Pertemuan 4&5 Aljabar Linier&Vektor

Determinan MATRIKS

Determinan

MATRIKS

Aljabar Linier dan Vektor

Untuk setiap matriks persegi A dengan elemen-elemen bilangan real, terdapat tepat satu nilai yang berhubungan dengan matriks tersebut. Satu nilai real ini disebut determinan

Determinan dari matriks A ditulis det(A) atau |A|

A = det(A) = -7 B = |B| = 25

C = |C| = 0

* bagaimana menghitung nilai determinan ?

cara menghitung determinan

definisi determinan

sifat-sifat determinan

ekspansi minor dan kofaktor

Determinan :

penjumlahan

hasil kali

bertanda

dari unsur-unsur matriks yang

berasal dari

baris dan kolom yang

berbeda

A

=

|

A

| = (

a

11

a

22

) +(–

a

12

a

21

)

bagaimana menentukan tanda (+) dan (–) tiap suku ?

melalui definisi determinan

















22 21

12 11

a

a

A =

Produk yg berasal dari baris dan kolom yg berbeda :

a

₁₁

a

₂₂

a

₃₃

a

₁₁

a

₂₃

a

₃₂

a

₁₂

a

₂₃

a

₃₁

a

₁₂

a

₂₁

a

₃₃

a

₁₃

a

₂₁

a

₃₂

a

₁₃

a

₂₂

a

₃₁

perhatikan, tanda + atau – ditentukan banyaknya langkah (transposisi) yg membawa indeks kolom ke urutan natural

Indeks kolom 1 2 3, sudah urut. Tidak ada transposisi.

Indeks kolom 1 3 2, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3

= a₁₁ a₂₂ a₃₃ – a₁₁ a₂₃ a₃₂

Indeks kolom 2 3 1, belum urut. Dua kali pindah. 1 3 2 dan 1 2 3

+ a₁₂ a₂₃ a₃₁

Indeks kolom 2 1 3, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3

– a₁₂ a₂₁ a₃₃

Indeks kolom 3 1 2, belum urut. Dua kali pindah. 2 1 3 dan 1 2 3

+ a₁₃ a₂₁ a₃₂

Indeks kolom 3 2 1, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3

– a₁₃ a₂₂ a₃₁

|A|





















33 32

31

23 22

21

13 12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

A =

|A| = ?

Jumlah dari 4! = 24 suku, dengan tiap suku terdiri dari empat faktor. Catatan : Khusus determinan dimensi 3, bisa pakai aturan SARRUS

|A| = _{= 26}

|B| = = – 6

|C| = = 0

Dengan bantuan sifat determinan,

membantu memudahkan menghitung

nilai determinan.

2

4

3

7



2 1

1

0 1 1

3 1

2







1 1 1 1

0 1 0 1

0 1 2

1

1 1 2 1

Sifat-sifat Determinan

Determinan dari matriks dan transposenya adalah sama;

|

A

T

_|

₌

_|

_A

_|

|A| = = 26 |AT_{| = = 26}

Akibatnya :

‣ Semua sifat determinan berlaku secara baris / dan secara kolom.

‣ Matriks persegi yang mempunyai baris/kolom nol, determinannya nol (0).

|

B

| =

= 0

|

C

| =

_{= 0}

2

4

3

7



3

2

4

7

_

5

6

7

0

0

0

3

1

2



0

8

7

0

5

6

0

2

2

Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris/kolom dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi kA

|A| = = 5 Jika baris kedua

dikalikan dengan 7 = 35 = 7 |A|

Akibat sifat ini : = 7 = 7 (5) = 35

determinan suatu matriks yang salah satu baris/kolom mempunyai faktor yang sama, maka dapat difaktorkan.

Determinan suatu matriks yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah menjadi negatip determinan semula.

= 31 Baris pertama ditukar baris kedua _{= – 31}

Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris (kolom) yang sama adalah sama dengan 0 (nol).

= 0 = 0

3

2

5

7



5

7

3

2



2

7

2

7





3

0

3

2

3

2

1

1

1





Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu barisnya (kolomnya) merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain adalah sama dengan 0 (nol).

|B| = _{Karena kolom ke dua kelipatan kolom ke empat, |B| = 0}

1 1

2 1

3 1

6 1

2 2

4 1

1 1 2

1

 

 

 



Determinan dari matriks persegi A = (a_ij) berdimensi n yang baris ke –i (kolom ke-j) terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua suku binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti

dengan suku binomium yang pertama ditambah determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku yang kedua.

= ₊

= ₊

6

9

5

8

6

9

1

4

3

5





6

9

4

5

6

9

1

3

6

4

5

5

3

5





6

5

5

5

6

4

determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris (kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain

= 11

Jika k2 + 3k1 = 11

Jika b1 – b2 _{= 11}

sifat ini sering dipakai untuk

menyederhanakan baris (kolom),

sebelum menghitung nilai determinan

determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali) elemen-elemen diagonalnya

= (3)(-1)(5) = - 15

_{= (-3)(-2)(4)(1) = 24}

4

1

3

2



1

1

9

2



4

1

1

3





5

0

0

3

1

0

2

7

3





1

3

0

0

0

4

1

1

0

0

2

0

0

0

0

3

gunakan sifat determinan untuk menghitung:

b2 + 3b1 _{b3 – 2 b1 b3 + 3 b2}

= (1)(-1)(3) = - 3

gunakan sifat ke 8

, untuk mereduksi matriks menjadi

matriks segitiga;

kemudian gunakan sifat ke 9

1

1

2

4

5

3

2

2

1









1

1

2

2

1

0

2

2

1







3

3

0

2

1

0

2

2

1







3

0

0

2

1

0

2

2

1

matriks yang diperoleh dengan menghilangkan beberapa baris

dan/atau beberapa kolom dari suatu matriks

A =

menghilangkan baris pertama diperoleh :

bila menghilangkan baris kedua dan kolom ketiga diperoleh :

submatriks / matriks bagian



























5

8

7

3

1

2

0

6

5

2

1

3

















5

8

7

3

1

2

0

6

















5

7

3

andaikan A berdimensi n, determinan dari submatriks yg berdimensi (n-1) disebut minor

M

_bk : determinan dari submatriks dengan menghilangkan baris ke b kolom ke k

misal A =

a₁₁ a12 a13

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

M₁₁ = a22 a23

a₃₂ a₃₃ = a22 a33 – a23 a32

M₃₂ =

a₁₁ a₁₃

a₂₁ a₂₃ = a11 a23 – a13 a21 untuk matriks A berdimensi 3

tersebut ada berapa minor ?

kofaktor yang berhubungan dengan minor

M

_bk

adalah C

_bk

= (-1)

b+k

M

bk

.

A =

C₁₁ = (-1)1+1 _M

11 = (-1)2 = 1 (7) = 7

C₁₂ = (-1)1+2 _M

12 = (-1)3 = (-1) (9) = -9

C₁₃ = (-1)3+1 _M

13 = (-1)4 = (1) (5) = 5

C₂₁ = (-1)2+1 _M

21 = (-1)3 = (-1) (0) = 0

C₂₂ = M₂₂ = 0 C₂₂ = M₂₂ = 0

C₂₃ = - M₂₃ = 0 C₂₃ = - M₂₃= 0

C₃₁ = M₃₁ = 7 C₃₁ = M₃₁ = 7

C₃₂ = - M₃₂ = - 9 C₃₂ = - M₃₂ = - 9

C₃₃ = M₃₃ = 5 C₃₃ = M₃₃ = 5



























1

1

2

4

3

1

1

1

2

1

1

4

3



1

2

4

1



1

2

3

2





1

1

1

1



A

=

menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor :

ekspansi melalui baris pertama :

|

A

| =

a

₁₁

C

₁₁

+

a

₁₂

C

₁₂

+

a

₁₃

C

₁₃

atau ekspansi melalui baris ketiga :

|

A

| =

a

₃₁

C

₃₁

+

a

₃₂

C

₃₂

+

a

₃₃

C

₃₃

atau ekspansi melalui kolom ke dua :

|

A

| =

a

₁₂

C

₁₂

+

a

₂₂

C

₂₂

+

a

₃₂

C

₃₂

dan seterusnya





















33 32

31

23 22

21

13 12

11

a

a

a

a

a

dengan ekspansi kofaktor, hitung determinan :

B

=

andaikan dilakukan ekspansi melalui baris kedua :

|B| = b₂₁ C₂₁ + b₂₂ C₂₂ + b₂₃ C_{23 C}

21 = - M21 = - = 9 C₂₂ = M₂₂ = 3

C₂₃ = - M₂₃ = -3 |B| = (3)(9) + (1)(3) + (-1) (-3)

|B| = 33

atau jika dikerjakan dengan ekspansi melalui kolom ketiga :

|

B

| =

b

₁₃

C

₁₃

+

b

₂₃

C

₂₃

+

b

₃₃

C

₃₃

_C

₁₃

₌

_M

₁₃

_{= 2}

C

₂₃

= -

M

₂₃

= - 3

C

₃₃

=

M

₃₃

= 7

|

B

| = (1)(2) + (-1)(-3) + (4)(7)

|

B

| = 33

























4

1

1

1

1

3

1

2

1

4

1

1

2

‣

gunakan kombinasi beberapa metode

(sifat,

ekspansi kofaktor)

‣

pilih ekspansi

melalui baris atau kolom

yang

paling sederhana

‣

gunakan sifat ke 8

untuk membuat unsur-unsur

pada baris/kolom yang dipilih sebanyak

mungkin menjadi nol

‣

ulangai langkah 1, dan seterusnya

Hitung determinan dari :

E

=

dengan ekspansi melalui baris ke dua :

|E| = K2 + K1 K3 – K1

|

E

| = e

₂₁

C

₂₁

+ e

₂₂

C

₂₂

+ e

₂₃

C

₂₃

|

E

| = e

₂₁

C

₂₁

+ 0 + 0

|

E

| = (1) (-24) = - 24

C

₂₁

= -

M

₂₁

= - ((3)(-7) – (-5)(9)) = -

24



























2

4

5

1

1

1

3

1

2

2

4

5

1

1

1

3

1

2







2

9

5

1

0

1

3

3

2





7

9

5

0

0

1

5

3

2

Berapakah determinan dari

F

=

Dipilih ekspansi melalui kolom pertama :

|

F

| =

B3 + B1

|

F

| = F

₁₁

C

₁₁

= (1) (6) = 6



























2

1

1

5

4

0

2

3

1

2

1

1

5

4

0

2

3

1







4

2

0

5

4

0

2

3

1



Berapakah |G| ?

ekspansi melalui kolom ke tiga :

matriks yang anggota-anggotanya berupa kofaktor suatu matriks

matriks adjoint

transpose dari matriks kofaktor

Adj (

A

) =

K

T

=

=

matriks kofaktor