Drs. Darmo
Definisi:
Susunan bilangan berbentuk persegi panjang
yang diatur dalam baris dan kolom.
Contoh:
7 1
0 2
3 4
A
1 3
3 1
aij adalah elemen baris ke-i, kolom ke-j
Matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut
berordo m n.
Matriks berordo mxn yang banyak baris sama dengan
banyaknya kolom disebut matriks persegi.
Contoh:
Elemen 3, -6, -1 disebut elemen-elemen diagonal utama.
1 8
9
7 6
4
1 2
3
Kesamaan Dua MatriksKesamaan Dua Matriks
Dua matriks disebut sama jika ordonya sama dan elemen-elemen yang seletak sama.
Jumlah Dua MatriksJumlah Dua Matriks
Dua Matriks A dan B dapat dijumlahkan jika ordonya sama.
Jumlah dua matriks A dan B ialah matriks C yang ordonya sama dengan ordo matriks A maupun B, sedangkan elemen-elemen yang seletak dijumlahkan:
Contoh:
3 2
3 1
8 2
4 3
5 0
Hasil Kali Matriks dengan SkalarHasil Kali Matriks dengan Skalar
Hasil kali matriks A dengan skalar k ialah matriks yang ordonya sama dengan ordo matriks A sedangkan elemen-elemennya dikalikan dengan k.
Hasil Kali 2 Matriks Hasil Kali 2 Matriks
Jika A adalah sebuah matriks m r dan B adalah matriks r
n maka hasil kali A B adalah matriks mxn yang
Misalkan ordo matriks-matriks berikut memenuhi syarat agar operasi-operasi berikut terdefinisi maka berlaku:
1.A+B = B+A (H. Komutatif Penjumlahan)
2.A+(B+C) = (A+B)+C (H. Asosiatif Penjumlahan)
3.k(A+B) = kA+kB k skalar
4.(k+l)A = kA + lA k dan l skalar 5.(kl)A = k(lA) k dan l skalar
6.k(AB) = kA(B) = A(kB) k skalar
7.A(BC) = (AB)C (H. Asosiatif Perkalian)
8.A(B+C) = AB + AC (H. Distributif)
1. Misalkan A dan B adalah matriks-matriks 45 dan misalkan
C, D, dan E berturut-turut adalah matriks-matriks: 52,
42, dan 54. Tentukanlah yang mana diantara pernyataan
berikut terdefinisi dan berapakah ordo hasilnya.
2. Hitunglah a, b, c dan d jika
3. Ditentukan: dan
dengan tidak menghitung hasil keseluruhan,
hitunglah:
4. Misalkan Q adalah matriks nn yang elemen di dalam baris
ke-i, kolom ke-j adalah 1 jika i = j, dan 0 jika i ≠ j. Perlihatkan bahwa aI = Ia = a untuk setiap matriks A nn .
5. Jika A dan B matriks-matriks persegi yang ordonya sama,
Definisi:
Jika A suatu matriks persegi didefinisikan Ao = I (matriks
Identitas) An =AA A A … A sebanyak n faktor.
Jika A suatu matriks mn maka transpose matriks A ditulis At
atau A’ didefinisikan sebagai matriks nxm dengan kolom ke-i diperoleh dari baris ke-i dalam A, untuk i=1,2, …, m.
Contoh:
0 1
2
3 5 4
0 3
1 5
2 4
t
Berdasarkan pengertian transpose dapat dibuktikan sifat
berikut:
Jika ordo matriks-matriks berikut memenuhi syarat agar operasinya terdefinisi maka:
1. (At)t = A
2. (A+B)t = At + Bt
3. (kA)t = k(At)
4. (AB)t = Bt . At
Contoh:
Matriks nol
adalah matriks yang semua elemennya nol.
Contoh:
Matriks satuan / Identitas
adalah matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, sedangkan elemen lainnya nol. Matriks identitas dinyatakan dengan I.
Contoh:
Matriks diagonal
adalah matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya adalah nol, sedangkan elemen diagonal utamanya tidak semua nol.
Contoh:
0 0
0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
4
0 0
0 2
0
0 0
Matriks segitiga atas
adalah matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utama nol, sedangkan yang lain tidak semua nol.
Contoh:
Matriks segitiga bawah
adalah matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utama nol, sedangkan yang lain tidak semua nol.
Contoh:
Matriks simetri
adalah matriks persegi yang berlaku A = At.
Contoh:
Matriks Eselon
adalah matriks yang memenuhi sifat-sifat berikut: 1. Jika ada baris nol maka letaknya di bawah.
2. Jika suatu baris tak nol maka elemen tak nol pertama adalah satu. Satu ini disebut satu utama / satu pemuka / leading entry.
3. Satu utama pada baris yang lebih awal terletak pada kolom yang lebih awal pula. Contoh:
Matriks Eselon Tereduksi
adalah matriks eselon yang pada setiap kolom yang memuat satu utama maka elemen lainnya nol.
Contoh:
Misalkan pada suatu matriks dilakukan operasi-operasi sebagai
berikut:
1. Saling menukar dua baris. (misalnya menukar baris ke-i dengan baris ke-j).
2. Mengalikan sutu baris dengan bilangan real tak nol. (Misalnya mengalikan baris ke-i dengan k, k ≠ 0).
3. Menambahkan suatu baris dengan kelipatan baris lain (Misalnya baris ke-i
ditambah k kali baris ke-j)
Setiap operasi di atas disebut: OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) dan berturut-turut dinyatakan dengan:
1. Rij
2. Ri(k) atau k. Ri
Contoh:
Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan satu kali atau
beberap kali OBE, maka dikatakan A ekuivalen baris B di tulis A B.
Jika matriks B diperoleh dari matriks A melalui suatu OBE
maka dari B dapat diperoleh kembali matriks A melalui OBE sejenis.
Misalkan:
A Rij B B Rij AA
A Ri(k) B B Ri(1/k) AA
A Rij(k) B B Rij(-k) AA
Jika A, B, dan C tiga matriks berordo sama makaJika A, B, dan C tiga matriks berordo sama maka
1.
1. Jika A Jika A B maka B B maka B A (sifat simetri) A (sifat simetri)
2.
2. Jika A Jika A B dan B B dan B C maka A C maka A C (sifat transitif) C (sifat transitif)
Matriks elementer adalah matriks identitas yang dikenai satu
kali OBE.
Jika E suatu matriks elementer berordo mm, dan A suatu
matriks berordo mn maka EA hasilnya akan sama dengan
matriks yang diperoleh dari A dengan melakukan operasi baris elementer yang sesuai.
0 1 0
1 0 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
23
3 E
Contoh:
Diketahui :
Definisi:
matriks persegi A disebut invers B jika AB = BA = I. A disebut invers B dan B disebut invers A.
invers A di tulis A-1.
Invers matriks elementer merupakan matriks elementer juga.
(Iij)-1 = Iij
(Ii(k))-1 = Ii(1/k)
Perhatikan sekarang dengan menggunakan
beberapa kali OBE akan kita ubah metriks tersebut menjadi matriks eseleon baris tereduksi.
Banyaknya permutasi dari n elemen yang berlainan ialah n!, ditulis Pn = n!
Contoh:
untuk n=3, misalnya {1, 2, 3} permutasinya P3 = 3! = 321 = 6; yaitu:
(1, 2, 3)(2, 1, 3)(3, 1, 2) (1, 3, 2)(2, 3, 1)(3, 2, 1)
Suatu inversi terjadi jika dalam suatu permutasi tercatat bilangan yang lebih besar mendahului yang lebih kecil.
Contoh:
1 2 3 4 5 6 inversinya 0, karena tidak ada bilangan yang lebih besar menadhului
yang lebih kecil.
Permutasi genap permutasi yang banyak inversinya genap. Permutasi ganjil permutasi yang banyak inversinya ganjil.
Permutasi Banyaknya inversi Klasifikasi
(1, 2, 3) 0 Genap
(1, 3, 2) 1 Ganjil
(2, 1, 3) 1 Ganjil
(2, 3, 1) 2 Genap
(3, 1, 2) 2 Genap
Perkalian elementer dari Ann ialah hasil kali n elemen dari A yang tidak
sebaris dan tidak sekolom.
Contoh:
Yaitu:
Perkalian elementer bertanda dari Ann adalah perkalian elementer dari A
dikalikan (-1) berpangkat jumlah inversinya.
Contoh: di atas
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a
a
a a
a
a a
a A
33 22 11a a
a a11a23a32 a12a21a33
31 23 12a a
a a13a22a31 a13a21a32
33 22 11a a
a
a11a23a32 a12a21a33
31 23 12a a
a
Determinan matriks Ann ditulis det A atau |A| didefinisikan sebagai
jumlah semua perkalian elementer bertanda dari A.
Contoh:
A Dapat dihitung dengan cara sebagai berikut:
Determinan yang terjadi jika baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan disebut
MINOR unsur aij; ditulis Mij
Contoh:
Kofaktor elemen aij ditulis Kij=(-1)(i+j)Mij
maka K23=(-1)2+3M23 = 1
1 9
5
6 7 4
3 2
1
A 9 10 1
9 5
2 1
23
M
1 10
9 9 5
2 1
23
Determinan matrik A dapat Juga
dihitung dengan :
(diuraikan atas baris ke i)
Atau
(diuraikan atas kolom ke j)
M
a
M
a
M
a
in inn i
i i
i
i i
i
A
( 1) ( 1) 2 2 .... ( 1)
2
1 1
1
K
a
K
a
K
a
j j j j nj njContoh :
1 9
5
6 7
4
3 2
1
1 9
5
6 7
4
3 2
1
1 9
5
6 7
4
3 2
Tuliskan sifat-sifat determinan beserta contohnya.
Jangan lupa tuliskan referensi yang Anda pakai.
Tugas ditulis tangan dengan rapi dalam kertas folio.
Jika A adalah sebarang matriks n × n maka matriks kofaktor A adalah
matriks yang berbentuk
Transpose matriks kofaktor A disebut matriks adjoin A dan dinyatakan
dengan adj(A)
adj
Invers matriks A dihitung menggunakan matriks adjoint adalah sebagai
berikut.
Contoh:
Jadi
Menggunakan matriks adjoint
Jadi dan
adj
Bentuk umum :
dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui.
Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.
SPL
Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN
Tidak mempunyai penyelesaian disebut TIDAK KONSISTEN
TUNGGAL
SPL 2 persamaan 2 variabel:
Masing-masing pers berupa garis lurus.
Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini.
SPL
BENTUK MATRIKS
STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:
SPL
1. Mengalikan suatu persamaan
dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua persamaan sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu
persamaan ke persamaan lainnya.
MATRIKS
1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua baris sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu
baris ke baris lainnya.
Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
DIKETAHUI
kalikan pers (i) dengan (-2), kemu-dian tambahkan ke pers (ii).
kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii).
…………(i) …………(ii) …………(iii)
kalikan pers (i) dengan (-3), kemu-dian tambahkan ke pers (iii).
kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii).
kalikan pers (ii) dengan (1/2).
kalikan pers (iii)
dengan (-2). kalikan brs (iii) dengan (-2).
kalikan pers (ii) dengan (1/2).
kalikan baris (ii) dengan (1/2).
kalikan pers (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke pers (iii).
kalikan brs (ii) dengan (-3), lalu
tambahkan ke brs (iii).
kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i).
kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i).
kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i).
kalikan pers (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (i) dan kalikan pers (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke pers (ii)
kalikan brs (iii)
dengan (-11/2), lalu tambahkan ke brs (i) dan kalikan brs (ii) dg (7/2), lalu
tambahkan ke brs (ii)
Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasi matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan
METODA ELIMINASI GAUSS.
Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:
maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi.
Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb: 1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen
tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1.
2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah.
3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading
1 baris berikut.
Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut
bentuk echelon-baris.
CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:
Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah
mengubah
matriks ke dalam bentuk
echelon-baris
tereduksi
.
CONTOH: Diberikan SPL berikut.
Akhirnya diperoleh:
Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka diperoleh penyelesaian:
Misalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut:
Bentuk ini ekuivalen dengan:
LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh:
LANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh:
LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi
Mengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian menggunakan substitusi mundur.
CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian
PENYELESAIAN: Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut:
