BAB I. PENDAHULUAN BAB I. PENDAHULUAN A. Latar belakang
A. Latar belakang
Besaran Vektor
Besaran Vektor dapat dapat disajikan dengan disajikan dengan menggunakan suatu menggunakan suatu bilanganbilangan real, kemudian diikuti dengan sistem suatu yang sesuai. Secara geometri, real, kemudian diikuti dengan sistem suatu yang sesuai. Secara geometri, besaran vektor dapat disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas besaran vektor dapat disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis menyatakan panjang atau besar vaktor, sedangkan arah anak panah garis menyatakan panjang atau besar vaktor, sedangkan arah anak panah menunjukan arah vaktor.
menunjukan arah vaktor.
Di dalam vektor terdapat berbagai bagian yang diantaranya aljabar Di dalam vektor terdapat berbagai bagian yang diantaranya aljabar vektor, vektor di dalam bidang dua dimensi, vektor dalam bidang tiga vektor, vektor di dalam bidang dua dimensi, vektor dalam bidang tiga dimensi, perkalian skalar 2 vektor, pembagian ruas garis dalam perbandingan dimensi, perkalian skalar 2 vektor, pembagian ruas garis dalam perbandingan bagian, tiga titik segaris (kolinier), tiga garis sebidang (koplanar), dan bagian, tiga titik segaris (kolinier), tiga garis sebidang (koplanar), dan lain-lain.
lain.
Di dalam makalah ini lebih ditekankan mengenai pembagian ruas garis Di dalam makalah ini lebih ditekankan mengenai pembagian ruas garis dalam perbandingan bagian, tiga titik segaris (kolinier), dan tiga garis dalam perbandingan bagian, tiga titik segaris (kolinier), dan tiga garis sebidang (koplanar).
B. Rumusan masalah
1. Bagaimanakah pembagian ruas garis dalam perbandingan bagian dii dalam vector ?
2. Bagaimanakah tiga titik segaris (kolinier) itu ? 3. Bagaimanakah tiga garis sebidang (coplanar) itu ?
BAB II. ISI
A. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan Bagian
Misalkan titik C terletak pada ruas garis AB, sehingga titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n, maka AC : CB = m : n atau AC : AB = m : (m + n) seperti gambar di bawah ini.
Dalam perbandingan AC : CB = m : n terdapat dua kasus yaitu : a. Tititk C membagi AB di dalam
AC : CB = m : n
b. Titik C membagi AB di luar
AC : CB = m : -n
A n C
m
A m C n B
1. Perbandingan ruas garis dalam bentuk vektor
Vektor posisi titik A dan B berturut-turut adalah a dan b. Titik C pada ruas garis AB dengan perbandingan m : n atau AC : CB = m : n. Jika vektor posisi titik C adalah c, maka vektor c ditentukan dengan cara :
c = a +
⃗
c = a +
⃗
c = a +
(b – a) c =
c =
contoh :Vektor posisi titik A dan titik B berturut-turut adalah a dan b. Pada ruas garis AB, tandailah titik C sehingga AC : CB = 1 : 3, tentukan vektor posisi titik C,? C m B c b n A O a
Jawab :
Misalkan vektor posisi titik C adalah c, maka c = 1 3 1
3
1 3 4 b a b a
2. Perbandingan ruas garis dalam bentuk koordinat
Dari Perbandingan ruas garis dalam bentuk vektor didapatkan rumus untuk vektor posisi C adalah c =
, maka dapat juga ditentukan rumus untuk vector posisi di R2 dan R3 sebagai berikut : Jika A(x 1,y 1) danB (x 2,y 2) di, R2 maka c =
Koordinat titik C adalah C
Jika A(x 1,y 1,z1) danB (x 2, y 2, z2) di, R2 maka c =
{
}{
}
Koordinat titik C adalah C
Contoh :
1. Tentukanlah koordinat titik P yang terletak pada garis AB jika:
A(2, 0, 1), B (10, 4, 5), dan AP : PB = 3 : 1 Jawab : P
P
Jadi titik p(8, 3, 4)2. Tentukanlah koordinat titik P pada garis hubungA(2, 3, 4) dan
B (6, 7, 8) di dalam dan di luar dengan perbandingan 1 : 3. Jawab :
Untuk titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 1 : 3,
berlakuAP :PB 1 : 3.
Koordinat titik P dapat kalian tentukan dengan cara berikut. P
P
(
)
Jadi koordinat titik P
(
)
Untuk titik P membagi AB di luar dengan perbandingan 1 : 3,
berlaku AP :PB = 1 : -3.
Koordinat titik P dapat kalian tentukan sebagai berikut :
P
P
(
)
B. Tiga titik segaris (kolinier) Definisi
Titik-titik segaris (kolinear) adalah titik-titik yang terletak pada satu garis (titik-titik yang tidak terletak pada satu garis disebut titik-titik tak segaris (non-kolinear)).
Sebuah titik dan sebuah garis dapat terjadi sebuah titik tersebut terletak pada sebuah garis tersebut atau sebuah titik tersebut tidak terletak pada sebuah garis tersebut. Jika sebuah titik terletak pada suatu garis, maka dapat juga dikatakan garis tersebut melalui sebuah titik. Jika sebuah titik tidak terletak pada suatu garis, maka dapat dikatakan sebuah titik di luar sebuah garis.
Pada gambar di atas: titik K, titik L, titik P, dan titik R merupakan titik-titik yang tidak terletak pada suatu garis. Keempat titik tersebut tidak terletak pada garis g maupun garis h, atau dapat dikatakan keempat titik tersebut di
Pada gambar tersebut, dapat dikatakan: titik M, titik O, dan titik Q merupakan tiga buah titik yang kolinear, karena ketiganya terletak pada satu garis; yaitu garis g. Demikian juga titik S, titik O, dan titik N,merupakan tiga buah titik yang kolinear, karena ketiganya terletak pada satu garis; yaitu garis h. Berdasarkan kondisi tersebut berarti titik M dan titik N merupakan dua buah titik yang tidak kolinear (non-kolinear), karena masing-masing terletak pada garis yang berbeda. Begitu pula pasangan titik M dan titik S, titik N dan titik Q, titik S dan titik Q, merupakan pasangan-pasangan titik yang tidak kolinear (non-kolinear).
C. Tiga garis sebidang (koplanar)
1. Titik yang coplanar
Titik-titik dikatakan koplanar (coplanar ) atau sebidang jika dan hanya jika ada suatu bidang yang memuat semua titik tersebut.
Pada gambar diatas, titik R, titik S, dan titik T merupakan tiga buah titik yang non-kolinear, dan ketiganya terletak pada satu bidang, yaitu bidang
. Dengan demikian, titik R, titik S, dan titik T dikatakan sebagai tiga buah titik yang koplanar. Sedangkan titik V tidak terletak pada bidang-. Oleh karena itu titik R, titik S, titik T, dan titik V, merupakan2. Garis yang coplanar
Dua buah garis dapat terjadi keduanya sebidang atau tak-sebidang. Jika dua garis sebidang, maka dapat terjadi keduanya berpotongan atau sejajar. Jika dua buah garis tak-sebidang, maka keduanya dikatakan bersilangan.
Dua buah garis berbeda dikatakan saling sejajar jika dan hanya jika keduanya koplanar dan tidak berpotongan.
Dua buah garis berbeda dikatakan saling bersilangan jika dan hanya jika keduanya non-koplanar.
Pada Gambar di atas: garis k, garis h, dan garis m, ketiganya dikatakan coplanar, karena ketiganya terletak pada satu bidang, yaitu
bidang
. Garis g memotong/ menembus bidang
tepat di satu titik, yaitu titik R. Hal tersebut dikatakan garis g juga tidak terletak pada bidang
.Garis g tidak terletak pada bidang
, tetapi garis m terletak pada bidang
. Oleh karena itu dikatakan garis g dan garis m bersilangan. Garis g tidak terletak pada bidang
, tetapi garis k terletak pada bidang
. Oleh karena itu dikatakan garis g dan garis k bersilangan. Garis g tidak terletak pada bidang
, tetapi garis h terletak pada bidang
. Oleh karena itu dikatakan garis g dan garis h bersilangan. Demikian pula untuk garis n dan garis m, garis n dan garis h, garis n dan garis k, masing-masing merupakan pasangan garis yang bersilangan, karena masing-masing tidak terletak pada bidang yang sama.BAB III. PENUTUP
A. KESIMPULAN
Dari isi makalah yg telah dibuat dapat disimpulkan sebagai berikut :
1. Misalkan titik C terletak pada ruas garis AB, sehingga titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n, maka AC : CB = m : n atau AC : AB = m : (m + n),
Dalam perbandingan AC : CB = m : n terdapat dua kasus yaitu : c. Tititk C membagi AB di dalam
AC : CB = m : n
d. Titik C membagi AB di luar AC : CB = m : -n
2. Vektor posisi titik A dan B berturut-turut adalah a dan b. Titik C pada ruas garis AB dengan perbandingan m : n atau AC : CB = m : n. Jika vektor posisi titik C adalah c, maka vektor c ditentukan dengan rumus
c =
3. Jika A(x 1,y 1) dan B (x 2,y 2) di, R2 maka c =
Koordinat titik C adalah C
5. Titik-titik segaris (kolinear) adalah titik-titik yang terletak pada satu garis (titik-titik yang tidak terletak pada satu garis disebut titik-titik tak segaris (non-kolinear)).
6. Titik-titik dikatakan koplanar (coplanar ) atau sebidang jika dan hanya jika ada suatu bidang yang memuat semua titik tersebut.
