ALTERNATIF PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR SECARA NUMERIK DENGAN MAPLE 10. Andi Rusdi Jurusan Pendidikan Matematika PPs UNM

(1)

ALTERNATIF PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR SECARA NUMERIK DENGAN MAPLE 10

Andi Rusdi

Jurusan Pendidikan Matematika PPs UNM

Abstrak: Matriks menjadi suatu alternatif dalam penyelesaian sistem persamaan linear, matriks diperbesar adalah salah satu cara untuk meringkas suatu sistem persamaan linear, matriks ini pula yang digunakan untuk menyelesaikan sistem tersebut dengan berbagai metode yaitu metode invers matriks, eliminasi gauss, metode crammer. Untuk mempermudahkan proses tersebut penyelesaian digunakan bantuan aplikasi maple 10

Kata kunci: matriks diperbesar, eliminasi gauss, crammer, invers matriks, addrow, mulrow, gausselim, gaussjord.

I. PENDAHULUAN

Informasi dalam bidang sains dan matematika seringkali ditampilkan dalam

bentuk baris-baris dan kolom-kolom yang membentuk jajar empat persegi panjang

yang disebut matriks Matriks seringkali merupakan tabel-tabel data numerik yang

diperoleh melalui pengamatan fisik, tetapi dapat juga muncul dalam berbagai macam

konteks matematis.

Charless (1993: 49) mendefinisikan matriks adalah suatu bilangan yang

berbentuk persegi panjang. Cara yang biasa digunakan untuk menuliskan sebuah

matriks dengan m baris dan n kolom, dan salah satu cara aplikasi penggunaaan

matriks untuk mempersingkat sistem persamaan linear cara seperti ini disebut matriks

diperbesar (Rorres, 2004: 25).

Aplikasi matriks yang disusun dalam bentuk matriks diperbesar banyak

(2)

Alternatif Penyelesaian SPL dengan Maple

2

aturan Crammer, Eliminasi Gauss, Invers Matriks, dalam penggunaan metode-metode

tersebut digunakan berbagai sifat-sifat operasi matriks.

II. PEMBAHASAN

A. Sitem Persamaan Linear

Suatu sistem sebarang dari m persamaan linear dengan n faktor yang tidak

diketahui dapat dituliskan sebagai:

dimana x1, x2, ... xn adalah faktor yang tidak diketahui, dan a dan b dengan subskrip

merupakan konstanta. Sebagai contoh, suatu sistem umum yang terdiri dari tiga

persamaan linear dengan empat faktor yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai:

Penulisan dua subkrip pada koefisien yang tidak diketahui merupakan yang

berguna untuk menyatakan lokasi koefisien dalam sistem tersebut. Subkrip yang

pertama pada koefisien aij menunjukkan persamaan di mana koefisien tersebut berada

dan subskrip yang kedua menunjukkan faktor yang tidak diketahui yang dikalikan

dengan koefisien tersebut. Sehingga a12 terletak pada persamaan pertama dan

(3)

3

B. Matriks yang Diperbesar

Jika kita dapat mengingat lokasi-lokasi dari +, x dan =, maka suatu sistem

persamaan linear yang terdiri dari m peramaan dengan n faktor yang tidak diketahui

dapat disingkat dengan hanya menuliskan deretan bilangan-bilangan dalam jajaran

empat persegi panjang.

Ini disebut Matriks diperbesar (augment matrix) dari sistem tersebut, (Istilah

matriks) digunakan dalam matematika untuk menyatakan jajaran empat persegi

panjang dari bilangan-bilangan. Matriks muncul dalam banyak konteks, khususnya

dalam penyelesaian sistem persamaan linear.

C. Alternatif Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Secara Numerik dengan Maple

1. Invers Matriks

Rorres (2004: 66), Jika A adalah suatu matriks n x n yang dapat dibalik, maka

untuk setiap matriks b, n x 1, sistem persamaan Ax=b memiliki tepat satu solusi,

yaitu x = A-1b. A dapat dibalik (det (A) 0).

Contoh: 1

Perhatikan sistem persamaan linear

(4)

4

Dalam bentuk matriks sistem ini dapat ditulis sebagai Ax = b, dimana:

Dengan menggunakan maple kita dapat menghitung invers (A).

> with(linalg): > A:=Matrix(<< 1 | 2 | 3 >,< 2 | 5 | 3 >,< 1 | 0 | 8 >>); > det(A); 1 > invA:=inverse(A); > b:=Vector[column](< 5,3,17 >); > x:=evalm(invA&*b);

Dari hasil tersebut diperoleh nilai

Kelemahan yang terjadi pada metode ini, sistem persamaan linear yang mempunyai

solusi banyak tidak dapat diselesaikan karena matriks yang dibentuk tidak

mempunyai invers.

A :=

é

ê

ë

1

2

3

2

5

3

1

0

8 ù

ú

û

invA :=

é

ê

ë

K

40 16

9

13 K

5 K

3

5 K

2 K

1 ù

ú

û

b :=

é

ê

ë

5

3

17 ù

ú

û

x := [ 1

K

1 2 ]

(5)

5

2. Metode Crammer

Rorres (2004: 123), Jika Ax = b adalah suatu sistem dari n persamaan lineat

dengan n faktor yang tidak diketahui sedemikian sehingga det 0, maka sistem ini

memiliki solusi yang unik, solusinya adalah

di mana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti entri-entri pada kolom

ke-j dari A dengan entri-entri pada matriks.

Contoh: 2

Dengan menggunakan aturan Crammer untuk menyelesaikan:

Penyelesaian: >with(linalg); >egns:={x+2*z=6,-3*x+4*y+6*z=30,-x-2*y+3*z=8}; > A:=genmatrix(egns,[x,y,z],flag);

egns := {x

C

2 z = 6,

K

3 x

C

4 y

C

6 z = 30,

K

x

K

2 y

C

3 z = 8 }

A :=

é

ê

ë

1

0

2

6 K

3

4 6 30

K

1 K

2

3

8 ù

ú

û

(6)

6

> egns:={x+2*z=6,-3*x+4*y+6*z=30,-x-2*y+3*z=8}; > p:=genmatrix(egns,[x,y,z],flag); > M := Matrix(3,4,[[1,0,2,6],[-3,4,6,30],[-1,-2,3,8]]); > A:=SubMatrix(M,[1,2,3],[1,2,3]); > Ax:=SubMatrix(M,[1,2,3],[4,2,3]); > Ay:=SubMatrix(M,[1,2,3],[1,4,3]);

egns := {x

C

2 z = 6,

K

3 x

C

4 y

C

6 z = 30,

K

x

K

2 y

C

3 z = 8 }

p :=

é

ê

ë

1

0

2

6 K

3

4 6 30

K

1 K

2

3

8 ù

ú

û

M :=

é

ê

ë

1

0

2

6 K

3

4 6 30

K

1 K

2

3

8 ù

ú

û

A :=

é

ê

ë

1

0

2 K

3

4

6 K

1 K

2

3 ù

ú

û

Ax :=

é

ê

ë

6

0

2

30

4

6

8 K

2

3 ù

ú

û

Ay :=

é

ê

ë

1

6

2 K

3 30

6 K

1

8

3 ù

ú

û

(7)

7

> Az:=SubMatrix(M,[1,2,3],[1,2,4]); > x:=det(Ax)/det(A); > y:=det(Ay)/det(A); > z:=det(Az)/det(A); Jadi nilai

Kesulitan terjadi pada saat penyelesaian mempunyai solusi banyak

3. Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss diperkenalkan Karl Friendrich Gauss (1777 1855) dengan

melakukan mengubah matriks diperbesar dari suatu sistem persamaan linear menjadi

matriks eselon baris tereduksi. Rorres (2004: 13) setiap matriks memiliki bentuk

eselon baris tereduksi yang unik; artinya kita akan memperoleh eselon baris tereduksi

yang sama untuk matriks yang tertentu bagaimanapun variasi operasi baris yang

dilakukan. (Bukti hasil ini terdapat pada artikel The Reduced Row Echelon Form of

Az :=

é

ê

ë

1

0

6 K

3 4 30

K

1 K

2

8 ù

ú

û

x :=

K

10

11 y :=

18

11 z :=

38

11

(8)

8

a Matrix Is Unique: A Simple Proof, oleh Thomas Yuster, Matematichs Maganize, Vol 57 No 2 1984: 93-94), Sebaliknya Bentuk eselon baris dari matriks tertentu adalah tidak unik: urutan-urutan operasi baris yang berbeda akan menghasilkan bentuk-bentuk eselon baris yang berbeda pula.

Algoritma Eliminasi Gauss (Rorres, 2004: 9) adalah: mengubah matriks

menjadi matriks sehingga memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

(1)Jika satu baris tidak seluruhnya nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris

itu adalah 1. Bilangan 1 ini disebut 1 utama (leading 1).

(2)Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan

dikelompokkan bersama-sama pada bagian paling bawah dari matriks.

(3) Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka

1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan

dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi.

(4)Setiap kolom yang memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat-tempat lainya.

Dari algoritma tersebut kita dapat menyelesaikan sistem persamaan linear berikut:

Contoh 3:

Dengan menggunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan:

(9)

9

> with(linalg):

> egns:={x+y+2*z=9,2*x+4*y-3*z=1,3*x+6*y-5*z=0};

Mengubah matriks menjadi matriks diperbesar > A:=genmatrix(egns,[x,y,z],flag);

Menambahkan -3 kali baris 1 ke baris 2 dari matriks A > addrow(A,1,2,-3);

Menambahkan -2 kali baris 1 ke baris 3 dari matriks diatas (%) > addrow(%,1,3,-2);

Mengalikan 1/3 pada baris 2 dari matriks diatas (%) > mulrow(%,2,1/3);

egns := {x

C

y

C

2 z = 9, 3 x

C

6 y

K

5 z = 0, 2 x

C

4 y

K

3 z = 1 }

A := é ê ê ê ê ë 1 1 2 9 3 6 K5 0 2 4 K3 1 ù ú ú ú ú û é ê ê ê ê ë 1 1 2 9 0 3 K 11 K 27 2 4 K3 1 ù ú ú ú ú û é ê ê ê ê ë 1 1 2 9 0 3 K11 K 27 0 2 K 7 K 17 ù ú ú ú ú û é ê ê ê ê ê ë 1 1 2 9 0 1 K 11 3 K 9 0 2 K 7 K 17 ù ú ú ú ú ú û é ê ê ê ê ê ê ë 1 1 2 9 0 1 K 11 3 K 9 0 0 1 3 1 ù ú ú ú ú ú ú û

(10)

10

Mengalikan 3 pada baris 3 dari matriks di atas (%) > mulrow(%,3,3);

Menambahkan 11/3 kali baris 3 ke baris 2 dari matriks diatas (%) > addrow(%,3,2,11/3);

Mengecek dengan perintah eliminasi gauss secara langsung. > gaussjord(A);

Dari hasil di atas diperoleh hasil

é

ê

ë

1

2

9

0

1 K

11

3 K

9

0

1

3 ù

ú

û

é

ê

ë

1

2

9

0

1

0

2

0

1

3 ù

ú

û

é

ê

ë

1

0

3

0

1

0

2

0

1

3 ù

ú

û

é

ê

ë

1

0

1

0

1

0

2

0

1

3 ù

ú

û

é

ê

ë

1

0

1

0

1

0

2

0

1

3 ù

ú

û

(11)

11

Contoh 4:

Selesaikan sistem persamaan linear homgen berikut dengan menggunakan eliminasi

Gauss-Jordan

Penyelesaian: > with(linalg): > egns:={2*p+2*q-r+t=0,-p-q+2*r-3*s+t=0,p+q-2*r-t=0,r+s+t=0};

Menyatakan sistem persamaan ke matriks diperbesar > A:=genmatrix(egns,[p,q,r,s,t],flag);

Menyatakan sistem persamaan ke matriks diperbesar dengan menghilangkan kolom

terakhir > B:=genmatrix(egns,[p,q,r,s,t]);

egns := {2 p

C

2 q

K

r

C

t = 0,

K

p

K

q

C

2 r

K

3 s

C

t = 0, r

C

s

C

t = 0, p

C

q

K

2 r

K

t = 0 }

A :=

é

ê

ë

2

2 K

1

0

1

0 K

1 K

1

2 K

3

1

0

1

0

1

1 K

2

0 K

1

0 ù

ú

û

B :=

é

ê

ë

2

2 K

1

0

1 K

1

2 K

3

1

0

1

1 K

2

0 K

1 ù

ú

û

(12)

12

Menguji sistem persamaan apakah solusinya banyak.

> rank(A)-rank(B);

Menyelesaikan sistem persamaan dengan menggunakan eliminasi gauss

> gausselim(A);

Menyelesaikan sistem persamaan dengan menggunakan eliminasi gauss jordan

> gaussjord(A);

Menentukan hasil penyelesaian dengan berbagai parameter.

> backsub(%);

Jadi solusi umumnya adalah

0 é

ê

ë

2

2 K

1

0

1

0

1

0

0 K

9

2

0

0 ù

ú

û

é

ê

ë

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0 ù

ú

û

[

K

_t

₂

K

_t

₁

_t

₂

K

_t

₁

0 _t

₁

]

(13)

13

Kasus 1

Untuk nilai berapakah, sistem persamaan berikut:

Memiliki solusi trivial

Penyelesaian:

> with(linalg):

> egns:={(lambda-3)*x+y=0,x+(lambda-3)*y=0};

Mengubah matriks menjadi matriks diperbesar

> A:=genmatrix(egns,[x,y],flag);

Menyelesaikan sistem dengan eliminasi gauss jordan

> gausselim(A);

Menentukan nilai untuk sistem yang memiliki non trivial

> factor(-8-(lambda)^2+6*(lambda));

Menentukan hasil faktor dari sistem di atas.

> fsolve(%);

egns := { (

l K

3 ) x

C

y = 0, x

C

(

l K

3 ) y = 0 }

A :=

é

ê

ë

l K

3

1

0

1 l K

3

0 ù

ú

û

é

ê

ë

1 l K

3

0

0 K

8 K l

2

C

6 l

0 ù

ú

û

K

(

l K

2 ) (

l K

4 )

2., 4.

(14)

14

Kasus 2

Untuk nilai berapakah sistem berikut ini tidak memiliki solusi? Tepat hanya satu

solusi? Takterhingga banyaknya solusi?

Penyelesaian: > with(linalg): > egns:={x+2*y-3*z=4,3*x-y+5*z=2,4*x+y+(a^2-14)*z=a+2}; > A:=genmatrix(egns,[x,y,z],flag); > B:=gausselim(A);

Setelah dilakukan eliminasi gauss diperolah persamaan yaitu a2 16, selanjutnya

persamaan ini difaktorkan dengan perintah.

> factor(a^2-16); > fsolve(%);

egns := {x

C

2 y

K

3 z = 4, 3 x

K

y

C

5 z = 2, 4 x

C

y

C

( a

2

K

14 ) z = a

C

2 }

A :=

é

ê

ë

1

2 K

3

4

3 K

1

5

2

4

1 a

2

K

14 a

C

2 ù

ú

û

B :=

é

ê

ë

1

2 K

3

4

0 K

7

14 K

10

0

0 a

2

K

16 a

K

4 ù

ú

û

( a

K

4 ) ( a

C

4 )

K

4., 4.

(15)

15

Nilai a = 4 dan a = -4 disubtitusi pada a2 16 dan a 4 diperoleh:

> f := a -> (a^2-16); > f(4); 0 > f(-4); 0 > f := a -> (a-4); > f(4); 0 > f(-4); 8

Selanjutnya untuk nilai a = 4 yang diperoleh disubtitusi ke matriks hasil eliminasi gauss. > M:=matrix(3,4,[1,2,-3,4,0,-7,14,-10,0,0,0,0]); > gaussjord(M); > backsub(%);

f := a

/

a

2

K

16 f := a

/

a

K

4 M :=

é

ê

ë

1

2 K

3

4

0 K

7

14 K

10

0

0 ù

ú

û

é

ê

ë

1

0

1

8

7

0

1 K

2

10

7

0

0 ù

ú

û

é

ê

ë

8

7 K

_t

1

10

7 C

2 _t

1

_t

1

ù

ú

û

(16)

16

Dari hasil di atas menunjukkan bahwa untuk a = 4 diperoleh bahwa solusinya banyak.

> N:=matrix(3,4,[1,2,-3,4,0,-7,14,-10,0,0,0,-8]);

> gaussjord(%);

> backsub(%);

Error, (in linalg:-backsub) inconsistent system Untuk nilai a = -4 tidak ada solusi, sedangkan a untuk satu salusi.

III. KESIMPULAN

Berbagai cara yang digunakan untuk menentukan solusi suatu sistem

persamaan linear, kelebihan dan kekurangan tersebut dapat ditutupi satu sama lain,

tinggal kita sebagai pemakai jeli dalam mengaplikasikannya, perkembangan

teknologi tidak membuat kita semakin malas untuk mencoba dengan cara manual,

tetapi menjadi suatu tantangan dan menjadi alat pengetes dari apa yang kita peroleh

dengan metode manual, terkadang ada persoalan-persoalan yang kita dapatkan tidak

bisa diselesaikan dengan teknologi yang berkembang saat ini, demikian sebaliknya.

N :=

é

ê

ë

1

2 K

3

4

0 K

7

14 K

10

0

0 K

8 ù

ú

û

é

ê

ë

1

0

1

0

1 K

2

0

1 ù

ú

û

(17)

17

KEPUSTAKAAN

Anton, H., 1988, Aljabar Linier Elementer (Edisi Ketiga), Erlangga, Jakarta.

Charles, 1993, Al Jabar Linear dan Penerapannya, Gramedia. Jakarta.

Kartono, 2001, Al Jabar Linear, Vektor dan Eksplorasi dengan Maple, Graha Ilmu Yogyakarta

Maplesoft., 2005, Maple 10 Harness the Power of Mathematics, Copyright Maple soft.

Monagan, M.B., 1998, Maple V Rel. 5.0 Programming Guide, Waterloo Maple Inc., Canada.

(18)

This document was created with Win2PDF available at http://www.daneprairie.com. The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only.