SISTEM PERSAMAAN LINEAR

(1)

23

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

A. Sistem Persamaan Linear

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel yang mempunyai variabel x dan y adalah

...(1)

...(2) dengan a1,a2,b1,b2,c1,c2R

Persamaan (1) dan persamaan (2) merupakan suatu sistem persamaan linear karena keduanya saling berkaitan.

Mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan linear adalah dengan cara mengganti nilai variabel atau peubah yang memenuhi sistem persamaan tersebut, yaitu dengan menggunakan beberapa metode berikut.

Catatan: Himpunan penyelesaian SPLDV selalu ditulis dalam bentuk



 

x,y



a. Metode eliminasi

Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan cara eliminasi artinya mencari nilai variabel dengan menghilangkan variabel yang lain (menjadikan nilai variabel lain sama dengan nol). Prinsip yang digunakan adalah dengan mengurangkan atau menjumlahkan.

 Untuk menghilangkan suatu variabel, koefisien dari variabel tersebut pada kedua persamaan harus sama. Jika belum sama, masing-masing persamaan dikalikan dengan bilangan tertentu sehingga variabel tersebut memiliki koefisien yang sama.  Jika variabel yang akan dihilangkan bertanda sama (positif atau negatif), dua

persamaan dikurangi; dan jika tanda yang berbeda (positif dan negatif), dua persamaan ditambah.

Contoh:

1) Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

         2 3 4 11 2 3 y x y x Penyelesaian:

Eliminasi variabel x dari kedua persamaan. 2 3 4 11 2 3       y x y x 3 4   6 9 12 44 8 12       y x y x

 

6 44 9 8      y y 38  y

Eliminasi variabel y dari kedua persamaan. 2 3 4 11 2 3       y x y x 2 3   4 6 8 33 6 9       y x y x



8



33

 

4 9y  y    29  x

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah





29,38





+

(2)

24

         9 2 21 2 5 y x y x Penyelesaian:

Eliminasi variabel y dari kedua persamaan 9 2 21 2 5       y x y x

 

21

 

9 5x x    12 4x 4 12  x 3  x

Eliminasi variabel x dari kedua persamaan. 9 2 21 2 5       y x y x 5 1   45 10 5 21 2 5       y x y x



45



21 10 2      y y 24 8y 8 24   y 3   y





3,3





. b. Metode Subtitusi

Subtitusi artinya mengganti atau menyatakan salah satu variabel dengan variabel lainnya. Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

          4 4 3 2 5 2 y x y x Penyelesaian: 2 5 2x y ... (1) 4 4 3    x y ... (2)

Misalkan yang akan disubtitusi adalah variabel x pada persamaan (2), maka persamaan (1) dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut.

2 5 2x y  2x25y  2 5 2 y x   ... (3)

Subtitusi nilai x pada persamaan (3) ke persamaan (2). 4 4 3    x y  4 4 2 5 2 3        

 y y kedua ruas dikali 2

 3



25y



8y8  615y8y8  15y8y86  7y14  7 14    y  y2 + +

(3)

25

Untuk mendapatkan nilai x, subtitusikan nilai y = 2 ke persamaan (3). 4 2 8 2 10 2 2 2 5 2 2 5 2 _    _   _ _   y x

 

 

4,2 . c. Metode Gabungan (Eliminasi dan Subtitusi)

Contoh:

        1 2 2 y x y x Penyelesaian:

Eliminasi variabel x dari kedua persamaan.

1 2 2      y x y x

 

2

 

1 2y y    3 3y  3 3  y 1  y

Subtitusi nilai y = 1 ke persamaan x2y2 2 2   y x  x212  x22  x22  x0

 

 

0,1 .

2) Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan            0 2 1 3 1 7 2 1 y x y x Penyelesaian: 7 2 1 _ __ y x ... (1) 0 2 1 3 1   y x ... (2)

Eliminasi variabel y dari kedua persamaan

0 2 1 3 1 7 2 1      y x y x 2 1   0 3 2 7 2 1      y x y x 0 7 3 2 2 1 _ __ _ x x 7 6 7   x 6 7 6 4 6 3 3 2 2 1     7 6 7   x 6 7 6 7 6 7 : 7     6   x – +

(4)

26 Subtitusi nilai x 6 ke persamaan (1).

7 2 1 _ __ y x 

 

6 7 2 1 _ _ __ y  3y7  y 73  y4 4 1 4     y  y 4





6,4





. 2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel yang mempunyai variabel x, y, dan z adalah { dengan a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3,x,y,zR

Catatan: Himpunan penyelesaian SPLTV selalu ditulis dalam bentuk





x,y,z





Contoh:

a. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan                 21 2 2 17 3 2 3 17 2 2 c b a c b a c b a Penyelesaian:

Dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut diperoleh: 17 2 2ab c ... (1) 17 3 2 3a b c ... (2) 21 2 2a bc ... (3)

Eliminasi variabel a dari persamaan (1) dan (2). 17 3 2 3 17 2 2        c b a c b a 2 3   34 6 4 6 51 6 3 6        c b a c b a 85 12 7    b c ... (4) Eliminasi variabel a dari persamaan (1) dan (3).

21 2 2 17 2 2         c b a c b a 4  c b ... (5)

Eliminasi variabel b dari persamaan (4) dan (5). 4 85 12 7       c b c b 7 1   28 7 7 85 12 7       c b c b 57 19c 19 57   c 3   c – – +

(5)

27 Subtitusi nilai c3 ke persamaan (5).

4  c b  b

 

3 4  b43  b7

Subtitusi nilai c3 dan b7 ke persamaan (1). 17 2 2ab c  2a72

 

3 17  2a7617  2a1776  2a4  2 4   a  a2





2,7,3





b. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan:

                  46 4 3 6 2 6 4 3 24 3 6 4 z y x z y x z y x Penyelesaian: Misalkan a x  1 , b y  1 , dan c z  1 sehingga diperoleh: 24 3 6 4a b c ... (1) 2 6 4 3a b c ... (2) 46 4 3 6a b c _{... (3)}

Eliminasi variabel a dari persamaan (1) dan (2). 2 6 4 3 24 3 6 4       c b a c b a 4 3   8 24 16 12 72 9 18 12       c b a c b a 64 15 2b c ... (4) Eliminasi variabel a dari persamaan (2) dan (3).

46 4 3 6 2 6 4 3       c b a c b a 1 2   46 4 3 6 4 12 8 6       c b a c b a 42 16 11b c ... (5) Eliminasi variabel b dari persamaan (4) dan (5).

42 16 11 64 15 2      c b c b 2 11   84 32 22 704 165 22      c b c b 788 197c 197 788  c 4  c – – –

(6)

28 Subtitusi nilai c4 ke persamaan (4).

64 15 2b c  2b15

 

4 64  2b6064  2b6460  2b4  2 4  b  b2

Subtitusi nilai b2 dan c4 ke persamaan (2). 2 6 4 3a b c 3a4

   

2 64 2  3a8242  3a2824  3a18  3 18  a  a6

Oleh karena sebelumnya dimisalkan a x  1 , b y  1 , dan c z  1

sehingga diperoleh nilai x, y, dan z sebagai berikut.

6 1 6 1 1      x x a x 2 1 2 1 1      y y b y 4 1 4 1 1      z z c z

            4 1 , 2 1 , 6 1

B. Aplikasi Sistem Persamaan Linear

Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep sistem persamaan linear. Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan cara mengubah permasalahan ke dalam kalimat matematika, kemudian menyelesaikannya dengan konsep sistem persamaan linear.

Contoh:

a. Harga 6 CD tipe A dan 4 CD tipe B adalah Rp71.000,00. Diketahui harga sebuah CD tipe B lebih mahal Rp1.500,00 dari harga sebuah CD tipe A. Tentukan biaya yang harus dibayarkan oleh Joko jika ia membeli 10 CD tipe A dan 15 CD tipe B.

Penyelesaian:

Misalkan harga sebuah CD tipe A adalah x dan harga sebuah CD tipe B adalah y, maka diperoleh sistem persamaan berikut.

000 . 71 4 6x y ... (1) 500 . 1  x y ... (2)

(7)

29

Subtitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), sehingga diperoleh: 000 . 71 4 6x y 6x4



x1.500



71.000  6x4x6.00071.000  10x6.00071.000  10x71.0006.000  10x65.000  10 000 . 65  x  x6.500

Subtitusi nilai x6.500 ke persamaan (2). 000 . 8 500 . 1 500 . 6 500 . 1      x y

Harga 10 CD tipe A dan 15 CD tipe B



106.500

 

 158.000



65.000120.000185.000 

Jadi, Joko harus membayar sebesar Rp185.000,00.

b. Seorang pedagang beras mencampur dua jenis beras yang harganya Rp8.500,00 dan Rp9.000,00 per-kg untuk dijual. Jumlah campuran beras sebanyak 350 kg. Setelah beras habis terjual diperoleh pendapatan sebesar Rp3.075.000,00. Berapa kg setiap jenis beras pada campuran beras tersebut?

Penyelesaian:

Misalkan banyak beras jenis I adalah x kg dan jenis II adalah y kg, maka diperoleh sistem persamaan berikut. 350  y x  y350x ... (1) 000 . 075 . 3 000 . 9 500 . 8 x y   8.500x9.000y3.075.000... (2) Subtitusi persamaan (1) ke persamaan (2), diperoleh:

000 . 075 . 3 000 . 9 500 . 8 x y   8.500x9.000



350x



3.075.000  8.500x3.150.0009.000x3.075.000  500x3.150.0003.075.000  500x3.075.0003.150.000  500x75.000  500 000 . 75    x  x150

Subtitusi nilai x150 ke persamaan (1). 200 150 350 350     x y

Jadi, beras jenis I yang dicampur sebanyak 150 kg dan beras jenis II yang dicampur sebanyak 200 kg.

c. Rafif, Rayhan, dan Nanda membeli tiga jenis barang yang sama, yaitu penghapus, rautan, dan penggaris di tempat yang sama. Rafif membeli 2 penghapus, 1 rautan, dan 1 penggaris dengan membayar Rp11.000,00. Rayhan membeli 1 penghapus, 3 rautan, dan 2 penggaris dengan membayar Rp16.500,00. Nanda membeli 2 penghapus, 2 rautan, dan 1 penggaris dengan membayar Rp13.000,00. Jika Rita membeli 2 penghapus, 3 rautan, dan 1 penggaris di tempat tersebut, berapa total harga yang harus Rita bayar?

(8)

30 Penyelesaian:

Misalkan harga 1 penghapus = x, harga 1 rautan = y, dan harga 1 penggaris = z, maka diperoleh sistem persamaan sebagai berikut.

2x yz11.000... (1) 500 . 16 2 3    y z x ... (2) 000 . 13 2 2x yz ... (3)

Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (2). 500 . 16 2 3 000 . 11 2       z y x z y x 2 1   000 . 33 4 6 2 000 . 11 2       z y x z y x 000 . 22 3 5    y z 000 . 22 3 5y z ... (4) Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (3).

000 . 13 2 2 000 . 11 2       z y x z y x 000 . 2   y 000 . 2  y

Subtitusi nilai y2.000 ke persamaan (4). 000 . 22 3 5y z 5



2.000



3z22.000  10.0003z22.000  3z22.00010.000  3z12.000  3 000 . 12  z  z4.000

Subtitusi nilai y2.000 dan z4.000 ke persamaan (1). 000 . 11 2x yz  2x2.0004.00011.000  2x11.0002.0004.000  2x5.000  2 000 . 5  x  x2.500

Rita membeli 2 penghapus, 3 rautan, dan 1 penggaris: z y x3  2 2



2.500

 

32.000



4.000 000 . 4 000 . 6 000 . 5    000 . 15 

Jadi, total harga yang harus Rite banyar adalah Rp15.000,00. Latihan Soal

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan metode eliminasi. a.        0 3 14 2 y x y x c.        2 3 2 2 5 y x y x b.        5 3 5 3 y x y x d.         1 2 3 y x y x – –

(9)

31

2. Gunakan metode subtitusi untuk mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut. a.        13 5 3 y x y x c.         10 3 5 2 y x y x b.         27 5 1 2 y x y x d.         3 11 3 y x y x

3. Jika x dan y adalah penyelesaian sistem persamaan

         0 22 8 6 0 9 4 2 y x y x nilai dari



7x4y



adalah ....

4. Gunakan metode gabungan untuk menyelesaikan sistem persamaan berikut. a.               1 2 4 17 2 3 8 2 z y x z y x z y x b.                3 2 3 14 4 2 4 2 z y x z y x z y x

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

a.                    4 4 3 2 3 3 2 1 9 10 2 3 z y x z y x z y x b.                   9 4 3 3 3 1 1 2 15 3 2 2 z y x z y x z y x c.                             10 1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 2 2 4 1 3 1 2 2 1 z y x z y x z y x

6. Sebuah pulpen harganya 4 kali harga sebuah pensil. Apabila Bimbim membeli 1 pulpen dan 3 pensil, ia harus membayar sebesar Rp10.500,00. Tentukan jumlah uang yang harus dikembalikan toko tersebut kepada Hendro jika ia membeli 2 pulpen dan 8 pensil dengan menggunakan uang kertas lima puluh ribuan.

7. Jumlah siswa di suatu kelas adalah 52 orang. Jika banyak siswa laki-laki adalah 7 orang lebihnya daripada dua kali banyak siswa perempuan, tentukan banyak siswa laki-laki dan banyak siswa perempuan.

8. Empat tahun yang lalu, usia ayah delapan kali usia anaknya. Enam tahun yang akan datang, jumlah usia ayah dan anaknya adalah 56 tahun. Tentukan usia ayah dan anaknya sekarang. 9. Harga 5 komponen A dan 4 komponen B adalah Rp24.500,00; sedangkan harga 2 komponen A

dan 3 komponen B adalah Rp14.000,00. Harga 2 komponen A dan 1 komponen B adalah .... 10. Perbandingan uang Anton dan Badu adalah 2 : 3. Perbandingan uang Anton dan Carli adalah

1 : 4. Jika jumlah uang Anton dan Badu adalah Rp150.000,00 kurangnya dari Carli, tentukan jumlah uang mereka.

11. Sebuah penelitian terhadap tiga bakteri menunjukkan bahwa setiap bakteri membutuhkan sejumlah zat karbon, fosfat, dan nitrogen setiap harinya untuk bertahan hidup. Kebutuhan zat-zat tersebut per-harinya disajikan dalam tabel berikut.

Jumlah Bakteri Karbon (Unit) Fosfat (Unit) Nitrogen (Unit) P 3 2 1 Q 2 1 3 R 4 3 5

Jika pada penelitian tersebut disediakan 75.000 unit sumber karbon, 50.500 unit sumber fosfat, dan 69.500 unit sumber nitrogen setiap harinya, sentukan banyak setiap jenis bakteri yang terdapat dalam penelitian.

12. Diketahui tiga bilangan bulat yang berjumlah 67. Jumlah bilangan kedua dan ketiga, kemudian dikurangi bilangan pertama akan sama dengan 27. Dua kali bilangan kedua ditambah bilangan ketiga adalah delapan kurangnya dari tiga kali bilangan pertama. Jika a, b, dan c berturut-turut merupakan ketiga bilangan tersebut, tentukan nilai a, b, dan c.