − 1(43)
= −230 − 740 − 256 − 43
= −1269
𝐴4= [
−1 2
−1 1
−4
−1 1
−2 2 7 3 1
−32 14 11
−4 ]
det(𝐴4) = (−1) |
−1 7 14 1 3 11
−2 1 −4
| − (−4) |
2 7 14
−1 3 11 1 1 −4
| + 2 |
2 −1 14
−1 1 11
1 −2 −4
| − (−32) |
2 −1 7
−1 1 3
1 −2 1
|
= (−1)(−5) + 4(−53) + 2(43) + 32(17)
= 5 − 212 + 86 + 544
= 423
Dengan menggunakan aturan Cramer maka diperoleh 𝑥1 =det(𝐴1)
det(𝐴) =−2115
−423 = 5 𝑥2 =det(𝐴2)
det(𝐴) =−3384
−423 = 8 𝑥3 =det(𝐴3)
det(𝐴) =−1269
−423 = 3 𝑥4=det(𝐴4)
det(𝐴) = 423
−423 = −1 Jadi solusinya adalah {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4} = {5,8,3, −1}.
5. Pada suatu segitiga diketahui sistem persamaan trigonometri berikut.
𝑏 cos 𝛾 + 𝑐 cos 𝛽 = 𝑎 𝑐 cos 𝛼 + 𝑎 cos 𝛾 = 𝑏 𝑎 cos 𝛽 + 𝑏 cos 𝛼 = 𝑐 a. Gunakan aturan Cramer untuk menunjukkan bahwa
cos 𝛼 =𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2 2𝑏𝑐
b. Kemudian gunakan aturan Cramer untuk mendapatkan rumus yang serupa untuk cos 𝛽 dan cos 𝛾 Penyelesaian.
a. Sistem persamaan tersebut dapat dibentuk menjadi [
0 𝑐 𝑏 𝑐 0 𝑎 𝑏 𝑎 0
] [ cos 𝛼 cos 𝛽 cos 𝛾] = [
𝑎 𝑏 𝑐 ]
Diperoleh matriks koefisien
𝐴 = [
0 𝑐 𝑏 𝑐 0 𝑎 𝑏 𝑎 0 ]
det(𝐴) = 0 |0 𝑎
𝑎 0| − 𝑐 |𝑐 𝑎
𝑏 0| + 𝑏 |𝑐 0 𝑏 𝑎|
= 0(0 − 𝑎2) − 𝑐(0 − 𝑎𝑏) + 𝑏(𝑎𝑐 − 0)
= 0 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐
= 2𝑎𝑏𝑐 dan diperoleh matriks
𝐴1= [
𝑎 𝑐 𝑏 𝑏 0 𝑎 𝑐 𝑎 0 ]
det(𝐴1) = 𝑎 |0 𝑎
𝑎 0| − 𝑐 |𝑏 𝑎
𝑐 0| + 𝑏 |𝑏 0 𝑐 𝑎|
= 𝑎(0 − 𝑎2) − 𝑐(0 − 𝑎𝑐) + 𝑏(𝑎𝑏 − 0)
= −𝑎3+ 𝑎𝑐2+ 𝑎𝑏2 sehingga dengan menggunakan aturan Cramer diperoleh
cos 𝛼 =det(𝐴1)
det(𝐴) =−𝑎3+ 𝑎𝑐2+ 𝑎𝑏2
2𝑎𝑏𝑐 =𝑎(−𝑎2+ 𝑐2+ 𝑏2)
2𝑎𝑏𝑐 =𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2 2𝑏𝑐
b. Diperoleh matriks-matriks
𝐴2= [
0 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 0 ]
det(𝐴2) = 0 |𝑏 𝑎
𝑐 0| − 𝑎 |𝑐 𝑎
𝑏 0| + 𝑏 |𝑐 𝑏 𝑏 𝑐|
= 0(0 − 𝑎𝑐) − 𝑎(0 − 𝑎𝑏) + 𝑏(𝑐2− 𝑏2)
= 0 + 𝑎2𝑏 + 𝑏𝑐2− 𝑏3
= 𝑎2𝑏 + 𝑏𝑐2− 𝑏3
𝐴3= [
0 𝑐 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑏 𝑎 𝑐 ]
det(𝐴3) = 0 |0 𝑏
𝑎 𝑐| − 𝑐 |𝑐 𝑏
𝑏 𝑐| + 𝑎 |𝑐 0 𝑏 𝑎|
= 0(0 − 𝑎𝑏) − 𝑐(𝑐2− 𝑏2) + 𝑎(𝑎𝑐 − 0)
= 0 − 𝑐3+ 𝑐𝑏2+ 𝑎2𝑐
= −𝑐3+ 𝑐𝑏2+ 𝑎2𝑐
sehingga dengan menggunakan aturan Cramer diperoleh cos 𝛽 =det(𝐴2)
det(𝐴) =𝑎2𝑏 + 𝑏𝑐2− 𝑏3
2𝑎𝑏𝑐 =𝑏(𝑎2+ 𝑐2− 𝑏2)
2𝑎𝑏𝑐 =𝑎2+ 𝑐2− 𝑏2 2𝑎𝑐 cos 𝛾 =det(𝐴3)
det(𝐴) =−𝑐3+ 𝑐𝑏2+ 𝑎2𝑐
2𝑎𝑏𝑐 =𝑐(−𝑐2+ 𝑏2+ 𝑎2)
2𝑎𝑏𝑐 =𝑎2+ 𝑏2− 𝑐2 2𝑎𝑏
