MODUL
1 SMK KELAS X
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABLE
( S P L D V )
Satuan Pendidikan : SMK Mambaul Ulum Kelas/Semester : X/Gasal Materi Pokok : SPLDV Alokasi waktu : 2 JP I. Tinjauan Umum A. Kompetensi Dasar
3.3 Menentukan nilai variabel pada sistem persamaan linear dua variabel dalam masalah kontekstual
4.3 Menyajikan penyelesaian masalah sistem persamaan linier dua B. Materi Pokok
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel C. Indikator Pencapaian Kompetensi
3.3.1 Menjelaskan konsep sistem persamaan linear dua variabel
3.3.2 Menentukan nilai variabel pada sistem persamaan linear dua variabel
4.3.1 Menyusun model matematika yang sesuai dengan sistem persamaan linear dua variabel
4.3.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan sistem persamaan dua variabel
D. Materi Prasyarat
Prasyarat untuk mempelajari bahan ajar ini adalah anda harus sudah mempelajari persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel
E. Petunjuk Bagi Peserta Didik untuk Mempelajari Bahan Ajar
Untuk mempelajari bahan ajar ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah sebagai berikut.
1. Mempelajari bahan ajar ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi selanjutnya.
2. Bacalah dan pahamilah materi yang ada dengan cermat dan teliti.
3. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal, anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi terkait.
4. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
Jika anda mempunyai kesulitan yang
tidak dapat anda pecahkan, catatlah,
kemudian tanyakan kepada guru pada
saat kegiatan tatap muka atau bacalah
referensi lain yang berhubungan dengan
bahan ajar ini atau perhatikan dan
pelajari secara seksama video di
https://youtu.be/oID6BRAdS54
dan
https://youtu.be/3rYEcAhTrqoDengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan
II. Pendahuluan
A. Deskripsi singkat tentang cakupan materi Bahan Ajar
Kalian pasti pernah berbelanja peralatan sekolah disebuah toko buku bersama dengan teman kalian. Saat itu, mungkin jenis peralatan yang kalian beli sama, tetapi dengan jumlah item yang berbeda. Jika kalian tidak mengetahui harga satuan dari salah satu jenis peralatan sekolah yang kalian beli, kalian bisa mengetahui harganya dengan menerapkan konsep system persamaan linear.
B. Manfaat
Manfaat yang diperoleh dari penggunaaan bahan ajar ini adalah: 1. Bagi peserta didik
Kegiatan pembelajaran lebih menarik
Kesempatan untuk belajar mandiri dan mengurangi ketergantungan terhadap kehadiran guru
Kemudahan dalam mempelajari topik pembelajaran yang harus dikuasai 2. Bagi guru
Guru lebih mudah dalam melaksanakan pembelajaran
Guru memperoleh bahan ajar yang sesuai dengan tuntutan kurikulum dan kebutuhan belajar peserta didik
Menambah wawasan pengetahuan dan pengalaman guru dalam menulis bahan ajar
Membangun komunikasi pembelajaran yang efektif antara guru dengan peserta didik karena peserta didik akan merasa lebih percaya kepada gurunya
Materi yang akan diajarkan lebih terkondisi dan focus sesuai dengan modul yang sudah direncanakan.
C. Tujuan Pembelajaran
1. Secara mandiri peserta didik mampu memahami konsep persamaan linier dengan metode elminasi dengan benar
2. Peserta didik mampu bekrjasama dalam menentukan nilai variabel pada sistem persamaan linear dua variable dengan benar.
3. Peserta didik mampu bekrjasama dalam menyusun model matematika yang sesuai dengan sistem persamaan linear dua variabel dengan tepat
III. Penyajian
Sistem persamaan Linear dua variable
Peta Konsep Sistem Persamaan LinearCiri – Ciri SPLDV
Menggunakan relasi tanda sama dengan ( = ) Memiliki dua variabel
Kedua variabel tersebut memiliki derajat satu ( berpangkat satu ) Hal – hal Yang Berhubungan Dengan SPLDV
a. Suku
Suku yaitu bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, koefisien dan konstanta. Dan setiap suku di pisahkan dengan tanda baca penjumlahan ataupun pengurangan
SPLDV
Metode Eliminasi
Metode Subtitusi
Metode Gabungan (Eliminasi dan subtitusi)
Contoh :
6x – y + 4 , maka suku – suku dari persamaan tersebut adalah 6x , -y dan 4 b. Variabel
Variabel , yaitu peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya dilambangkan dengan huruf seperti x dan y .
Contoh :
Mika memiliki 2 buah nanas dan 5 buah jeruk. Jika dituliskan dalam bentuk persamaan adalah
Nanas = x Jeruk = y
Persamannya adalah 2x + 5y
c. Koefisien
Koefisien yaitu suatu bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis. Koefisien disebut juga dengan bilangan yang ada di depan variabel, karena penulisan sebuah persamaan koefifien berada di depan variabel
Contoh :
Mika memiliki 2 buah nanas dan 5 buah jeruk. Jika di tulis dalam bentuk persamaan adalah : Jawab :
Nanas = x dan Jeruk = y Persamannya adalah 2x + 5y
Dimana 2 dan 5 adalah koefisien. Dan 2 adalah koefisien x dan 5 adalah koefisien y d. Konstanta
Konstanta yaitu bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, maka nilainya tetap atau konstan untuk berapapun nilai perubahnya
Contoh :
2x + 5y + 7 , dari persamaan tersebut konstanta adalah 7 , karena 7 nilainya tetap dan tidak terpengaruh dengan berapapun variabelnya
Itulah beberapa hal yang berhubungan tentang bentuk umum spldv untuk kita pahami sebelum kita memahami tentang rumus spldv.
Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut : + = …….. (1)
+ = …….. (2)
Dengan , , , , dan
Persamaan (1) dan persamaan (2) merupakan suatu sistem persamaan linear karena keduanya saling berkaitan.
Jadi kedua syarat ini wajib bisa terpenuhi sebelum kita menghitung persamaan linier dua variabel.
Mencari himpunan penyelesaian sistempersamaan linear adalah dengan cara mengganti nilai variabel atau peubah yang memenuhi sistem persamaan tersebut, yaitu dengan menggunakan metode eliminasi, subtitusi, metode gabungan dari kedua metode tersebut (Eliminasi dan subtitusi), metode grafik. Pada modul ini akan membahas tentang metode eliminasi .
Metode Eliminasi atau Metode Menghilangkan
Metode Eliminasi yaitu menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan cara eliminasi artinya mencari nilai variabel dengan menghilangkan variabel yang lain. Prinsip yang digunakan untuk menghilangkan variable adalah mengurangkan atau menjumlahkan.
Langkah – langkah menyelesaikan spldv dengan metode eliminasi :
Untuk menghilangkan suatu variable, koefisien dari variable tersebut pada kedua persamaan harus sama. Jika belum sama, masing – masing persamaan dikalikan dengan bilangan tertentu sehingga variable tersebut memiliki koefisien yang sama.
Jika variable yang akan dihilangkan bertanda sama, dua persamaan dikurangi dan jika memiliki tanda yang berbeda dua persamaan ditambah
Syarat Sistem Persamaan Linier Dua Variabel dapat memiliki satu penyelesaian, yaitu :
Ada lebih dari satu atau ada dua persamaan linier dua variabel sejenis Persamaan linier dua variabel yang
membentuk sistem persamaan linier dua variabel, bukan persamaan linier dua variabel yang sama.
Contohnya sebagi berikut:
1. Tentukan Himpunan penyelesaian dari persamaan x + 3y = 15 dan 3x + 6y = 30 Penyelesaian :
Diketahui :
Persamaan 1 : x + 3y = 15 Persamaan 2 : 3x + 6y = 30
Langkah Pertama yaitu menentukan variabel mana yang akan di eliminasi terlebih dahulu. Kali ini kita akan menghilangkan x terlebih dahulu, dan supaya kita temukan nilai y . Caranya yaitu : 3x + 6y = 30 : 3
x + 2y = 10 . . . . ( 1 ) x + 3y = 15 . . . .(2)
Langkah Kedua Dari persamaan (1) dan (2), mari kita eliminasi, sehingga hasilnya : x + 3y = 15
x + 2y = 10 _ y = 5
Langkah Ketiga Selanjutnya, untuk mengetahui nilai x , maka caranya sebagai berikut : x + 3y = 15 | x2 | <=> 2x + 6y = 30 . . . .( 3 )
3x + 6y = 30 | x1 | <=> 3x + 6y = 30 . . .. (4 )
Eliminasi antara persamaan (3) dengan (4 ), yang hasilnya menjadi : 3x + 6y = 30
2x + 6y = 30 _ x = 0
Maka, Himpunan penyelesaiannya adalah HP = { 0 . 5 }
2. Seseorang membeli 4 buku tulis dan 3 pensil, ia membayar Rp 19.500,00. Jika ia membeli 2 buku tulis dan 4 pensil, ia harus membayar Rp 16.000,00. Tentukan harga sebuah buku tulis dan sebuah pensil!
Dari soal diatas dapat dibentuk soal matematika sebagai berikut : Diketahui : Misal buku tulis = x dan pensil y
Jawab :
Harga 4 buku tulis dan 3 pensil Rp 19.500,00 sehingga 4x + 3y = 19.500 Harga 2 buku tulis dan 4 pensil Rp 16.000,00 sehingga 2x + 4y = 16.00 Maka : 4x + 3y = 19.500…….persamaan 1
2x + 4y = 16.00 …….persamaan 2
Untuk mengeliminasi variable x, maka kaikan persamaan perta dengan 1 dan persamaan kedua dengan 2 agar koefisien x kedua persaaman sama. Selanjutnya kita selisisihkan kedua persamaan
karena variable yang akan dihilangkan bertanda sama.
4x + 3y = 19.500 |× 1| → 4x + 3y = 19.500 2x + 4y = 16.000 |× 2| → 4x + 8y = 32.000
− −5y = −12.500
y = 2.500
Untuk mengeliminasi variable y, maka kalikan persamaan dengan 4 dan kalikan persamaan kedua dengan 3 lalu selisihkan kedua persamaan sehingga diperoleh nilai x, sebagai berikut :
4x + 3y = 19.500 |× 4| → 16x + 12y = 78.000 2x + 4y = 16.000 |× 3| → 6x + 12y = 48.000
− 10x = 30.000
x = 3.000
Jadi penyelesaian persamaan itu adalh x = 3.000 dan y = 2.500. Sehingga harga sebuah buku tulis adalah Rp 3.000,00 dan harga sebuah pensil adalah Rp 2.500,00
IV. Latihan yang berisi aktivitas untuk dilakukanpeserta didik setelah membaca dan mempelajari materi.
Petunjuk umum:
1. Berdoalah sebelum mengerjakan soal
2. Jawablah pada lembar jawaban yang telah disediakan
3. Selesaikan soal berikut dengan memilih jawaban yang dianggap benar.
Lembar Soal Kuis
Nama : ____________________ Kelas : ____________________
Soal Quiz
1. 1. Sebuah kolam berbentuk persegi panjang. Keliling kolam tersebut sama dengan 44 cm. Jika lebarnya 6 cm lebih pendek dari panjangnya , carilah panjang dan lebar dari kolam tersebut!
2. 2. Harga tiket KA kelas bisnis Rp 40.000,00/lembar kelas eksekutif Rp 60.000,00/lembar. Pada suatu hari terjual 4800 lembar dengan hasil penjualan Rp228.000.000,00. Berapakah banyaknya tiket eksekutif yang terjual pada hari itu?
3. 3. Umur Lia 7 tahun lebih tua dari pada umur Irvan, sedangkan jumlah umur mereka adalh 43 tahun. Berapakah umur mereka masing – masing?
V. Penutup
Berdasarkan hasil kegiatan akhir, guru dapat mengetahui tingkat keberhasilan pembelajaran yang telah dilaksanakan. Dari hasil tes, guru dapat mengetahui ketercapaian tujuan pembelajaran oleh siswa baik secara individual maupun kelas. Dengan memperhatikan penguasaan siswa, guru perlu melakukan kegiatan tindak lanjut. Kegiatan tindak lanjut pembelajaran dapat berupa remidial dan atau pengayaan.
VI. DAFTAR PUSTAKA
Suparmin, putri Estika. 2016. Buku Siswa Mata Pelajaran Matematika. Jakarta: Mediatama.
Kasmina, Toali. 2018. Buku Matematika SMK/MAK kela X. Jakarta: Erlangga. https://rumusrumus.com/spldv/
https://youtu.be/oID6BRAdS54 https://youtu.be/3rYEcAhTrqo
Kunci Jawaban Soal Uraian dan Pedoman Penskoran
NO KUNCI SKOR
1 Diketahui:
Misal panjang dari kolam adalah x cm. Misal lebar dari kolam adalah y cm.
Ditanyakan: Panjang dan lebar kolam tersebut! Jawab :
Model matematika yang sesuai dengan personal diatas adalah sebagi berikut : 2 (panjang + lebar) = keliling kolam
2x + 2y = 44 x + y = 22
Lebar 6 lebih pendek dari panjang, maka y = x – 6
x – y = 6
Sehingga kita peroleh model matematiknya sebagi berikut : x + y = 22 …. Persamaan 1
x – y = 6 ….….Persamaan 2
Dengan menggunakan metode elminasi, maka penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah sebagai berikut :
Eliminasi variable x, sehingga akan diperoleh nilai y x + y = 22
x - y = 6 _ 2y = 16 y = 8
Eliminasi variable y, sehingga akan diperoleh nilai x x + y = 22
x - y = 6 + 2x = 28 x = 14
Jadi, panjang kolam adalah 14 cm dan lebarnya kolam tersebut adalah 8 cm.
1
1
2
3
2 Diketahui : Misal
Banyak tiket kelas bisnis yang terjual = x Banyak tiket kelas eksekutif yang terjual = y Ditanya : Banyaknya tiket kelas eksekutif yang terjual? Jawab :
Model Matematika:
40.000 x + 60.000 y = 228.000.000 2x + 3y = 11.400 …….(1) x + y = 4800 ………. ( 2)
Eliminasi variabel x dari kedua persamaan : 2x + 3y = 11.400 . 1 2x + 6y = 11.400 x + y = 4.800 . 2 2x + 2y = 4.800 - 4y = 6.600
y = 1.650
Jadi banyaknya tiket kelas eksekutif yang terjual adalah 1650 tiket
1
1
3
3 Diketahui: Misal
Umur lia adalah x tahun Umur irvan adalah y tahun
Ditanyakan : Umur Lia dan Umur Irvan Jawab :
Umur Lia 7 tahun lebih Tua dari Irvan, Maka : x = y + 7 Jumlah umur Lia dn Irvan adalah 43 tahun, maka : x + y = 43
Maka diperoleh model persamaan
x – y = 7 ... persamaan 1 x + y = 43 ... persamaan 2
Dengan menggunakan metode elminasi, maka penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah sebagai berikut :
Eliminasi variable x, sehingga akan diperoleh nilai y x - y = 7
x + y = 43 _ - 2y = -36 y = 18
Eliminasi variable y, sehingga akan diperoleh nilai x
1
2
1
x - y = 7 x + y = 43 + 2x = 50 x = 25
Jadi, umur lia 25 tahun dan umur Irvan 18 tahun.
3
Skor Maksimal 25
