Powerpoint Templates
Sistem Persamaan Linear
Metode Eliminasi Gauss
Pertemuan 5
Jika sejumlah persamaan harus diselesaikan secara
bersamaan/simultan
SISTEM PERSAMAAN LINIER
Contoh Penerapan Sistem Persamaan Linear
› Penentuan besarnya kuat arus dari setiap aliran listrik dalam suatu jaringan listrik
› Menentukan banyaknya arus lalu lintas pada setiap perempatan jalan yang sedang
diamati
› Menyelesaikan model ekonomi pertukaran
barang.
Tujuan Pembelajaran
› Menjelaskan pengertian sistem persamaan linear serta solusi dari SPL
› Menjelaskan cara merepesentasikan sistem persamaan linear ke dalam bentuk perkalian matriks
› Menggunakan metode Eliminasi Gauss Naive, Gauss yang diperbaiki dan Gauss Jordan untuk mencari
solusi dari SPL
Sistem Persamaan Linear Secara Umum
11 1 12 1 1 1
21 1 22 1 2 2
1 1 2 1
...
...
...
n n n n
m m mn n m
a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b
11 12 1( 1) 1 1 1
21 22 2( 1) 2 2 2
( 1)1 ( 1)2 ( 1)( 1) ( 1) 1 1
1 2 ( 1)
...
...
...
...
n n
n n
m m m n m n n m
m m m n mn n m
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
Kemungkinan Solusi dari SPL
› Tepat 1 solusi
› Jumlah solusi tak terhingga
› Tidak memiliki solusi
Representasi Geometri untuk 2 variable dan 2 persamaan
Sistem Persamaan Linear A nxn
11 1 12 1 1 1
21 1 22 1 2 2
1 1 2 1
...
...
...
n n n n
n n nn n n
a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b
11 12 1( 1) 1 1 1
21 22 2( 1) 2 2 2
( 1) ( 1)2 ( 1)( 1) ( 1) 1 1
1 2 ( 1)
...
...
...
...
n n
n n
n n n n n n n n
n n n n nn n n
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
Substitusi Balik
11 12 13 1 1
22 23 2 2
33 3 3
0
0 0
a a a x b
a a x b
a x b
11 1 12 2 13 3 1
22 2 23 3 2
33 3 3
a x a x a x b a x a x b
a x b
33
33
x b
a
2 23 3
2
22
b a x
x a
3 12 2 13 3
1
11
( )
b a x a x
x a
Substitusi Balik untuk A 4x4
11 12 13 14 1 1
22 23 24 2 2
33 34 3 3
44 4 4
0
0 0
0 0 0
a a a a x b
a a a x b
a a x b
a x b
11 1 12 2 13 3 14 4 1
22 2 23 3 24 4 2
33 3 34 4 3
44 4 4
a x a x a x a x b a x a x a x b
a x a x b a x b
Metode Eliminasi Gauss
› Penyelesaian SPL dengan metode eliminasi Gauss
• Substitusi Balik
1 1, 2,...,1 dan 0
n
k kj j
j k
k kk
kk
b a x
x k n n a
a
11 12 1( 1) 1 1 1
22 2( 1) 2 2 2
( 1)( 1) ( 1) 1 1
...
0 ...
0 0 ...
0 0 ... 0
n n
n n
n n n n n n
n n
nn
a a a a x b
a a a x b
a a x b
x b
a
n n
/
nnx b a
Selesaikan SPL Berikut
�
1+ �
2+ 3 �
4=4 − �
2− �
3+ 5 �
4=− 7 3 �
3+ 13 �
4=13
− 13 �
4=− 13
1 2 3
5 4 1 4
0 3 1 12
0 0 2 12
x x x
Operasi Baris Elementer
a) Pertukaran baris
b) Penskalaan baris (perkalian baris)
c) Penjumlahan baris dengan kelipatan baris lain
Metode Eliminasi Gauss Naif : menggunakan hanya operasi c)
Metode Gauss yang diperbaiki : menggunakan
langkah a),b),c)
Contoh
› Gunakan metode eliminasi Gauss naif untuk menyelesaikan SPL berikut :
a. c.
b.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 11
4 4 3 17
2 3 1
x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2
1 2 3
2 2
3 6 9
2 8 4 6
x x x
x x
x x x
1 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 4
2 1
3 2 3
2 3 4
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Solusi (a)
›
›
› Selanjutnya, selesaikan dengan metode balik
› 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 11
4 4 3 17
2 3 1
x x x
x x x
x x x
Metode Eliminasi Gauss yang diperbaiki
› Pivoting sebagian: Untuk menentukan Pivot pada baris ke – k dan kolom ke – p dipilih
semua elemen pada kolom p yang
mempunyai nilai mutlak terbesar, lalu pertukarkan baris tersebut.
› Penskalaan/menormalkan baris : membagi tiap baris dengan nilai mutlak terbesar
ruas kiri.
Pivoting Sebagian
Cari |x|
terbesar, lalu
pertukarka n barisnya dengan
baris ke-2
0 0 0 0
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Latihan
› Selesaikan SPL berikut ini dengan menggunakan aturan pivoting
1 2 3
1 2
1 2 3
2 2
3 6 9
2 8 4 6
x x x
x x
x x x
Kemungkinan Solusi SPL
› Mempunyai solusi
unik/tunggal
› Punya banyak solusi
› Tidak ada solusi sama sekali
1 1 1 0 1 1 1 0 2 3 1 1 0 1 1 1 3 1 2 1 0 0 3 3
1 1 1 4 1 1 2 4 2 1 1 2 0 3 3 6 1 2 3 6 0 0 0 0
1 1 2 4 1 1 2 4 2 1 1 2 0 3 3 6 1 2 3 7 0 0 0 1
