ALJABAR LINEAR ELEMENTER DAN APLIKASINYA

(1)

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

DAN APLIKASINYA

Didit Budi Nugroho

Program Studi Matematika

Fakultas Sains dan Matematika

(2)

KATA PENGANTAR

Buku ini merupakan suatu pengantar untuk aljabar linear yang didasarkan pada kuliah yang diberikan oleh penulis selama lebih dari 4 tahun dalam mata kuliah Aljabar Linear Elementer di Universitas Kristen Satya Wacana Salatiga. Sebagian besar buku ini dipengaruhi oleh kuliah Aljabar Linear dari Prof. Drs. Setiadji, SU selama penulis kuliah S-1 di FMIPA UGM.

Materi dalam buku ini disajikan secara terurut yang dimulai dari pengertian tentang matriks beserta operasinya di Bab I dan dilanjutkan dengan fungsi determinan yang dibahas di Bab II. Sistem persamaan linear yang merupakan bagian utama dari Aljabar Linear disajikan dalam Bab III. Dalam bab ini diberikan beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear termasuk metode yang paling umum yaitu eliminasi Gauss (Jordan). Di Bab IV didiskusikan tentang ruang vektor beserta ruang bagiannya seperti ruang kolom, ruang baris, dan ruang nol. Pembahasan mengenai suatu ruang vektor diperluas dengan melengkapinya dengan suatu fungsi yang disebut hasil kali dalam sehingga membentuk suatu ruang hasil kali dalam, dan ini diberikan pada Bab V. Pembicaraan yang lebih luas lagi mengenai ruang vektor dijumpai di Bab VI yang menghubungkan dua ruang vektor menggunakan transformasi linear. Dari situ selanjutnya diambil kasus untuk operator linear pada suatu ruang vektor untuk mencari suatu nilai dan vektor eigennya, dan ini diberikan dalam Bab VII sebagai penutup dari materi Aljabar Linear.

Buku ini menyediakan teorema-teorema dengan bukti yang memadai. Teorema-teorema tersebut dilengkapi dengan contoh-contoh yang bervariasi dengan teknik penyelesaian yang mudah dipahami. Untuk melihat bahwa Aljabar Linear diperlukan bagi banyak bidang ilmu, di setiap bab diberikan contoh-contoh aplikasinya. Aplikasi tersebut antara lain analisa sirkuit elektrik, jaringan lalu lintas, persamaan reaksi kimia, dan model Leontief menggunakan sistem persamaan linear. Ada juga Kriptografi yang merupakan aplikasi dari transformasi linear. Aplikasi dari nilai dan vektor eigen diambil dalam bidang geometri yaitu untuk mengidentifikasi kurva, dalam bidang fisika untuk sistem massa pegas dan dalam bidang biologi untuk masalah genetika.

Buku ini masih perlu untuk terus menerus dikembangkan guna memperlihatkan kemudahan dan keindahan dari Aljabar Linear. Oleh karena itu penulis sangat mengharapkan masukan dan saran-saran dari pembaca.

Salatiga, Desember 2010 Penulis

(3)

DAFTAR ISI

BAB I: MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS ...…….…..……… 1

1.1 Pengantar ………..…….………. 1

1.2 Jenis-jenis Matriks ……….………..……..……..……….. 2

1.3 Kesamaan Dua Matriks ..……….……….. 5

1.4 Operasi Matriks ………..…….……….. 5

1.5 Matriks Eselon ………..….……… 11

1.6 Fungsi Skalar Matriks ………..……..………. 12

BAB II: DETERMINAN ……..……….…….….……….. 19

2.1 Ekspansi Laplace Baris Pertama …..….………. 19

2.2 Ekspansi Kofaktor ………..….……… 22

2.3 Adjoin ……….……..……….. 25

2.4 Operasi Baris Elementer ………..……….. 27

2.5 Matriks Tak Singular dan Invers …….…………..……… 31

2.6 Sifat-sifat Determinan ……….……… 37

2.7 Peringkat Matriks ………...……….……… 39

2.8 Aplikasi Determinan ……….……….……… 40

BAB III: SISTEM PERSAMAAN LINEAR ….……...……….…….. 51

3.1 Definisi-definisi ……….………..…….……. 51

3.2 Eksistensi Penyelesaian ……….…..……….…….. 55

3.3 Menyelesaikan SPL Menggunakan Invers ……….…… 58

3.4 Aturan Cramer ……….…………..………….…… 58

3.5 Reduksi Baris ……….………...…. 60

3.6 Penyelesaian Sistematis dari SPL ……….. 65

3.7 Dekomposisi LU ………..….. 68

3.8 Aplikasi Sistem Persamaan Linear ……… 71

BAB IV: RUANG VEKTOR ………...………..… 93

4.1 Ruang Vektor ……….……..………..……… 93

4.2 Ruang Bagian Vektor …..………….………….……….. 95

4.3 Kombinasi Linear ……..………. 96

4.4 Bebas Linear ………..………. 99

4.5 Basis ………..………. 101

4.6 Ruang Nol, Ruang Kolom, Ruang Baris …………..……….. 105

BAB V: RUANG HASIL KALI DALAM ………..…………. 119

5.1 Hasil Kali Dalam ……….………..………. 119

5.2 Norm ……….……. 121

5.3 Basis Ortonormal dan Proses Gram-Schmidt ………..….. 125

5.4 Perubahan Basis ……….… 130

BAB VI: TRANSFORMASI LINEAR ….…….………... 139

6.1 Pengantar ………..……. 139

6.2 Kernel dan Image dari Transformasi Linear ………..… 144

6.3 Teorema Dimensi ……….…….…………. 153

6.4 Transformasi Linear dari Rn ke Rm ……….………. 155

(4)

7.2 Menghitung Nilai dan Vektor Eigen ……….………….…… 185

7.3 Sifat-sifat Polinomial Karakteristik ……….…………..…. 191

7.4 Diagonalisasi dan Diagonalisasi Ortogonal ….……….. 195

7.5 Pangkat Matriks dan Persamaan Diferensial ….……… 208

7.6 Bentuk Kuadratik dan Irisan Kerucut ………..………….. 216

7.7 Aplikasi Untuk Sistem Massa Pegas ………..……… 222

(5)

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1: (a) Matriks segitiga atas, (b) matriks segitiga bawah, (c) matriks diagonal 4

Gambar 1.2: Transpos dari matriks m´n …………..……….………… 9

Gambar 1.3: Matriks eselon baris ……….. 11

Gambar 2.1: Bangun segitiga ………. 40

Gambar 3.1: Irisan garis ………. 53

Gambar 3.2: Irisan bidang ……….. 53

Gambar 3.3: Skema ketunggalan dan eksistensi penyelesaian SPL …….…………. 57

Gambar 3.4: Algoritma Gauss-Jordan ………..………… 61

Gambar 3.5: Dekomposisi LU dari matriks n´n ……… 69

Gambar 5.1: Vektor x = (x1, x2) ………..….. 119

Gambar 5.2: Dekomposisi ortogonal vektor u ………..… 123

Gambar 5.3: Jumlahan vektor u dan v dengan aturan segitiga ………...….. 124

Gambar 5.4: Jumlahan vektor u dan v dengan aturan jajaran genjang ……….. 125

Gambar 5.5: Proyeksi vektor u ….………. 128

Gambar 5.6: Rotasi sumbu koordinat kartesius ………..…………. 134

Gambar 6.1: Representasi skematis dari suatu transformasi linear ………..…….… 139

Gambar 6.2: Representasi skematis dari range T ………..… 144

Gambar 6.3: Representasi skematis dari ruang nol ………..……… 149

Gambar 6.4: Rotasi oleh sudut q ………..………… 157

Gambar 6.5: Refleksi bangun persegi ………..……… 157

Gambar 6.6: Ekspansi dan kompresi sepanjang sumbu x ….………. 158

Gambar 6.7: Pergeseran dalam arah x dan arah y ……….. 158

Gambar 6.8: Ilustrasi dari representasi matriks …….……… 164

Gambar 6.9: Perubahan matriks basis sebagai suatu representasi matriks ………… 165

Gambar 6.10: Representasi komposisi oleh perkalian matriks ……….. 167

Gambar 6.11: Perubahan basis dan transformasi linear ………. 169

Gambar 7.1: Rotasi sumbu ……… 183

Gambar 7.2: (a) Dilatasi l >1, (b) Kontraksi 0 < l < 1, (c) Pembalikan arah (l < 0) 185 Gambar 7.3: Grafik

( ) ( )

₃u 2 + ₂v 2 =1_{……….……….. 221}

Gambar 7.4: Grafik 13x2_{– 10xy + 13y}2_{= 72 ……… 221}

Gambar 7.5: Grafik

( ) ( )

₂u 2 - ₃v 2 =-1_{…..………..………. 220}

Gambar 7.6: Grafik –64x2_{+104xy + 14y}2_{– 10 = 0 ……… 221}

(6)

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1: Sifat NS(A) dan CS(A) ……….…. 106 Tabel 7.1: Probabilitas genotip keturunan ………. 223

(7)

Bab 1

MATRIKS DAN

OPERASI MATRIKS

Pada bab pertama ini akan diberikan beberapa definisi dasar yang berkaitan dengan matriks dan operasi aljabar elementer pada matriks. Selain itu akan diperkenalkan beberapa jenis matriks yang akan sering dijumpai pada bab-bab selanjutnya.

1.1 Pengantar

DEFINISI 1.1.1 Matriks (matrix) adalah susunan segi empat siku-siku dari

elemen-elemen di suatu field (F, •, +). Elemen tersebut dapat berupa pernyataan yang simbolis ataupun bilangan-bilangan.

Matriks biasanya dinotasikan dengan huruf besar oleh persamaan A = [aij] yang

berarti bahwa elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A sama dengan aij.

Seringkali dituliskan elemen matriks dengan bentuk aij = (A)ij. Matriks A secara jelas

dituliskan dalam bentuk

ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = mn m m n n a a a a a a a a a A ! " " ! ! 2 1 2 22 21 1 12 11

dengan setiap (i, j) Î {1, 2, …, m} ´ {1, 2, …, n} dan aij Î F. Baris ke-i dari matriks A

yaitu

[

ai1 ai2 ! ain

]

mempunyai n unsur, sedangkan kolom ke-j yang mempunyai m unsur yaitu

ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é mj j j a a a ! 2 1 .

Setiap matriks mempunyai baris dan kolom yang mendefinisikan ukuran matriks. Jika suatu matriks A mempunyai m baris dan n kolom maka ukuran (ordo) matriks dinyatakan dengan m´n, dan selanjutnya matriks A bisa dituliskan dengan Am´n atau mAn.

(8)

Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks

CONTOH 1.1.1 Diberikan rumus

j i a_ij

+

= 1 untuk 1 £ i £ 3 dan 1 £ j £ 4 yang mendefinisikan suatu matriks A = [aij] berukuran 3´4. Matriks A dapat dituliskan secara

eksplisit dalam bentuk

ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 7 1 6 1 5 1 4 1 6 1 5 1 4 1 3 1 5 1 4 1 3 1 2 1 A .

1.2 Jenis-jenis Matriks

DEFINISI 1.2.1 Vektor (vector) adalah suatu matriks yang hanya mempunyai

satu baris atau satu kolom. Karena itu terdapat dua jenis vektor yaitu vektor baris dan vektor kolom.

DEFINISI 1.2.2 Vektor baris (row vector) adalah suatu matriks yang hanya

mempunyai satu baris saja, seperti

[

a a an

]

A= ₁₁ ₁₂ ! ₁ atau A = (a11, a12, …, a1n)

dengan n adalah dimensi dari vektor baris.

DEFINISI 1.2.3 Vektor kolom (column vector) adalah suatu matriks yang hanya

mempunyai satu kolom saja. Sebagai contoh, vektor kolom berdimensi m:

ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 2 21 11 m a a a A ! .

DEFINISI 1.2.4 Jika beberapa baris dan atau kolom dari suatu matriks A dihapus maka matriks sisanya disebut matriks bagian (submatrix) dari A.

CONTOH 1.2.1 Matriks-matriks bagian dari _ú

û ù ê ë é -1 2 3 2 6 4

antara lain yaitu

ú û ù ê ë é -1 2 3 2 6 4 , _ú û ù ê ë é -1 3 6 4 ,

[

4 6 2

]

,

[ ]

4 , _ú û ù ê ë é 2 2 .

DEFINISI 1.2.5 Jika banyaknya baris dari suatu matriks A Î Mm´n(F) sama

dengan banyaknya kolom, m = n, maka matriksnya disebut matriks persegi (square

matrix) dengan elemen-elemen a11, a22, …, ann dinamakan elemen-elemen diagonal utama. Selanjutnya, matriks persegi A berukuran n´n cukup dituliskan dengan notasi An.

CONTOH 1.2.2 Matriks ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 7 15 6 15 10 5 3 20 25

A merupakan matriks persegi sebab

banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom yaitu 3. Sedangkan elemen-elemen diagonal utamanya adalah a11 = 25, a22 = 10, a33 = 7.

(9)

Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks 3

DEFINISI 1.2.6 Matriks A Î Mm´n(F) dengan elemen aij = 0 untuk i > j disebut matriks segitiga atas (upper triangular matrix). Dengan kata lain, semua elemen di

bawah diagonal utama sama dengan nol.

CONTOH 1.2.3 Matriks ú ú ú û ù ê ê ê ë é -1505 0 0 6 01 , 0 0 0 7 10

adalah suatu matriks segitiga atas.

DEFINISI 1.2.7 Matriks A Î Mm´n(F) dengan elemen aij = 0 untuk i < j disebut matriks segitiga bawah (lower triangular matrix). Dengan kata lain, semua elemen di

atas diagonal utama sama dengan nol.

CONTOH 1.2.4 Matriks ú ú ú û ù ê ê ê ë é 1 5 , 2 6 , 0 0 1 3 , 0 0 0 1

adalah suatu matriks segitiga bawah.

DEFINISI 1.2.8 Matriks persegi A Î Mn(F) dengan semua elemen yang tidak

terletak pada diagonal utama sama dengan nol, aij = 0 untuk i ¹ j, disebut matriks diagonal (diagonal matrix), dituliskan A = diag(a11, a22, …, ann). Beberapa atau semua

masukan diagonal dari matriks diagonal bisa juga nol.

CONTOH 1.2.5 Matriks ú ú ú û ù ê ê ê ë é 5 0 0 0 2 0 0 0 3 dan ú ú ú û ù ê ê ê ë é 0 0 0 0 2 0 0 0 3

adalah matriks diagonal.

DEFINISI 1.2.9 Matriks In = [dij], dij disebut delta Kronecker, yang didefinisikan

oleh dij = 1 untuk i = j dan dij = 0 untuk i ¹ j, disebut matriks identitas (identity matrix)

berukuran n, dan dituliskan

) 1 ..., , 1 , 1 ( diag 1 0 0 1 = ú ú ú û ù ê ê ê ë é = ! " # " ! n I

atau In = (e1, e2, …, en) dengan ei adalah vektor kolom berdimensi n dengan masukan 1 di

posisi ke-i.

DEFINISI 1.2.10 Matriks A Î Mm´n(F) dengan semua elemennya sama dengan nol,

aij = 0 untuk semua i dan j, disebut matriks nol (zero matrix), dan dinotasikan dengan

(10)

ú

û

ù

ê

ë

é

0

,

[

0

0 ]

, dan [0] adalah matriks nol.

DEFINISI 1.2.11 Suatu matriks tridiagonal (tridiagonal matrix) adalah suatu

matriks persegi dengan semua elemen diagonal dari matriks bagian persegi di atas diagonal utama dan di bawah diagonal utama adalah nol.

CONTOH 1.2.7 Matriks ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é 6 3 0 0 2 5 0 0 0 9 3 2 0 0 4 2

merupakan matriks tridiagonal sebab matriks bagian persegi perseginya yaitu _ú û ù ê ë é 0 9 0 0 dan ú û ù ê ë é 0 0 0 0

mempunyai elemen-elemen diagonal yang semuanya nol.

Pada Gambar 1.1 diberikan ilustrasi beberapa jenis matriks dengan elemen-elemen pada daerah yang diarsir tidak semuanya nol, sedangkan elemen-elemen-elemen-elemen pada daerah yang tidak diarsir semuanya sama dengan nol.

(a) (b) (c)

Gambar 1.1: (a) Matriks segitiga atas, (b) matriks segitiga bawah, (c) matriks diagonal

DEFINISI 1.2.12 Suatu matriks A Î Mn(F) disebut matriks dominan diagonal

(diagonally dominant matrix) jika

å

¹ = ³ j i j ij ii a a , 1 untuk semua i = 1, 2, …, n dan

å

¹ = > j i j ij ii a a , 1 untuk suatu i.

Dengan kata lain, untuk setiap baris pada matriks dominan diagonal, nilai mutlak dari elemen diagonal lebih besar atau sama dengan jumlahan nilai-nilai mutlak dari elemen-elemen sisa pada baris tersebut, dan juga terdapat ketidaksamaan yang lebih besar secara tegas untuk suatu baris.

(11)

Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks 5 CONTOH 1.2.8 Matriks ú ú ú û ù ê ê ê ë é -= 6 2 3 2 4 2 7 6 15 B

merupakan matriks dominan secara diagonal sebab

½b11½ = ½15½ = 15 ³ ½b12½+½b13½ = ½6½+½7½ = 13,

½b22½ = ½-4½ = 4 ³ ½b21½+½b23½ = ½2½+½-2½ = 4,

½b33½ = ½6½ = 6 ³ ½b31½+½b32½ = ½3½+½2½ = 5

dan terdapat suatu baris, baris 1 atau baris 3, ketaksamaannya adalah ketaksamaan yang lebih besar secara tegas.

CONTOH 1.2.9 Matriks ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 1 12 144 1 8 64 1 5 25 C

bukanlah matriks dominan secara diagonal sebab

½c22½ = ½8½ = 8 £ ½c21½+½c23½ = ½64½+½1½ = 65. CONTOH 1.2.10 Matriks ú ú ú û ù ê ê ê ë é -= 5 2 3 2 4 2 9 6 15 D

bukanlah matriks dominan secara diagonal sebab diantara ketaksamaan-ketaksamaan berikut tidak ada yang lebih besar secara tegas:

½d11½ = ½–15½ = 15 ³ ½d12½+½d13½ = ½6½+½9½ = 15,

½d22½ = ½–4½ = 4 ³ ½d21½+½d23½ = ½2½+½2½ = 4,

½d33½ = ½5½ = 5 ³ ½d31½+½d32½ = ½3½+½2½ = 5.

1.3 Kesamaan Dua Matriks

DEFINISI 1.3.1 Matriks A = [aij] sama dengan matriks B = [bij] jika ukuran dari A

dan B sama, dan elemen-elemen yang bersesuaian (berkorespondensi) juga sama, yaitu untuk A, B Î Mm´n(F) maka aij = bij , 1 £ i £ m dan 1 £ j £ n.

CONTOH 1.3.1 Agar _ú û ù ê ë é = 7 6 3 2 A sama dengan _ú û ù ê ë é = 22 11 6 3 b b B , maka haruslah b11 = 2 dan b22 = 7.

1.4 Operasi Matriks

DEFINISI 1.4.1 (Penjumlahan matriks) Matriks A = [aij] dan B = [bij] dapat

dijumlahkan jika keduanya berukuran sama. Jumlahan dari matriks A dan B, ditulis A + B, adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang berkorespondensi dari A dan B, yaitu

(12)

DEFINISI 1.4.2 (Pengurangan matriks) Matriks A = [aij] dan B = [bij] dapat

dikurangkan hanya jika keduanya berukuran sama. Pengurangan A oleh B, yang dituliskan A – B, didefinisikan oleh

A – B = [aij] – [bij] = [aij – bij].

DEFINISI 1.4.3 (Perkalian skalar dengan matriks) Diberikan suatu matriks A

= [aij] Î Mm´n(F) dan skalar k Î F. Perkalian skalar k dengan A, ditulis kA, adalah

matriks yang diperoleh dengan cara mengalikan semua elemen dari A dengan skalar k, yaitu kA = k[aij] = [k.aij]. CONTOH 1.4.1 1. _ú û ù ê ë é 7 2 1 3 2 5 + _ú û ù ê ë é -19 5 3 2 7 6 = _ú û ù ê ë é + + + -+ + 19 7 5 2 3 1 2 3 7 2 6 5 = _ú û ù ê ë é 26 7 4 1 9 11 . 2. _ú û ù ê ë é 7 2 1 3 2 5 – _ú û ù ê ë é -19 5 3 2 7 6 = _ú û ù ê ë é -19 7 5 2 3 1 ) 2 ( 3 7 2 6 5 = _ú û ù ê ë é -12 3 2 5 5 1 . 3. _ú û ù ê ë é 6 1 5 2 3 1 , 2 2 = _ú û ù ê ë é 6 . 2 1 . 2 5 . 2 2 . 2 3 . 2 1 , 2 . 2 = _ú û ù ê ë é 12 2 10 4 6 2 , 4 .

Operasi-operasi matriks memenuhi hukum-hukum aritmatika seperti berikut. (Diambil sebarang skalar s dan t, dan matriks-matriks A, B, C, O yang berukuran sama.)

(1) (A + B) + C = A + (B + C); [Hukum asosiatif]

(2) A + B = B + A; [Hukum komutatif]

(3) O + A = A + O; [Hukum identitas]

(4) A + (–A) = O; [Hukum invers]

(5) (s + t)A = sA + tA, (s – t)A = sA – tA; [Hukum distributif kanan] (6) t(A + B) = tA + tB, t(A – B) = tA – tB; [Hukum distributif kiri] (7) s(tA) = (st)A;

(8) 1A = A, 0A = O, (–1)A = –A; (9) tA = O Þ t = 0 atau A = O.

DEFINISI 1.4.4 (Hasil kali matriks) Matriks A dan B dapat dikalikan, dalam

hal ini AB, hanya jika banyaknya kolom dari A sama dengan banyaknya baris dari B (A dan B dikatakan dapat menyesuaikan diri/ conformable). Jika matriks A = [aij] berukuran m´n dan matriks B = [bjk] berukuran n´p, maka hasil kali matriks A dan B, ditulis AB,

adalah matriks C = [cik] yang berukuran m´p dengan elemen ke-(i,k) didefinisikan oleh

nk in k i k i n j jk ij ik a b a b a b a b c . ₁. ₁ ₂. ₂ ... . 1 + + + = =

å

= .

Secara simbolis, untuk baris-baris R1, R2, …, Rm pada matriks A dan

kolom-kolom C1, C2, …, Cm pada matriks B, dapat dituliskan hasil kali A dan B yaitu

A×B = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é m R R R ! 2 1 × ú ú ú û ù ê ê ê ë é p C C C1 2 ! = ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é p m m m p p C R C R C R C R C R C R C R C R C R ! " " ! 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 .

(13)

Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks 7 CONTOH 1.4.2 1. _ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é 8 7 6 5 4 3 2 1 = _ú û ù ê ë é + + + + 8 . 4 6 . 3 7 . 4 5 . 3 8 . 2 6 . 1 7 . 2 5 . 1 = _ú û ù ê ë é 50 43 22 19 . 2. _ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é 4 3 2 1 8 7 6 5 = _ú û ù ê ë é + + + + 4 . 8 2 . 7 3 . 8 1 . 7 4 . 6 2 . 5 3 . 6 1 . 5 = _ú û ù ê ë é 46 31 34 23 ¹ _ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é 8 7 6 5 4 3 2 1 . 3.

[

3 4

]

2 1 ú û ù ê ë é = _ú û ù ê ë é 4 . 2 3 . 2 4 . 1 3 . 1 = _ú û ù ê ë é 8 6 4 3 . 4.

[

]

_ú û ù ê ë é 2 1 4 3 = [11].

CONTOH 1.4.3 Bob ingin mengurangi berat badannya melalui satu rencana diet

dan latihan fisik. Sesudah mencari keterangan dari Tabel 1, dia membuat jadwal latihan fisik seperti dalam Tabel 2. Berapa kalori yang akan terbakar dengan melakukan latihan fisik setiap hari jika dia mengikuti rencana tersebut?

Tabel 1 Tabel 2

Kalori yang terbakar setiap jam Jumlah jam per hari untuk setiap aktivitas

Aktivitas latihan Berat dalam lb Jadwal latihan

152 161 170 178 Jalan Lari Bersepeda Tenis Jalan kaki

2 mil/ jam 213 225 237 249 Senin 1,0 0,0 1,0 0,0 Lari 5,5 mil/ jam 651 688 726 764 Selasa 0,0 0,0 0,0 2,0 Bersepeda

5,5 mil/ jam 304 321 338 356 Rabu 0,4 0,5 0,0 0,0 Tenis secukupnya 420 441 468 492 Kamis 0,0 0,0 0,5 2,0 Jumat 0,4 0,5 0,0 0,0

Penyelesaian.

Informasi mengenai Bob berada dalam kolom keempat dari Tabel 1. Informasi ini dinyatakan oleh suatu vektor kolom X. Informasi dalam Tabel 2 dapat dinyatakan oleh suatu matriks A berukuran 5´4. Untuk menjawab pertanyaan, dihitung AX.

ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ë é 492 356 764 249 0 , 0 0 , 0 5 , 0 4 , 0 0 , 2 5 , 0 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0 , 0 5 , 0 4 , 0 0 , 2 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0 , 1 0 , 0 0 , 1 = Jumat Kamis Rabu Selasa Senin 6 , 481 0 , 1162 6 , 481 0 , 984 0 , 605 ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ë é . CONTOH 1.4.4

Suatu perusahaan menghasilkan tiga produk dengan perkiraan biaya produksinya dibagi dalam tiga kategori (disajikan dalam Tabel 3). Dibuat juga suatu perkiraan, dalam Tabel 4, untuk jumlah dari setiap produk yang akan dihasilkan untuk setiap kuartal. Tentukan biaya total untuk setiap kuartal dari ketiga kategori.

(14)

Biaya produksi per barang (dollar) Jumlah yang dihasilkan per kuartal

Biaya Produk Produk Musim

A B C Panas Gugur Dingin Semi Bahan mentah 0,10 0,30 0,15 A 4000 4500 4500 4000 Tenaga kerja 0,30 0,40 0,25 B 2000 2600 2400 2200 Biaya tambahan 0,10 0,20 0,15 C 5800 6200 6000 6000

Penyelesaian.

Setiap tabel dapat dinyatakan oleh matriks seperti berikut

ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 15 , 0 20 , 0 10 , 0 25 , 0 40 , 0 30 , 0 15 , 0 30 , 0 10 , 0 A dan ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 6000 6000 6200 5800 2200 2400 2600 2000 4000 4500 4500 4000 B .

Jika dibuat hasil kali AB, maka kolom-kolom dari AB berturut-turut menyatakan biaya untuk musim panas, gugur, dingin, semi.

tambahan Biaya kerja Tenaga mentah Bahan 1740 1830 1900 1670 3580 3810 3940 3450 1960 2070 2160 1870 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = AB .

Perkalian matriks memenuhi beberapa hukum aritmatika, yaitu (1) (AB)C = A(BC), jika A, B, C secara berurutan berukuran mń, n´p, p´q; (2) k(AB) = (kA)B = A(kB), A(–B) = (–A)B = – (AB) dengan k adalah skalar; (3) (A + B)C = AC + BC, jika A dan B berukuran mń dan C berukuran n´p; (4) D(A + B) = DA + DB, jika A dan B berukuran mń dan D berukuran p´m.

Di sini hanya akan dibuktikan sifat yang pertama di atas (hukum asosiatif). Lebih dahulu diklaim bahwa (AB)C dan A(BC) keduanya mariks berukuran m´q. Diambil matriks A = [aij], B = [bjk], dan C = [ckl], sehingga akan diperoleh

( )

(

ABC

)

_il =

å

( )

= p k kl ik c AB 1 . =

å å

= = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ p k kl n j jk ijb c a 1 1 . =

åå

= = p k n j kl jk ijb c a 1 1 . Sejalan dengan itu, juga diperoleh

( )

(

ABC

)

_il =

åå

= = n j p k kl jk ijb c a 1 1 .

Hasil jumlahan ganda kedua bentuk tersebut adalah sama. Jumlahan dari bentuk

åå

= = n j p k jk d 1 1 dan

åå

= = p k n j jk d 1 1

menyatakan jumlahan dari np elemen matriks [djk] dalam baris dan kolom secara

berurutan. Akibatnya

( )

(

ABC

)

il =

(

A

( )

BC

)

il untuk 1 £ i £ m dan 1 £ l £ q. Karena itu (AB)C = A(BC).

DEFINISI 1.4.5 (Pangkat matriks) Diberikan suatu matriks A Î Mn(F) dan

bilangan bulat tak negatif k. Didefinisikan Ak sebagai berikut

A0_{= I}

(15)

Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks 9 CONTOH 1.4.5 1. _ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 . 2. ú ú û ù ê ê ë é = ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é 3 3 3 3 0 0 2 27 0 0 8 3 0 0 2 9 0 0 4 3 0 0 2 3 0 0 2 3 0 0 2 3 0 0 2 . 3. ú ú û ù ê ê ë é ¹ ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é 0 3 2 0 0 18 12 0 0 3 2 0 6 0 0 6 0 3 2 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 3 2 0 3 3 3 . 4. _ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é 16 0 15 1 4 0 3 1 4 0 3 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 4 .

Khusus untuk matriks diagonal A = [aii], 1< i < n, pangkat k dari matriks A

didefinisikan oleh Ak =

[ ]

(a_ii)k atau secara jelas dinyatakan dengan

( )

úú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = k nn k k k nn k a a a a a a A ! " " ! ! " " ! 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 11 22 11 .

Berikut ini hukum-hukum yang berlaku untuk matriks berpangkat yang mempunyai sifat AB = BA.

(1) AmAn = Am+n, (Am)n = Amn; (2) (AB)n = AnBn; (3) AmBn = BnAm; (4) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2; (5) (A + B)n = n i n i i B A i n -=

å

çç_èæ ÷÷_øö 0 ; dengan ! ) !.( ! i n i n C i n _n i = -= ÷÷ ø ö çç è æ (6) (A + B)(A – B) = A2_{– B}2_.

DEFINISI 1.4.6 (Transpos matriks) Transpos dari matriks Am´n = [aij],

dinotasikan AT_{, adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengubah setiap baris}

ke-i menjadi kolom ke-i atau sebaliknya kolom ke-j menjadi baris ke-j. Dengan kata lain

AT = [aji] atau

( )

AT _ji = a_ij yang berukuran n´m.

T in i i a a a ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ë é ! 2 1 = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é in i i a a a ! 2 1

(16)

CONTOH 1.4.6 Transpos dari matriks

ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 27 7 16 6 25 15 10 5 2 3 20 25 C adalah ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 27 25 2 7 15 3 16 10 20 6 5 25 T C .

Operasi transpos mempunyai beberapa sifat sebagai berikut : (1)

( )

AT T =A;

(2)

(

A±B

)

T =AT ±BT jika A dan B berukuran m´n; (3)

( )

kAT =kAT;

(4)

( )

AB T =BTAT jika A berukuran m´n dan B berukuran n´p;

(5) XTX=

[

x₁2 +x₂2...+x_n2

]

jika

X

=

[

x

1

x

2

!

x

_n

]

T adalah vektor

kolom.

Berikut ini akan dibuktikan hanya untuk sifat keempat. Pertama diperiksa bahwa (AB)T_{dan B}T_AT_{mempunyai ukuran yang sama p´m. Selain itu, elemen-elemen yang}

berkorespondensi dari kedua matriks adalah sama. Untuk A = [aij] dan B = [bij] maka

( )

(

AB

T

)

ki =

( )

AB

ik =

å

= n j jk ij

b

a

1 =

å

( ) ( )

= n j ji T kj T

_A

B

1 =

(

B

T

A

T

)

k

_i.

DEFINISI 1.4.7 Suatu matriks A disebut matriks simetris (symmetric matrix) jika AT_{= A. Dengan kata lain, A haruslah matriks persegi (misalkan n´n) dan a}

ji = aij

untuk semua 1 £ i £ n dan 1 £ j £ n. Karena itu ú û ù ê ë é = a b b a A

adalah suatu matriks simetris 2´2 yang umum.

CONTOH 1.4.7 Matriks ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 9 8 6 8 21 3 6 3 21

D adalah suatu matriks simetris karena

d12 = d21 = 3, d13 = d31 = 6; dan d23 = d32 = 8.

DEFINISI 1.4.8 (Matriks simetris miring) Suatu matriks A Î Mn(F)

dikatakan simetris miring (skew-symetric) jika AT = –A.

Dengan kata lain, untuk matriks simetris miring A, maka A haruslah matriks persegi (misalkan n´n) dan aji = –aij untuk semua 1 £ i £ n dan 1 £ j £ n. Karena

elemen-elemen diagonal utama tidak berubah oleh transposisi, maka matriks simetris miring A haruslah nol pada diagonal utamanya atau dengan kata lain aii = 0 untuk setiap i.

(17)

Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks 11 CONTOH 1.4.8 Matriks ú ú ú û ù ê ê ê ë é -= 0 5 2 5 0 1 2 1 0 E

adalah suatu matriks simetris miring.

Perlu dicatat bahwa untuk suatu matriks persegi A, maka A – AT adalah simetris miring karena

(

A-AT

)

T = AT -

( )

AT T = AT – A = –(A – AT), sedangkan A + AT adalah simetris karena

(

A+AT

)

T = AT + A = A + AT. Karena itu

(

_A _AT

) (

_A _AT

)

A= - + + 2 1 2 1 _.

Mudah dibuktikan juga bahwa jumlahan dari dua matriks simetris miring adalah juga simetris miring dan kuadrat dari matriks simetris miring (simetris) adalah simetris sebab

A2₌

(

_AT_AT

)

T₌

(

( )( )

_-_A _-_A

)

T₌

( )

_A2 T_.

1.5 Matriks Eselon

DEFINISI 1.5.1 (Matriks eselon baris) Suatu matriks A mempunyai bentuk

eselon baris (row-echelon form) jika mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: (1) baris nol (semua unsurnya nol), jika ada, terletak pada baris bagian bawah;

(2) untuk suatu baris tak nol (unsurnya tidak seluruhnya nol), bilangan pertama yang tak nol dalam baris tersebut adalah 1, disebut 1 utama (leading 1);

(3) untuk sembarang dua baris tak nol yang berurutan, 1 utama dalam baris yang bawah terletak di sebelah kanan dari 1 utama dalam baris diatasnya.

Suatu matriks berbentuk eselon baris mempunyai “langkah tangga” seperti diilustrasikan pada Gambar 1.3, dengan daerah yang tidak diarsir semua unsurnya nol.

Gambar 1.3: Matriks eselon baris

CONTOH 1.5.1 Diberikan matriks-matriks seperti berikut

ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 0 0 0 0 1 0 0 0 5 2 1 0 4 3 0 1 A , ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é -= 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 1 0 B , ú ú ú û ù ê ê ê ë é -= 3 2 1 1 0 0 2 1 0 C , ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 2 1 0 0 1 0 2 0 0 0 0 1 D .

Matriks A merupakan matriks eselon baris, tetapi B bukan matriks eselon baris karena terdapat baris nol (baris 2) yang terletak di atas baris tak nol (baris 3). Demikian juga matriks C bukan matriks eselon baris karena 1 utama pada baris 3 terletak di sebelah kiri 1 utama pada baris 2. D juga bukan matriks eselon baris karena bilangan tak nol pertama pada baris 2 bukan 1 tetapi 2.

(18)

DEFINISI 1.5.2 (Matriks eselon baris tereduksi) Suatu matriks mempunyai

bentuk eselon baris tereduksi (reduced row-echelon form) jika (1) Matriks berbentuk eselon baris;

(2) setiap kolom yang memuat 1 utama mempunyai elemen-elemen nol untuk lainnya.

CONTOH 1.5.2 Matriks ú û ù ê ë é 1 0 0 1 dan ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é 0 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 2 0 0 2 1 0

mempunyai bentuk eselon baris tereduksi, sedangkan matriks

ú ú ú û ù ê ê ê ë é 2 0 0 0 1 0 0 0 1 dan ú ú ú û ù ê ê ê ë é 0 0 0 0 1 0 0 2 1

tidak berbentuk eselon baris tereduksi.

Perlu dicatat bahwa matriks nol untuk semua ukuran selalu dalam bentuk eselon baris tereduksi.

1.6 Fungsi Skalar Matriks

Fungsi skalar dari suatu matriks meringkas berbagai karakteristik dari elemen-elemen matriks. Suatu fungsi skalar yang penting adalah fungsi determinan. Secara formal, determinan dari suatu matriks persegi A, dinotasikan det(A), adalah jumlahan semua hasil kali elementer bertanda dari A. Diskusi yang lebih mendalam akan dipelajari secara lebih detail di bab dua.

Selain determinan, fungsi skalar yang lain yaitu trace. Trace dari matriks An =

[aij] didefinisikan sebagai jumlahan elemen-elemen diagonal utama, yaitu

å

= = n i ii a A 1 ) ( tr .

Diberikan A dan B adalah matriks berukuran n´n dengan h dan k adalah skalar. Fungsi trace mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

(1) tr(A) = tr(AT);

(2) tr(hA + kB) = h.tr(A) + k.tr(B); (3) tr(AB) = tr(BA);

(4) tr(In) = n.

Berikut ini hanya akan dibuktikan sifat yang ketiga. Diperhatikan bahwa

å

= = n k ik kj b a AB 1 dan

å

= = n k ik kj a b BA 1 , maka tr(AB) =

åå

= = n i n k ki ikb a 1 1 =

åå

= = n k n i ik kia b 1 1 = tr(BA).

(19)

S

OAL

-

SOAL

U

NTUK

B

AB

1

1. Tuliskan secara eksplisit matriks A = [aij] berukuran 3´3 untuk aij = i . j

2. Tuliskan secara eksplisit matriks A = [aij] berukuran 3´3 untuk aij = ij.

3. Tentukan A + B dan AB, jika diberikan

ú ú ú û ù ê ê ê ë é -+ -= 1 0 0 2 b a b a c a a A , dan ú ú ú û ù ê ê ê ë é -= 1 0 2 1 b a b a b a c a B

adalah matriks-matriks persegi dengan masukannya adalah bilangan real. 4. Tentukan x dan y sehingga

ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é + ú û ù ê ë é 8 11 7 3 7 4 5 3 1 2 2 0 2 1 1 3 y x x .

5. Tentukan matriks A dan B berukuran 2´2 sehingga 2A – 5B = _ú û ù ê ë é -1 0 2 1 dan –2A + 6B = _ú û ù ê ë é 0 6 2 4 .

6. Tentukan hasil kali

ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é -ú û ù ê ë é -2 1 1 1 1 0 1 2 1 1 1 1 .

7. Tentukan AB dan BA jika diberikan matriks

ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 1 1 1 0 1 1 0 0 1 A dan ú ú ú û ù ê ê ê ë é = a c b b a c c b a B . 8. Diberikan matriks ú ú ú û ù ê ê ê ë é -= 2 2 1 1 0 2 4 1 3 A dan ú ú ú û ù ê ê ê ë é -= 1 4 2 1 1 3 2 0 1 B . Hitunglah: (a) 2A (b) A + B (c) 2A – 3B (d) (2A)T – (3B)T (e) AB (f) BA (g) ATBT (h) (AB)T 9. Jika ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 6 5 4 3 2 1 A dan ú ú ú û ù ê ê ê ë é-= 4 3 1

(20)

10. Diberikan perkiraan harga (dalam dollar) dari empat jenis telur dalam periode empat minggu yang disajikan pada Tabel 5. Terdapat tiga toko yang memesan keempat jenis telur tersebut dengan banyaknya pesanan disajikan dalam Tabel 6. Tentukan biaya total pesanan dari setiap toko per minggu.

A B C D Toko 1 Toko 2 Toko 3

Minggu 1 0,60 0,70 0,80 0,90 A 10 20 20 Minggu 2 0,55 0,65 0,75 0,85 B 20 30 40 Minggu 3 0,60 0,75 0,85 0,95 C 80 160 100 Minggu 4 0,65 0,70 0,85 0,95 D 30 40 40 11. Selesaikan persamaan ú û ù ê ë é -= ú û ù ê ë é -1 0 0 1 4 4 2 x x .

12. Buktikan apakah benar, untuk setiap A, B Î Mn(F) berlaku

(A + B)(A – B) = A2 – B2.

13. Buktikan apakah benar, jika A, B Î Mn(F) dan AB = On maka BA = On.

14. Untuk bilangan real dimiliki rumus (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 dan (x + y)2 = x2 + 2xy +

y2. Apakah rumus berlaku untuk matriks (dengan 1 diganti oleh matriks identitas berukuran n´n dan x serta y diganti matriks berukuran n´n)? Kenapa?

15. Jika An = [aij], tunjukkan bahwa

( )

_åå

= = = n k n h hj kh ik ij a a a A 1 1 3 _. _. _.

16. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika, bahwa ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é 1 0 1 1 0 1 1 n n .

17. Buktikan dengan induksi bahwa In_{= I.}

18. Diberikan _ú û ù ê ë é -= 1 1 1 1 A . Tentukan A6.

19. Diberikan A Î M2(R) yang didefinisikan dengan

ú û ù ê ë é -= a a a a cos sin sin cos A .

Tunjukkan dengan induksi bahwa untuk setiap n Î N berlaku ú û ù ê ë é -= a a a a n n n n An cos sin sin cos .

(21)

Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks 15 20. Jika _ú û ù ê ë é -= 0 1 3 4 A , tunjukkan bahwa A2_{= 4A – 3I} 2.

21. Diberikan A Î M3(R) yang didefinisikan dengan

ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 1 0 0 1 1 0 1 1 1 A . Buktikan bahwa ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = + 1 0 0 1 0 1 (₂1) n n A n n n _.

22. Buktikan dengan menggunakan arti dari induksi bahwa untuk matriks berukuran

n´n berlaku ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ë é = ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ë é -+ 1 0 0 0 1 0 0 3 1 0 6 3 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 2 ) 1 )( 2 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 3 ! " ! " " " ! ! ! ! " ! " " " ! ! ! n n n n n n . 23. Diberikan _ú û ù ê ë é = d c b a A . Tunjukkan bahwa

A2_{– (a + d)A + (ad – bc)I} 2 = O2.

24. Tentukan semua matriks A Î M2(R) sehingga

(a) A2_{= O} 2.

(b) A2_{= I} 2.

25. Tentukan suatu penyelesaian A Î M2(R) untuk

A2_{– 2A =} ú û ù ê ë é-3 6 0 1 .

26. Diberikan A Î M2(F) dan k Î Z, k > 2. Buktikan bahwa Ak = O2 jika hanya jika A2

= O2.

27. Diberikan matriks A, B, C, D yang didefinisikan oleh

ú ú ú û ù ê ê ê ë é -= 1 1 2 1 0 3 A , ú ú ú û ù ê ê ê ë é -= 3 1 4 0 1 1 2 5 1 B , ú ú ú û ù ê ê ê ë é- -= 3 4 1 2 1 3 C , _ú û ù ê ë é -= 0 2 1 4 D .

Manakah dari operasi-operasi matriks di bawah ini yang terdefinisi? Hitung matriks-matriks yang terdefinisi tersebut.

(22)

28. Tunjukkan bahwa tidak ada matriks A, B, C, D Î Mn(R) sehingga AC + DB = In dan CA + BD = On.

29. Untuk matriks di bawah ini, hitunglah A2 dan A3. Selanjutnya, berapakah An?

ú ú û ù ê ê ë é -= 2 1 2 1 2 1 2 1 A . 30. Diberikan matriks _ú û ù ê ë é-= 1 1 0 1 0 1

A . Tunjukkan bahwa jika matriks B berukuran 3 ´ 2 sehingga AB = I2, maka ú ú ú û ù ê ê ê ë é + -= b a b a b a B 1 1 1

untuk nilai a dan b yang sesuai. Gunakan hukum asosiatif untuk menunjukkan bahwa (BA)2B = B.

31. Manakah diantara matriks-matriks berikut yang mempunyai bentuk eselon baris tereduksi ? (a) ú ú ú û ù ê ê ê ë é -2 1 0 0 0 4 0 1 0 0 3 0 0 0 1 (b) ú ú ú û ù ê ê ê ë é -3 1 0 0 0 4 0 1 0 0 5 0 0 1 0 (c) ú ú ú û ù ê ê ê ë é - 2 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 (d) ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é -0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 1 0 (e) ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 (f) ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 (g) ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é -0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 2 0 0 1 0 1 0 0 0 1 .

32. Diberikan matriks persegi A, B Î M7(R) sehingga tr(A2) = tr(B2) = 1, dan

(A – B)2_{= 3I} 7, tentukan tr(BA). 33. Diberikan matriks _ú û ù ê ë é = d c b a

A Î M2(R). Tentukan syarat perlu dan cukup untuk a,

(23)

34. Diberikan matriks persegi A Î M4(R) sehingga tr(A2) = –4, dan

(A – I4)2 = 3I4.

Tentukan tr(A).

35. Diberikan A Î Mn(F). Buktikan bahwa tr(AAT) =

åå

= = n i n j ij a 1 1 2_.

36. Diberikan X Î Mn(R). Buktikan bahwa jika XXT = On maka X = On.

37. Diberikan m, n, p Î Z+_{dan A}_{Î M}

m´n(R), B Î Mn´p(R), C Î Mp´m(R). Buktikan

bahwa jika (BA)T_{A = (CA)}T_{A maka BA = CA.}

38. Diberikan A dan B adalah matriks persegi berukuran sama, dengan A simetris dan B simetris miring. Buktikan bahwa A2_BA2_{adalah simetris miring.}

39. Jika A adalah matriks simetris berukuran n´n dan B berukuran n´m, buktikan bahwa BTAB adalah matriks simetris berukuran m´m.

(24)

(25)

INDEKS

D

diagonal utama, 2

M

matriks, 1 bagian, 2 diagonal, 3 dominan diagonal, 4 eselon baris, 11 eselon baris tereduksi, 12 identitas, 3 nol, 3 persegi, 2 segitiga atas, 3 segitiga bawah, 3 simetris, 10 simetris miring, 10 tridiagonal, 4

T

trace, 12 transpos, 9

U

ukuran matriks, 1

V

vektor, 2 baris, 2 kolom, 2