matematika WAJIB Kelas X SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV) K-13 A. Definisi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

(1)

SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.

1. Memahami defi nisi sistem persamaan linear tiga variabel.

2. Memahami solusi sistem persamaan linear tiga variabel.

3. Menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dengan teknik eliminasi atau substitusi.

4. Memahami aplikasi sistem persamaan linear tiga variabel.

A. Defi nisi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan yang terdiri atas tiga persamaan linear dengan tiga variabel. Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel adalah sebagai berikut.

ax + by + cz = p dx + ey + fz = q gx + hy + iz = r







dengan x, y, dan z adalah variabel-variabel SPLTV, a, b, c, d, e, f, g, h, dan i adalah koefi sien- koefi sien, serta p, q, dan r adalah konstanta-konstanta.

matematika WAJIB ^K

e l a s X

K-13

(2)

2

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh SPLTV berikut.

1.

4 3 + 2 = 1

3 + = 20

+ 4 = 10

dan adalah variabe

x y z

x y z

x y z

x, y, z

−







ll - variabel SPLTV.

2.

2 + 3 2 = 4 + 2 = 5 4 5 = 1

dan adalah variabel - va

t s u

t u

s u

t, s, u

−







rriabel SPLTV.

B. Solusi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Pada bidang Cartesius xyz, persamaan linear ax + by + cz = p berbentuk bidang datar.

Solusi SPLTV adalah suatu titik pada bidang xyz yang dilewati oleh ketiga persamaan linear tiga variabel. Perhatikan gambar bidang-bidang berikut.

Tepat satu solusi

Tak hingga solusi

Tidak ada solusi

Dari gambar tersebut, terlihat bahwa hubungan tiga bidang datar hanya memiliki tiga kemungkinan, yaitu:

1. semuanya berpotongan di satu titik (satu solusi);

2. semuanya berpotongan di sepanjang garis (tak hingga solusi); dan

3. semuanya tidak berpotongan di satu titik atau di sepanjang garis (tidak ada solusi).

Satu solusi berarti hanya ada satu titik yang dilewati oleh ketiga bidang tersebut atau hanya ada satu titik (x, y, z) yang memenuhi SPLTV. Tak hingga solusi berarti banyak titik yang dilewati oleh ketiga bidang tersebut secara bersamaan atau tak hingga titik yang memenuhi SPLTV. Sementara itu, yang dimaksud tidak ada solusi adalah tidak ada satu pun titik yang dilewati oleh ketiga bidang tersebut secara bersamaan atau tidak ada satu

(3)

3

pun titik yang memenuhi SPLTV. Solusi SPLTV dapat ditentukan dengan menggunakan teknik eliminasi atau substitusi. Sebelum belajar cara menentukan solusi SPLTV, mari kita ingat kembali teknik eliminasi atau substitusi berikut ini.

Review Teknik Eliminasi SPLDV

1. Tentukan solusi dari sistem persamaan berikut.

4x + y = 5 ...(1) 2x + y = 3 ... (2) Pembahasan:

Oleh karena koefisien y sama, maka kedua persamaan dikurangkan.

4 + = 5 2 + = 3 2 = 2

= 1 x y x y x

⇔x

Substitusi nilai x = 1 ke persamaan (2) sehingga diperoleh:

2(1) + y = 3

⇔ y = 1

Jadi, solusi sistem persamaan tersebut adalah (1, 1).

3x – y = 2 ... (1) x + y = 2 ... (2) Pembahasan:

Oleh karena koefisien y sama besar, tapi berlawanan tanda, maka kedua persamaan dijumlahkan.

3 = 2

+ = 2 4 = 4

= 1 x y x y x x

−

⇔

Substitusi nilai x = 1 ke persamaan (2) sehingga diperoleh:

(1) + y = 2

⇔ y = 1

(4)

4

Review Teknik Substitusi SPLDV

y = 2x + 1 ... (1) x + y = 4 ...(2) Pembahasan:

Substitusi nilai y pada persamaan (1) ke persamaan (2) sehingga diperoleh:

x + (2x + 1) = 4

⇔ 3x + 1 = 4

⇔ 3x = 3

⇔ x = 1

Substitusi balik nilai x = 1 ke persamaan (1) sehingga diperoleh:

y = 2(1) + 1

⇔ y = 3

C. Menentukan Solusi SPLTV: Teknik Eliminasi

Teknik eliminasi adalah salah satu teknik yang digunakan untuk menentukan solusi SPLTV.

Teknik ini dinamakan eliminasi karena dilakukan dengan mengeliminasi salah satu variabel dari tiga persamaan. Akibatnya, diperoleh dua persamaan linear dengan dua variabel. Dua persamaan linear dengan dua variabel ini kemudian diselesaikan dengan teknik eliminasi SPLDV. Untuk lebih jelasnya, perhatikan langkah-langkah berikut.

1) Nyatakan SPLTV dalam bentuk umumnya, kemudian ubah koefisien dan konstanta dalam bentuk bilangan bulat.

2) Pilih salah satu variabel yang akan dieliminasi dari ketiga persamaan linear.

3) Eliminasikan variabel pada dua pasang persamaan linear yang dipilih secara acak dari ketiga persamaan linear yang ada.

4) Eliminasikan variabel pada dua persamaan linear yang baru dengan teknik eliminasi SPLDV hingga didapatkan nilai dua variabel.

5) Substitusikan nilai dua variabel pada salah satu persamaan linear yang diketahui untuk menentukan nilai variabel yang lain.

(5)

5 Contoh Soal 1

Tentukan solusi sistem persamaan linear berikut.

2x + 3y – z = 9 ... (1) 3x – 4y + z = –1 ... (2) x + 2y + 2z = 8 ... (3) Pembahasan:

Pilihlah variabel z untuk dieliminasi.

Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:

2 + 3 = 9

3x 4 + = 1y z dijumlahkan karena koefisien sama bes

x y z− z

− − aar, tapi berlawanantanda

5x y− = 8 ... 4

( )

3 4 + = 1

+ 2 + 2 = 8 2

1 agar koefisien sama 6x 8 + 2z = 2

+ 2

x y z

x y z z

y x

− − ×

×

− −

yy z z

x y

+ 2 = 8 dikurangi karena koefisien sama 5 −10 = 10 ... 5−

( )

Mencari nilai y:

Eliminasi variabel x pada persamaan (4) dan (5):

5 = 8

5 x y10 = 10 langsung dikurangi karena koefisien sama

x −y x

− −

99 = 18

= 2 y

⇔y

Mencari nilai x:

Substitusi nilai y = 2 ke persamaan (4) sehingga diperoleh:

5x – (2) = 8

⇔ 5x = 10

⇔ x = 2

(6)

6

Mencari nilai z:

Substitusi nilai x = 2 dan y = 2 ke persamaan (1), sehingga diperoleh:

2x + 3y – z = 9

⇔ 2(2) + 3(2) – z = 9

⇔ 10 – z = 9

⇔ z = 1

Jadi, solusi sistem persamaan linear tersebut adalah (2, 2, 1).

Contoh Soal 2

1 2

1

3 = 2 ... 1 2 + 2 = 5 ... 2 1

5 1 3 +1

2 =13 30 ... 3

x y z

x y z

x y z

− − −

−

( ) ( ) ( )

Pembahasan:

Ubah bentuk pecahan ke dalam bentuk bilangan bulat.

Persamaan (1):

1 2

1 3 = 2

3 3 2 = 12

6

x y z

− − −

×

Persamaan (3):

1 5

1 3 +1

2 =13 30 6 10 +15 = 13

30

x y z

−

×

Dengan demikian, sistem persamaannya menjadi:

3x – 3y – 2z = –12 ...(1) 2x + y – 2z = 5 ...(2) 6x – 10y + 15z = 13 ...(3)

Oleh karena sudah ada koefisien yang sama yaitu variabel z pada persamaan (1) dan (2), maka dipilih variabel z untuk dieliminasi.

(7)

7

3 3 2 = 12

2 + 2 = 5

4 = 17 ... 4

x y z

x y z

x y

− − −

−

− −

( )

3 3 2 = 12

6 10 +15 = 13 15

2 KPK 2dan 15 adalah 30

45 45

x y z

x y

− − −

−

×

− −− −

−

− −

30 = 180 12 20 + 30 = 26 57 65 = 154 ... 5

x y z

x y

( )

Mencari nilai y:

Eliminasi variabel x pada persamaan (4) dan (5):

x y

y

− −

×

− −

4 = 17

57 65 = 154

57 1 57 228 = 969

57 65 = 154

163 = 8115

⇔ y= 5 Mencari nilai x:

Substitusi nilai y = 5 ke persamaan (4), sehingga diperoleh:

x – 4y = –17

⇔ x – 4(5) = –17

⇔ x – 20 = –17

⇔ x = 3 Mencari nilai z:

Substitusi nilai x = 3 dan y = 5 ke persamaan (2), sehingga diperoleh:

2x + y – 2z = 5

⇔ 2(3) + (5) – 2z = 5

⇔ 11 – 2z = 5

⇔ 2z = 6

⇔ z = 3

Jadi, solusi sistem persamaan linear tersebut adalah (3, 5, 3).

(8)

8

Selain bentuk tersebut, ada bentuk persamaan nonlinear yang penyelesaiannya dapat diselesaikan dengan pendekatan sistem persamaan linear. Perhatikan contoh berikut.

Contoh Soal 3

Jika solusi sistem persamaan linear berikut ini adalah x_o, y_o, dan z_o, maka nilai dari 1 + 1 + 1

2+3- 1

3 2+ 3

1+5+4

x y z

x y z

x- y z

x y z

o o o

=

= −

= 17

5

18

adalah ....

Pembahasan:

Bentuk 2

x dapat dinyatakan dengan 2⋅1

x . Jika 1

x dimisalkan dengan p, maka 2 x dapat dinyatakan dengan 2p. Misal:

1= ,1= , dan 1=

x p

y q

z r

Dengan demikian, sistem persamaan pada soal dapat dinyatakan sebagai berikut.

2p + 3q – r = 17 ...(1) 3p – 2q + 3r = –5 ...(2) p + 5q + 4r = 18 ...(3)

Untuk memudahkan proses eliminasi, kita akan bentuk persamaan baru yang didapat dari pengurangan persamaan (1) dan (2).

2 +3 = 17 3 2 + 3 = 5

+ 5 4 = 22

p q r

p q r

−

− −

(9)

9

Mencari nilai y_o:

Eliminasi persamaan baru tersebut dengan persamaan (3).

− −

⇔

p q

q q + 5 4r = 22 + 5 + 4r = 18 10 = 40

= 4

Oleh karena q = 4, maka 1 = 4 = 1 4

y y

o

→ o .

Substitusi balik nilai q = 4 ke persamaan (1), sehingga diperoleh:

2p + 3q – r = 17

⇔ 2p + 3(4) – r = 17

⇔ 2p – r = 5 ...(4)

Substitusi balik nilai q = 4 ke persamaan (3), sehingga diperoleh:

p + 5q + 4r = 18

⇔ p + 5(4) + 4r = 18

⇔ p + 4r = –2 ...(5)

Mencari nilai z_o:

Eliminasi variabel p pada persamaan (4) dan (5):

p r

p r

p r

p r r r + 4 = 2

2 = 5

2 1 2 + 8 = 4

2 = 5

9 = 9

= 1

−

×

−

⇔ −

Oleh karena r = –1, maka 1 = 1 = 1

z z

o

− → o − . Mencari nilai x_o:

Substitusi nilai r = –1 ke persamaan (4), sehingga diperoleh:

2p – r = 5

⇔ 2p – (–1) = 5

⇔ 2p = 4

⇔ p = 2

Oleh karena p = 2, maka 1 = 2 = 1 2

x x

o

→ o .

(10)

10

Dengan demikian, diperoleh:

1 + 1 + 1 = 1 1 2

+ 1 1 4

+ 1 1

= 2 + 4 1

= 5

x_o y_o z_o −

−

Jadi, nilai dari adalah 5.

D. Menentukan Solusi SPLTV: Teknik Substitusi

Teknik lain yang dapat digunakan untuk menentukan solusi SPLTV adalah teknik substitusi. Langkah-langkah menentukan solusi SPLTV dengan teknik substitusi adalah sebagai berikut.

1. Nyatakan satu variabel dalam bentuk dua variabel lainnya pada salah satu persamaan.

2. Substitusikan variabel pada langkah 1 ke dua persamaan yang tersisa hingga diperoleh SPLDV.

3. Gunakan penyelesaian SPLDV baik dengan teknik eliminasi atau substitusi untuk menentukan nilai-nilai variabelnya.

Contoh Soal 4

3x + 2y – 4z = –15 ...(1) x = 4y – z – 5 ...(2) 5x + 4y + 6z = 1 ...(3) Pembahasan:

Persamaan (2) sudah menyatakan x dalam y dan z. Oleh karena itu, persamaan ini digunakan sebagai pensubstitusi.

Susbtitusi persamaan (2) ke persamaan (1), sehingga diperoleh:

3(4y – z – 5) + 2y – 4z = 15

⇔ 12y – 3z – 15 + 2y – 4z = –15

⇔ 14y – 7z = 0

⇔ z = 2y ...(4)

(11)

11

Susbtitusi persamaan (2) ke persamaan (3), sehingga diperoleh:

5(4y – z – 5) + 4y + 6z = 1

⇔ 20y – 5z – 25 + 4y + 6z = 1

⇔ 24y + z = 26 ...(5)

Mencari nilai y:

Substitusi persamaan (4) ke persamaan (5), sehingga diperoleh:

24y + (2y) = 26

⇔ 26y = 26

⇔ y = 1

Mencari nilai z:

Substitusi balik nilai y = 1 ke persamaan (4), sehingga diperoleh:

z = 2(1) = 2

Mencari nilai x:

Substitusi balik nilai y = 1 dan z = 2 ke persamaan (2), sehingga diperoleh:

x = 4y – z – 5

⇔ x = 4(1) – 2 – 5

⇔ x = –3

Jadi, solusi sistem persamaan linear tersebut adalah (–3, 1, 2).

Contoh Soal 5

3x – 4y + 3z + 1 = 0 ...(1) 5x + 2y + 14 = 0 ...(2) 8y + 5z + 21 = 0 ...(3) Pembahasan:

Koefisien y pada SPLTV di atas saling berkelipatan sehingga masih mudah diselesaikan dengan substitusi dan terhindar dari bentuk pecahan.

Nyatakan satu variabel dalam bentuk dua variabel lainnya pada salah satu persamaan, misalnya persamaan (2).

2y = –5x – 14 ...(4)

(12)

12

3x – 4y + 3z + 1 = 0

⇔ 3x – 2(–5x – 14) + 3z + 1 = 0

⇔ 3x + 10x + 28 + 3z + 1 = 0

⇔ 13x + 3z = –29 ...(5)

8y + 5z + 21 = 0

⇔ 4(2y) + 5z + 21 = 0

⇔ 4(–5x – 14) + 5z + 21 = 0

⇔ –20x – 56 + 5z + 21 = 0

⇔ –20x + 5z – 35 = 0

⇔ –4x + z – 7 = 0

⇔ z = 4x + 7 ...(6)

Mencari nilai x:

13x + 3z = –29

⇔ 13x + 3(4x + 7) = –29

⇔ 13x + 12x + 21 = –29

⇔ 25x = –50

⇔ x = –2

Mencari nilai z:

Substitusi nilai x = –2 ke persamaan (6), sehingga diperoleh:

z = 4x + 7

⇔ z = 4 (–2) + 7

⇔ z = –1

(13)

13

Mencari nilai y:

Substitusi nilai x = –2 ke persamaan (4), sehingga diperoleh:

2y = –5x – 14

⇔ 2y = –5(–2) – 14

⇔ 2y = –4

⇔ y = –2

Jadi, solusi sistem persamaan linear tersebut adalah (–2, –2, –1).

E. Aplikasi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel banyak dimanfaatkan dalam pemecahan masalah, baik masalah matematika atau masalah dalam kehidupan sehari-hari.

Perhatikan contoh berikut.

Contoh Soal 6

Pada suatu segitiga, diketahui sudut pertama lima derajat lebih kecil dari tiga kali sudut kedua. Sementara itu, sudut ketiga sepuluh derajat lebih besar dari sudut kedua. Sudut- sudut segitiga tersebut adalah ....

Pembahasan:

Misalkansegitiga tersebut adalah segitiga ABC dengan sudut A, B, dan C dalam derajat.

Dari kalimat “sudut pertama lima derajat lebih kecil dari tiga kali sudut kedua”, diperoleh:

A = 3B – 5° ... (1)

Dari kalimat “sudut ketiga sepuluh derajat lebih besar dari sudut kedua”, diperoleh:

C = B + 10° ... (2)

Persamaan ketiga didapatkan dari sifat jumlah sudut segitiga, yaitu:

A + B + C = 180° ... (3)

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan (3), sehingga diperoleh:

A + B + C = 180°

⇔ 3B – 5° + B + B + 10° = 180°

⇔ 5B + 5° = 180°

⇔ 5B = 175°

⇔ B = 35°

(14)

14

Substitusi nilai B = 35° ke persamaan (2), sehingga diperoleh:

C = B + 10°

⇔ C = 35° + 10° = 45°

Substitusi nilai B = 35° ke persamaan (1), sehingga diperoleh:

A = 3B – 5°

⇔ A = 3(35°) – 5°

⇔ A = 105° – 5°

⇔ A = 100°

Jadi, sudut-sudut segitiga tersebut adalah 100°, 35°, dan 45°.