Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sistem Persamaan Linear Sistem Persamaan Linear

Tiga Variabel (SPLTV) Tiga Variabel (SPLTV)

Vina Dwiseptia,S.Pd

Sistem persamaan Linear dan Linear dengan Tiga Variabel

Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x,y, dan z dapat dituliskan sebagai berikut :

ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + kz = l

atau

a

₁

x + b

₁

y + c

₁

z = d

₁

a

₂

x + b

₂

y + c

₂

z = d

₂

a

₃

x + b

₃

y + c

₃

z = d

₃

dengan a, b, c, e, f, g, h, I, j, k, dan l atau a

₁

, b

₁

, c

₁

, d

₁

, a

₂

, b

₂

, c

₂

, d

₂

, a

₃

, b

₃

, c

₃

, dan d

₃

merupakan bilangan real .

Himpunan penyelesaian sistem linear tiga peubah dapat ditentukan dengan beberapa cara sebagai berikut :

1. Metode Substitusi

2. Metode Eliminasi atau

3. Metode Gabungan (eliminasi dan substitusi)

Metode Substitusi

Langkah – langkah penyelesaian sistem persamaan linear tiga peubah dgn menggunakan metode substitusi adalah sebagai berikut :

Langkah 1 :

Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z atau y sebagai fungsi x dan z, atau z

sebagai fungsi x dan y

Langkah 2 :

Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga didapat sistem persamaan linear dua peubah

Langkah 3 :

Selesaikan sistem persamaan linear dua peubah yang diperoleh

pada langkah 2

Contoh : Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan linear berikut x – 2y + z = 6

3x + y + 2z = 4 7x – 6y – z = 10

Dari persamaan x – 2y + z = 6 x = 2y – z + 6.

Peubah x ini disubstitusikan ke persamaan 3x + y -2z = 4 dan 7x – 6y – z = 10 diperoleh :

3(2y – z + 6) + y – 2z = 4 6y – 3z + 18 + y – 2z = 4

7y – 5z = –14 (3) 7(2y – z + 6) – 6y – z = 10

14y – 7z + 42 – 6y – z = 10 8y – 8z = – 32

y – z = – 4 (4)

Persamaan 3 dan 4 membentuk sistem persamaan linear dua peubah y dan z:

7y – 5z = –14

y – z = –4 dari persamaan y – z = – 4 y = z – 4

Peubah y disubstitusikan ke persamaan 7y -5z = –14, diperoleh : 7 (z – 4) – 5z = –14

7z – 28 – 5z = – 14 2z = 14

z = 7

Substitusikan nilai z = 7 ke persamaan y = z – 4, diperoleh y = 7 – 4 = 3

Substitusikan nilai y = 3 dan z = 7 ke persamaan x = 2y – z + 6, diperoleh x = 2(3) – 7 + 6

x = 6 – 7 + 6 x = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, 7)}

Metode Eliminasi

Langkah – langkah penyelesaian sistem persamaan linear tiga peubah dengan menggunakan metode eliminasi adalah :

Langkah 1:

Eliminasi salah satu peubah x atau y atau z sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua peubah

Langkah 2:

Selesaikan sistem persamaan linear dua peubah yang didapat pada langkah 1

Langkah 3:

Substitusikan nilai – nilai dua peubah yang diperoleh pada

langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk

mendapatkan nilai peubah yang lainnya.

Contoh : Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear :

2x – y + z = 6 x – 3y + z = –2 x + 2y – z = 3 Eliminasi peubah z:

Dari persamaan pertama dan kedua:

2x – y + z = 6 x – 3y + z = –2

x + 2y = 8

Dari persamaan kedua dan ketiga:

x – 3y + z = –2 x + 2y – z = 3

2x – y = 1

(4) (5)

Persamaan 4 dan 5 membentuk sistem persamaan linear dua peubah x dan y x + 2y = 8

2x – y = 1

Eliminasi peubah y:

x + 2y = 8 2x – y = 1

X 1 X 2

x + 2y = 8 4x – 2y = 2

5x = 10 x = 2

Eliminasi peubah x:

x + 2y = 8 2x – y = 1

X 2 X 1

2x + 4y = 16 2x – y = 1

5y = 15 y = 3

Nilai z dicari dengan mensubstitusikan x = 2 dan y = 3 ke salah satu persamaan semula misal x + 2y – z = 3

x + 2y – z = 3 2 + 2(3) – z = 3

8 – z = 3 x = 5

Jadi, Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear adalah {(2, 3, 5)}

Contoh penerapan persoalan sehari – hari dalam sistem persamaan tiga peubah:

Ali, Boneng, dan Cecep berbelanja di sebuah toko buku. Ali membeli dua buah buku tulis, sebuah pensil dan sebuah penghapus dengan membayar Rp4.700,00 Boneng membeli sebuah buku tulis , dua buah pensil dan sebuah penghapus dengan membayar Rp4.300,00 Cecep membeli tiga buah buku tulis, dua buah pensil dan sebuah penghapus dengan membayar Rp7.100,00. Berapakah harga untuk sebuah buku tulis, harga sebuah

pensil dan harga sebuah penghapus ? Jika dimisalkan bahwa :

Harga untuk sebuah buku tulis adalah x rupiah Harga untuk sebuah pensil adalah y rupiah dan Harga untuk sebuah penghapus adalah z rupiah

Dengan demikian model matematika yang sesuai dengan data tersebut adalah :

2x + y + z = 4.700 x + 2y + z = 4.300 3x + 2y + z = 7.100 Eliminasi peubah z

2x + y + z = 4.700 x + 2y + z = 4.300

x – y = 400

x + 2y + z = 4.300 3x + 2y + z = 7.100 -2x = -2.800

x = 1.400

Substitusikan nilai x = 1.400 ke persamaan x – y = 1.400, diperoleh : 1.400 – y = 400 y = 1.000

Substitusikan nilai x = 1.400 dan y = 1.000 ke persamaan 2x + y + z = 4.700 diperoleh: 2(1.400) + 1.000 + z = 4.700

3.800 + z = 4.700 z = 900

Jadi harga sebuah buku tulis adalah Rp1.400,00 harga sebuah pensil adalah Rp1.000,00 dan harga sebuah penghapus adalah Rp900,00

Metode Gabungan ( eliminasi dan substitusi)

3. Penyelesaian persamaan linier tiga variabel dengan metode gabungan eliminasi dan subtitusi

Metode penyelesaian persamaan linear ini menggunakan metode

gabungan antara metode substitusi dan eliminasi. Metode

gabungan ini sering digunakan dalam menyelesaikan system

persamaan linear tiga variable karena lebih mudah dan efisien.

Contoh : Contoh :

Jawab :

• eliminasi variable z pada (1) dan (2)

• eliminasi variable y pada (4) dan (5) eliminasi variable y pada (4) dan (5)

• Nilai x = 4 disubtitusikan ke (4) • Nilai x = 4, dan y = -2 Subtitusi ke (1)