Aljabar Linear Elementer I
MATA4112
Dalil:
Jika terdapat serangkaian operasi baris elementer, yang bila dikerjakan pada matriks lengkap suatu sistem persamaan linear, menghasilkan matriks yang memuat baris yang mempunyai unsur tak nol terkiri pada kolom terakhir, maka jawab sistem persamaan linear itu tak ada
Contoh:
Diberikan suatu sistem persamaan linear yang matriks lengkapnya sbb:
1 1 1 1
1 0 1 3
1 0 1 1
2 1 2 2
1 1 1 1 1 0 1 3 1 0 1 1 2 1 2 2
2 3
B B
1 1 1 1 0 0 0 2 1 0 1 1 2 1 1 2
Perhatikan baris kedua matriks terakhir, unsur tak nol terkirinya berada pada kolom terakhir jadi sistem persamaan tidak mempunyai jawab
Lakukan operasi baris elementer seperti berikut:
Dalil:
Jika matriks eselon untuk matriks lengkap suatu sistem persamaan linear tak memuat baris yang unsur satu utamanya pada kolom terakhir (unsur satu utama tiap baris
tidak terletak pada kolom terakhir), maka sistem persamaan linear itu punya jawab.
Contoh:
Diberikan matrisk lengkap sistem persamaan linear seperti berikut, periksa apakah sistem mempunyai jawab atau tidak!
1 1 1 2 2 1 1 4 1 2 2 2 2 3 3 4
Lakukan operasi baris elementer seperti berikut:
1 1 1 2 2 1 1 4 1 2 2 2 2 3 3 4
1 1 1 2
0 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0
1 1 1 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Tinggal mengalikan baris ke-2 dengan –1 kita peroleh matriks eselon untuk matriks lengkap. Jelas matriks eselon tak mempunyai baris yang unsur satu utamanya pada kolom terakhir, jadi sistem persamaan linear ini punya jawab
Dalil:
Jika pada matriks eselon untuk matriks lengkap suatu sistem persamaan linear tak terdapat baris yang unsur satu utamanya pada kolom terakhir dan banyaknya baris tak nol sama dengan banyaknya kolom matriks koefisien, maka sistem persamaan linear itu punya tepat satu jawab
Contoh
Diberikan matriks seperti di bawah ini:
1 1 1 3
0 1 1 2
0 0 1 1
0 0 0 0
Perhatikan matriks di samping ini. Unsur satu
utamanya tidak ada yang terletak pada kolom terakhir dan banyaknya baris tak nol sama dengan banyaknya kolom matriks koefisien, oleh karena itu sistem
persamaan semula mempunyai tepat satu jawab
Dalil:
Jika matriks eselon untuk matriks lengkap suatu sistem persamaan linear tak memuat baris yang unsur satu utamanya terletak pada kolom terakhir, dan banyak baris tak nolnya kurang dari banyaknya kolom, maka sistem persamaan linear itu mempunyai lebih dari satu jawab.
Contoh
1 2 0 1 5 1 0 0 1 0 1 2 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Diberikan matriks eselon berikut:
Perhatikan matriks eselon di samping, tak ada baris yang unsur satu utamanya terletak pada kolom terakhir, jumlah baris tak nol ada 3, kolom matriks koefisien ada 5, jadi sistem persamaan linearnya mempunyai jawab lebih dari satu
Solusi dan sifat-sifat solusi dari suatu sistem persamaan linear dapat ditentukan dengan menganalis hasil operasi baris elementer pada matriks lengkap sistem persamaan tersebut tanpa harus menyelesaikan sistem persamaan
Contoh
Diketahui sistem persamaan linear seperti berikut:
2
4 4
x y z p
x y z q
x y z r
Jika kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks lengkap diperoleh:
1 1 1
2 1 1
1 4 4
p q r
2 1
3 1
2
B B
B B
1 1 1
0 3 3 2
0 3 3
p p q
p r
Sekarang akan kita lihat beberapa kemungkinan berikut:
q + r – 3p 0, baris terakhir menyatakan 0.x + 0.y + 0.z = q + r – 3p, yang tak mungkin dapat dipenuhi, sistem persamaan tak punya jawab
q + r – 3p = 0, diteruskan satu langkah lagi diperoleh matriks eselon
2 3
1 1 1
0 1 1
0 0 0 0
q p
p
Dari matriks eselon dapat kita simpulkan ada lebih dari satu jawaban
1 1 1
0 3 3 2
0 0 0 3
p p q p q r
3 2
B B
Dengan subtitusi mundur diperoleh
2 2
3 3 3
,
q p,
q p p qz t y
t x p y z p
t t
2
3
,
3, ,
p q q p
x
y
t z t t R
Himpunan jawab:
Ditulis dalam matriks kolom:
3 2 3
0 1 , 0 1
p q q p
x
y t t R
z
Kesimpulan
(i) Sistem tak punya jawab bila q + r – 3p 0 (ii) Kasus sistem punya jawab tunggal tak terjadi
berapapun nilai p, q, dan r
(iii) Sistem punya jawab tak tunggal bila q + r – 3p = 0
