Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta Page 1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel adalah sistem persamaan yang terdiri dari Tiga Variabel/Peubah.
- Bentuk Umum SPLTV:
Bentuk umum SPLTV x, y, dan z dapat ditulis sebagai berikut: a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3
dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3, R
Persamaan a1x + b1y + c1z = d1, a2x + b2y + c2z = d2, dan a3x + b3y + c3z = d3 merupakan persamaan di R3. Ketiga bidang tersebut dapat saling berpotongan di sebuah titik, sebuah garis, atau tidak berpotongan.
1) Jika tiga bidang berpotongan dan perpotongannya berupa titik, maka SPLTV tersebut mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya (mempunyai penyelesaian tunggal), yaitu titik potong tersebut.
Dari gambar di atas terlihat, bahwa ketiga bidang bertemu (berpotongan) di satu titik, yaitu titik (x1, y1, z1).
Jadi titik (x1, y1, z1) merupakan penyelesaian tunggal dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut.
2) Jika tiga bidang berpotongan dan perpotongannya berupa garis, maka SPLTV tersebut mempunyai tak hingga banyak penyelesaian, yaitu titik-titik pada garis potong ketiga bidang tersebut.
Terlihat pada gambar di atas, bahwa ketiga bidang berpotongan pada satu garis. Jadi titik-titik pada garis berpotongan merupakan penyelesaian dari SPLTV tersebut. Dengan kata lain SPLTV tersebut mempunyai tak hingga banyak anggota dalam himpunan penyelesaiannya (mempunyai lebih dari satu penyelesaian).
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3 (x1, y1, z1)
a1x + b1y + c1z = d1
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta Page 2 3) Jika ketiga bidang tidak berpotongan sama sekali, maka SPLTV
tersebut dapat digambarkan ke dalam tiga kemungkinan berikut ini. Terlihat pada gambar di atas bahwa, ketiga bidang tidak mempunyai titik atau garis potong. Dengan kata lain SPLTV ini tidak mempunyai anggota dalam himpunan Penyelesaiannya (himpunan Penyelesaiannya adalah himpunan kosong).
Secara aljabar, penyelesaian SPLTV dapat dicari dengan beberapa cara/metode antara lain:
1) Metode substitusi
2) Metode gabungan/kombinasi eliminasi dan substitusi 3) Metode determinan
1. Menyelesaian SPLTV dengan Metode Substitusi
Untuk menentukan penyelesaian/himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode substitusi, langkah-langkahnya sebagai berikut:
1) Pilihlah salah satu persamaan yang paling sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.
2) Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah pertama (1) ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga diperoleh SPLDV. 3) Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah kedua (2)
Contoh:
1) Tentukan penyelesaian SPLTV berikut dengan substitusi x + y + 2x = 9 ……….. (1)
2x + 4y – 3z = 1 …….. (2) 3x + 6y – 5z = 0 …….. (3) Jawab:
- Dari persamaan (1), kita dapatkan x = 9 – y – 2z ……….. (4) - Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (2) dan (3)
2(9 – y – 2z) + 4y – 3z = 1
2y – 7 z = -17 ………. (5) Dan
3(9 – y – 2z) + 6 – 5z = 0
3y – 11z = -27 ……….(6) Sehingga diperoleh SPLTV berikut ini.
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta Page 3 2y – 7z = -17 ……… (5) 3y – 11z = -27 ……….. (6) Selanjutnya, kita dapat mencari nilai y dan z dengan cara substitusi seperti pada SPLDV.
- Dari persamaan (5) diperoleh: y =
2 7 17 e
………. (7) - Substitusi persamaan (7) ke persamaan (6)
27 11 2 7 17 3 z e -51 + 21z – 22z = -54 -z = -3 z = 3
- Kemudian nilai z = 3 disubstitusikan ke persamaan (7), diperoleh nilai y = 2
- Substitusikan y = 2 dan z=3 ke persamaan (4) diperoleh nilai x= 1. Jadi SPLTV tersebut mempunyai penyelesaian tunggal yaitu (1,2,3) atau Himpunan Penyelesaiannya adalah {(1,2,3)}.
2) Tentukan penyelesaian dari SPLTV dengan substitusi 2x + y – z = 2 ………… (1)
x – 2y + 3z = 1 ……….. (2) 3x – y + 2z = 3 ……….. (3) Jawab:
Misalkan substitusi dimulai pada variabel z terlebih dahulu (persamaan yang paling sederhana).
- Dari persamaan (1) diperoleh: z = 2x + y – 2 ……….. (4) - Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (2) dan (3) diperoleh:
x – 2y + 3(2x + y – 2) = 1
7x + y = 7 ……….. (5) Dan
3x – y + 2(2x + y – 2) = 3
7x + y = 7 ………. (6) - Persamaan (5) sama dengan persamaan (6), sehingga dari kedua
persamaan ini dapat kita peroleh nilai satu peubah sebagai fungsi dari peubah yang lain, misalnya:
y = 7 – 7x ………. (7) - Substitusikan persamaan (7) ke persamaan (4), maka diperoleh:
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta Page 4 z = 2x + (7 – 7x) – 2
z = -5x + 5
Jadi, penyelesaian dari SPLTV tersebut adalah: x = x
y = 7 – 7x z = 5 – 5x
Penyelesaian dari SPLTV ini banyak sekali, tergantung pada nilai x yang kita tentukan, misalnya.
Jika x = 1, maka y = 0 dan z = 0 atau Jika x = 0, maka y = 7 dan z = 5 atau
Jika x = -1, maka y = 14 dan z = 10 dan seterusnya
Dengan kata lain SPLTV ini mempunyai tak hingga banyak anggota dalam Himpunan Penyelesaiannya.
Cara lain
- Persamaan (5) sama dengan persamaan (6): berarti persamaan yang satu merupakan kelipatan dari persamaan yang lain, maka himpunan penyelesaiannya mempunyai tak hingga banyak anggota.
3) Tentukan penyelesaian dari SPLTV dengan substitusi
x + 2y – 3z = -1 ………. (1) 3x - y + 2z = 7 ……… (2) 5x + 3y – 4z = 2 ………. (3) Jawab:
- Misalkan substitusi dimulai pada variabel x, dari persamaan (1) diperoleh:
x = -2y + 3z – 1 ……….. (4) - Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (2) dan (3) diperoleh:
3(-2y + 3z – 1) – y + 2z = 7
-7y + 11z = 10 ……….. (5) dan
5(-2y + 3z – 1) + 3y – 4z = 2
-7y + 11z = 7 ………. (6) Persamaan (5) dan (6) menyatakan bahwa SPLDV tersebut tidak konsisten sehingga SPLTV tidak mempunyai penyelesaian.
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta Page 5 2. Menyelesaian SPLTV dengan Metode Eliminasi Substitusi
Untuk menentukan penyelesaian/himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode eliminasi, langkah-langkahnya sebagai berikut:
1) Eliminasi salah satu variabel x atau y atau z sehingga diperoleh Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLTV).
2) Selesaikan SPLTV yang diperoleh dari langkah (1)
3) Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh pada langkah-langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai variabel yang lainnya.
Contoh:
1) Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan Eliminasi x + y + 2z = 9 ………. (1)
2x + 4y – 3z = 1 ………. (2) 3x + 6y – 5z = 0 ………. (3) Jawab:
- Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh: x + y + 2z = 9 | x 3 3x + 3y + 6z = 27
2x + 4y – 3z = 1 | x 2 4x + 8y – 6z = 2 +
7x + 11y = 29 ………..(4) - Eliminasi z dari persamaan (2) dan (3) sehingga diperoleh
persamaan:
2x + 4y - 3z = 1 | x 5 10x + 20y - 15z = 5 3x + 6y – 5z = 0 | x 3 9x + 18y – 15z = 0 _
x + 2y = 5 ………….. (5) - Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh SPLDV, yaitu:
7x + 11y = 29 ……… (4) x + 2y = 5 ……….. (5)
- Eliminasi x pada persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai y 7x + 11y = 29 | x1 7x + 11y = 29
x + 2y = 5 | x7 7x + 14y = 35 _ -3y = -6 y = 2
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta Page 6 - Eliminasi y pada persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai x
7x + 11y = 29 | x2 14x + 22y = 58 x + 2y = 5 | x11 11x + 22y = 55 _
3x = 3 x = 1
- Substitusikan nilai x = 1 dan y = 2 ke persamaan yang paling sederhana (misal persamaan (1)) sehingga diperoleh nilai z
x + y + 2x = 9 1 + 1 + 2z = 9 2z = 6 z = 3
Penyelesaian SPLTV tersebut adalah x = 1, y = 2, z = 3 atau (1, 2, 3)
Sedangkan himpunan penyelesaiannya {(1,2,3)}
2) Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan Eliminasi 2x + y – z = 2 ……… (1)
x – 2y + 3x = 1 ………. (2) 3x – y + 2z = 3 ……….. (3) Jawab:
- Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan (4) 2x + y – z = 2 | x3 6x + 3y – 3z = 6
x - y + 3z = 1 | x1 x - 2y + 3z = 1 +
7x + y = 7 ……….. (4) - Eliminasi z dari persamaan (1) dan (3) diperoleh persamaan (5)
2x + y – z = 2 | x2 4x + 2y – 2z = 4 3x - y + 2z = 3 | x1 3x - y + 2z = 3 +
7x + y = 7 ……….. (5) - Terlihat bahwa persamaan (4) sama dengan persamaan (5)
sehingga kita peroleh nilai satu variabel yang merupakan fungsi dari variabel yang lain, yaitu y = 7 – 7x.
- Substitusikan nilai y = 7 – 7x ke persamaan (1), diperoleh: 2x + (7 – 7x) – z = 2
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta Page 7 z = -5x + 5
Penyelesaian SPLTV tersebut adalah: x = x
y = -7x + 7 z = -5x + 5
Dengan kata lain, SPLTV ini mempunyai banyak penyelesaian tergantung pada nilai variabel x yang kita tentukan.
Cara Lain
Persamaan (4) sama dengan persamaan (5), berarti persamaan yang satu mrupakan kelipatan dari persamaan yang lain, maka himpunan penyelesaiannya mempunyai tak hingga banyak anggota.
3) Tentukan penyelesaian SPLTV berikut dengan Eliminasi x + 2y – 3z = -1 …………. (1)
3x - y + 2z = 7 …………. (2) 5x + 3y – 4z = 2 ………… (3) Jawab:
- Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan (4) x + 2y – 3z = -1 | x3 3x + 6y – 9z = -3
3x – y + 2z = 7 | x1 3x – y + 2z = 7 _
7y – 11z = -10 ………… (4) - Eliminasi x dari persamaan (1) dan (3) diperoleh persamaan (5)
x + 2y – 3z = -1 | x5 5x + 10y – 15z = -5 5x + 3y + 2z = 2 | x1 5x + 3y - 4z = 2 _
7y – 11z = -7 ………..… (5) - Persamaan (4) dan persamaan (5) menyatakan bahwa persamaan
tersebut tidak konssten (sesuatu yang tak mungkin terjadi), sehingga dapat dikatakan bahwa SPLTV tersebut tidak mempunyai penyelesaian.
3. Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Determinan Jika bentuk umum SPLTV:
a1x + b1y + c1z = d1 ……… (1) a2x + b2y + c2z = d2 ……… (2)
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta Page 8 a3x + b3y + c3z = d3 ……… (3) maka: D = 3 3 3 2 2 2 1 1 1 c b a c b a c b a Dx = 3 3 3 2 2 2 1 1 1 c b d c b d c b d Dy = 3 3 3 2 2 2 1 1 1 c d a c d a c d a Dz = 3 3 3 2 2 2 1 1 1 d b a d b a d b a
Penyelesaian SPLTV tersebut adalah: x =
D Dx y = D Dy z = D Dz
1) Jika D 0, Dx 0, Dy 0, Dz 0, maka SPLTV tersebut mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
2) Jika D = 0, Dx 0, Dy 0, Dz 0, maka SPLTV tersebut tidak memiliki anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
3) Jika D = 0, Dx = 0, Dy = 0, Dz = 0, maka SPLTV tersebut mempunyai tak hingga banyak anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
Contoh:
1) Dengan metode Determinan, tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV: x + y + z = 1 x + 2y + 3z = 5 3x + 2y – z = -9 Jawab : D = 2 2 1 3 1 1 1 2 3 3 2 1 1 1 1 - - - + + +
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta Page 9 = [(1)(2)(-1)+(1)(3)(3)+(1)(1)(-2)] – [(3)(2)(1)+(-2)(3)(1)+(-1)(1)(1)] = 6 Dx = 2 2 1 9 5 1 1 2 9 -3 2 5 1 1 1 - - - - + + + = [(-1)(2)(-1)+(1)(3)(-9)+(1)(5)(-2)] – [(-9)(2)(1)+(-2)(3)(-1)+(-1)(5)(1)] = 18 Dy = 9 5 1 3 1 1 1 9 3 3 5 1 1 1 -1 - - - + + + = [(1)(5)(-1)+(-1)(3)(3)+(1)(1)(-9)] – [(3)(5)(1)+(-9)(3)(1)+(-1)(1)(-1)] = -126 Dz = 2 2 1 3 1 1 9 2 3 5 2 1 1 -1 1 - - - + + + = [(1)(2)(-9)+(1)(5)(3)+(-1)(1)(-2)] – [(3)(2)(1)+(-2)(3)(1)+(-1)(1)(1)] = 24 x = 3 6 18 D Dx y = 2 6 12 D Dy z = 4 6 24 D Dz
2) Dengan metode Determinan, tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV: x + 2y - z = 6
x + y + 2z = 7 2x + 2y + 4z = 5
HP = {(-3,-2,4)}
SPLTV punya satu anggota dalam HP nya.
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta Page 10 Jawab : D = 2 1 2 2 1 1 4 2 3 2 1 1 1 -2 1 - - - + + + = [(1)(1)(4) + (2)(2)(2) + (-1)(1)(2)] – [(2)(2)(1) + (1)(2)(2) + (4)(1)(2)] = 0 Dx = 2 1 2 5 7 6 4 2 5 2 1 7 1 -2 6 - - - + + + = [(6)(1)(4) + (2)(2)(5) + (-1)(7)(2)] – [(9)(1)(-1) + (2)(2)(6) + (4)(7)(2)] = -45 Dy = 2 7 6 2 1 1 4 5 2 2 7 1 1 -6 1 - - - + + + = [(1)(7)(4) + (6)(2)(2) + (-1)(1)(5)] – [(2)(7)(-1) + (5)(2)(1) + (4)(1)(6)] = 27 Dz = 2 1 1 2 1 1 5 2 2 7 1 1 6 2 1 - - - + + + = [(1)(1)(5) + (2)(7)(2) + (6)(1)(2)] – [(2)(1)(6) + (2)(7)(1) + (5)(1)(2)] = 9 x = ~ 0 45 D Dx (Tak terhingga) y = ~ 0 27 D Dy (Tak terhingga) SPLTV tak punya anggota dalam HP nya.
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta Page 11 z = ~ 0 9 D Dz (Tak terhingga)
3) Dengan metode Determinan, tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV: x + 2y - z = 6 x + y + 2z = 7 2x + 2y + 4z = 14 Jawab : D = 2 1 2 2 1 1 4 2 2 2 1 1 1 -2 1 = [(1)(1)(4) + (2)(2)(2) + (-1)(1)(2)] – [(2)(2)(-1) + (2)(2)(1) + (4)(1)(2)] = 0 Dx = 2 1 2 14 7 6 4 2 14 2 1 7 1 -2 6 = [(6)(1)(4) + (2)(2)(14) + (-1)(7)(2)] – [(14)(1)(-1) + (2)(2)(6) + (4)(7)(2)] = 0 Dy = 14 7 6 2 1 1 4 14 2 2 7 1 1 -6 1 = [(1)(7)(4) + (6)(2)(2) + (-1)(1)(14)] – [(2)(7)(-1) + (14)(2)(1) + (4)(1)(6)] = 0 Dz = 2 1 2 2 1 1 14 2 2 7 1 1 6 2 1 = [(1)(1)(14) + (2)(7)(2) + (6)(1)(2)] – [(2)(1)(6) + (2)(7)(1) + (14)(1)(2)] = 0 x = 0 0 D Dx Tak terdefinisi (TT) y = 0 0 D Dy Tak terdefinisi (TT) SPLTV mempunyai tak hingga banyak anggota dalam himpunan
penyelesaiannyaanggota dalam HP nya.
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta Page 12 z = 0 0 D Dz Tak terdefinisi (TT) LATIHAN
1. Dengan metode determinan, tentukan penyelesaian dari a. 2x + y – z = 1 -4x + 2y – 3z = 3 6x – y – 2z = 2 b. x + y – z = 0 x – y + z = 1 3x + y – z = 1 c. x + 2y + z = 1 2x – y + 2z = 1 3x + y – z = 1 d. 3x + y – z = 1 4x – 2y + z = 0 5x + 3y – 3z = -6 e. x – y + z = -2 x – y – z = 0 x + y + z = -6 f. 3x + 2y + z = 3 4x + 2y + z = 1 5x + 3y + z = 2 g. x – 2y – 4z = 12 2x + 3y + 4z = 1 4x + 5y – 3z = 9 h. 3x – y + 2z = 0 x + y – z = 1 2x – 2y + 3z = 2 i. x – y + z = 1 -x + y – z = -1 2x – 2 + 2z = 0 j. x + 4y – z = 1 -x + 2y + z = 2 2x + 6y + z = -8 2. Dengan metode eliminasi tentukan penyelesaian dari :
a. 4x + y – 3z = 11 2x – 3y + 2z = 9 x + y + z = -3 b. 2x – 5y + 3z = -10 3x + 4y + 7z = -11 5x + 3y + 7z = -8 c. 5x + 3y + 2z = -9 -3x – y + 5z = -17 4x – 2y + z = -18 d. 3 0 7 2 2 z x 12 6 5 1 z y x 35 2 2 3 z y x e. 2 2 4 2 z y x 10 5 2 3 z y x 17 5 5 4 z y x f. 3 3 2 1 4 1 z y x 1 2 3 4 3 y z x 2 2 2 1 z y x
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta Page 13 3. Dengan metode substitusi tentukan penyelesaian dari
a. x + y – 3z = 2 2x + y + z = 0 6x – 3y + 5z = 6 b. 5x – y + z = 5 3x + y – z = 3 x + 2y – z = 3
A. PENGGUNAAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL Berikut ini beberapa contoh penggunaan SPLTV dalam kehidupan sehari-hari: 1. Ari, Bobi, dan Coki berbelanja di Toko. Ari membeli 3 tas, 4 baju, dan 1 celana. Ari harus membayar Rp 21.000,- Bobi membeli 6 tas, 2 baju, dan 1 celana. Bobi harus membayar Rp 31.000,-. Coki membli 2 tas, 5 baju, dan 10 celana. Coki harus membayar Rp 28.000,-
a. Berapa harga sebuah tas, sebuah baju, dan sebuah celana b. Jika Doni membeli 4 tas, 4 baju, dan 4 celana
Jawab : Misalkan : Harga 1 tas = x Harga 1 baju = y
Harga 1 celana = z, maka
3x + 4y + z = 21.000 …………(1) 6x + 2y + z = 31.000 …………(2) 2x + 5y + 10z = 28.000 ………(3)
Jika diselesaikan dengan metode : determinan maka diperoleh :
D = 5 2 2 6 4 3 10 5 2 1 2 6 1 4 3 = [3210+412+165] – [221+513+1064] = - 161 Dx = 5 28000 2 31000 4 21000 10 1 28000 1 2 31000 1 4 21000 = [2100021+2100012+1628000] – [2310001+2800013+10621000] = -714000 Dy = 28000 2 31000 6 21000 3 10 28000 2 1 31000 6 1 21000 3 = [33100010+2100012+1628000] –
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta Page 14 [2310001+2800013+10621000] = - 266000 Dz = 5 2 2 6 4 3 28000 5 2 31000 2 6 21000 4 3 = [3228000+4310002+2100065] – [2221000+5310003+2800064] = -175000 Diperoleh : x = 4434,78 161 714000 D Dx y = 1625,17 166 266000 D Dy z = 1086,96 161 175000 D Dz
karena x, y, z harga bnarang maka dapat dibulatkan menjadi : x = 4.400, y = 1.650, z = 1.100
a. Jadi harga 1 tas = Rp 4.400,- harga 1 baju = Rp 1.650,- dan harga 1 celana = Rp 1.100,-
b. Harga yang harus dibayarkan Doni jika membeli 4 tas, 4 baju dan 4 celana adalah 4 (4400 + 1650 + 1100) = Rp 28.600,-
2. Jika Adi, Beni, dan Ceri bekerja bersama dapat menyelesaikan pekerjaan selama 20 hari, Beni dan Ceri bekerja bersama-sama dapat menyelesaikan pekerjaan selama 12 hari serta Adi dan Ceri bekerja bersama-sama dapat menyelesaikan pekerjaan selama 10 hari.
Berapa hari waktu yang diperlukan jika mereka bekerja sendiri-sendiri? Jawab :
Jika jumlah hari yang diperlukan Adi, Beni, dan Ceri berturut-turut adalah a, b, dan c, maka : 20 1 1 1 b a 12 1 1 1 c b 10 1 1 1 c a Misal :
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta Page 15 x = a 1 , y = b 1 , dan z = c z 1, maka : x + y = 20 1 …… (1) y + z = 12 1 ……..(2) 10 1 z x ……..(3)
Eliminasi z pada persamaan (2) dan (3) y + z = 12 1 x + z = 10 1 y – x = 60 1 ….. (4)
Eliminasi x pada persamaan (1) dan (4) y + x = 20 1 y – x = 60 1 2y = 30 1 y = 60 1 Substitusikan y = 60 1 ke persamaan (1) = x + y = 20 1 x + 20 1 60 1 30 1 x Substitusikan x = 30 1 ke persamaan (3) = 10 1 30 1 z 10 1 30 1 z z = 15 1 30 1 1 x a maka a = 30
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta Page 16 60 1 1 y b maka b = 60 15 1 1 z c maka c – 15
Waktu yang diperlukan Adi, Beni dan Ceri untuk menyelesaikan pekerjaan jika bekerja sendiri-sendiri berturut adalah 30 hari, 60 hari dan 15 hari.
3. Diketahui segitiga ABC, DEF, dan GHI. Sudut-sudut D, E, dan F masing-masing , 10 11 , 5 6 dan 5 4
kali sudut-sudut yang terletak pada segitiga ABC,
begitu juga sudut-sudut segitiga GHI masing-masing
3 2 , 9 10 dan 5 6 kali sudut-sudut yang setelak pada segitiga ABC. Tentukan besar A, B, dan C.
Jawab:
Misalkan A = x, B = y, dan C = z, maka besar jumlah sudut-sudut dalam segitiga = 180°, maka:
x + y + z = 180 x + y + z = 180 ……… (1) 180 5 4 10 11 5 6 y z x 12x + 11 + 8z = 1800 ………… (2) 180 5 6 3 2 9 10 z y x 50x + 30y + 54z = 00 ……….. (3)
Persamaan x + y + z = 180 z = 18 - x – y substitusi ke persamaan (2) dan (3) 12x + 11y + 8z = 1800 12x + 11y + 8(180 – x – y) = 1800 4x + 3y = 360 ……….. (4) Dan 50x + 30y + 54z = 1800 50x + 30y + 54(180-x-y) = 8100 -4x – 24y = -1620 ………...(5)
Eliminasi variabel x dari persamaan (4) dan (5): 4x + 3y = 360
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta Page 17 -21y = -1260 y = 60 Substitusi y = 60 ke dalam 4x + 3y = 360 4x + 3(60) = 360 x = 45 Substitusi y = 60 dan x = 45 ke dalam persamaan (1): x + y + z = 180 45 + 60 + z = 180 z = 75 A = x = 45° B = y = 60° C = z = 75°
Besar sudut A = 45°; besar sudut B = 60°; besar sudut C = 75°
4. Sebuah bilangan terdiri atas tiga angka. Jumlah ketiga angkanya sama dengan 16. Jumlah angka pertama dan angka kedua sama dengan angka ketiga dikurangi dua. Nilai bilangan itu sama dengan 21 kali. Jumlah ketiga angkanya kemudian ditambah dengan 13. Carilah bilangan itu! Jawab:
Misal bilangan itu adalah xyz. x menempati tempat ratusan y menempati tempat puluhan z menempati tempat satuan
Jadi nilai bilangan itu 100x + 10y + z
Berdasarkan data pada soal diperoleh SPLTV sebagai berikut:
x + y + z = 16 x + y + z = 16 ……….(1) x + y = z - 2 x + y - z = -2 ……….(2) 100x+10y + z = 21(x+y+z)+13 79x-11y-20z = 13 ……….(3) - Eliminasi variabel y dari persamaan (1) dan (2)
x + y + z = 16 x + y – z = -2 _ 2z = 18
z = 9 ……….. (4) - Eliminasi variabel y dari persamaan (1) dan (3)
x + y + z = 16 | x11 | 11x + 11y + 11z = 176 79x-11y-20z= 13 | x1 | 79x - 11y - 20z = 13 _
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta Page 18 90x - 9z = 189 ………….. (5)
- Substitusi nilai z = 9 ke persamaan (5) diperoleh: 90x – 9(9) = 189
90x – 81 = 189 90x = 270 x = 3
- Substitusi nilai x = 3 dan z = 9 ke persamaan (1) didapat 3 + y + 9 = 16
y = 4
Bilangan itu adalah xyz = 349
5. Grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c melalui titik (-1,0), (1,6), dan (2,12). Carilah nilai a, b, dan c kemudian tuliskan persamaan grafik fungsi kuadrat itu!
NOTE:
Contoh ini merupakan penerapan SPLTV untuk mennetukan Persamaan fungsi kuadrat yang melalui tiga titik sembarang.
Jawab: - Melalui titik (-1,0) x = -1, y = 0 y = ax² + bx + c 0 = a(-1)² + b(1) + c a – b + c = 0 - Melalui titik (1,6) x = 1, y = 6 y = ax² + bx + c 6 = a(1)² + b(1) + c a + b + c = 6 - Melalui titik (2,12) x = 2, y = 12 y = ax² + bx + c 12 = a(2)² + b(2) + c 4a + 2b + c = 12
Dengan demikian diperoleh model matematika SPLTV dalam a, b, c sebagai berikut:
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta Page 19 a + b + c = 6 4a+2b+c = 12 - Eliminasi variabel c: a – b + c = 0 a + b + c = 6 a + b + c = 6 _ 4a + 2b + c = 12 _ -2b = -6 -3a – b = -6 b = 3 3a + b = 6
- Substitusi b = 3 ke persamaan 3a + b = 6 diperoleh: 3a + 3 = 6
a = 1
- Substitusi a = 1 dan b = 3 ke persamaan a – b + c = 0, didapat 1 – 3 + c = 0 Jadi nilai a = 1, b = 3, dan c = 2
c = 2 Persamaan fungsi kuadratnya adalah: y = x² + 3x + 2
LATIHAN
SOAL-SOAL TERAPAN:
1. Jumlah tiga bilangan sama dengan 6. Bilangan pertama ditambah bilangan kedua sama dengan bilangan ketiga, dan bilangan kedua besarnya dua kali bilangan pertama. Tentukan masing-masing bilangan tersebut!
2. Sebuah bilangan terdiri dari tiga angka. Jumlah angka-angkanya adalah 16, jumlah angka ratusan dan puluhan 2 lebihnya dari angka satuan. Sedangkan jika angka puluhan dan satuan ditukar, maka nilainya berkurang 27. Berapakah bilangan tersebut?
3. Sebuah bilangan terdiri dari 2 angka. Besar bilangan pada angka satuan 4 kurangnya dari 3 kali angka puluhan. Jika posisi angka ditukar maka nilainya 12 kurangnya terhadap 2 kali bilangan semula. Tentukan bilangan tersebut!
4. Sebuah bilangan terdiri dari 3 angka. Jumlah ketiga angkanya 16. Besar 2 kali angka ratusan ditambah angka puluhan adalah 2 lebihnya dari angka satuan. Jika bilangan tersebut ditambah 27 maka nilainya sama dengan angka satuan ditukar angka puluhan. Tentukan bilangan tersebut.
5. Diketahui bilangan-bilangan x, y, dan z. Jumlah ketiga bilangan itu sama dengan 75. Bilangan pertama lima lebihnya dari jumlah bilangan yang
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta Page 20 lain. Bilangan kedua sama dengan ¼ dari jumlah bilangan yang lain. Carilah bilangan-bilangan itu!
6. Diketahui tiga bilangan a, b, dan c. Rata-rata dari ketiga bilangan itu sama dengan 16. Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan-bilangan yang lainnya. Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan-bilangan yang lain dikurangi empat. Carilah bilangan-bilangan itu!
7. Suatu bilangan terdiri atas tiga angka, jumlah ketiga angka itu sama dengan 9. Nilai bilangan itu sama dengan 14 kali jumlah ketiga angkanya. Angka ketiga dikurangi angka kedua dan angka pertama sama dengan 3. Carilah bilangan itu!
