Contoh soal
1. Tentukan apakah 𝑢 dan 𝑣 membentuk sudut lancip, sudut tumpul atau saling tegak lurus.
a. 𝑢 = (6,1,4), 𝑣 = (2,0, −3) b. 𝑢 = (−6,0,4), 𝑣 = (3,1,6) Jawab.
a.
‖𝑢‖ = √62+ 12+ 42 = √36 + 1 + 16 = √53
‖𝑣‖ = √22+ 02+ (−3)2 = √4 + 0 + 9 = √13 cos 𝜃 = 𝑢 ∙ 𝑣
‖𝑢‖ ‖𝑣‖=6(2) + 1(0) + 4(−3)
√53√13 =12 + 0 − 12
√53√13 = 0
√53√13= 0 𝜃 = arccos 0 = 90°
Jadi 𝑢 dan 𝑣 saling tegak lurus (ortogonal).
b.
‖𝑢‖ = √(−6)2+ 02+ 42 = √36 + 0 + 16 = √52
‖𝑣‖ = √32+ 12+ 62= √9 + 1 + 36 = √46 cos 𝜃 = 𝑢 ∙ 𝑣
‖𝑢‖ ‖𝑣‖=−6(3) + 0(1) + 4(6)
√52√46 =−18 + 0 + 24
√52√46 = 6
√52√46 𝜃 = arccos 6
√52√46= 82,95° Jadi 𝑢 dan 𝑣 membentuk sudut lancip.
2. Jika diketahui 𝑢 = (3,1, −7) dan 𝑣 = (1,0,5) a. Tentukan proyeksi ortogonal 𝑢 pada 𝑣.
b. Tentukan komponen vektor 𝑢 yang ortogonal terhadap 𝑣.
Jawab.
a.
𝑢 ∙ 𝑣 = 3(1) + 1(0) + (−7)(5) = 3 + 0 − 35 = −32
‖𝑣‖ = √12+ 02+ 52= √1 + 0 + 25 = √26 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑣 𝑢 = 𝑢 ∙ 𝑣
‖𝑣‖2𝑣 = −32 (√26)2
(1,0,5) =−32
26 (1,0,5) = (−16
13, 0, −80 13)
b.
𝑢 − 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑣 𝑢 = (3,1, −7) − (−16
13, 0, −80
13) = (55
13, 1, −11 3)
3. Buktikan identitas berikut.
𝑢 ∙ 𝑣 =1
4‖𝑢 + 𝑣‖2−1
4‖𝑢 − 𝑣‖2 Jawab.
Misalkan 𝑢 dan 𝑣 adalah sembarang vektor sedemikian sehingga 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛)
𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛) maka
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢1𝑣1+ 𝑢2𝑣2+ ⋯ + 𝑢𝑛𝑣𝑛
=1
4(4(𝑢1𝑣1+ 𝑢2𝑣2+ ⋯ + 𝑢𝑛𝑣𝑛))
=1
4(4(𝑢1𝑣1+ 𝑢2𝑣2+ ⋯ + 𝑢𝑛𝑣𝑛) + 𝑢12− 𝑢12+ ⋯ + 𝑢𝑛2− 𝑢𝑛2+ 𝑣12− 𝑣12+ ⋯ + 𝑣𝑛2− 𝑣𝑛2)
=1
4(𝑢12+ ⋯ + 𝑢𝑛2+ 2(𝑢1𝑣1+ 𝑢2𝑣2+ ⋯ + 𝑢𝑛𝑣𝑛) + 𝑣12+ ⋯ + 𝑣𝑛2)
−1
4(𝑢12+ ⋯ + 𝑢𝑛2− 2(𝑢1𝑣1+ 𝑢2𝑣2+ ⋯ + 𝑢𝑛𝑣𝑛) + 𝑣12+ ⋯ + 𝑣𝑛2)
=1
4(‖𝑢‖2+ 2‖𝑢‖‖𝑣‖ + ‖𝑣‖2) −1
4(‖𝑢‖2− 2‖𝑢‖‖𝑣‖ + ‖𝑣‖2)
=1
4‖𝑢 + 𝑣‖2−1
4‖𝑢 − 𝑣‖2 Jadi terbukti.
4. Tentukan luas dari paralelogram yang dibatasi oleh 𝑢 dan 𝑣 sebagai berikut 𝑢 = (2,3,0)
𝑣 = (−1,2, −2) Jawab.
𝑢 × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 𝑘
2 3 0
−1 2 −2
| = 𝑖 |3 0
2 −2| − 𝑗 | 2 0
−1 −2| + 𝑘 | 2 3
−1 2|
= 𝑖(−6 − 0) − 𝑗(−4 − 0) + 𝑘(4 + 3)
= −6𝑖 + 4𝑗 + 7𝑘
𝑙𝑢𝑎𝑠 = ‖𝑢 × 𝑣‖ = ‖−6𝑖 + 4𝑗 + 7𝑘‖ = √(−6)2+ 42+ 72= √36 + 16 + 49 = √101
5. Tentukan hasil tripel skalar dari 𝑢 ∙ (𝑣 × 𝑤) dengan 𝑢 = (−1,2,4) 𝑣 = (3,4, −2) 𝑤 = (−1,2,5) Jawab.
𝑢 ∙ (𝑣 × 𝑤) = |
−1 2 4 3 4 −2
−1 2 5
| = −1 |4 −2
2 5 | − 2 | 3 −2
−1 5 | + 4 | 3 4
−1 2|
= (−1)(20 + 4) − 2(15 − 2) + 4(6 + 4)
= −24 − 26 + 40
= −10
6. Tentukan apakah bidang-bidang berikut saling tegak lurus
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 4 = 0 dan 𝑥 + 2𝑧 = 1 Jawab.
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 4 = 0 → 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑛𝑦𝑎 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 𝑛1= (3, −1,1) 𝑥 + 2𝑧 = 1 → 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑛𝑦𝑎 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 𝑛2= (1,0,2) sehingga
𝑛1∙ 𝑛2= (3, −1,1) ∙ (1,0,2) = 3(1) − 1(0) + 1(2) = 3 − 0 + 2 = 5 Karena
𝑛1∙ 𝑛2≠ 0 Dengan kata lain kedua bidang tersebut tidak saling tegak lurus.
7. Tentukan persamaan-persamaan parametrik untuk garis perpotongan dari bidang-bidang berikut.
7𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −2 𝑑𝑎𝑛 − 3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 + 5 = 0 Jawab.
Dapat dibentuk suatu sistem persamaan linear yaitu
7𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −2
−3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −5
maka diperoleh
[ 7 −2 3
−3 1 2] [ 𝑥 𝑦 𝑧
] = [−2
−5] dan matriks yang dipersbesarnya adalah
( 7 −2 3
−3 1 2|−2
−5) Dengan menggunakan operasi baris elementer maka
𝑅2← 𝑅2+3 7𝑅1 𝑅2 ← 7𝑅2
~ (7 −2 3 0 1 23|−2
−41)
𝑅1← 𝑅1+ 2𝑅2 𝑅1←1
7𝑅1 ~ (1 0 7 0 1 23|−12
−41) sehingga diperoleh
𝑥 + 7𝑧 = −12 → 𝑥 = −7𝑧 − 12 𝑦 + 23𝑧 = −41 → 𝑦 = −23𝑧 − 41 maka solusi umunya adalah
𝑥 = −7𝑡 − 12 𝑦 = −23𝑡 − 41
𝑧 = 𝑡
Oleh karena itu garis-garis perpotongannya dapat dinyatakan dalam persamaan-persamaan parametrik
𝑥 = −7𝑡 − 12 𝑦 = −23𝑡 − 41
𝑧 = 𝑡 dengan (−∞ < 𝑡 < ∞).
8. Tentukan persamaan untuk suatu bidang yang melewati titik-titik berikut.
𝑃(5,4,3), 𝑄(4,3,1), 𝑅(1,5,4) Jawab.
Karena ketiga titik terletak pada suatu bidang, maka koordinat-koordinatnya harus memenuhi persamaan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 dari bidang tersebut sehingga
5𝑎 + 4𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 0 4𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 0
𝑎 + 5𝑏 + 4𝑐 + 𝑑 = 0 Dapat dibentuk menjadi
[
5 4 3 1 4 3 1 1 1 5 4 1
] [ 𝑎 𝑏𝑐 𝑑
] = [ 0 0 0 ]
Dan diperoleh matriks yang diperbesar yaitu (
5 4 3 1 4 3 1 1 1 5 4 1
| 0 0 0
)
Dengan menggunakan operasi baris elementer maka diperoleh 𝑅2← 𝑅2−4
5𝑅1
𝑅3← 𝑅3−1 5𝑅1 𝑅2↔ 𝑅3
~ (
5 4 3 1
0 21/5 17/5 4/5 0 −1/5 −7/5 1/5
| 0 0 0
)
𝑅3 ← 𝑅3+ 1 21𝑅2 𝑅3← −21
26𝑅3 𝑅2 ← 𝑅2−17
5 𝑅3
~ (
5 4 3 1
0 21/5 0 189 130
0 0 1 − 5
26
||
0 0 0
)
𝑅1← 𝑅1− 3𝑅3
𝑅2← 5
21𝑅2 ~ (
5 4 0 41 26
0 1 0 9
26 0 0 1 − 5
26
|
|00 0
)
𝑅1← 𝑅1− 4𝑅2 𝑅1←1
5𝑅1 ~ (
1 0 0 1
26
0 1 0 9
26 0 0 1 − 5
26
|
|00 0
) Dengan menyelesaikan sistem ini akan diperoleh
𝑎 = − 1 26𝑡 𝑏 = − 9
26𝑡 𝑐 = 5
26𝑡
𝑑 = 𝑡
Dengan memasukkan nilai 𝑡 = −26 maka persamaan bidang tersebut adalah 𝑥 + 9𝑦 − 5𝑧 − 26 = 0
9. Tentukan jarak antara titik dan bidang berikut.
(0,3, −2) 𝑑𝑎𝑛 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 3 Jawab.
Persamaan bidangnya adalah
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 3 → 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 − 3 = 0 sehingga
𝐷 =|𝑎𝑥0+ 𝑏𝑦0+ 𝑐𝑧0+ 𝑑|
√𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2 =|1(0) − 1(3) − 1(−2) − 3|
√12+ (−1)2+ (−1)2 =|0 − 3 + 2 − 3|
√1 + 1 + 1 = 4
√3=4 3√3 Jadi jarak antara titik dan bidang tersebut adalah 4
3√3.
10. Tentukan jarak antara bidang-bidang sejajar berikut.
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1 𝑑𝑎𝑛 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1 Jawab.
Pada persamaan bidang
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1 Misalkan diambil titik 𝑥 = 1 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 1 maka
2(1) − 1 + 𝑧 = 1 → 1 + 𝑧 = 1 → 𝑧 = 0
Artinya bidang tersebut melalui titik (1,1,0) sehingga jarak dengan bidang 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 1 = 0 adalah 𝐷 =|𝑎𝑥0+ 𝑏𝑦0+ 𝑐𝑧0+ 𝑑|
√𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2 =|2(1) − 1(1) + 1(0) + 1|
√22+ (−1)2+ 12 =|2 − 1 + 0 + 1|
√4 + 1 + 1 = 2
√6=1 3√6 Jadi jarak antara kedua bidang sejajar tersebut adalah 1
3√6.
