MAKALAH Aljabar Linier Elementer - Vektor

(1)

MAKALAH

Aljabar Linier Elementer

“VEKTOR”

Di Susun Oleh: Di Susun Oleh:

Aditya Patria Prasadani Aditya Patria Prasadani

I’lam

I’lam NaharNahar Taufiq Miladin Ashfa Taufiq Miladin Ashfa Deden Hendra Permana Deden Hendra Permana

Tasminto Tasminto

Awwaliya Nur Fithriya Awwaliya Nur Fithriya

Florenta Florenta Melia rostriana Melia rostriana Winda Listya Ningrum Winda Listya Ningrum

Tika Restianti Tika Restianti

Abdul Rahman Nurmansyah Abdul Rahman Nurmansyah

(2)

KATA PENGANTAR KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan YME yang telah melimpahkan rahmat Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan YME yang telah melimpahkan rahmat serta taufik dan hidayahnya kepada kami, sehingga kami dapat menyusun Makalah Aljabar serta taufik dan hidayahnya kepada kami, sehingga kami dapat menyusun Makalah Aljabar Linier Elem

Linier Elementer enter yang beyang berjudul “VEKTOR” ini rjudul “VEKTOR” ini dengan baik dan benar.dengan baik dan benar.

Adapun tujuan penyusunan makalah Aljabar Linier Elementer ini adalah disusun Adapun tujuan penyusunan makalah Aljabar Linier Elementer ini adalah disusun untuk melengkapi tugas mata kuliah Aljabar Linier Elementer pada semester I

untuk melengkapi tugas mata kuliah Aljabar Linier Elementer pada semester I

Dengan telah selesainya makalah ini, kami ingin mengucapkan terima kasih kepada Dengan telah selesainya makalah ini, kami ingin mengucapkan terima kasih kepada teman-teman yang sudah

teman-teman yang sudah membantu dalam membantu dalam penyusunan penyusunan makalah imakalah ini.ni.

Kami menyadari bahwa dalam menyusun makalah ini masih terdapat kekurangan, Kami menyadari bahwa dalam menyusun makalah ini masih terdapat kekurangan, oleh karena i

oleh karena itu dengan senang hati kami tu dengan senang hati kami menerima menerima kritik dan saran kritik dan saran dari para pembaca ydari para pembaca yangang berguna demi penyusunan makalah lain mendatang.

berguna demi penyusunan makalah lain mendatang.

Semarang, 9 September 2009 Semarang, 9 September 2009

Penyusun Penyusun

(3)

DAFTAR ISI DAFTAR ISI Kata Pengantar Kata Pengantar ……….………. 22 Daftar Isi Daftar Isi ……….………. 33 Pengertian Vektor Pengertian Vektor ……… 44 Operasi-operasi Aljabar pada Vektor

Operasi-operasi Aljabar pada Vektor ……… 55 Panjan

Panjang g vektor vektor / / modulmodulus us vektor vektor ... ... 77 Proyek

Proyeksi si vektor vektor ... ... ... 77 Perban

Perbandingan dingan vektor vektor ... ... ... 88 Vektor basis dalam ruang R

Vektor basis dalam ruang R33 ... ... 99

Penutup

Penutup ……… 1111

Daftar Pustaka

(4)

Pengertian Vektor

Skalar dan Vektor Skalar dan Vektor

Skalar adalah besaran (kuantitas) yang hanya mempunyai besar (nilai saja). Skalar adalah besaran (kuantitas) yang hanya mempunyai besar (nilai saja).

Vektor adalah besaran yang memiliki besar (panjang vector) dan arah (arah vector). Vektor adalah besaran yang memiliki besar (panjang vector) dan arah (arah vector). Sebuah vector dapat di lukiskan sebagai suatu segmen garis berarah, dimana panjang Sebuah vector dapat di lukiskan sebagai suatu segmen garis berarah, dimana panjang segmen menyatakan besar (panjang) vector dan arahnya menunjukan arah vector.

segmen menyatakan besar (panjang) vector dan arahnya menunjukan arah vector. Pandang gambar berikut ini :

Pandang gambar berikut ini :

(Penulisan vektor ) (Penulisan vektor ) aa

B

B titik titik ujung ujung vektorvektor

A

A titik titik pangkal pangkal vektorvektor

A-B adalahGaris pembawa A-B adalahGaris pembawa

A A

B B

Dua vector A dan B adalah sama jika kedua vector itu mempunyai besar dan arah Dua vector A dan B adalah sama jika kedua vector itu mempunyai besar dan arah yang sama tanpa melihat titik

yang sama tanpa melihat titik – – titik pangkalnya. Jadi A=B.titik pangkalnya. Jadi A=B.

A A

-A -A

Sebuah vector yang panjangnya sama dengan vector A tetapi arahnya berlawanan di Sebuah vector yang panjangnya sama dengan vector A tetapi arahnya berlawanan di tunjukkan oleh vector

(5)

Operasi-Operasi-operasi Aljabar

operasi Aljabar pad

pada V

a Vektor

ektor (R

(R

22

₎₎

a.

a. Penjumlahan VektorPenjumlahan Vektor

Penjumlahan antara dua vector (dalam bentuk gambar) dapat dilakukan dengan cara : Penjumlahan antara dua vector (dalam bentuk gambar) dapat dilakukan dengan cara : 1.

1. Cara SegitigaCara Segitiga

b b aa

Letakkan titik awal salah satu vector (misalkan b) pada titik ujung vector yang Letakkan titik awal salah satu vector (misalkan b) pada titik ujung vector yang lain (dalam hal ini a), maka vector c=a+b, yaitu vector hasil (resultan) pertemusn titil lain (dalam hal ini a), maka vector c=a+b, yaitu vector hasil (resultan) pertemusn titil awal vector a dan titik ujung vector b.

awal vector a dan titik ujung vector b. 2.

2. Cara Jajaran GenjangCara Jajaran Genjang

Misal kita akan menjumlahkan dua vector a dan b. metode ini dilakukan Misal kita akan menjumlahkan dua vector a dan b. metode ini dilakukan dengan cara menempatkan titik awal a dan b berimpitan. Resultan dari a + b adalah dengan cara menempatkan titik awal a dan b berimpitan. Resultan dari a + b adalah diagonal jajaran genjang yang dibentuk oleh a dan b.

diagonal jajaran genjang yang dibentuk oleh a dan b.

Sifat-sifat : Sifat-sifat :

MIsalkan a,b dan c adalah vector-vektor, maka berlaku : MIsalkan a,b dan c adalah vector-vektor, maka berlaku : 1).

1). a a + + b b = = b b + + c c sifat sifat komutatif komutatif 2).

2). (a (a + + b) b) + + c c = = a a + + (b (b + + c c ) ) sifat sifat asosiatif asosiatif 3).

(6)

b b   b b   2 2 1 1 3.

3. Cara polygonCara polygon

Metode ini merupakan pengembangan dari cara segitiga, digunakan untuk Metode ini merupakan pengembangan dari cara segitiga, digunakan untuk menjumlahkan lebih dari dua vector.

menjumlahkan lebih dari dua vector. Contoh penjumlahan empat vector (

Contoh penjumlahan empat vector ( aa bb cc d d

        )) b b   b b   a a a a cc d d   cc d d cc b b a a         d d   b.

b. Pengurangan VectorPengurangan Vector

pengurangan vector merupakan proses penjumlahan vector dengan vector negative pengurangan vector merupakan proses penjumlahan vector dengan vector negative (invers penjumlahan). Vector negative dari

(invers penjumlahan). Vector negative dari bb

  yaitu (-yaitu (-bb  

) adalah sebuah vector yang ) adalah sebuah vector yang jumlahnya sama tetapi arahnya berllawanan dengan vector

jumlahnya sama tetapi arahnya berllawanan dengan vector bb

  pengurangan vector pengurangan vector aa dengan dengan bb   atau atau aa --bb   --bb   a a b b   b b   a a --bb   a a c.

c. Perkalian Titik VektorPerkalian Titik Vektor

Perkalian Vektor dengan Skalar : Perkalian Vektor dengan Skalar : Vector

Vector k k aa

adalah vector yang diperoleh dengan mengalikan setiap komponen adalah vector yang diperoleh dengan mengalikan setiap komponen

a a dengan scalar dengan scalar k.k. Sifat-sifat : Sifat-sifat : 1. 1. k(a+b) = ka + kbk(a+b) = ka + kb 2. 2. (k+I)a = ka + Ia(k+I)a = ka + Ia contoh : contoh :

(7)

b b  

cc

 a a

Perkalian vector dengan vector Perkalian vector dengan vector Bila Bila aa aa11ii aa22 j j   dan dan bb bb11ii bb22 j j   untuk untuk _a_a 00 dan dan _b_b 00   dan

dan = = sudutsudut antara vektor antara vektor aa dan dan bb  

, maka berlaku rumus sebagai berikut. , maka berlaku rumus sebagai berikut.

  aa ..bb   = = aa11bb11 aa22bb22   aa ..bb   = = aa b b   cos cos

Panjang vector

Panjang vector /modul

/modulus vektor

us vektor

Besar vector Besar vector aa adalah adalah 2 2 2 2 2 2 z z y y x x a a

Proyeksi vektor

Bila Bila cc

adalah vector proyeksi adalah vector proyeksi aa

pada pada bb

 

maka berlaku rumus sebagai berikut : maka berlaku rumus sebagai berikut :

O O

Proyeksi scalar orthogonal (panjang proyeksi) vector Proyeksi scalar orthogonal (panjang proyeksi) vector aa

pada vector pada vector bb   adalah adalah b b b b a a a a cc          .. cos cos

Proyeksi vector orthogonal (vector proyeksi) vector Proyeksi vector orthogonal (vector proyeksi) vector aa

pada vector pada vector bb   adalah adalah

(8)

Perbandingan vektor

A A a a m m p p P P b b   n n B B

Perhatikan gambar diatas : Perhatikan gambar diatas :

Jika Jika aa

adalah vector posisi titik A, adalah vector posisi titik A, bb

 

vector posisi titik B, vector posisi titik B, p p

vector posisi dari titik P yang vector posisi dari titik P yang membagi garis

membagi garis AB dengan perbAB dengan perbandingan andingan AP:PB=m:n , mAP:PB=m:n , maka :aka :

n n AP AP = = m m PB PB n n ((pp --aa )= m ( )= m (bb   -- pp )) p p = = n n m m a a n n b b m m    .. .. catatan : catatan : 1.

1. jika titik P pada ruas garis AB, maka m atau n positif jika titik P pada ruas garis AB, maka m atau n positif 2.

(9)

Vektor basis dalam ruang (R

33

₎₎

zz 0 0 0 0 1 1 ii   0 0 1 1 0 0 j j   1 1 0 0 0 0 k k  

Operasi

Operasi pad

pada vector di

a vector di R

R

33

1. 1. penjumlahanpenjumlahan 3 3 2 2 1 1 a a a a a a a a 3 3 2 2 1 1 b b b b b b b b   3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 b b a a b b a a b b a a b b b b b b a a a a a a b b a a     2. 2. penguranganpengurangan 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 b b a a b b a a b b a a b b b b b b a a a a a a b b a a     3.

3. perkalian vector dengan scalarperkalian vector dengan scalar

1 1 1 1 kaka a a

(10)

Panjang Velktor / modulus

2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 aa aa a a a a

Perkalian scalar dua vektor

3 3 2 2 1 1 a a a a a a a a 3 3 2 2 1 1 b b b b b b b b   cos cos .. .._b_b _a_a _b_b a a         3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1.. .. .. .._b_b _a_a _b_b _a_a _b_b _a_a _b_b a a    

Sudut antara 2 vektor

a a ..bb   = = aa ..bb   cos cos a a ..bb aa11..bb11 aa22bb22 aa33bb33   cos cos b b a a b b a a     .. 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 .. .. .. .. cos cos b b b b b b a a a a a a b b a a b b a a b b a a

(11)

PENUTUP

Demikianlah makalah yang singkat dan dituliskan beberapa lembar ini kami susun Demikianlah makalah yang singkat dan dituliskan beberapa lembar ini kami susun sebaik-baiknya agar dapat bermanfaat bagi para pembaca.

sebaik-baiknya agar dapat bermanfaat bagi para pembaca.

Kami sebagai penyusun mohon maaf bila ada kesalahan. Kami sebagai penyusun mohon maaf bila ada kesalahan.

Atas segala dukungan dan partisipasi teman-teman yang sudah membantu dalam Atas segala dukungan dan partisipasi teman-teman yang sudah membantu dalam penyusunan makalah Aljabar Linier Elementer ini kami ucapkan terima kasih.

(12)

Daftar Pustaka

Sobirin.2007.

Sobirin.2007.Kumpulan Lengkap Rumus Matematika SMAKumpulan Lengkap Rumus Matematika SMA.Jakarta:Puspa Swara.Jakarta:Puspa Swara Simangunsong, Wilson.2005.