Contoh soal
1. Selesaikan 𝑥, 𝑦, 𝑑𝑎𝑛 𝑧.
𝑥𝑦 − 2√𝑦 + 3𝑧𝑦 = 8 2𝑥𝑦 − 3√𝑦 + 2𝑧𝑦 = 7
−𝑥𝑦 + √𝑦 + 2𝑧𝑦 = 4 Jawab.
Sistem persamaan tersebut dapat diubah menjadi
[
1 −2 3 2 −3 2
−1 1 2
] [ 𝑥𝑦
√𝑦 𝑧𝑦
] = [ 8 7 4 ]
Dengan menggunakan operasi baris elementer maka
(
1 −2 3 2 −3 2
−1 1 2
| 8 7 4
)
Diperoleh
𝑅1 ↔ 𝑅2 ~ (
2 −3 2 1 −2 3
−1 1 2
| 7 8 4
)
𝑅2 ← 𝑅2 −1 2𝑅1~ (
2 −3 2 0 −1
2 2
−1 1 2
| 7 9 24
)
𝑅3 ← 𝑅3 +1 2𝑅1~
(
2 −3 2 0 −1
2 2 0 −1
2 3
||
7 9 152
2 )
𝑅3 ← 𝑅3 − 1. 𝑅2~ (
2 −3 2 0 −1
2 2
0 0 1
| 7 9 23
)
𝑅2 ← 𝑅2 − 2. 𝑅3~ (
2 −3 2 0 −1
2 0
0 0 1
| 7
−3 32
)
𝑅1 ← 𝑅1 − 2. 𝑅3~ (
2 −3 0 0 −1
2 0
0 0 1
| 1
−3 32
)
𝑅2 ← −2. 𝑅2~ (
2 −3 0
0 1 0
0 0 1
| 1 3 3
)
𝑅1 ← 𝑅1 + 3. 𝑅2~ (
2 0 0 0 1 0 0 0 1
| 10
3 3
)
𝑅1 ←1 2𝑅1~ (
1 0 0 0 1 0 0 0 1
| 5 3 3
)
Karena sudah terbentuk matriks eselon baris tereduksi maka diperoleh
√𝑦 = 3 → 𝑦 = 9 𝑥𝑦 = 5 → 𝑥 =5
𝑦=5 9 𝑧𝑦 = 3 → 𝑧 =3
𝑦=3 9=1
3 Jadi {𝑥, 𝑦, 𝑧} = {5
9, 9,1
3 }
2. Untuk nilai 𝑎 berapakah sistem berikut ini tidak memiliki solusi? Tepat hanya satu solusi? Tak terhingga banyaknya solusi?
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 4 3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 2 4𝑥 + 𝑦 + (𝑎2− 14)𝑧 = 𝑎 + 2 Jawab.
Sistem persamaan tersebut dapat diubah menjadi
[
1 2 −3
3 −1 5
4 1 𝑎2− 14 ] [
𝑥 𝑦 𝑧
] = [ 4 2 𝑎 + 2
]
Dengan menggunakan operasi baris elementer maka
(
1 2 −3
3 −1 5
4 1 𝑎2− 14
| 4 2 𝑎 + 2
)
Diperoleh
𝑅1 ↔ 𝑅3 ~ (4 1 𝑎2− 14
3 −1 5
1 2 −3
| 𝑎 + 2
2 4
)
𝑅2 ← 𝑅2 −3 4𝑅1~ (
4 1 𝑎2− 14 0 −7
4
−3𝑎2+ 62
1 2 −34
| 𝑎 + 2
−3𝑎 + 2 44
)
𝑅3 ← 𝑅3 −1 4𝑅1~
(
4 1 𝑎2− 14 0 −7
4
−3𝑎2+ 62 4
0 7
4
−𝑎2+ 2 4
|| 𝑎 + 2
−3𝑎 + 2 4
−𝑎 + 14
4 )
𝑅3 ← 𝑅3 + 1. 𝑅2~ (
4 1 𝑎2− 14 0 −7
4
−3𝑎2+ 62 4 0 0 −𝑎2+ 16
| 𝑎 + 2
−3𝑎 + 2
−𝑎 + 44 )
Karena sudah berbentuk matriks eselon baris maka perhatikan baris ketiga
Agar SPL mempunyai solusi tunggal maka
−𝑎2+ 16 ≠ 0 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑎 ≠ ±4
Agar SPL tidak mempunyai solusi maka
−𝑎2+ 16 = 0 𝑑𝑎𝑛 − 𝑎 + 4 ≠ 0 sehingga 𝑎 = ±4 dan 𝑎 ≠ 4, jadi 𝑎 = −4.
Agar SPL mempunyai tak terhingga banyaknya solusi maka
−𝑎2+ 16 = 0 𝑑𝑎𝑛 − 𝑎 + 4 = 0 sehingga 𝑎 = ±4 dan 𝑎 = 4, jadi 𝑎 = 4
3. Buktikan bahwa jika 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks 𝑛 × 𝑛, maka 𝑡𝑟(𝑘𝐴) = 𝑘 𝑡𝑟(𝐴) Jawab.
Misalkan 𝐴 adalah sembarang matriks 𝑛 × 𝑛 sedemikian sehingga
𝐴 = [
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛] maka
𝑘𝐴 = [
𝑘𝑎11 ⋯ 𝑘𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑘𝑎𝑛1 ⋯ 𝑘𝑎𝑛𝑛 ]
sehingga
𝑡𝑟(𝑘𝐴) = 𝑡𝑟 ([
𝑘𝑎11 ⋯ 𝑘𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑘𝑎𝑛1 ⋯ 𝑘𝑎𝑛𝑛 ])
= 𝑘𝑎11+ ⋯ + 𝑘𝑎𝑛𝑛
= 𝑘(𝑎11+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑛)
= 𝑘 𝑡𝑟 ([
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛])
= 𝑘 𝑡𝑟(𝐴) Terbukti.
Latihan soal
1. Selesaikan sistem persamaan nonlinear berikut untuk sudut 𝛼, 𝛽, 𝑑𝑎𝑛 𝛾 yang tidak diketahui, dimana 0 ≤ 𝛼 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝛽 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝛾 ≤ 𝜋
2 sin 𝛼 − cos 𝛽 + 3 tan 𝛾 = 3 4 sin 𝛼 + 2 cos 𝛽 − 2 tan 𝛾 = 2
6 sin 𝛼 − 3 cos 𝛽 + tan 𝛾 = 9
2. Tentukan suatu matriks 𝐾 sedemikian rupa sehingga 𝐴𝐾𝐵 = 𝐶 dimana
𝐴 = [
1 4
−2 3 1 −2
] , 𝐵 = [2 0 0
0 1 −1] , 𝐶 = [
8 6 −6
6 −1 1
−4 0 0
]
3. Bagaimana kita harus memilih koefisien 𝑎, 𝑏, 𝑐 sehingga sistem 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − 3𝑧 = −3
−2𝑥 − 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = −1 𝑎𝑥 + 3𝑦 − 𝑐𝑧 = −3 memiliki solusi 𝑥 = 1, 𝑦 = −1 dan 𝑧 = 2?
4. Buktikan bahwa jika 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks 𝑛 × 𝑛, maka 𝑡𝑟(𝐴 + 𝐵) = 𝑡𝑟(𝐴) + 𝑡𝑟(𝐵)
