matematika Matematika (4) Matematika (4) Matematika (4) Matematika (4)

(1)

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat

Sistem Persamaan Linear dan Linear dgn Dua Peubah

Sistem Persamaan Linear dan Linear dgn Tiga Peubah

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

(2)

Tim MGMP Matematika SMA/SMK Bontang-Kalimantan Timur

email: [email protected] ex

it

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Sistem Persamaan Linear dan Linear dengan Dua Peubah

Bentuk Umum

persamaan linear dikatakan

tidak homogen

Menentukan Himpunan Penyelesaian dari persamaan Linear

Dua Peubah dapat ditentukan dengan cara sbb :

1. Metode Grafik 2. Metode Subtitusi

(3)

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Metode Grafik

Langkah – langkah untuk menetukan himpunan penyelesaian

sistem persamaan dua peubah dengan memakai metode grafik

adalah sebagai berikut

Langkah I

Gambarkan grafik masing – masing persamaan pada bidang Cartesius.

Langkah 2

a.

Jika kedua garis berpotongan pada satu titik maka himpunan

penyelesaiannya tepat memiliki satu anggota

b. Jika kedua garis sejajar, maka himpunan penyelesaiaannya

tidak memilki anggota. Dikatakan himpunan penyelesaiannya

adalah himpunan kosong

c.

Jika kedua garis berimpit maka himpunan penyelesaiaannya

(4)

it

(5)

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Metode Subtitusi

Langkah – langkah untuk meneyelesaikan sistem

persamaan linear dua peubah dengan menggunakan

metode Subtitusi

Langkah 1

Pilihlah salah satu persamaan (jika ada pilih yang

sederhana), kemudian nyatakan x sebagai fungsi y atau

y sebagai fungsi

x

Langkah 2

(6)

it

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Contoh

x + y = 4

4x + 3y = 13

Dari persamaan x + y = 4

y = 4 - x

y = 4 – x

Disubstitusikan ke persamaan 4x + 3y = 13 Diperoleh :

4x + 3 (4 – x) = 13

4x + 12 – 3x = 13

x + 12 = 13

x = 1

Nilai x = 1 disubstitusikan ke persamaan y = 4 – x, diperoleh

y = 4 - 1

(7)

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Metode Eliminasi

Langkah yang ditempuh adalah sbb :

(8)

it

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Contoh : Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut :

2x + 3y = 13 3x + 4y = 19

Untuk mencari nilai x kita mengeliminasi peubah y

2x + 3y = 13 _{X 4} 8x + 12y = 52

(9)

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Penyelesaian sistem persamaan linear dapat juga menggunakan

metode subtitusi dan metode eliminasi secara bersamaan.

Perhatikan contoh berikut :

Carilah himpunan penyelesaiaan dari sistem persamaan berikut

2x – 5y = 15 3x + 4y = 11

Untuk mencari nilai x kita mengeliminasi peubah y 2x – 5y = 15

x disubtitusikan ke dalam salah satu persamaan semula 2x – 5y = 15

2(5) – 5y = 15

– 5y = 15 – 10

– 5y = 5

(10)

it

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Beberapa persoalan sehari –hari seringkali dapat diselesaikan

dengan memakai model matematika yang berbentuk sistem

persamaan dua peubah. Perhatikan contoh berikut :

Disebuah toko Komar membeli 3 barang A dan 4 barang B dan dia harus membayar Rp2.700,00. Sedangkan Yayuk harus membayar Rp3.600,00 untuk pembelian 6 barang A dan 2 barang B. Jika Ratna membeli 1 barang A dan 1 barang B, maka ia harus membayar ….

(11)

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

y = 300, disubtitusikan ke persamaan (2) 3x + 4y = 2.700 3x + 4(300) = 2.700

3x + 1.200 = 2.700 3x = 2.700 – 1.200

3x = 1.500 x = 500

(12)

ex

it

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Sistem persamaan Linear dan Linear dengan Tiga Peubah

Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga peubah x,y, dan

z dapat dituliskan sebagai berikut :

ax + by + cz = d

Himpunan penyelesaian sistem linear tiga peubah dapat ditentukan dengan beberapa cara sebagai berikut :

1. Metode Substitusi

(13)

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Metode Substitusi

Langkah – langkah penyelesaian sistem persamaan linear tiga peubah dgn menggunakan metode substitusi adalah sebagai berikut :

Langkah 1 :

Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan x

sebagai fungsi y dan z atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y

Langkah 2 :

Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga didapat sistem persamaan linear dua peubah

Langkah 3 :

(14)

it

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Contoh : Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan linear berikut x – 2y + z = 6

3x + y + 2z = 4 7x – 6y – z = 10

Dari persamaan x – 2y + z = 6 x = 2y – z + 6.

Peubah x ini disubstitusikan ke persamaan 3x + y -2z = 4 dan 7x – 6y – z = 10 diperoleh :

3(2y – z + 6) + y – 2z = 4 6y – 3z + 18 + y – 2z = 4

7y – 5z = –14 (3) 7(2y – z + 6) – 6y – z = 10

14y – 7z + 42 – 6y – z = 10 8y – 8z = – 32

(15)

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Persamaan 3 dan 4 membentuk sistem persamaan linear dua peubah y dan z: 7y – 5z = –14

y – z = –4 dari persamaan y – z = – 4 y = z – 4

Peubah y disubstitusikan ke persamaan 7y -5z = –14, diperoleh : 7 (z – 4) – 5z = –14

7z – 28 – 5z = – 14 2z = 14

z = 7

Substitusikan nilai z = 7 ke persamaan y = z – 4, diperoleh y = 7 – 4 = 3

Substitusikan nilai y = 3 dan z = 7 ke persamaan x = 2y – z + 6, diperoleh

x = 2(3) – 7 + 6 x = 6 – 7 + 6 x = 5

(16)

ex

it

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Metode Eliminasi

Langkah – langkah penyelesaian sistem persamaan linear tiga

peubah dengan menggunakan metode eliminasi adalah :

Langkah 1:

Eliminasi salah satu peubah x atau y atau z sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua peubah

Langkah 2:

Selesaikan sistem persamaan linear dua peubah yang didapat pada

langkah 1

Langkah 3:

(17)

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Contoh : Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear :

2x – y + z = 6 x – 3y + z = –2 x + 2y – z = 3

Eliminasi peubah z:

Dari persamaan pertama dan kedua: 2x – y + z = 6

x – 3y + z = –2 x + 2y = 8

Dari persamaan kedua dan ketiga: x – 3y + z = –2

x + 2y – z = 3 2x – y = 1

(4) (5)

(18)

it

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Nilai z dicari dengan mensubstitusikan x = 2 dan y = 3 ke salah satu persamaan semula misal x + 2y – z = 3

x + 2y – z = 3 2 + 2(3) – z = 3

8 – z = 3 x = 5

(19)

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Contoh penerapan persoalan sehari – hari dalam sistem persamaan tiga peubah:

Ali, Boneng, dan Cecep berbelanja di sebuah toko buku. Ali membeli dua buah buku tulis, sebuah pensil dan sebuah penghapus dengan membayar Rp4.700,00 Boneng membeli sebuah buku tulis , dua buah pensil dan sebuah penghapus dengan membayar Rp4.300,00 Cecep membeli tiga buah buku tulis, dua buah pensil dan sebuah penghapus dengan membayar Rp7.100,00. Berapakah harga untuk sebuah buku tulis, harga sebuah

pensil dan harga sebuah penghapus ? Jika dimisalkan bahwa :

Harga untuk sebuah buku tulis adalah x rupiah Harga untuk sebuah pensil adalah y rupiah dan Harga untuk sebuah penghapus adalah z rupiah

(20)

it

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Substitusikan nilai x = 1.400 ke persamaan x – y = 1.400, diperoleh : 1.400 – y = 400 y = 1.000

Substitusikan nilai x = 1.400 dan y = 1.000 ke persamaan 2x + y + z = 4.700 diperoleh: 2(1.400) + 1.000 + z = 4.700

3.800 + z = 4.700 z = 900

(21)

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

Sistem persamaan linear dan kuadrat dibagi menjadi dua

bagian sebagai berikut :

1. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat

berbentuk Eksplisit

(22)

it

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

1. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat, bagian kuadrat berbentuk

Eksplisit

Suatu persamaan dua peubah x dan y dinyatakan berbentuk eksplisit jika persamaan itu dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y)

y = ax + b

y = px2_{+ qx + r}

Bagian linear Bagian kuadrat

Dengan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan – bilangan real.

Secara umum, penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari sistem

persamaan linear dan kuadrat dapat ditentukan melalui langkah – langkah sebagai berikut :

Langkah 1 :

Substitusikan bagian linear ke bagian kuadrat Langkah 2:

(23)

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Contoh : Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat berikut ini :

y = x – 1

y = x2 – 3x + 2

Substitusikan bagian linear y = x – 1 ke bagian kuadrat y = x2 – 3x + 2,

diperoleh _{x – 1 = x}2 – 3x + 2

x2 – 4x + 3 = 0

(x – 1)(x – 3) = 0 x = 1 atau x = 3

Nilai x = 1 atau x = 3 disubtitusikan ke persamaan y = x – 1

Untuk x = 3 diperoleh y = 3 – 1 = 2 jadi (3, 2)

Untuk x = 1 diperoleh y = 1 – 1 = 0 jadi (1, 0)

(24)

ex

it

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

2. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk

implisit

Persamaan dua peubah x dan y dikatakan berbentuk implisit jika

persamaan itu tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau

x = f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x, y) = 0.

px + qy + r = 0

ax2_{+ by}2_{+cxy + dx + ey + f = 0}

Bagian linear Bagian kuadrat

Dengan a, b, c, d, e, f, p, q dan r merupakan bilangan – bilangan real. Bilangan kuadrat yang berbentuk implisit ada dua kemungkinan, yaitu :

(25)

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

A. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk

implisit yang tak dapat difaktorkan

Langkah – langkah penyelesaiannya adalah :

Langkah 1:

Pada bagian linear, nyatakan x dalam y atau y dalam x

Langkah 2:

Substitusikan x dan y pada langkah 1 ke bagian bentuk kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x dan y

Langkah ketiga:

Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh pada langkah 2,

(26)

it

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dan kuadrat berikut ini : x + y – 1 = 0

(27)

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

B. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk

implisit yang dapat difaktorkan

Langkah – langkah penyelesaiannya adalah :

Langkah 1:

Nyatakan bagian bentuk kuadratnya ke dalam faktor –faktor dengan ruas kanan sama dengan nol, sehingga diperoleh L₁.L₂ = 0.

L₁.L₂ = 0. jadi L₁ = 0 atau L₂ = 0, dengan L₁ dan L₂ masing – masing berbentuk linier

Langkah 2:

(28)

it

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat berikut: 2x + 3y = 8

4x2_{– 12xy + 9y}2_{= 16}

Bagian bentuk kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut: 4x2_{– 12xy + 9y}2_{= 16}

(2x – 3y)2_{– 16 = 0}

(2x – 3y + 4)(2x – 3y – 4) = 0

2x – 3y + 4 = 0 atau 2x – 3y – 4 = 0

Penggabungan dengan persamaan linear semula diperoleh: 2x + 3y = 8

2x – 3y + 4 = 0

Dari sistem persamaan ini diperoleh penyelesaian (1, 2)

2x + 3y = 8 2x – 3y – 4 = 0

Dari sistem persamaan ini diperoleh penyelesaian ( 3, 2/3)

(29)

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat

Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat dalam bentuk yang sederhana

dapat dituliskan sebagai berikut :

y = ax2 + bx + c

y = px2 + qx + r

Bagian kuadrat pertama Bagian kuadrat kedua

Langkah – langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat dan kuadrat

Langkah 1 :

Substitusikan bagian kuadrat yang pertama kebagian kuadrat yang kedua

Langkah 2 :

(30)

ex

it

Sistem Persamaan Linier

dan kuadrat

Carilah himpunan penyelesaian dari tiap sistem persamaan kuadrat dan kuadrat berikut ini: y = x2 – 1

y = 1 – x2

Substitusi y = x2 – 1 ke persamaan y = 1 – x2, diperoleh :

x2 – 1 = 1 – x2

2x2 – 2 = 0

x2 – 1 = 0 (x + 1)(x – 1) = 0

x = -1 atau x = 1

Substitusikan x = -1 atau x = 1 ke persamaan y = x2_{- 1}

Untuk x = -1 diperoleh y = (-1)2 – 1 = 0 jadi (-1, 0)