SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN ELIMINASI GAUSS

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN

ELIMINASI GAUSS

Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc

Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia

email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com

5 Februari 2005

Abstract

Secara umum, catatan ini bermaksud menjelaskan tentang cara penyelesaian prob-lem sistem persamaan linear dengan metode eliminasi gauss. Tapi intinya, catatan ini mengulas konsep dasar metode eliminasi gauss dan algoritmanya serta dilengkapi dengan scriptnya dalam Fortran.

1

Penyederhanaan

Secara umum, sistem persamaan linear dinyatakan sebagai berikut

Pn: an1x1+ an2x2+ ... + annxn= bn (1)

dimanaa dan b merupakan konstanta, x adalah variable, n = 1, 2, 3, ....

Contoh pertama

Misalnya ada sistem persamaan linear yang terdiri dari empat buah persamaan yaitu

P1,P2,P3, danP4 seperti berikut ini:

P1 : x1 + x2 + 3x4 = 4

P2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1

P3 : 3x1 − x2 − x3 + 2x4 = -3 P4 : −x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4

Problem dari sistem persamaan linear adalah bagaimana mencari nilai pengganti bagi variabelx₁,x₂,x₃, danx₄sehingga semua persamaan diatas menjadi benar. Langkah awal penyelesaian problem tersebut adalah dengan melakukan penyederhanaan sistem per-samaan linear. Ada banyak jalan untuk mendapatkan bentuk yang lebih sederhana, namun masalahnya, kita ingin mendapatkan sebuah algoritma program yang nantinya bisa ber-jalan di komputer, sedemikian rupa sehingga apapun persamaannya, bisa disederhanakan oleh komputer. Kita akan berpatokan pada tiga buah aturan operasi untuk menyeder-hanakan sistem persamaan linear di atas, yaitu

• Persamaan Pi dapat dikalikan dengan sembarang konstantaλ, lalu hasilnya

ditem-patkan di posisi persamaanP_i. Simbol operasi ini adalah(λP_i) → (P_i).

• Persamaan Pj dapat dikalikan dengan sembarang konstanta λ kemudian

dijum-lahkan dengan persamaan P_i, lalu hasilnya ditempatkan di posisi persamaan P_i. Simbol operasi ini adalah(P_i+ λP_j) → (P_i).

• Persamaan Pi danPj dapat bertukar posisi. Simbol operasi ini adalah(Pi) ↔ (Pj).

Maka dengan berpegang pada aturan-aturan tersebut, problem sistem persamaan linear di atas akan diselesaikan dengan langkah-langkah berikut ini:

1. Gunakan persamaan P₁ untuk menghilangkan variabel x₁ dari persamaan P₂, P₃ danP₄ dengan cara(P₂−2P₁) → (P₂), (P₃−3P₁) → (P₃) dan (P₄+ P₁) → (P₄). Hasilnya akan seperti ini

P1 : x1+ x2+ 3x4 = 4, P2 : −x2 − x3− 5x4 = −7, P3 : −4x2 − x3− 7x4 = −15,

P4 : 3x2 + 3x3+ 2x4 = 8

2. Gunakan persamaanP₂ untuk menghilangkan variabel x₂ dari persamaan P₃ dan

P4dengan cara(P3− 4P2) → (P3) dan (P4+ 3P2) → (P4). Hasilnya akan seperti

ini

P1 : x1 + x2+ 3x4 = 4, P2 : −x2− x3− 5x4 = −7, P3 : 3x3+ 13x4 = 13,

Kalaux₃ masih ada di persamaanP₄, dibutuhkan satu operasi lagi untuk langkannya. Namun hasil operasi pada langkah ke-2 ternyata sudah otomatis menghi-langkanx₃. Bentuk akhir dari keempat persamaan di atas, dikenal sebagai bentuk

triangular.

Sampai dengan langkah ke-2 ini, kita berhasil mendapatkan sistem persamaan lin-ear yang lebih sederhana. Apa yang dimaksud dengan sederhana dalam konteks ini? Suatu sistem persamaan linear dikatakan sederhana bila kita bisa mendapatkan selu-ruh nilai pengganti variabelnya dengan cara yang lebih mudah atau dengan usaha yang tidak memakan waktu lama dibandingkan sebelum disederhanakan. Sekali kita mendapatkan nilai pengganti bagi variabelx₄, makax₃, x₂ danx₁ akan diper-oleh dengan mudah dan cepat, sebagaimana yang dijelaskan pada langkah berikut-nya.

3. Selanjutnya kita jalankan proses backward-substitution. Melalui proses ini, yang pertama kali didapat adalah nilai pengganti bagi variabel x₄, kemudian x₃, lalu diikutix₂, dan akhirnyax₁.

P4 : x4 = −13₋₁₃ = 1,

P3 : x3 = 1₃(13 − 13x4) = 1₃(13 − 13) = 0, P2 : x2 = −(−7 + 5x4+ x3) = −(−7 + 5 + 0) = 2,

P1 : x1 = 4 − 3x4− x2 = 4 − 3 − 2 = −1

Jadi solusinya adalahx₁ = −1, x₂ = 2, x₃ = 0 dan x₄ = 1. Coba sekarang anda cek, apakah semua solusi ini cocok dan tepat bila dimasukan ke sistem persamaan linear yang pertama, yaitu yang belum disederhanakan?

OK, mudah-mudahan ngerti ya... Kalau belum paham, coba diulangi bacanya sekali lagi. Atau, sekarang kita beralih kecontoh yang lain.

Contoh kedua

Misalnya ada sistem persamaan linear, terdiri dari empat buah persamaan yaituP₁,

P2,P3, danP4seperti berikut ini:

P1 : x1 − x2 + 2x3 − x4 = -8

P2 : 2x1 − 2x2 + 3x3 − 3x4 = -20

P3 : x1 + x2 + x3 = -2

P4 : x1 − x2 + 4x3 + 3x4 = 4

Seperti contoh pertama, solusi sistem persamaan linear di atas akan dicari dengan langkah-langkah berikut ini:

1. Gunakan persamaanP₁untuk menghilangkanx₁dari persamaanP₂, P₃danP₄ den-gan cara (P₂− 2P₁) → (P₂), (P₃− P₁) → (P₃) dan (P₄ − P₁) → (P₄). Hasilnya akan seperti ini

P1 : x1− x2+ 2x3− x4 = −8, P2 : −x3− x4 = −4,

P3 : 2x2− x3 + x4 = 6,

P4 : 2x3+ 4x4 = 12

Perhatikan persamaan P₂! Akibat dari langkah yang pertama tadi, x₂ hilang dari persamaan P₂. Kondisi ini bisa menggagalkan proses triangularisasi. Untuk itu, posisiP₂ mesti ditukar dengan persamaan yang berada dibawahnya, yaituP₃ atau

P4. Supaya proses triangularisasi dilanjutkan kembali, maka yang paling cocok

adalah ditukar denganP₃.

2. Tukar posisi persamaan P₂ dengan persamaan P₃, (P₂ ↔ P₃). Hasilnya akan seperti ini

P1 : x1− x2 + 2x3− x4 = −8, P2 : 2x2− x3 + x4 = 6, P3 : −x3− x4 = −4,

3. Gunakan persamaan P₃ untuk menghilangkan x₃ dari persamaan P₄ dengan cara

(P4− 2P3) → (P4). Hasilnya akan seperti ini

P1 : x1− x2+ 2x3 − x4 = −8, P2 : 2x2− x3+ x4 = 6,

P3 : −x3 − x4 = −4,

P4 : 2x4 = 4

Sampai disini proses triangularisasi telah selesai.

4. Selanjutnya adalah proses backward-substitution. Melalui proses ini, yang pertama kali didapat solusinya adalahx₄, kemudianx₃, lalu diikutix₂, dan akhirnyax₁.

P4 : x4 = 4₂ = 2,

P3 : x3 = −4 + x₋₁ 4 = 2, P2 : x2 = 6 + x₂3− x4 = 3, P1 : x1 = −8 + x2− 2x3+ x4 = −7

Jadi solusinya adalahx₁ = −7, x₂ = 3, x₃ = 2 dan x₄ = 2.

Berdasarkan kedua contoh di atas, untuk mendapatkan solusi sistem persamaan linear, diperlukan operasi triangularisasi dan proses substitution. Kata

backward-substitution kalau diterjemahkan kedalam bahasa indonesia, menjadi substitusi-mundur.

Gabungan proses triangularisasi dan substitusi-mundur untuk menyelesaikan sistem per-samaan linear dikenal sebagai metode eliminasi gauss.

2

Matrik dan Eliminasi Gauss

Sejumlah matrik bisa digunakan untuk menyatakan suatu sistem persamaan linear. Sejenak, mari kita kembali lagi melihat sistem persamaan linear secara umum seperti

berikut ini: a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn = b1 a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn = b2 . . . = . . . . . . = . . . an1x1+ an2x2+ . . . + annxn = bn

Sementara, kalau dinyatakan dalam bentuk operasi matrik, maka akan seperti ini:

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... an1 an2 . . . ann ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 .. . xn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ b1 b2 .. . bn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (2)

Dalam mencari solusi suatu sistem persamaan linear dengan metode eliminasi gauss, bentuk operasi matrik di atas dimanipulasi menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukurann x (n + 1) seperti berikut ini:

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a11 a12 . . . a1n | b1 a21 a22 . . . a2n | b2 .. . ... ... | ... an1 an2 . . . ann | bn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a11 a12 . . . a1n | a1,n+1 a21 a22 . . . a2n | a2,n+1 .. . ... ... | ... an1 an2 . . . ann | an,n+1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (3)

Berdasarkan contoh pertama yang ada dihalaman depan catatan ini, saya akan tun-jukkan proses triangularisasi dan substitusi-mundur dalam operasi matrik terhadap sistem persamaan linear yang terdiri dari empat persamaan matematika, yaitu (silakan lihat

kem-bali contoh pertama):

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 1 0 3 2 1 −1 1 3 −1 −1 2 −1 2 3 −1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 x4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 4 1 −3 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Lalu kita dapat membuat matrik augment sebagai berikut:

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 1 0 3 | 4 2 1 −1 1 | 1 3 −1 −1 2 | −3 −1 2 3 −1 | 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Kemudian kita lakukan operasi triangularisai terhadap matrik augment, dimulai dari kolom pertama, yaitu ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 1 0 3 | 4 0 −1 −1 −5 | −7 0 −4 −1 −7 | −15 0 3 3 2 | 8 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

lalu dilanjutkan ke kolom berikutnya

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 1 0 3 | 4 0 −1 −1 −5 | −7 0 0 3 13 | 13 0 0 0 −13 | −13 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Sebelum dilanjutkan ke substitusi-mundur, saya ingin menegaskan peranan angka-angka indeks dari masing-masing elemen matrik augment tersebut. Silakan perhatikan posisi masing-masing elemen berikut ini:

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 1 0 3 | 4 0 −1 −1 −5 | −7 0 0 3 13 | 13 0 0 0 −13 | −13 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦→ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a11 a12 a13 a14 | a15 a21 a22 a23 a24 | a25 a31 a32 a33 a34 | a35 a41 a42 a43 a44 | a45 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Dengan memperhatikan angka-angka indeks pada matrik augment di atas, kita akan men-coba membuat rumusan proses substitusi-mundur untuk mendapatkan seluruh nilai peng-ganti variabelx. Dimulai dari x₄,

x4 = a_a45 44 =

−13 −13 = 1

ini dapat dinyatakan dalam rumus umum, yaitu

xn= an,n+1_a nn

lalu dilanjutkan denganx₃,x₂, danx₁.

x3 = a35− a_a 34x4 33 = 13 − [(13)(1)] 3 = 0 x2 = a25− (a23_ax3+ a24x4) 22 = (−7) − [(−1)(0) + (−5)(1)] (−1) = 2 x1 = a15− (a12x2+ a_a 13x3+ a14x4) 11 = 4 − [(1)(2) + (0)(0) + (3)(1)] 1 = −1

ini juga dapat dinyatakan dalam rumus umum yaitu:

xi = ai,n+1−

_n

j=i+1aijxj aii

Proses triangularisasi dan substitusi-mundur dibakukan menjadi algoritma metode eliminasi gauss yang dapat diterapkan dalam berbagai bahasa pemrograman komputer, misalnya fortran, C, java, pascal, matlab, dan lain-lain.

3

Algoritma eliminasi Gauss

Secara umum, sistem persamaan linear adalah sebagai berikut:

a11x1 + a12x2+ . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2+ . . . + a2nxn = b2

..

. ... = ...

an1x1+ an2x2 + . . . + annxn = bn

Algoritma dasar metode eliminasi gauss, adalah sebagai berikut:

1. Ubahlah sistem persamaan linear tersebut menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukurann x (n + 1) seperti berikut ini:

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a11 a12 . . . a1n | b1 a21 a22 . . . a2n | b2 .. . ... ... | ... an1 an2 . . . ann | bn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a11 a12 . . . a1n | a1,n+1 a21 a22 . . . a2n | a2,n+1 .. . ... ... | ... an1 an2 . . . ann | an,n+1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (4)

Jelas terlihat bahwa elemen-elemen yang menempati kolom terakhir matrik aug-ment adalah nilai darib_i; yaitua_i,n+1 = b_idimanai = 1, 2, ..., n.

2. Periksalah elemen-elemen pivot. Apakah ada yang bernilai nol? Elemen-elemen pivot adalah elemen-elemen yang menempati diagonal suatu matrik, yaitua₁₁,a₂₂, ..., a_nn atau disingkata_ii. Jikaa_ii = 0, bisa dilanjutkan ke langkah no.3. Namun, jika ada elemen diagonal yang bernilai nol,a_ii= 0, maka baris dimana elemen itu berada harus ditukar posisinya dengan baris yang ada dibawahnya, (P_i) ↔ (P_j) dimanaj = i + 1, i + 2, ..., n, sampai elemen diagonal matrik menjadi tidak nol,

aii = 0. (Kalau kurang jelas, silakan lihat lagi contoh kedua yang ada

dihala-man 3. Sebaiknya, walaupun elemen diagonalnya tidak nol, namun mendekati nol (misalnya 0,03), maka proses pertukaran ini dilakukan juga).

3. Proses triangularisasi. Lakukanlah operasi berikut:

Pj− a_aji

iiPi → Pj (5)

dimanaj = i + 1, i + 2, ..., n. Maka matrik augment akan menjadi:

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a11 a12 a13 . . . a1n | a1,n+1 0 a22 a23 . . . a2n | a2,n+1 0 0 a33 . . . a3n | a3,n+1 .. . ... ... . .. ... | ... 0 0 0 0 ann | an,n+1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (6)

4. Hitunglah nilaix_ndengan cara:

xn= an,n+1_a

nn (7)

5. Lakukanlah proses substitusi-mundur untuk memperolehx_n−1, x_n−2, ..., x₂, x₁ den-gan cara: xi = ai,n+1− _n j=i+1aijxj aii (8) dimanai = n − 1, n − 2, ..., 2, 1.

Demikianlan algoritma dasar metode eliminasi gauss. Selanjutnya algoritma dasar terse-but perlu dirinci lagi sebelum dapat diterjemahkan kedalam bahasa pemrograman kom-puter.

3.1

Algoritma

Algoritma metode eliminasi gauss untuk menyelesaikann x n sistem persamaan lin-ear. P1 : a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn = b1 P2 : a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn = b2 .. . ... ... = ... Pn: an1x1+ an2x2+ . . . + annxn = bn

INPUT: sejumlah persamaan linear dimana konstanta-konstanta-nya menjadi elemen-elemen matrik augmentA = (a_ij), dengan 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n + 1.

OUTPUT: solusi x₁, x₂, x₃, ..., x_n atau pesan kesalahan yang mengatakan bahwa sistem persamaan linear tidak memiliki solusi yang unik.

• Langkah 1: Inputkan konstanta-konstanta dari sistem persamaan linear kedalam

elemen-elemen matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukuran n x (n + 1) seperti berikut ini:

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a11 a12 . . . a1n | b1 a21 a22 . . . a2n | b2 .. . ... ... | ... an1 an2 . . . ann | bn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a11 a12 . . . a1n | a1,n+1 a21 a22 . . . a2n | a2,n+1 .. . ... ... | ... an1 an2 . . . ann | an,n+1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (9)

• Langkah 2: Untuk i = 1, ..., n − 1, lakukan Langkah 3 sampai Langkah 5.

• Langkah 3: Definisikan p sebagai integer dimana i ≤ p ≤ n. Lalu pastikan

bahwaa_pi = 0. Jika ada elemen diagonal yang bernilai nol (a_ii = 0), maka program harus mencari dan memeriksa elemen-elemen yang tidak bernilai nol dalam kolom yang sama dengan kolom tempat elemen diagonal tersebut be-rada. Jadi saat proses ini berlangsung, integer i (indeks dari kolom) dibuat konstan, sementara integer p (indeks dari baris) bergerak dari p = i sampai

p = n. Bila ternyata setelah mencapai elemen paling bawah dalam kolom

tersebut, yaitu saat p = n tetap didapat nilai a_pi = 0, maka sebuah pesan dimunculkan:sistem persamaan linear tidak memiliki solusi yang unik. Lalu program berakhir: STOP.

• Langkah 4: Namun jika sebelum integer p mencapai nilai p = n sudah

diper-oleh elemen yang tidak nol (a_pi = 0), maka bisa dipastikan p = i. Jika p = i maka lakukan proses pertukaran (P_p)↔ (P_i).

• Langkah 5: Untuk j = i + 1, .., n, lakukan Langkah 6 dan Langkah 7. • Langkah 6: Tentukan mji,

mji = a_aji ii

• Langkah 7: Lakukan proses triangularisasi,

(Pj − mjiPi) → (Pj)

• Langkah 8: Setelah proses triangularisasi dilalui, periksalah ann. Jika ann = 0,

kirimkan pesan: sistem persamaan linear tidak memiliki solusi yang unik. Lalu program berakhir: STOP.

• Langkah 9: Jika ann = 0, lakukan proses substitusi mundur, dimulai dengan

menentukanx_n,

xn= an,n+1_a nn • Langkah 10: Untuk i = n − 1, ..., 1 tentukan xi,

xi = ai,n+1−

_n

j=i+1aijxj aii

• Langkah 11: Diperoleh solusi yaitu x1, x2, ..., xn. Algoritma telah dijalankan

den-gan sukses. STOP.

Saya telah membuat program sederhana dalam fortran untuk mewujudkan algoritma eliminasi gauss. Saya berasumsi bahwa anda sudah menguasai dasar-dasar pemrogra-man dalam fortran. Program ini sudah dicoba di-compile dengan fortran77under Linux Debian dan visual-fortranunder windows-XP.

Langkah-langkah yang tercantum pada program ini disesuaikan dengan langkah-langkah yang tertulis di atas. Dalam program ini, ukuran maksimum matrik augment adalah 10 x 11, untuk mencari 10 variabel yang tidak diketahui. Jika anda bermaksud memperbesar atau memperkecil ukuran matrik augment, silakan sesuaikan angka ukuran matrik yang anda inginkan pada statemen pertama dari program ini, yaitu statemen DIMENSION. Inilah programnya,

DIMENSION A(10,11), X(10) REAL MJI

WRITE (*,*) ’=PROGRAM ELIMINASI GAUSS=’ WRITE (*,*)

C LANGKAH 1: MEMASUKAN NILAI ELEMEN-ELEMEN MATRIK AUGMENT WRITE (*,’(1X,A)’) ’JUMLAH PERSAMAAN ? ’

WRITE (*,*)

WRITE (*,*) ’MASUKAN ELEMEN-ELEMEN MATRIK AUGMENT’ M = N + 1

DO 50 I = 1,N DO 60 J = 1,M

WRITE (*,’(1X,A,I2,A,I2,A)’) ’A(’,I,’,’,J,’) = ’ READ (*,*) A(I,J)

60 CONTINUE

50 CONTINUE WRITE (*,*)

C MENAMPILKAN MATRIK AUGMENT

WRITE (*,’(1X,A)’) ’MATRIK AUGMENT:’ DO 110 I = 1,N

WRITE (*,’(1X,5(F14.8))’) (A(I,J),J=1,M) 110 CONTINUE

WRITE (*,*)

C LANGKAH 2: MEMERIKSA ELEMEN-ELEMEN PIVOT DAN PROSES TUKAR POSISI NN = N-1

DO 10 I=1,NN

C LANGKAH 3: MENDEFINISIKAN P P = I

100 IF (ABS(A(P,I)).GE.1.0E-20 .OR. P.GT.N) GOTO 200 P = P+1

GOTO 100

200 IF(P.EQ.N+1)THEN

C MENAMPILKAN PESAN TIDAK UNIK WRITE(*,5)

GOTO 400 END IF

C LANGKAH 4: PROSES TUKAR POSISI IF(P.NE.I) THEN

DO 20 JJ=1,M C = A(I,JJ)

A(P,JJ) = C

20 CONTINUE

END IF

C LANGKAH 5: PERSIAPAN PROSES TRIANGULARISASI JJ = I+1

DO 30 J=JJ,N

C LANGKAH 6: TENTUKAN MJI MJI = A(J,I)/A(I,I)

C LANGKAH 7: MELAKUKAN PROSES TRIANGULARISASI DO 40 K=JJ,M A(J,K) = A(J,K)-MJI*A(I,K) 40 CONTINUE A(J,I) = 0 30 CONTINUE 10 CONTINUE

C MENAMPILKAN HASIL TRIANGULARISASI

WRITE (*,’(1X,A)’) ’HASIL TRIANGULARISASI:’ DO 120 I = 1,N

WRITE (*,’(1X,5(F14.8))’) (A(I,J),J=1,M) 120 CONTINUE

C LANGKAH 8: MEMERIKSA ELEMEN A(N,N) IF(ABS(A(N,N)).LT.1.0E-20) THEN C MENAMPILKAN PESAN TIDAK UNIK

WRITE(*,5) GOTO 400 END IF

C LANGKAH 9: MENGHITUNG X(N) X(N) = A(N,N+1)/A(N,N)

C LANGKAH 10: PROSES SUBSTITUSI MUNDUR L = N-1

DO 15 K=1,L I = L-K+1 JJ = I+1 SUM = 0.0

DO 16 KK=JJ,N

SUM = SUM+A(I,KK)*X(KK)

16 CONTINUE

X(I) = (A(I,N+1)-SUM)/A(I,I) 15 CONTINUE

C LANGKAH 11: MENAMPILKAN HASIL PERHITUNGAN WRITE (*,*)

WRITE (*,7) DO 18 I = 1,N

WRITE (*,’(1X,A,I2,A,F14.8)’) ’X(’,I,’) = ’,X(I) 18 CONTINUE

400 STOP

5 FORMAT(1X,’SISTEM LINEAR TIDAK MEMILIKI SOLUSI YANG UNIK’) 7 FORMAT(1X,’SOLUSI UNIK’)

END

4

Penutup

Silakan anda coba aplikasikan program di atas dengan berbagai sistem persamaan linear yang pernah dijadikan contoh pada catatan terdahulu. Saya cukupkan sementara sampai disini. Insya Allah akan saya sambung lagi dilain waktu. Kalau ada yang mau didiskusikan, silakan hubungi saya melalui email yang tercantum di halaman paling de-pan.

References