Abstrak: Matriks menjadi suatu alternatif dalam penyelesaian sistem persamaan
linear, matriks diperbesar adalah salah satu cara untuk meringkas suatu sistem persamaan linear, matriks ini pula yang digunakan untuk menyelesaikan sistem tersebut dengan berbagai metode yaitu metode invers matriks, eliminasi gauss, metode crammer. Untuk mempermudahkan proses tersebut penyelesaian digunakan bantuan aplikasi maple 10
Kata kunci: matriks diperbesar, eliminasi gauss, crammer, invers matriks, addrow,
mulrow, gausselim, gaussjord.
I. PENDAHULUAN
Informasi dalam bidang sains dan matematika seringkali ditampilkan dalam bentuk baris-baris dan kolom-kolom yang membentuk jajar empat persegi panjang
yang disebut “matriks” Matriks seringkali merupakan tabel-tabel data numerik yang
diperoleh melalui pengamatan fisik, tetapi dapat juga muncul dalam berbagai macam konteks matematis.
Charless (1993: 49) mendefinisikan matriks adalah suatu bilangan yang berbentuk persegi panjang. Cara yang biasa digunakan untuk menuliskan sebuah matriks dengan m baris dan n kolom, dan salah satu cara aplikasi penggunaaan matriks untuk mempersingkat sistem persamaan linear cara seperti ini disebut matriks diperbesar (Rorres, 2004: 25).
Aplikasi matriks yang disusun dalam bentuk matriks diperbesar banyak mengilhami penyelesaian sistem persamaan linear, penyelesaian tersebut meliputi aturan Crammer, Eliminasi Gauss, Invers Matriks, dalam penggunaan metode-metode tersebut digunakan berbagai sifat-sifat operasi matriks.
II. PEMBAHASAN
A. Sitem Persamaan Linear
Suatu sistem sebarang dari m persamaan linear dengan n faktor yang tidak diketahui dapat dituliskan sebagai:
dimana x1, x2, ... xn adalah faktor yang tidak diketahui, dan a dan b dengan subskrip
merupakan konstanta. Sebagai contoh, suatu sistem umum yang terdiri dari tiga persamaan linear dengan empat faktor yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai:
Penulisan dua subkrip pada koefisien yang tidak diketahui merupakan yang berguna untuk menyatakan lokasi koefisien dalam sistem tersebut. Subkrip yang pertama pada koefisien aijmenunjukkan persamaan di mana koefisien tersebut berada
dan subskrip yang kedua menunjukkan faktor yang tidak diketahui yang dikalikan dengan koefisien tersebut. Sehingga a12 terletak pada persamaan pertama dan
dikalikan dengan faktor yang tak diketahui x2.
B. Matriks yang Diperbesar
Jika kita dapat mengingat lokasi-lokasi dari +, x dan =, maka suatu sistem persamaan linear yang terdiri dari m peramaan dengan n faktor yang tidak diketahui dapat disingkat dengan hanya menuliskan deretan bilangan-bilangan dalam jajaran empat persegi panjang.
Ini disebut Matriks diperbesar (augment matrix) dari sistem tersebut, (Istilah matriks) digunakan dalam matematika untuk menyatakan jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan. Matriks muncul dalam banyak konteks, khususnya dalam penyelesaian sistem persamaan linear.
C. Alternatif Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Secara Numerik dengan Maple
1. Invers Matriks
Rorres (2004: 66), Jika A adalah suatu matriks n x n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks b, n x 1, sistem persamaan Ax=b memiliki tepat satu solusi, yaitu x = A-1b. A dapat dibalik (det (A) 0).
Contoh: 1
Perhatikan sistem persamaan linear
Dengan menggunakan maple kita dapat menghitung invers (A). > with(linalg): > A:=Matrix(<< 1 | 2 | 3 >,< 2 | 5 | 3 >,< 1 | 0 | 8 >>); > det(A); −1 > invA:=inverse(A); > b:=Vector[column](< 5,3,17 >); > x:=evalm(invA&*b);
Dari hasil tersebut diperoleh nilai
Kelemahan yang terjadi pada metode ini, sistem persamaan linear yang mempunyai solusi banyak tidak dapat diselesaikan karena matriks yang dibentuk tidak mempunyai invers.
2. Metode Crammer
Rorres (2004: 123), Jika Ax = b adalah suatu sistem dari n persamaan lineat dengan n faktor yang tidak diketahui sedemikian sehingga det 0, maka sistem ini memiliki solusi yang unik, solusinya adalah
di mana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti entri-entri pada kolom
ke-j dari A dengan entri-entri pada matriks.
A :=
é
ê
ê
êê
ë
1
2
3
2
5
3
1
0
8
ù
ú
ú
úú
û
invA :=
é
ê
ê
êê
ë
K40 16
9
13
K5 K3
5
K2 K1
ù
ú
ú
úú
û
b :=
é
ê
ê
êê
ë
5
3
17
ù
ú
ú
úú
û
x := [ 1 K1 2 ]
Contoh: 2
Dengan menggunakan aturan Crammer untuk menyelesaikan:
Penyelesaian: >with(linalg); >egns:={x+2*z=6,-3*x+4*y+6*z=30,-x-2*y+3*z=8}; > A:=genmatrix(egns,[x,y,z],flag); > egns:={x+2*z=6,-3*x+4*y+6*z=30,-x-2*y+3*z=8}; > p:=genmatrix(egns,[x,y,z],flag); > M := Matrix(3,4,[[1,0,2,6],[-3,4,6,30],[-1,-2,3,8]]); > A:=SubMatrix(M,[1,2,3],[1,2,3]);
egns := {x C 2 z = 6, K3 x C 4 y C 6 z = 30, Kx K 2 y
C 3 z = 8 }
A :=
é
ê
ê
êê
ë
1
0
2
6
K3
4
6 30
K1 K2
3
8
ù
ú
ú
úú
û
egns := {x C 2 z = 6, K3 x C 4 y C 6 z = 30, Kx K 2 y
C 3 z = 8 }
p :=
é
ê
ê
êê
ë
1
0
2
6
K3
4
6 30
K1 K2
3
8
ù
ú
ú
úú
û
M :=
é
ê
ê
êê
ë
1
0
2
6
K3
4
6 30
K1 K2
3
8
ù
ú
ú
úú
û
> Ax:=SubMatrix(M,[1,2,3],[4,2,3]); > Ay:=SubMatrix(M,[1,2,3],[1,4,3]); > Az:=SubMatrix(M,[1,2,3],[1,2,4]); > x:=det(Ax)/det(A); > y:=det(Ay)/det(A); > z:=det(Az)/det(A); Jadi nilai
Kesulitan terjadi pada saat penyelesaian mempunyai solusi banyak
A :=
é
ê
ê
êê
ë
1
0
2
K3
4
6
K1 K2
3
ù
ú
ú
úú
û
Ax :=
é
ê
ê
êê
ë
6
0
2
30
4
6
8 K2
3
ù
ú
ú
úú
û
Ay :=
é
ê
ê
êê
ë
1
6
2
K3 30
6
K1
8
3
ù
ú
ú
úú
û
Az :=
é
ê
ê
êê
ë
1
0
6
K3
4 30
K1 K2
8
ù
ú
ú
úú
û
x :=
K10
11
y :=
18
11
z :=
38
11
3. Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss diperkenalkan Karl Friendrich Gauss (1777 – 1855) dengan melakukan mengubah matriks diperbesar dari suatu sistem persamaan linear menjadi matriks eselon baris tereduksi. Rorres (2004: 13) setiap matriks memiliki bentuk eselon baris tereduksi yang unik; artinya kita akan memperoleh eselon baris tereduksi yang sama untuk matriks yang tertentu bagaimanapun variasi operasi baris yang
dilakukan. (Bukti hasil ini terdapat pada artikel “The Reduced Row Echelon Form of
a Matrix Is Unique: A Simple Proof,” oleh Thomas Yuster, Matematichs Maganize, Vol 57 No 2 1984: 93-94), Sebaliknya Bentuk eselon baris dari matriks tertentu adalah tidak unik: urutan-urutan operasi baris yang berbeda akan menghasilkan bentuk-bentuk eselon baris yang berbeda pula.
Algoritma Eliminasi Gauss (Rorres, 2004: 9) adalah: mengubah matriks menjadi matriks sehingga memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
(1) Jika satu baris tidak seluruhnya nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan 1 ini disebut 1 utama (leading 1).
(2) Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan dikelompokkan bersama-sama pada bagian paling bawah dari matriks.
(3) Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi.
(4) Setiap kolom yang memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat-tempat lainya. Dari algoritma tersebut kita dapat menyelesaikan sistem persamaan linear berikut:
Contoh 3:
Dengan menggunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan:
Penyelesaian:
> with(linalg):
> egns:={x+y+2*z=9,2*x+4*y-3*z=1,3*x+6*y-5*z=0};
Mengubah matriks menjadi matriks diperbesar
> A:=genmatrix(egns,[x,y,z],flag);
egns := {x C y C 2 z = 9, 3 x C 6 y K 5 z = 0, 2 x
C 4 y K 3 z = 1 }
A := é ê ê êê ë 1 1 2 9 3 6 K5 0 2 4 K3 1 ù ú ú úú ûMenambahkan -3 kali baris 1 ke baris 2 dari matriks A
> addrow(A,1,2,-3);
Menambahkan -2 kali baris 1 ke baris 3 dari matriks diatas (%)
> addrow(%,1,3,-2);
Mengalikan 1/3 pada baris 2 dari matriks diatas (%)
> mulrow(%,2,1/3);
Menambahkan -2 kali baris 2 ke baris 3 dari matriks diatas (%)
> addrow(%,2,3,-2);
Mengalikan 3 pada baris 3 dari matriks di atas (%)
> mulrow(%,3,3);
Menambahkan 11/3 kali baris 3 ke baris 2 dari matriks diatas (%)
> addrow(%,3,2,11/3); é ê ê êê ë 1 1 2 9 0 3 K11 K27 2 4 K3 1 ù ú ú úú û é ê ê êê ë 1 1 2 9 0 3 K11 K27 0 2 K7 K17 ù ú ú úú û é ê ê ê êê ë 1 1 2 9 0 1 K11 3 K9 0 2 K7 K17 ù ú ú ú úú û
é
ê
ê
ê
êê
ë
1
1
2
9
0
1
K11
3
K9
0
0
1
3
ù
ú
ú
ú
úú
û
é ê ê ê ê ê ê ë 1 1 2 9 0 1 K11 3 K9 0 0 1 3 1 ù ú ú ú ú ú ú ûMenambahkan -2 kali baris 3 ke baris 1 dari matriks diatas (%)
> addrow(%,3,1,-2);
Menambahkan -1 kali baris 2 ke baris 1 dari matriks diatas (%)
> addrow(%,2,1,-1);
Mengecek dengan perintah eliminasi gauss secara langsung.
> gaussjord(A);
Dari hasil di atas diperoleh hasil
Contoh 4:
Selesaikan sistem persamaan linear homgen berikut dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan Penyelesaian: > with(linalg): > egns:={2*p+2*q-r+t=0,-p-q+2*r-3*s+t=0,p+q-2*r-t=0,r+s+t=0};
é
ê
ê
êê
ë
1
1
2
9
0
1
0
2
0
0
1
3
ù
ú
ú
úú
û
é
ê
ê
êê
ë
1
1
0
3
0
1
0
2
0
0
1
3
ù
ú
ú
úú
û
é
ê
ê
êê
ë
1
0
0
1
0
1
0
2
0
0
1
3
ù
ú
ú
úú
û
é
ê
ê
êê
ë
1
0
0
1
0
1
0
2
0
0
1
3
ù
ú
ú
úú
û
Menyatakan sistem persamaan ke matriks diperbesar
> A:=genmatrix(egns,[p,q,r,s,t],flag);
Menyatakan sistem persamaan ke matriks diperbesar dengan menghilangkan kolom terakhir
> B:=genmatrix(egns,[p,q,r,s,t]);
Menguji sistem persamaan apakah solusinya banyak.
> rank(A)-rank(B);
Menyelesaikan sistem persamaan dengan menggunakan eliminasi gauss
> gausselim(A);
Menyelesaikan sistem persamaan dengan menggunakan eliminasi gauss jordan
> gaussjord(A);
egns := {2 p C 2 q K r C t = 0, Kp K q C 2 r K 3 s C t = 0, r
C s C t = 0, p C q K 2 r K t = 0 }
A :=
é
ê
ê
ê
ê
êê
ë
2
2 K1
0
1
0
K1 K1
2 K3
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1 K2
0 K1
0
ù
ú
ú
ú
ú
úú
û
B :=
é
ê
ê
ê
ê
êê
ë
2
2 K1
0
1
K1 K1
2 K3
1
0
0
1
1
1
1
1 K2
0 K1
ù
ú
ú
ú
ú
úú
û
0
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
2
2 K1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
K9
2
0
0
0
0
0
0
0
0
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
Menentukan hasil penyelesaian dengan berbagai parameter.
> backsub(%);
Jadi solusi umumnya adalah
Kasus 1
Untuk nilai berapakah, sistem persamaan berikut:
Memiliki solusi trivial
Penyelesaian:
> with(linalg):
> egns:={(lambda-3)*x+y=0,x+(lambda-3)*y=0};
Mengubah matriks menjadi matriks diperbesar
> A:=genmatrix(egns,[x,y],flag);
Menyelesaikan sistem dengan eliminasi gauss jordan
> gausselim(A);
Menentukan nilai untuk sistem yang memiliki non trivial
> factor(-8-(lambda)^2+6*(lambda));
Menentukan hasil faktor dari sistem di atas.
> fsolve(%);
é
ê
ê
ê
ê
êê
ë
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
ù
ú
ú
ú
ú
úú
û
[ K_t
2K _t
1_t
2K_t
10
_t
1]
egns := { ( l K 3 ) x C y = 0, x C ( l K 3 ) y = 0 }
A :=
é
ê
ë
l K 3
1
0
1
l K 3 0
ù
ú
û
é
êê
ë
1
l K 3
0
0 K8 K l
2C 6 l 0
ù
úú
û
K ( l K 2 ) ( l K 4 )
2., 4.
Kasus 2
Untuk nilai berapakah sistem berikut ini tidak memiliki solusi? Tepat hanya satu solusi? Takterhingga banyaknya solusi?
Penyelesaian:
> with(linalg):
> egns:={x+2*y-3*z=4,3*x-y+5*z=2,4*x+y+(a^2-14)*z=a+2};
> A:=genmatrix(egns,[x,y,z],flag);
> B:=gausselim(A);
Setelah dilakukan eliminasi gauss diperolah persamaan yaitu a2 – 16, selanjutnya
persamaan ini difaktorkan dengan perintah.
> factor(a^2-16);
> fsolve(%);
Nilai a = 4 dan a = -4 disubtitusi pada a2– 16 dan a – 4 diperoleh: > f := a -> (a^2-16); > f(4); 0 > f(-4);
egns := {x C 2 y K 3 z = 4, 3 x K y C 5 z = 2, 4 x C y
C ( a
2K 14 ) z = a C 2 }
A :=
é
ê
ê
êê
ë
1
2
K3
4
3 K1
5
2
4
1
a
2K 14 a C 2
ù
ú
ú
úú
û
B :=
é
ê
ê
êê
ë
1
2
K3
4
0 K7
14
K10
0
0
a
2K 16 a K 4
ù
ú
ú
úú
û
( a K 4 ) ( a C 4 )
K4., 4.
f := a/a
2K 16
0 > f := a -> (a-4); > f(4); 0 > f(-4); −8
Selanjutnya untuk nilai a = 4 yang diperoleh disubtitusi ke matriks hasil eliminasi gauss.
> M:=matrix(3,4,[1,2,-3,4,0,-7,14,-10,0,0,0,0]);
> gaussjord(M);
> backsub(%);
Dari hasil di atas menunjukkan bahwa untuk a = 4 diperoleh bahwa solusinya banyak.
> N:=matrix(3,4,[1,2,-3,4,0,-7,14,-10,0,0,0,-8]); > gaussjord(%);
f := a/a K 4
M :=
é
ê
ê
êê
ë
1
2 K3
4
0 K7
14 K10
0
0
0
0
ù
ú
ú
úú
û
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
1
0
1
8
7
0
1 K2
10
7
0
0
0
0
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
é
êë
8
7
K _t
110
7
C 2 _t
1_t
1ù
úû
N :=
é
ê
ê
êê
ë
1
2 K3
4
0 K7
14 K10
0
0
0
K8
ù
ú
ú
úú
û
> backsub(%);
Error, (in linalg:-backsub) inconsistent system
Untuk nilai a = -4 tidak ada solusi, sedangkan a untuk satu salusi.
III. KESIMPULAN
Berbagai cara yang digunakan untuk menentukan solusi suatu sistem persamaan linear, kelebihan dan kekurangan tersebut dapat ditutupi satu sama lain, tinggal kita sebagai pemakai jeli dalam mengaplikasikannya, perkembangan teknologi tidak membuat kita semakin malas untuk mencoba dengan cara manual, tetapi menjadi suatu tantangan dan menjadi alat pengetes dari apa yang kita peroleh dengan metode manual, terkadang ada persoalan-persoalan yang kita dapatkan tidak bisa diselesaikan dengan teknologi yang berkembang saat ini, demikian sebaliknya.
