MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 [KODE/SKS : KD / 2 SKS] Ruang Vektor

“

Ruang Vektor

”

MATA KULIAH

MATEMATIKA TEKNIK 2

FIELD:

Ruang vektor V atas field skalar K adalah himpunan tak kosong dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar.

 Himpunan tak kosong V disebut ruang vektor jika memenuhi

1. Untuk sebarang u,vV berlaku u+v  V

2. u+v = v+u [sifat Komutatif]

3. u+(v+w) = (u+v)+w [sifat Asosiatif]

4. Terdapat 0V (vektor nol) sehingga untuk setiap uV

berlaku 0+u=u+0  V

5. Untuk sebarang uV terdapat -uV sehingga

6. Jika k adalah sebarang skalar dan uV, maka kuV 7. k(u+v) = ku+kv 8. (k+l)u = ku+lu 9. k(lu) = (kl)u 10. 1u = u

FIELD

Jika S = {v1, v2, … , vr} adalah suatu himpunan vektor-vektor tak kosong, maka persamaan vektor

k₁v₁ + k₂v₂ + … + k_rv_r = 0

Mempunyai paling tidak satu penyelesaian (trivial), yaitu

k₁ = 0, k₂ = 0, . . . , k_r = 0

Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian, maka S disebut suatu

himpunan yang bebas secara linear. Jika ada

penyelesaian-penyelesaian lainnya, maka S disebut himpunan yang tak bebas secara linear.



1, 3, 2



 u a 



1, 1, 1



0

2 1











k

a

u

k

                            0 0 0 1 2 1 3 1 1 -2 1 k k Diketahui dan

Apakah saling bebas linear di R3 Tulis

atau

Contoh 1:

~ 0 0 0 1 2 1 3 1 1 -           ~ 0 0 0 1 0 4 0 1 1                                 3 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 k k k dapat diperoleh :

dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu : k₁ = 0, dan k₂ = 0.

           2 3 1 a             1 1 1 b              4 6 2 c c k b k a k_{1 2 3} 0                  4 1 2 6 1 3 2 1 1           3 2 1 k k k           0 0 0 , , Jawab : atau = Tulis :

Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3

Contoh 2 :

~ 0 1 0 0 4 0 2 1 1                                              0 0 0 3 2 1 0 0 0 0 1 0 2 1 1 k k k

c

b

a

,

,

diperoleh :

Ini menunjukan bahwa

k₁, k₂, k₃ mrp solusi tak hingga banyak

adalah vektor-vektor yang bergantung linear. Jadi

Misalkan diketahui R3 ruang vektor dengan u = [3,1,2] , v = [1,2,1] dan w = [2,-1,1] € R3 .

Selidiki apakah ketiga vektor tersebut bebas linier atau

bergantung linier ? Jawab:

k₁u + k₂v + k₃w = 0

k₁ [3,1,2] + k₂ [1,2,1] + k₃ [2,-1,1] =0

Terdapat skalar yang tidak nol yaitu k1 =-1 , dan k2=1 serta k3=1 Yang memenuhi persamaan tersebut

Jadi ketiga vektor bergantung linier.

Misalkan diketahui vektor u= [2,3] dan v= [1,3] Selidiki apakah kedua vektor tersebut bebas linier atau

bergantung linier :

Jawab:

k₁[2,3] + k₂[1,3] 2k₁ + k₂ = 0

3k₁ + 3k₂ = 0 >>> k₁ = k₂ = 0

Jadi kedua vektor bebas linier.

Teorema :

Jika sebagian himpunan n vektor [u₁,u₂ ,..,..,…,u_n]

bergantung linier, Maka keseluruhan n vektor tersebut adalah bergantung linier.

Contoh :

a = [ 2,3,1,4], b = [ 6,9,3,12] , c = [ 2,0,3,1] , d = [ 0,0,1,4]

Maka karena a dan b kelipatan mereka bergantung linier sehingga vektor-vektor a,b,c, d bergantung

Kebebasan linear mempunyai suatu interpretasi geometrik yang berguna dalam R2 _{dan R}3 _:

 Dalam R2 _{atau R}3_{, suatu himpunan dua vektor bebas secara}

linear jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada garis yang sama jika keduanya ditempatkan dengan titik-titik pangkalnya di tititk asal (Gambar 1).

 Dalam R3_{, suatu himpunan tiga vektor bebas secara linear jika} dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada

bidang yang sama jika ketiganya ditempatkan dengan titik-titik pangkalnya pada titik asal (Gambar 2).

Gambar 1

Tak bebas secara linear

Tak bebas secara

linear Bebas secara linear

z v₂ v₁ y x z v₁ v₂ y x z v₁ v₂ y x Gambar 2

Tak bebas secara linear

Tak bebas secara linear Bebas secara linear z v3 v₂ y v₁ x z v3 v₂ y v₁ x z v₁ v₂ y v₃ x

Jumlah

Vektor (Jika dan hanya jika)Bebas secara linier Bebas secara Geometri(Jika dan hanya jika)

2 buah

vektor tidak satupun dari vektor tersebut yang merupakan penggandaan skalar dari vektor lainnya

tidak terletak pada garis yang sama jika diposisikan dengan titik-titik pangkalnya di titik asal

3 buah

vektor tidak satupun dari vektor tersebut yang merupakan kombinasi linear dari dua vektor lainnya

ketiga vektor tersebut tidak terletak pada bidang yang

sama jika ketiganya diletakkan dengan titik-titik pangkalnya pada titik asal

Kombinasi Linear

 Suatu vektor w disebut kombinasi linear

dari v₁, v₂, …, v_n jika bisa dinyatakan dalam bentuk w = k₁v₁ + k₂v₂ + … + k_nv_n

dengan k₁, k₂, …, k_n skalar

CONTOH 1

Diketahui u=(1,2,-1) dan v=(6,4,2) dalam R3_{. Apakah}

PENYELESAIAN (1)  w=k₁u+k₂v (9,2,7)=k₁(1,2,-1)+k₂(6,4,2) (9,2,7)=(k₁,2k₁,-k₁)+(6k₂,4k₂,2k₂) (9,2,7)=(k₁+6k₂,2k₁+4k₂,-k₁+2k₂) k₁+6k₂=9 2k₁+4k₂=2

0

0

0

2

1

0

9

6

1

2

4

0

2

1

0

9

6

1

7

2

1

2

1

0

9

6

1

7

2

1

2

1

0

9

6

1

7

2

1

2

1

0

9

6

1

7

2

1

16

8

0

9

6

1

7

2

1

2

4

2

9

6

1

7

2

1

2

4

2

9

6

1































Operasi Eliminasi Gauss Persamaan linier PENYELESAIAN (2): I II III STEP X + 6 y =9 Y =2 Y=k₂=2 X + 6 (2) =9 X +12 = 9 X = -3 X=k₁=-3 Didapat k₁=-3, k₂=2 Jadi w=-3u+2v IV

Contoh:

u

v

a

Misal _{= (2, 4, 0), dan}

Apakah vektor merupakan kombinasi linear

dari vektor – vektor di atas

= (4, 2, 6) adalah vektor-vektor di R3_.

                                6 2 4 3 1 - 1 0 4 2 2 1 k k                                6 2 4 3 0 1 4 1 2 2 1 k k a. Tulis

akan diperiksa apakah ada k₁, k₂,

sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.

Ini dapat ditulis menjadi:

Jawab :

a

v

k

u

k

₁



₂



                    0 0 0 2 1 0 2 1 ~ 6 3 0 6 3 1 2 1 1₂ 2 1

a

u

v

u

a









2



dengan OBE, diperoleh:

Dengan demikian,

merupakan kombinasi linear dari vektor dan atau v Baris ketiga bernilai nol, berarti terdapat penyelesaian

b

v

k

u

k

₁





₂







                                6 5 1 3 1 1 0 4 2 2 1 k k                            6 5 1 3 0 1 4 1 2 2 1 k k

ini dapat ditulis menjadi:

b

= (1, 5, 6)

u

v

Misal _{= (2, 4, 0), dan}

Apakah vektor merupakan kombinasi linear

dari vektor – vektor di atas adalah vektor-vektor di R3_.

= (1, –1, 3)

                              3 0 0 2 1 0 1 ~ 6 3 0 3 3 0 0 1 ~ 6 3 0 5 1 4 1 1 2 1₂ 2 1 2 1 dapat diperoleh :

Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa SPL tersebut adalah tidak konsisten

(tidak mempunyaisolusi).

Jadi, tidak ada nilai k₁ dan k₂ yang memenuhi

 b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear

dari u dan v Baris ketiga tidak nol, sehingga penyelesaian tidak konsisten

Contoh :

Misalkan, u = [2,-1,3], v = [1,2,-2], apakah x = [8,1,5] kombinasi linier dari u dan v.

Jawab

Perhatikan kombinasi linier x = k₁u+k₂v

[8,1,5] = k₁[2,-1,3] + k₂[1,2,-2]

Dari kesamaan vektor diperoleh

2k₁ + k₂ = 8 -k₁ + 2k₂ = 1 3k₁ – 2k₂ = 5 k₁ = 3 k₂ = 2             5 2 3 1 2 1 8 1 2             8 4 0 10 5 0 1 2 1 x = 3u + 2v

26

Basis

Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {v₁,

v₂,…,v_n} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika :

 S bebas linier

 S membangun V

Dimensi

Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika

ruang vektor V mengandung sebuah himpunan berhingga

vektor S = {v₁, v₂,…,u_n} yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V.

BASIS DAN DIMENSI

BASIS DAN DIMENSI

Contoh

Misalkan S = {u₁, u₂,u₃} dimana u₁=[1,2,2], u₂=[2,1,2] dan

u₃=[1,3,3]. Apakah S basis untuk R3_.

Jawab

Misalkan x=[x₁,x₂,x₃] vektor di R3

, bentuk kombinasi linier : k₁u₁ + k₂u₂ + k₃u₃ = x

k₁ [1,2,1] + k₂[2,1,2] + k₃ [1,3,4] = [x₁,x₂,x₃]

Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier k₁ + 2k₂ + k₃ = x₁ 2k₁ + k₂ + 3k₃ = x₂ 2k₁ + 2k₂ + 3k₃ = x₃

1

3

2

2

3

1

2

1

2

1

det(u)







Karena mempunyai determinan minus ~ 0= bebas linier, jadi S adalah basis untuk R3_.

Selidikilah bebas linier atau bergantung linier himpunan vektor-vektor berikut :

1. Diketahui 2 vector, u =[2,1,1] , v = [ 2,1,3]. Apakah bebas

linier

2. Diketahui R3 ruang vektor dengan u = [6,2,4] , v = [ 1,2,1]

dan w = [ 4,-2,2] € R3.

3. Selidiki apakah keempat vektor di bawah ini bebas linier atau

bergantung linier. a = [ 2,3,1,4], b = [ 6,9,3,12] , c = [3,0,8,1] , d = [ 0,5,7,4].

4. Diketahui u 



1, 3, 2



dan a 



1, 1, 1



Apakah saling bebas linear di R3

5. Diketahui u=(1,2,-1) dan v=(6,4,2) dalam R3_.

Apakah w=(4,-1,8) merupakan kombinasi linear dari u dan v?

6. Misalkan, u = [2,-1,3], v = [1,2,-2], apakah x = [8,1,5] kombinasi linier dari u dan v.

u

v

a

_b

c

7. Misal _{= (2, 4, 0), dan}

Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor di atas

= (4, 2, 6) c. _{= (0, 0, 0)} adalah vektor-vektor di R3_. = (1, –1, 3) b. = (1, 5, 6) a.