Aljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2

(1)

Aljabar Linier Elementer

Kuliah 1 dan 2

(2)

1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks

Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut entri dalam matriks

Contoh:

1 2 3 0

−1 4

, 2 1 0 −3 , − 2 𝜋 𝑒 3 ¹₂ 0

0 0 0

, 1

3 , 4 Ukuran matriks digambarkan sebagai jumlah baris (horizontal) dan jumlah kolom (vertikal).

1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 2

(3)

Bentuk umum matriks m x n:

𝐴 =

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₂₁

⋯ 𝑎_1𝑛

⋯ 𝑎_2𝑛

⋮ ⋮

𝑎_𝑚1 𝑎_𝑚2 ⋯ ⋮

⋯ 𝑎_𝑚𝑛 Dapat juga ditulis dalam bentuk:

𝑎_{𝑖𝑗 𝑚×𝑛} atau 𝑎_𝑖𝑗

Entri-entri pada baris i dan kolom j dari matriks A ditulis juga dengan simbol 𝐴 _𝑖𝑗, dengan demikian:

𝐴 _𝑖𝑗 = 𝑎_𝑖𝑗

(4)

Catatan:

1. Jika matriks 𝐴 mempunyai 𝑛 baris dan 𝑛 kolom, maka matriks ini disebut matriks bujur sangkar berorder 𝑛.

2. Perhatikan matriks bujur sangkar berikut:

𝐴 =

𝑎₁₁ 𝑎₁₂

𝑎₂₁ 𝑎₂₁ ⋯ 𝑎_1𝑛

⋯ 𝑎_2𝑛

⋮ ⋮

𝑎_𝑛1 𝑎_𝑛2 ⋯ ⋮

⋯ 𝑎_𝑛𝑛

Maka entri 𝑎₁₁, 𝑎₂₂, … , 𝑎_𝑛𝑛 disebut diagonal utama.

(5)

Operasi pada Matriks

Definisi: Dua buah matriks didefinisikan sama (setara) jika matriks-matriks ini berukuran sama dan entri-entri yang seletak adalah sama.

Jika 𝐴 = 𝑎_𝑖𝑗 dan 𝐵 = 𝑏_𝑖𝑗 berukuran sama, maka:

𝐴 = 𝐵 jika dan hanya jika 𝐴 _𝑖𝑗 = 𝐵 _𝑖𝑗 atau ekivalen dengan

𝑎_𝑖𝑗 = 𝑏_𝑖𝑗 untuk semua i dan j.

(6)

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Definisi: Jika A dan B matriks-matriks yang berukuran sama, maka

1. Penjumlahan 𝐴 + 𝐵 diperoleh dengan menjumlah-kan entri-entri yang seletak.

2. Pengurangan 𝐴 – 𝐵 diperoleh dengan mengurang-kan entri-entri yang seletak

Jika 𝐴 = 𝑎_𝑖𝑗 dan 𝐵 = 𝑏_𝑖𝑗 matriks-matriks berukuran sama, maka :

𝐴 + 𝐵 _𝑖𝑗 = 𝐴 _𝑖𝑗 + 𝐵 _𝑖𝑗 = 𝑎_𝑖𝑗 + 𝑏_𝑖𝑗 𝐴 − 𝐵 _𝑖𝑗 = 𝐴 _𝑖𝑗 − 𝐵 _𝑖𝑗 = 𝑎_𝑖𝑗 − 𝑏_𝑖𝑗

(7)

Perkalian skalar dengan matriks

Definisi: Jika 𝐴 adalah matriks dan 𝑐 adalah skalar, maka hasil kali 𝑐𝐴 adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri di 𝐴 dengan 𝑐.

Jika 𝐴 = 𝑎_𝑖𝑗 , maka 𝑐𝐴 _𝑖𝑗 = 𝑐 𝐴 _𝑖𝑗 = 𝑐𝑎_𝑖𝑗

Catatan: Jika 𝐴₁, 𝐴₂, … , 𝐴_𝑛 matriks-matriks berukuran sama dan 𝑐₁, 𝑐₂, … , 𝑐_𝑛 adalah skalar, maka bentuk 𝑐₁𝐴₁ + 𝑐₂𝐴₂ + ⋯ + 𝑐₁𝐴₁ disebut sebagai kombinasi linier dari 𝐴₁, 𝐴₂, … , 𝐴_𝑛 dengan koefisien 𝑐₁, 𝑐₂, … , 𝑐_𝑛.

(8)

Perkalian matriks

Definisi: Jika 𝐴 matriks berukuran 𝑚 × 𝑟 dan 𝐵 matriks berukuran 𝑟 × 𝑛, maka hasil kali 𝐴𝐵 adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 , yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut: untuk mendapatkan entri baris ke 𝑖 dan kolom ke 𝑗 dari 𝐴𝐵, keluarkan baris 𝑖 dari matriks 𝐴 dan kolom 𝑗 dari matriks 𝐵. Kalikan entri yang sesuai dari baris dan kolom bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kali dihasilkan.

1-8-2014

Yanita, Matematika Unand 8

(9)

Maka:

𝐴𝐵 ₁₁ = 𝑎₁₁𝑏₁₁ + 𝑎₁₂𝑏₂₁ + ⋯ + 𝑎_1𝑟𝑏_𝑟1 Dst

Atau

𝐴𝐵 _𝑖𝑗 = _𝑖=𝑗^𝑚 𝑎_𝑖1𝑏_1𝑗

(10)

Contoh

Misalkan:

Maka diperoleh

(11)

Maka entri dari 𝐴𝐵 adalah:

1-8-2014 Yanita, Matematika Unand

11

(12)

Partisi Matriks

Suatu matriks dapat dibagi atau dipartisi menjadi matriks yang lebih kecil dengan cara menyisipkan aturan horizontal dan vertikal antara baris dan kolom yang dipilih.

Contoh:

12

(13)

Perkalian matriks dengan kolom dan dengan baris

Perkalian ini berguna untuk mencari baris atau kolom tertentu dari hasil kali matrik 𝐴𝐵 tanpa harus menghitung hasil kali seluruhnya.

Kolom ke−𝑗 matriks 𝐴𝐵 = 𝐴 [kolom ke−𝑗 matriks 𝐵] (1) Baris ke−𝑖 matriks 𝐴𝐵 = [baris ke−𝑖 matrik 𝐴]𝐵 (2)

(14)

Contoh

Misalkan:

Kolom kedua matriks 𝐴𝐵 dapat diperoleh dengan menghitung:

Kolom kedua matriks B

Kolom kedua matriks AB

(15)

Contoh

Baris pertama matriks 𝐴𝐵 dapat diperoleh dengan menghitung

Baris pertama matriks A Baris pertama matriks AB

(16)

Secara umum

Jika 𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑚 adalah baris-baris matriks 𝐴 dan 𝑏₁, 𝑏₂, … , 𝑏_𝑚 adalah kolom-kolom matiks 𝐵, maka rumus

Kolom ke−𝑗 matriks 𝐴𝐵 = 𝐴 [kolom ke−𝑗 matriks 𝐵] (1) Baris ke−𝑖 matriks 𝐴𝐵 = [baris ke−𝑖 matrik 𝐴]𝐵 (2) Menjadi:

(3)

(4)

1-8-2014

Yanita, Matematika Unand 16

AB dihitung kolom dengan kolom

AB dihitung baris dengan baris

(17)

Hasil Kali Matriks sebagai Kombinasi Linier

Perhatikan matriks berikut:

Misalkan:

𝐴 =

𝑎₁₁ 𝑎₁₂

𝑎₂₁ 𝑎₂₁ ⋯ 𝑎_1𝑛

⋯ 𝑎_2𝑛

⋮ ⋮

𝑎_𝑚1 𝑎_𝑚2

⋯ ⋮

⋯ 𝑎_𝑚𝑛

dan 𝑋 =

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥⋮_𝑛 maka

(5)

(18)

Persamaan (5) menyatakan bahwa hasil kali 𝐴𝑋 adalah suatu kombinasi linier dari matriks kolom 𝐴 dengan koefisien yang berasal dari matriks 𝑋.

Contoh:

Hasil kali matriks

−1 3 2

1 2 −3

2 1 −2

2

−1 3

= 1

−9

−3 Dapat ditulis sebagai kombinasi linier

2 −1 1 2

− 1 3 2 1

+ 3 2

−3

−2

= 1

−9

−3

(19)

Hasil kali matriks

1 −9 −3 −1 3 2

1 2 −3

2 1 −2 = −16 −18 35

Dapat ditulis sebagai kombinasi linier:

1 −1 3 2 − 9 1 2 −3 − 3 2 1 −2 = −16 −18 35

(20)

Contoh

Dari contoh sebelumnya

Matriks-matriks kolom dari 𝐴𝐵 dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari matriks kolom 𝐴 sebagai berikut:

(21)

Transpos dari Matriks

Definisi: Jika 𝐴 matriks berukuran 𝑚 × 𝑛, maka transpos dari matriks 𝐴, disimbolkan dengan 𝐴^𝑇 adalah matriks yang berukuran 𝑛 × 𝑚 yang entri- entrinya berasal dari pertukaran baris-baris dan kolom-kolom di 𝐴, yaitu kolom pertama dari matriks 𝐴^𝑇 adalah baris pertama dari 𝐴, kolom kedua dari 𝐴^𝑇 adalah baris kedua dari 𝐴, dan seterusnya.

Entri dari baris ke 𝑖 dan kolom ke 𝑗 dari 𝐴^𝑇 adalah entri baris ke 𝑗 dan kolom ke 𝑖 dari 𝐴, yaitu 𝐴^𝑇 _𝑖𝑗 =

𝐴 _𝑗𝑖

(22)

Jik 𝐴 =

𝑎₁₁ 𝑎₁₂

𝑎₂₁ 𝑎₂₂ ⋯ 𝑎_1𝑛

⋯ 𝑎_2𝑛

⋮ ⋮

𝑎_𝑚1 𝑎_𝑚2 ⋯ ⋮

⋯ 𝑎_𝑚𝑛

maka 𝐴^𝑇 =

𝑎₁₁ 𝑎₂₁

𝑎₁₂ 𝑎₂₂ ⋯ 𝑎_𝑚1

⋯ 𝑎_𝑚2

⋮ ⋮

𝑎_1𝑛 𝑎_2𝑛 ⋯ ⋮

⋯ 𝑎_𝑛𝑚 Contoh:

(23)

Trace dari Matriks

Definisi: Jika 𝐴 matriks bujur sangkar, maka trace dari 𝐴, disimbolkan dengan 𝑡𝑟(𝐴), adalah jumlah entri-entri pada diagonal utama dari 𝐴.

Catatan:

Trace dari matriks 𝐴 tidak didefinisikan untuk 𝐴 yang tidak bujur sangkar.

(24)

Jika 𝐴 =

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ … 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ …

⋮ ⋮ …

𝑎_1𝑛 𝑎_2𝑛 𝑎_𝑛1 𝑎_𝑛2 … 𝑎⋮_𝑛𝑛 maka

𝑡𝑟 𝐴 = 𝑎₁₁ + 𝑎₂₂ + ⋯ + 𝑎_𝑛𝑛

Contoh 𝐴 =

3 −4 5

1 0 6

2 9 3

9 4 7 2 1 −28

maka𝑡𝑟 𝐴 = 3 + 0 + 3 + 8 = 14

(25)

1.4 Aturan-aturan Matriks Aritmatika dan Invers

Teorema 1.4.1: Asumsikan bahwa ukuran matriks-matriks berikut sedemikian hingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan, aturan-aturan berikut untuk matriks aritmatika berlaku:

Catatan: Hukum komutatif tidak berlaku untuk perkalian matriks.

(26)

Matriks-matriks khusus

1. Matriks nol

2. Matrik identitas

3. Matriks segitiga atas

4. Matriks segitiga bawah

5. Matriks diagonal

6. Matriks simetri (untuk matriks bujur sangkar) 𝐴 = 𝐴^𝑇

26

(27)

Contoh

Matriks simetri

(28)

Teorema 1.4.2:

Asumsikan bahwa ukuran matriks-matriks berikut sedemikian hingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan, aturan-aturan berikut untuk matriks aritmatika berlaku:

(29)

Teorema 1.4.3: Jika R adalah matriks eselon baris tereduksi dari matriks A (n x n), maka R mempunyai baris nol atau R adalah matriks identitas.

Bukti: Misalkan matriks eselon tereduksi dari matriks A adalah:

Pertimbangkan baris terakhir dari matriks ini. Baris terakhir dari matriks ini berkemungkinan seluruhnya nol atau tidak. Jika tidak, maka baris tidak memuat baris nol, akibatnya setiap baris memiliki leading entri 1. Karena leading 1 yang terjadi semakin jauh ke kanan seperti bergerak turun matriks, maka masing-masing 1 jatuh pada diagonal utama. Karena entri lain pada kolom selain 1 adalah nol, maka haruslah R adalah matriks identitas. Dengan demikian R mempunyai baris nol atau R adalah matriks identitas.

(30)

Invers Matriks

Definisi: Jika 𝐴 matriks bujursangkar, dan jika matriks 𝐵 berukuran sama dengan 𝐴, maka dapat dicari sedemikian hingga 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼.

Maka 𝐴 disebut invertibel dan 𝐵 disebut invers dari 𝐴 (atau disimbolkan dengan 𝐴⁻¹). Jika 𝐵 tidak dapat didefinisikan , maka dikatakan matriks singular.

Contoh: Matriks 𝐵 = 3 5

1 2 adalah invers dari 𝐴 = 2 −5

−1 3

karena

2 −5

−1 3 3 5

1 2 = 1 0

0 1 = 𝐼

dan 3 5

1 2 2 −5

−1 3 = 1 0

0 1 = 𝐼

1-8-2014 30

Yanita, Matematika Unand

(31)

Sifat-Sifat Invers Matriks

Teorema 1.4.4: Jika 𝐵 dan 𝐶 keduanya invers dari matriks 𝐴, maka 𝐵 = 𝐶.

Bukti: Diketahui 𝐵 dan 𝐶 keduanya invers dari matriks 𝐴. Akan dibuktikan 𝐵 = 𝐶.

𝐵 invers dari 𝐴 berarti 𝐵𝐴 = 𝐴𝐵 = 𝐼.

𝐶 invers dari 𝐴 berarti 𝐶𝐴 = 𝐴𝐶 = 𝐼.

Kemudian perhatikan bahwa (𝐵𝐴)𝐶 = 𝐼𝐶 = 𝐶 dan 𝐵(𝐴𝐶) = 𝐵𝐼 = 𝐵.

Dengan demikian 𝐵 = 𝐶.

(32)

Teorema 1.4.5: Matriks 𝐴 = 𝑎 𝑏 invertibel jika 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0. 𝑐 𝑑

Dan invers dari matriks ini adalah 𝐴

⁻¹

=

_{𝑎𝑑−𝑏𝑐}¹

𝑑 −𝑏

−𝑐 𝑎 =

𝑑

𝑎𝑑−𝑏𝑐

−

_{𝑎𝑑−𝑏𝑐}^𝑏

−

_{𝑎𝑑−𝑏𝑐}^𝑐 _{𝑎𝑑−𝑏𝑐}^𝑎

Bukti:

Bukti untuk teorema ini dengan cara buktikan 𝐴𝐴

⁻¹

dan 𝐴

⁻¹

𝐴.

(33)

Teorema 1.4.6: Jika A dan B matriks yang invertibel berukuran sama, maka

1. 𝐴𝐵 invertibel

2. 𝐴𝐵 ⁻¹ = 𝐵⁻¹𝐴⁻¹

Bukti: Diketahui 𝐴 dan 𝐵 matriks yang invertibel berukuran sama. Akan dibuktikan 1) dan 2).

Perhatikan bahwa

𝐴𝐵 𝐵⁻¹𝐴⁻¹ = 𝐴 𝐵𝐵⁻¹ 𝐴⁻¹ = 𝐴𝐴⁻¹ = 𝐼 Dan 𝐵⁻¹𝐴⁻¹ 𝐴𝐵 = 𝐵⁻¹ 𝐴⁻¹𝐴 𝐵 = 𝐵⁻¹𝐵 = 𝐼

Kemudian perhatikan juga bahwa

𝐴𝐵 𝐴𝐵 ⁻¹ = 𝐼 dan 𝐴𝐵 ⁻¹ 𝐴𝐵 = 𝐼

danDari persamaan-persamaan ini diperoleh 𝐴𝐵 ⁻¹ = 𝐵⁻¹𝐴⁻¹

33

(34)

Pangkat pada Matriks

Definisi: Jika 𝐴 matriks bujur sangkar, maka pangkat bilangan bulat nonnegatif pada 𝐴 adalah

𝐴

⁰

= 𝐼 dan 𝐴

^𝑛

= 𝐴𝐴 … 𝐴

sebanyak 𝑛

(𝑛 > 0)

Jika A invertibel, maka pangkat negatif pada 𝐴 adalah 𝐴

^−𝑛

= (𝐴

⁻¹

)

^𝑛

= 𝐴

⁻¹

𝐴

⁻¹

… 𝐴

⁻¹

sebanyak

^𝑛

(35)

Teorema 1.4.7: Jika A matriks bujur sangkar dan r, s adalah bilangan bulat, maka 𝐴^𝑟𝐴^𝑠 = 𝐴^𝑟+𝑠 dan 𝐴^{𝑟 𝑠} = 𝐴^𝑟𝑠

Teorema 1.4.8: Jika 𝐴 matriks invertibel, maka 1. 𝐴⁻¹ invertibel dan 𝐴^{−1 −1} = 𝐴 .

2. 𝐴^𝑛 invertibel dan 𝐴^−𝑛 = (𝐴⁻¹)^𝑛= 𝐴⁻¹𝐴⁻¹ … 𝐴⁻¹ sebanyak ^𝑛

, 𝑛 = 0,1,2, …

3. Untuk sebarang skalar tak nol 𝑘 , maka matriks 𝑘𝐴 invertibel dan 𝑘𝐴 ⁻¹ = ¹

𝑘 𝐴⁻¹

(36)

Sifat-sifat Transpos Matriks

Teorema 1.4.9: Jika ukuran matriks-matriks berikut sedemikian hingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan, maka:

a. 𝐴^{𝑇 𝑇} = 𝐴

b. 𝐴 + 𝐵 ^𝑇 = 𝐴^𝑇 + 𝐵^𝑇, c. 𝑘𝐴 ^𝑇 = 𝑘𝐴^𝑇

d. 𝐴𝐵 ^𝑇 = 𝐵^𝑇𝐴^𝑇 Dan

𝐴 − 𝐵 ^𝑇 = 𝐴^𝑇 − 𝐵^𝑇

Teorema 1.4.10: Jika 𝐴 matriks invertibel, maka 𝐴^𝑇 juga invertible dan 𝐴^{𝑇 −1} = 𝐴^{−1 𝑇}

1-8-2014 Selesai 11-8-2014 36