Aljabar Linier
Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank
khozin mu’tamar 9 Oktober 2014
PERTEMUAN-4 : SISTEM KOORDINAT, DIMEN- SI RUANG VEKTOR DAN RANK
1. Sistem koordinat
(a) Ketunggalan scalar basis
(b) Sistem koordinat (definisi)
(c) matrik perubahan koordinat
1
(d) pemetaan koordinat
2. Dimensi ruang vektor
(a) ketidak bebasan himpunan diluar basis
(b) dimensi (definisi)
(c) dimensi subruang vektor
(d) dimensi ruang null dan ruang kolom
3. Rank
(a) Ruang kolom
(b) rank (definisi)
(c) dimensi ruang null dan rank
(d) Aplikasi pada SPL
SISTEM KOORDINAT
1. Ketunggalan penulisan basis
2. Sistem koordinat (definisi)
3. matrik perubahan koordinat
4. pemetaan koordinat
KETUNGGALAN PENULISAN BASIS
teorema 1. Misalkan B = {b1, b2, · · · , bn} adalah basis bagi ruang vektor V . Untuk setiap x ∈ V terdapat skalar tunggal a1, a2, · · · , an ∈ R yang memenuhi
x = Xn
i=1 aibi
definisi 2. Misalkan B = {b1, b2, · · · , bn} adalah basis bagi ruang vektor V dan x ∈ V . Koordinat relatif x ter- hadap basis B atau koordinat-B dari x adalah nilai-nilai
3
c1, c2, · · · , cn sedemikian sehingga
x = c1b1 + c2b2 + · · · + cnbn yang dapat dituliskan sebagai
[x]B =
c1 ...
cn
contoh. Misalkan basis dari R2, yaitu e1 = [1 0]T dan e2 = [1 2]T. Misalkan diketahui sistem koordinat [x]B = [−2 3]T. Tentukan x.
solusi. Dengan definisi, diketahui bahwa [x]B = [c1 c2] yang memenuhi
x = c1e1 + c2e2 sehingga
x = −2
1 0
+ 3
1 2
=
1 6
MATRIKS PERUBAHAN KOORDINAT
Misalkan B = {b1, b2, · · · , bn} adalah basis bagi ruang vektor V dan x ∈ V . Untuk setiap x dapat ditentukan skalar sehingga
x = c1b1 + c2b2 + · · · + cnbn
dengan menjabarkan persamaan di atas, misalkan
b1 =
a11 a21
...
ar1
maka akan diperoleh x =
c1a11 + c2a12 · · · +cna1n ... + ... . . . ...
c1ar1 + c2ar2 · · · +cnarn
yang dapat dibentuk pada SPL x = A · b
x =
a11 a12 · · · a1n ... ... . . . ...
ar1 ar2 · · · arn
c1 ...
cn
Selanjutnya,
a11 a12 · · · a1n ... ... . . . ...
ar1 ar2 · · · arn
disebut matriks perubahan koordinat, disimbolkan sebagai PB
teorema 3. Misalkan B = {b1, b2, · · · , bn} adalah basis bagi ruang vektor V . Pemetaan T : x → [x]B adalah pemetaan linier yang satu-satu dan pada (isomorfis).
Bukti. 1. Misalkan y,z ∈ V sehingga
y+z = (c1b1 + · · · + cnbn) + (k1b1 + · · · + knbn)
= (c + k )b + · · · + (cn + kn)bn
sehingga diperoleh
[y+z]B =
c1 + k1 ...
cn + kn
=
c1 ...
cn
+
k1 ...
kn
= [y]B + [z]B
2. Misalkan k ∈ R. Kita dapatkan
ky = kc1b1 + · · · + kcnbn
= (kc1)b1 + · · · + (kcn)bn
sehingga
[ky]B =
kc1 ...
kcn
= k
c1 ...
cn
= k[y]B
3. Misalkan y,z ∈ V dan α, β ∈ [x]B. Akan didapatkan α = β → c1b1 + · · · + cnbn = k1b1 + · · · + knbn
→ y=z
4. Misalkan α ∈ [x] . Untuk setiap α ∈ [x] akan selalu
ditemukan y ∈ V sedemikian sehingga α = PB−1y
DIMENSI RUANG VEKTOR
1. ketidak bebasan himpunan diluar basis
2. Ketunggalan basis dalam ruang vektor
3. dimensi (definisi)
4. dimensi subruang vektor
5. dimensi ruang null dan ruang kolom
teorema 4. Jika ruang vektor V memiliki basis B = {b1, b2, · · · , bn} maka setiap himpunan yang memiliki lebih dari n-vektor ber-
sifat tidak bebas linier.
Bukti. Misalkan S = {s1, s2, · · · , sp} adalah sebuah him- punan di ruang vektor V yang memiliki jumlah vektor lebih dari n. Koordinat dari S dapat dituliskan
s1 = c11b1 + c12b2 + · · · + c1nbn ...
sp = cp1b1 + cp2b2 + · · · + cpnbn
6
Untuk menunjukkan bahwa S bebas linier atau tidak maka akan ditentukan solusi skalar bagi persamaan
k1s1 + · · · + kpsp = 0 sehingga diperoleh
k1(c11b1 + c12b2 + · · · + c1nbn) + · · · + kp(cp1b1 + cp2b2 + · · · + cpnbn) = 0
dengan mengumpulkan koefisien bagi b , i = 1, · · · , n akan
diperoleh
(k1c11 + k2c21 + · · · + kpcp1)b1 + · · · + (k1c1n + k2c2n + · · · + kpcpn)bn = 0 Untuk mendapatkan bebas linier maka
k1c11 + k2c21 + · · · + kpcp1 = 0 ...
k1c1n + k2c2n + · · · + kpcpn = 0
Kita akan menentukan kj, j = 1, · · · , p. Oleh karena p > n maka SPL di atas memiliki jumlah variabel yang tidak dike- tahui lebih banyak dibandingkan jumlah persamaan sehingga solusi SPL homogen tersebut tak trivial. Artinya, terdapat kl ∈ R sedemikian sehingga memenuhi persamaan
k1s1 + · · · + kpsp = 0
yang berarti bahwa S = {s1, s2, · · · , sp} tergantung linier.
teorema 5. Misalkan ruang vektor V dengan basis yang memiliki n vektor maka setiap basis dari ruang vektor V memiliki n jumlah vektor
Bukti. Misalkan B = {b1, b2, · · · , bn} dan S = {s1, s2, · · · , sm} adalah basis bagi ruang vektor V .
1. Oleh karena B basis bagi V maka B bebas linier. Oleh karena S basis bagi V maka S merentang V . Kesim- pulan diperoleh n ≤ m
7
2. Oleh karena S basis bagi V maka S bebas linier. Oleh karena B basis bagi V maka B merentang V . Kesim- pulan diperoleh m ≤ n
Bukti. Misalkan B = {b1, b2, · · · , bn} dan S = {s1, s2, · · · , sm} adalah basis bagi ruang vektor V . Oleh karena B adalah ba-
sis dan S bebas linier, maka m ≤ n. Oleh karena S adalah basis dan B bebas linier, maka n ≤ m. Oleh karena m ≤ n dan n ≤ m maka disimpulkan m = n.
Definisi : Dimensi
Misalkan V adalah ruang vektor dengan basis B = {b1, b2, · · · , bn}.
Banyaknya vektor dalam basis B disebut dengan dimensi (V ), yang dituliskan dengan dim(V ).
1. Jika himpunan B adalah himpunan hingga, maka di- mensi V disebut dimensi-hingga
2. Jika himpunan B tidak tersusun oleh himpunan B yang hingga, maka dimensi V disebut dimensi-tak hingga.
8
teorema 6. Misalkan H adalah subruang vektor dari V yang berdimensi berhingga. Setiap himpunan di H yang bebas linier dapat diperbesar, bila perlu menjadi basis ba- gi H. H adalah ruang vektor berdimensi berhingga yang memenuhi
dim H ≤ dim V
Bukti. 1. Jika H = {0} maka jelas dim H ≤ dim V .
2. Misalkan S = {s1, s2, · · · , sl} ⊆ H yang bebas linier.
(a) Jika S merentang H maka S adalah basis bagi H dan karena S ⊆ H diperoleh dim S ≤ dim V .
(b) Misalkan terdapat B = {sl+1, · · · , sn} yang tidak dapat direntang oleh S. Jelas bahwa U = B ∪ S ⊆ H adalah himpunan bebas linier karena setiap vektor di B tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S (ingat: S tidak merentang B). Proses dapat berulang hingga B ∪ S membesar sampai merentang H dan dimensi-B ∪ S selalu lebih kecil dari V karena seluruh vektor di-H bebas linier.
teorema 7. Misalkan V adalah ruang vektor berdimensi-n.
Jika S = {s1, s2, · · · , sn} ⊆ V bebas linier maka S adalah basis bagi V . Jika S = {s1, s2, · · · , sn} ⊆ V merentang V maka S adalah basis bagi V .
Bukti. 1. Misalkan S = {s1, s2, · · · , sn} ⊆ V bebas lini- er. Misalkan w ∈ V . Jika w bukan kombinasi linier dari
S maka w bebas linier. Oleh karena V adalah ruang vek- tor berdimensi-n, misalkan B = {b1, b2, · · · , bn} ada- lah basis bagi V dan S ∪ {w} dapat direntang oleh B.
Oleh karena S ∪ {w} bebas linier maka akan diperoleh n + 1 ≤ n. Jelas kondisi ini salah sehigga kita simpulk- an w dapat dikombinasi linierkan oleh S. Oleh karena w ∈ V selalu dapat dikombinasi linierkan oleh S maka S merentang V . Jadi, S basis bagi V .
2. Misalkan S = {s1, s2, · · · , sn} ⊆ V merentang V se- hingga setiap v ∈ V dapat dinyatakan sebagai kombi-
nasi linier dari S. Telah diketahui bahwa dim V = n sehingga terdapat B = {b1, b2, · · · , bn} basis bagi V . Oleh karena S merentang V maka
b1 = a11s1 + · · · + a1nsn ...
bn = an1s1 + · · · + annsn Oleh karena B adalah basis bagi V maka
0 = c b + · · · + cnbn
yang hanya dipenuhi oleh ci = 0, i = 1, · · · , n. Subti- tusi persamaan bi, i = 1, · · · , n sehingga diperoleh
0 = c1(a11s1 + · · · + a1nsn) + · · · + cn(a1n)s1 + · · · + annsn
0 = (c1a11 + · · · + cna1n)s1 + · · · + (c1a1n+···+cnann)sn
Oleh karena ci = 0, i = 1, · · · , n maka dipastikan
Xn
i=1 ciaj,i = 0, j = 1, · · · , n
sehingga S bebas linier. Oleh karena S merentang dan bebas linier, S basis bagi V .
RANK
1. Ruang kolom
2. rank (definisi)
3. dimensi ruang null dan rank
4. Aplikasi pada SPL
10
Definisi
Misalkan A adalah matriks dengan ukuran m × n.
A =
a11 · · · a1n ... . . . ...
am1 · · · amn
1. Ruang kolom adalah himpunan yang dibentuk dari kolom matriks A.
Col(A) = span{A1···n,1, · · · , A1···n,n}
2. Ruang baris adalah himpunan yang dibentuk oleh baris matriks A.
RowA = span{A1,1···n, · · · , An,1···n}
3. Ruang null adalah himpunan yang memenuhi persamaan A · x = 0.
N ullA = {x|x ∈ Rn dan A · x = 0}
teorema 8. Jika matriks A dan B memiliki keserupaan ba- ris maka keduanya memiliki ruang baris yang sama. Jika matriks B dalam bentuk eselon tereduksi, baris tak nol dari matriks B adalah basis untuk ruang baris dari A dan B.
contoh. Misalkan A adalah matriks
A =
−2 −5 8 0 −17
1 3 −5 1 5
3 11 −19 7 1
1 7 −13 5 −3
dengan operasi baris elementer akan diperoleh
B =
1 3 −5 1 5
0 1 −2 2 −7
0 0 0 −4 20
0 0 0 0 0
Pada matriks B, baris ke-1,2 dan 3 bukan merupakan baris nol. Sesuai dengan teorema, maka diperoleh bahwa baris ke-1,2 dan 3 adalah basis bagi B dan A. Dinotasikan
Row(A) = {[1, 3, −5, 1, 5], [0, 1, −2, 2, −7], [0, 0, 0, −4, 20]}
Kolom yang entry pertama merupakan pivot, yaitu kolom ke-1,2 dan 4 sehingga basis bagi ruang kolom A adalah
Col(A) =
−2 1 3 1
,
−5 3 11
7
,
0 1 7 5
Jika matriks B dioperasikan menjadi bentuk tereduksi, akan diperoleh
1 0 1 0 1
0 1 −2 0 3 0 0 0 1 −5
0 0 0 0 0
yang berarti akan diperoleh sistem persamaan linier x1 + x3 + x5 = 0
x2 − 2x3 + 3x5 = 0 x4 − 5x5 = 0
dengan x3 dan x5 adalah variabel bebas. Misalkan x3 = t
dan x5 = s maka akan diperoleh x5 = t
x4 = 5t x3 = s
x2 = 2s − 3t x1 = −s − t
atau dalam bentuk kombinasi linier
x1 x2 x3 x4 x5
= s
−1 2 1 0 0
+ t
−1
−3 0 5 1
sehingga dapat kita katakan bahwa
N ull(A) = {~v1, ~v2}
dengan
~v1 =
−1 2 1 0 0
, ~v2 =
−1
−3 0 5 1
oleh karena ~v1, ~v2 adalah vektor yang saling bebas linier dan vektor yang merentang N ull(A) maka kita katakan {~v1, ~v2} adalah basis bagi N ull(A).
definisi 9. Rank dari matriks A adalah dimensi dari ruang Kolom dari matriks A.
teorema 10. Misalkan V adalah ruang vektor dan dim V = n maka dim N ull(T ) + Rank(T ) = n
Bukti. Rank(A) adalah jumlah kolom di A yang tereduksi dengan element bukan nol. N ull(A) adalah jumlah vari- abel bebas dalam matriks SPL A atau jumlah kolom yang
13
tereduksi dengan semua elemen nol. Akhirnya diperoleh
jumlah kolom pivot + jumlah kolom non-pivot = jumlah kolom rank(A) + dim N ull(A) = n
teorema 11. Misalkan A adalah matriks n×n. Pernyataan berikut adalah ekuivalen dengan pernyataan bahwa matriks A invertible (dapat diinverskan).
1. Kolom dari matriks A adalah pembentuk basis dari Rn
2. Col(A) = Rn
3. Rank(A) = n
4. N ull(A) = {~0}
14
5. dim Col(A) = n
6. dim N ull(A) = 0
Perubahan Basis
Misalkan V adalah Ruang Vektor dengan basis B = {~b1, · · · ,~bn}
1. Vektor x ∈ V diubah bentuk dalam koordinat dengan basis B, [x]B
2. Vektor x ∈ V diubah bentuk dalam koordinat dengan basis C, [x]C
15
3. Bagaimana hubungan antara [x]B dan [x]C dalam ben- tuk matriks perubahan ?.
teorema 12. Misalkan V adalah ruang vektor dengan ba- sis B = {~b1, · · · ,~bn} dan C = {~c1, · · · , ~cn}. Terdapat matriks tunggal n × n yang memenuhi
[~x]c = P
B→C[~x]B dengan
P = [[~b1]c [~b2]c · · · [~bn]C]
Bagaimana menentukan P
B→C ?
Misalkan V ruang vektor, V = {~v1, ~v2, ~v3} dengan basis B = {~b1,~b2,~b3} dan C = {~c1, ~c2, ~c3}. Misalkan ~x ∈ V . Perhatikan bahwa ~x dapat direntang oleh basis B.
~x = k11~b1 + k12~b2 + k13~b3 Basis B dapat direntang oleh basis C yaitu
~b1 = l11~c1 + l12~c2 + l13~c3
~b2 = l21~c1 + l22~c2 + l23~c3
~b3 = l31~c1 + l32~c2 + l33~c3
16
Dengan subtitusi akan diperoleh
~x = (k11l11~c1 + k11l12~c2 + k11l13~c3) + (k12l21~c1 + k12l22~c2 + k12l23~c3) + (k13l31~c1 + k13l32~c2 + k13l33~c3)
~x = (k11l11 + k12l21 + k13l31) ~c1 + (k11l12 + k12l22 + k13l32) ~c2 + (k12l23 + k11l13 + k13l33) ~c3
Ambil koordinat x ∈ V terhadap basis C akan didapatkan
[x]C =
k11l11 + k12l21 + k13l31 k11l12 + k12l22 + k13l32 k12l23 + k11l13 + k13l33
[x]C =
l11 l21 l31 l12 l22 l32 l13 l23 l33
k11 k12 k13
[x]C = " [b1]C [b2]C [b3]C # [x]B [x]C = P
B→C [x]B
