Sistem Persamaan linier

Matematika Dasar Page 34

Sistem

Persamaan linier

5.1 Sistem Persamaan Linier Dua Peubah (Variabel) Bentuk Umum:

𝑎₁𝑥 + 𝑏₁𝑦 = 𝑐₁ 𝑎₂𝑥 + 𝑏₂𝑦 = 𝑐₂ Dimana 𝑎₁, 𝑏₁, 𝑐₁, 𝑎₂, 𝑏₂, 𝑐₂ ∈ 𝑅.

Himpunan pasangan berurutan (𝑥, 𝑦) yang memenuhi kedua persamaan di atas disebut Himpunan Penyelesaian (HP). Secara geometri, penyelesaian sistem persamaan di atas merupakan titik potong dua buah garis lurus.

Ada 4 cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah, yaitu : 1. Eliminasi (penghilangan/penghapusan)

2. Substitusi (penggantian) 3. Determinan (Aturan Cramers) 4. Grafik

1. Metode Eliminasi

Yaitu dengan menghilangkan salah satu variabel (peubah) sehingga menjadi satu persamaan dengan satu peubah. Cara menghilangkannya bisa dikurangi atau ditambah dengan mengalikan terlebih dahulu kedua persamaan tersebut dengan suatu bilangan sehingga terdapat koefisien suatu peubah yang sama atau berlawanan tanda dari kedua persamaan di atas. Jika salah satu peubah sudah diketahui penyelesaiannya, maka untuk menentukan penyelesaian peubah yang lain dengan mengganti nilai peubah itu ke salah satu persamaan di atas sehingga persamaan tersebut dapat diselesaikan.

Matematika Dasar Page 35 Contoh 5.1

Tentukan HP dari 2𝑥 + 3𝑦 = 1 dan 3𝑥 + 4𝑦 = 1 dengan menggunakan eliminasi!

Jawaban:

2𝑥 + 3𝑦 = 1 3𝑥 + 4𝑦 = 1|𝑥3

𝑥2| ⟹6𝑥 + 9𝑦 = 3 6𝑥 + 8𝑦 = 1

𝑦 = 2 ⇒ 2𝑥 + 3.2 = 1 ⇒ 𝑥 = −5 2 𝐻𝑃: {(−5

2, 2)}

Tidak semua sistem persamaan 𝑎₁𝑥 + 𝑏₁𝑦 = 𝑐₁

𝑎₂𝑥 + 𝑏₂𝑦 = 𝑐₂} mempunyai penyelesaian.

Untuk perlu diketahui aturannya sebelum kita menyelesaikannya.

Aturan 1:

Jika ^𝑎1

𝑎2 =^𝑏1

𝑏2= ^𝑐1

𝑐2 maka dikatakan kedua persamaan bergantungan.

Penyelesaiannya tak terhingga banyaknya. Secara geometri berupa dua garis yang berimpit.

Aturan 2:

Jika ^𝑎1

𝑎2= ^𝑏1

𝑏2 ≠^𝑐1

𝑐2 maka dikatakan kedua persamaan bertentangan (berlawanan). Penyelesaiannya tidak ada. Secara geometri berupa dua garis yang sejajar.

Aturan 3:

Jika ^𝑎1

𝑎2 ≠ ^𝑏1

𝑏2 maka kedua persamaan dikatakan bebas. Penyelesaiannya tunggal, yaitu sepasang (𝑥, 𝑦). Secara geometri berupa dua garis yang berpotongan.

Latihan 5.1

1. Tentukan HP dengan menggunakan metode eliminasi.

a) 𝑥 + 3𝑦 = 5

4𝑥 − 𝑦 = 7} b. 4𝑥 − 𝑦 = 1

3𝑥 + 2𝑦 = 9} c. 5𝑥 − 3𝑦 = 13 3𝑥 + 4𝑦 = 2}

Matematika Dasar Page 36 2. Tentukan titik potong antara garis 𝑦 = 3𝑥 + 6 dan −2𝑦 = −5𝑥 − 11.

3. Suatu pecahan nilainya ²

3. Jika pembilang dikurangi 2 dan penyebut ditambah 7, maka nilai pecahan itu menjadi ¹

4. Tentukan pecahan asalnya!

4. Suatu bilangan terdiri atas dua angka. Jumlah angka-angkanya 9. Bilangan itu 9 kali angka satuannya. Tentukan bilangan itu.

5. Keliling suatu persegi panjang 180 cm. Sedangkan 3 kali panjangnya sama dengan 7 kali lebarnya. Berapa luasnya?

2. Metode Substitusi

Yaitu mengganti salah satu peubah dari suatu persamaan dengan peubah lain dari persamaan lainnya. Maka yang tadinya suatu persamaan dengan dua peubah (heterogen) menjadi suatu persamaan dengan hanya satu peubah (homogen). Sehingga persamaan itu mudah diselesaikannya. Untuk menentukan nilai peubah lainnya dengan mengganti salah satu peubah dengan nilai peubah yang sudah diketahui sebelumnya.

Contoh 5.2

Tentukan HP dari 2𝑥 + 3𝑦 = −4

𝑥 − 2𝑦 = 5 } dengan menggunakan metode substitusi.

Jawaban:

𝑥 − 2𝑦 = 5 ⇒ 𝑥 = 5 + 2𝑦

Substitusi 𝑥 = 5 + 2𝑦 ke 2𝑥 + 3𝑦 = −4 2𝑥 + 3𝑦 = −4

2(5 + 2𝑦) + 3𝑦 = −4 10 + 4𝑦 + 3𝑦 = −4 7𝑦 = −14

𝑦 = −2

Substitusi 𝑦 = −2 ke 𝑥 − 2𝑦 = 5 𝑥 − 2𝑦 = 5

𝑥 − 2(−2) = 5

Matematika Dasar Page 37 𝑥 + 4 = 5

𝑥 = 1

Jadi 𝐻𝑃: {(1, −2)}

Contoh 5.3

Tentukan HP dari

4 𝑥+³

𝑦= 1

−²

𝑥+⁶

𝑦= −3} dengan menggunakan metode substitusi.

Jawaban:

Misal: ¹

𝑥= 𝑎 dan ¹

𝑦= 𝑏 maka persamaan di atas menjadi:

4𝑎 + 3𝑏 = 1 ⟺ 𝑏 =1 − 4𝑎 3

−2𝑎 + 6𝑏 = −3 Substitusi 𝑏 =^1−4𝑎

3 ke −2𝑎 + 6𝑏 = −3

−2𝑎 + 6𝑏 = −3

−2𝑎 + 6 (1 − 4𝑎

3 ) = −3

−2𝑎 +6 − 24𝑎

3 = −3

−6𝑎

3 +6 − 24𝑎

3 = −3

−6𝑎 + 6 − 24𝑎

3 = −3

−30𝑎 + 6

3 = −3

−30𝑎 + 6 = −9 𝑎 =1

2 𝑎 =¹

2 sehingga 𝑏 =¹⁻⁴⁽

1 2)

3 ⇒ 𝑏 = ¹⁻²

3 ⟹ 𝑏 = −¹

3

𝑎 =1 𝑥⇒1

2= 1

𝑥⇒ 𝑥 = 2

Matematika Dasar Page 38 𝑏 =1

𝑦 ⇒ −1 3=1

𝑦⇒ 𝑦 = −3 Jadi 𝐻𝑃: {(2, −3)}

Latihan 5.2

1. Tentukan HP dengan menggunakan metode substitusi dari:

a. 𝑥 + 3𝑦 = 5

4𝑥 − 𝑦 = 7} b. 4𝑥 − 𝑦 = 1

3𝑥 + 2𝑦 = 9} c. 5𝑥 − 3𝑦 = 13 3𝑥 + 4𝑦 = 12} 2. Tentukan persamaan garis lurus 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 yang melalui titik-titik (2,1)

dan (6, 9).

3. Jumlah dua bilangan 49 dan selisihnya 21. Tentukan kedua bilangan itu.

4. Ali membeli sebuah pensil dan 2 buah buku seharga Rp 2.500 sedangkan Budi membeli 2 pensil dan 5 buku seharga Rp 5.750. Tentukan masing- masing harga sebuah pensil dan sebuah buku.

5. Umur Reza sekarang 7 tahun lebih muda dari Sinta. Tiga tahun yang akan datang umur mereka berjumlah 33. Berapa umur mereka masing-masing sekarang ?

3. Metode Determinan (Aturan Cramers)

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan menggunakan metode determinan caranya sebagai berikut:

𝑎₁𝑥 + 𝑏₁𝑦 = 𝑐₁ 𝑎₂𝑥 + 𝑏₂𝑦 = 𝑐₂|𝑥𝑏₂

𝑥𝑏₁| ⇒ 𝑥 = 𝑐₁𝑏₂− 𝑐₂𝑏₁ 𝑎₁𝑏₂− 𝑎₂𝑏₁ =

|𝑐₁ 𝑏₁ 𝑐₂ 𝑏₂|

|𝑎₁ 𝑏₁ 𝑎₂ 𝑏₂|

= |𝐷_𝑥|

|𝐷|

𝑎₁𝑥 + 𝑏₁𝑦 = 𝑐₁ 𝑎₂𝑥 + 𝑏₂𝑦 = 𝑐₂|𝑥𝑎₂

𝑥𝑎₁| ⇒ 𝑦 = 𝑎₁𝑐₂− 𝑎₂𝑐₁ 𝑎₁𝑏₂− 𝑎₂𝑏₁ =

|𝑎₁ 𝑐₁ 𝑎₂ 𝑐₂|

|𝑎₁ 𝑏₁ 𝑎₂ 𝑏₂|

= |𝐷_𝑦|

|𝐷|

Matematika Dasar Page 39 𝐽𝑎𝑑𝑖: 𝑥 =^|𝐷𝑥|

|𝐷| 𝑑𝑎𝑛 𝑦 =^|𝐷𝑦|

|𝐷| 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 |𝐷| ≠ 0 Dimana:

|𝐷| = |𝑎₁ 𝑏₁

𝑎₂ 𝑏₂| = 𝑎₁𝑏₂− 𝑎₂𝑏₁

|𝐷_𝑥| = |𝑐₁ 𝑏₁

𝑐₂ 𝑏₂| = 𝑐₁𝑏₂− 𝑐₂𝑏₁

|𝐷_𝑦| = |𝑎₁ 𝑐₁

𝑎₂ 𝑐₂| = 𝑎₁𝑐₂− 𝑎₂𝑐₁ Contoh 5.4

Tentukan HP dari 4𝑥 + 5𝑦 = 6

3𝑥 − 4𝑦 = 11} dengan menggunakan metode determinan.

Jawaban:

|𝐷| = |4 5

3 −4| = (4. −4) − (3.5) = (−16) − (15) = −31

|𝐷_𝑥| = | 6 5

11 −4| = (6. −4) − (11.5) = (−24) − (55) = −79

|𝐷_𝑦| = |4 6

3 11| = (4.11) − (3.6) = (44) − (18) = 26 𝑥 =^|𝐷𝑥|

𝐷 = ⁻⁷⁹

−31= ⁷⁹

31 𝑦 =^|𝐷𝑦|

𝐷 = ²⁶

−31 = −²⁶

31

Jadi, 𝐻𝑃: {(⁷⁹

31, −²⁶

31)}

4. Metode Grafik

Yaitu penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan perpotongan dua buah garis lurus.

Contoh 5.5

Tentukan HP dari 𝑥 − 𝑦 = 3

𝑥 + 2𝑦 = 9} dengan menggunakan metode grafik.

Jawaban:

Garis 𝑥 − 𝑦 = 3 Garis 𝑥 + 2𝑦 = 9 𝑥 = 0, maka 𝑦 = −3 𝑥 = 0, maka 𝑦 =⁹

2

𝑦 = 0, maka 𝑥 = 3 𝑦 = 0, maka 𝑥 = 9

Matematika Dasar Page 40 Maka garis 𝑥 − 𝑦 = 3 melalui (0, −3) dan (3, 0),

sedangkan garis 𝑥 + 2𝑦 = 9 melalui (0,⁹

2) dan (9, 0) Gambarnya:

Karena titik potongnya di titik (5, 2), maka 𝐻𝑃: {(5, 2)}

Latihan 5.3

1. Tentukan HP-nya dengan menggunakan metode determinan.

a) 𝑥 + 3𝑦 = 5

4𝑥 − 𝑦 = 7} b) 4𝑥 − 𝑦 = 5

3𝑥 + 2𝑦 = 9} c) 5𝑥 − 3𝑦 = 13 3𝑥 + 4𝑦 = 2 } 2. Tentukan HP-nya dengan menggunakan metode grafik.

a) 𝑦 = 𝑥

𝑦 = 𝑥 + 2} b) 𝑥 + 𝑦 = 3

2𝑥 − 𝑦 = 3} c) 𝑦 = 2𝑥 𝑥 + 𝑦 = 6} 5.2 Sistem Persamaan Linier Tiga Peubah (Variabel)

Bentuk Umum:

𝑎₁𝑥 + 𝑏₁𝑦 + 𝑐₁𝑧 = 𝑑₁ 𝑎₂𝑥 + 𝑏₂𝑦 + 𝑐₂𝑧 = 𝑑₂ 𝑎₃𝑥 + 𝑏₃𝑦 + 𝑐₃𝑧 = 𝑑₃

}

Penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga peubah berupa himpunan pasangan berurutan (𝑥, 𝑦, 𝑧). Secara geometri berupa titik potong dari tiga buah bidang datar.

Cara penyelesaiannya ada 3, yaitu:

1. Metode Eliminasi 2. Metode Substitusi

3. Metode Determinan (Aturan Cramers)

(5, 2)

𝑥 − 𝑦 = 3 𝑥 + 2𝑦 = 9

Matematika Dasar Page 41 1. Metode Eliminasi

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga peubah dengan eliminasi yaitu dengan mengeliminasi (menghilangkan) salah satu peubah sehingga yang tadinya 3 persamaan dengan 2 peubah menjadi 2 persamaan dengan 2 peubah.

Lalu diselesaikan dengan cara menyelesaikan sistem persaman linear 2 peubah. Untuk menentukan nilai peubah yang terakhir, dengan mengganti dua peubah yang sudah diketahui dari salah satu persamaan.

Contoh 5.6

Tentukan HP dari

𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 8 4𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0 3𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 13

} dengan menggunakan metode eliminasi.

Jawaban:

Eliminasi 𝑧 dari:

𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 8 4𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0|𝑥2

𝑥3| ⟹2𝑥 + 4𝑦 − 6𝑧 = 16 12𝑥 − 3𝑦 + 6𝑧 = 0

14𝑥 + 𝑦 = 16 ….(1) Eliminasi 𝑧 dari:

4𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0 3𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 13|𝑥2

𝑥1| ⟹ 8𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 0 3𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 13

12𝑥 + 𝑦 = 13 ….(2) Dari persamaan (1) dan (2) akan didapat nilai x dan y, yaitu:

14𝑥 + 𝑦 = 16 12𝑥 + 𝑦 = 13

2𝑥 = 3 ⇒ 𝑥 =3 2 Substitusikan 𝑥 =³

2 ke persamaan 14𝑥 + 𝑦 = 16, maka didapat:

14. (3

2) + 𝑦 = 16 ⇒ 21 + 𝑦 = 16 ⇒ 𝑦 = −5 Untuk menentukan nilai 𝑧, maka 𝑥 =³

2 dan 𝑦 = −5 disubstitusikan ke persamaan 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 8

Matematika Dasar Page 42 (3

2) + 2. (−5) − 3𝑧 = 8 ⇒3

2− 10 − 3𝑧 = 8 ⇒ 𝑧 = −25 6 Jadi, 𝐻𝑃: {(³

2, −5, −²⁵

6)}

Latihan 5.4

1. Tentukan HP dengan menggunakan metode eliminasi.

a)

𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 2 2𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = 3 3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −1

} b)

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3 2𝑥 − 4𝑦 + 4𝑧 = 10

}

c)

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 8 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 4

𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5 }

2. Tentukan persamaan parabola 𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 yang melalui titik-titik (1, 2, 3), (3, 7, 5), dan (6, 4, 2).

3. Suatu bilangan terdiri atas tiga angka. Jumlah angka-angkanya 15. Jika angka ratusan dan puluhan dipertukarkan, maka bilangan yang baru 360 kurangnya dari bilangan asal. Sedangkan jika angka puluhan dan satuan dipertukarkan tempatnya, maka bilangan baru 198 kurangnya dari bilangan asal. Tentukan bilangan asal!

2. Metode Substitusi

Menyelesaikan sistem persamaan linear 3 peubah dengan menggunakan metode substitusi yaitu dengan mengganti salah satu peubah dari dua persamaan dengan peubah dari persamaan lainnya sehingga yang tadinya 3 persamaan dengan 3 peubah menjadi 2 persamaan dengan 2 peubah. Lalu selesaikan seperti menyelesaikan sistem persamaan linear dengan 2 peubah.

Untuk menentukan nilai peubah yang ketiga, substitusikan 2 nilai peubah yang sudah diketahui ke salah satu persamaan yang ada.

Matematika Dasar Page 43 Contoh 5.7

Tentukan HP dari

𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 8 4𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0 3𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 13

} dengan menggunakan metode substitusi!

Jawaban:

𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 8 ⇔ 𝑥 = 8 − 2𝑦 + 3𝑧

Substitusikan 𝑥 = 8 − 2𝑦 + 3𝑧 ke persamaan (2) dan (3), maka

4(8 − 2𝑦 + 3𝑧) − 𝑦 + 2𝑧 = 0 ⇔ −9𝑦 + 14𝑧 = −32 …(4) 3(8 − 2𝑦 + 3𝑧) + 3𝑦 − 4𝑧 = 13 ⇔ −3𝑦 + 5𝑧 = −11 …(5) Dari (4) dan (5) selesaikan dengan substitusi:

−9𝑦 + 14𝑧 = −32 ⇔ 𝑦 =−32 − 14𝑧

−9 ⇔ 𝑦 =32 + 14𝑧 9 Substitusikan 𝑦 =^32+14𝑧

9 ke persamaan (5), maka

−3 (32 + 14𝑧

9 ) + 5𝑧 = −11 ⇔ 𝑧 = −1 Substitusikan 𝑧 = −1 ke persamaan (4), maka

−9𝑦 + 14(−1) = −32 ⇔ 𝑦 = 2

Substitusikan 𝑦 = 2 dan 𝑧 = −1 ke persamaan (1), maka 𝑥 + 2(2) − 3(−1) = 8 ⇔ 𝑥 = 1

Jadi, 𝐻𝑃: {(1, 2, −1)}

Latihan 5.5

1. Tentukan HP dengan menggunakan metode substitusi!

a)

𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 2 2𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = 3 3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −1

} b)

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3 2𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 10

}

c)

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 8 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 4

𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5

} d)

2𝑥 − 3𝑦 = −18 4𝑦 + 5𝑧 = 6 3𝑥 − 4𝑧 = −1

}

Matematika Dasar Page 44 2. Jumlah tiga buah bilangan sama dengan 6. Bilangan pertama ditambah bilangan kedua sama dengan bilangan ketiga, dan bilangan kedua besarnya dua kali bilangan pertama. Tentukan masing-masing bilangan tersebut!

3. Skor ujian 3 siswa berjumlah 78, skor siswa pertama 10 lebihnya dari iswa kedua, sedangkan skor siswa ketiga 4 kurangnya dari siswa pertama.

Berapa skor masing-masing siswa?

3. Metode Determinan

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear 3 peubah dengan meggunakan metode determinan sama seperti yang dua peubah, yaitu :

𝑥 =|𝐷_𝑥|

|𝐷| , 𝑦 = |𝐷_𝑦|

|𝐷| , 𝑑𝑎𝑛 𝑧 =|𝐷_𝑧|

|𝐷|

Bedanya hanya cara menentukan nilai determinannya. Untuk menentukan nilai determinan matriks 3 x 3 yaitu dengan diagram SARRUS. Caranya :

1. Salin kolom ke-1 dan kolom ke-2 lalu tempatkan di kolom ke-4 dan ke-5 2. Jumlahkan perkalian bilangan-bilangan pada diagonal ke bawah, lalu

kurangkan dengan perkalian bilangan-bilangan pada diagonal ke atas.

Contoh 5.8

Tentukan determinan 𝐴 atau |𝐴| jika 𝐴 = [

1 4 7 2 5 8 3 6 9 ]

Jawaban:

|𝐴| = [

1 4 7

2 5 8

3 6 9

] 1 4 2 5 3 6 ]

= (1.5.9) + (4.8.3) + (7.2.6) − (3.5.7) − (6.8.1) − (9.2.4) = (45) + (96) + (84) − (105) − (48) − (72) = 0

Matematika Dasar Page 45 Contoh 5.9

Tentukan HP dari

𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 8 4𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0 3𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 13

} dengan menggunakan metode determinan!

Jawaban:

|𝐷| = [

1 2 −3

4 −1 2

3 3 −4

]

1 2

4 −1

3 3

] = −3

|𝐷_𝑥| = [

8 2 −3

0 −1 2

13 3 −4

]

8 2

0 −1

13 3

] = −3

|𝐷_𝑦| = [

1 8 −3

4 0 2

3 13 −4

]

1 8

4 0

3 13

] = −6

|𝐷_𝑧| = [

1 2 8

4 −1 0

3 3 13

]

1 2

4 −1 3 13

] = 3

𝑥 =|𝐷_𝑥|

|𝐷| =−3

−3 = 1 𝑦 =|𝐷_𝑦|

|𝐷| =−6

−3= 2 𝑧 =|𝐷_𝑧|

|𝐷| = 3

−3 = −1 Jadi, 𝐻𝑃: {(1, 2, −1)}

Latihan 5.6

1. Tentukan nilai determinan dari matriks berikut!

a) 𝐴 = [

−1 3 3

0 2 2

2 0 1

] b) 𝐵 = [

3 −1 4

−3 5 0

0 2 1

] c) 𝐶 = [

3 1 2

4 3 0

−1 3 −4 ] 2. Tentukan HP dengan metode determinan dari:

a)

𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 2 2𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = 3 3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −1

} b)

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3 2𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 10

}

c)

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 8 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 4

𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5

} d)

2𝑥 − 3𝑦 = 18 4𝑦 + 5𝑧 = 6 3𝑥 − 4𝑧 = −1

}